TIỂU LUẬN Một số bài toán về hình học không gian

Một số toán hình học không gian MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài……………………………………………………………… II Đối tượng nghiên cứu III Mục đích nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu V Nội dung đề tài……………………………………………………………… PHẦN NỘI DUNG Các kiến thức bản………………………………………………… 1.1 Các tiên đề hình học không gian 1.2 Điều kiện xác định mặt phẳng .6 1.3 Hai đường thẳng song song…………………………………………… 1.3.2 Các tính chất………………………………………………………… 1.4 Hai đường thẳng vuông góc 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Nhận xét 1.5 Hai mặt phẳng song song 1.5.1 Định nghĩa………………………………………………………… 1.5.2 Các tính chất………………………………………………………… 5.3 Định lí Talet 1.6 Hai mặt phẳng vuông góc 1.6.1 Định nghĩa…………………………………………………………… 1.6.2 Các tính chất………………………………………………………… 1.7 Đường thẳng song song với mặt phẳng……………………………… 10 1.7.1 Định nghĩa …… 10 1.7.2 Các tính chất 10 1.8 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 11 1.8.1 Định nghĩa 11 1.8.2 Các tính chất ……………………………………………………… 11 GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian 1.9 Liên hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc đường thẳng mặt phẳng…………………………………………………………………… 11 1.9.1 Các tính chất…………………………………………………………… 11 1.10 Góc………………………………………………………………… 12 1.10.1 Góc hai đường thẳng…………………………………………12 a Cách xác định……………………………………………………… 12 b Điều kiện cần đủ để hai đường thẳng vuông góc ……………… 12 1.10.2 Góc hai mặt phẳng ………………………………………… 13 a Cách xác định…………………………………………………… 13 b Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau…… 13 1.10.3 Góc đường thẳng mặt phẳng …………………………… 13 a Định nghĩa…………………………………………………………13 b Điều kiện cần đủ để đường thẳng mặt phẳng vuông góc với nhau……………………………………………………………………………… 14 1.11 Khoảng cách……………………………………………………… 14 1.11.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đến đường thẳng …………………………………………………………………………… 14 1.11.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song……………………………………………………………… 14 1.11.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau………………… 14 1.11.4 Nhận xét………………………………………………………… 14 1.12 Hình chóp, hình lăng trụ…………………………………………… 14 1.12.1 Hình chóp hình tứ diện……………………………………… 14 a Hình chóp……………………………………………………… 15 b Hình tứ diện………………….………………………………… 15 c Thể tích khối chóp………………………………………… 15 1.12.2 Hình lăng trụ hình hộp………………………………………… 16 a Hình lăng trụ…………………………………………………… 16 b Hình hộp……………………………………………………… 16 c Thể tích khối lăng trụ……………………………………… 16 Các dạng toán bản…………………………………………………………17 GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian 2.1 Dạng 1: Xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng ……………… 17 2.2 Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng……………………………………18 2.3 Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy không gian………… 19 2.4 Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau………………………… 20 2.5 Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng song song………………………… 20 2.6 Dạng 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng……………… 22 2.7 Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song…………………………… 23 2.8 Dạng 8: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng……………… 24 2.9 Dạng 9: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng…………… 25 2.10 Dạng 10: Tính số đo góc hai đường thẳng…………………………… 27 2.11 Dạng 11: Tính số đo góc đường thẳng mặt phẳng………………… 28 2.12 Dạng 12: Tính số đo góc mặt phẳng mặt phẳng………………… 29 2.13 Dạng 13: Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau………………… 30 2.14 Dạng 14: Xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng…………… 33 2.15 Dạng 15: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng ………………………… 34 2.16 Dạng 16: Xác định thiết diện hình đa diện n mặt tạo mặt phẳng (  ) ( (  ) thỏa điều kiện cho trước )…………………………………………35 2.17 Một số ví dụ giao điểm đường thẳng mặt phẳng, giao tuyến, thiết diện khối đa diện cắt mạt phẳng…………………………………… 39 2.18 Dạng 17 Tính thể tích khối đa diện……………………………………… 44 Bài tập đề nghị……………………………………………………………… 48 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Chương trình môn Toán lớp 11 có thay đổi Đầu tiên nghiên cứu phép dời hình mặt phẳng; từ phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay để đến định nghĩa phép dời hình khái niệm hai hình Sau phép vị tự, phép đồng dạngvà khái niệm hai hình đồng dạng, tổng quát hóa khái niệm hai tam giác đồng dạng cấp THCS Tiếp theo giới thiệu cách trực quan yếu tố hình học không gian tính chất quan hệ song song quan hệ vuông góc không gian Quan hệ vuông góc xây dựng dựa khí niệm tích vô hướng hai vectơ không gian Khái niệm vectơ phương đường thẳng trước có chương trình Hình học 12 đưa vào lớp 11 để làm cho việc chứng minh số định lí gọn gàng có hệ thống Tuy nhiên hình học không gian môn học có tính trừu tượng cao đồng thời có tính trực quan nên trình học tập học sinh trình giảng dạy giáo viên gặp không khó khăn Ý thức điều nên em chọn đề tài: “Một số toán hình học không gian” cho học phần tiểu luận tốt nghiệp II Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu số toán hình học không gian định nghĩa, tính chất, định lý hệ thống lại cho người đọc dễ dàng ôn tập ghi nhớ III Mục đích nghiên cứu Việc nghiên cứu đề tài Một số toán hình học không gian bên cạnh mục tiêu hoàn thành học phần Tiểu luận tốt nghiệp, dịp để em ôn tập củng cố lại kiến thức học, đồng thời nâng cao thêm vốn hiểu biết hình học không gian để giảng dạy tốt lĩnh vực trường Và em hi vọng nguồn tài liệu bổ ích để bạn sinh viên quan tâm đến môn học Hình học không gian tham khảo IV Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp thống kê, phân tích, tổng hợp số tài liệu có liên quan đến Hình học không gian GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian V Nội dung đề tài Đề tài “Một số toán hình học không gian” gồm có ba phần - Các kiến thức - Các dạng toán - Bài tập đề nghị Ở phần kiến thức bản, việc tóm tắt lí thuyết xem số định lí tính chất sử dụng chúng để chứng minh số dạng toán.Có đưa dạng toán bản, nêu phương pháp giải cho ví dụ trường hợp cụ thể, tổng hợp số đề tốt nghiệp THPT đề Tuyển sinh Đại Học Các tập đề nghị có chọn lọc ứng với dạng toán nêu Vì thời gian có hạn, nên nội dung đề tài không tránh khỏi sai lầm thiếu sót, kính mong đóng góp thầy cô bạn sinh viên GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian PHẦN NỘI DUNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các tiên đề hình học không gian -Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước -Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước -Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng -Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng (đường thẳng chung dược gọi giao tuyến hai mặt phẳng trên) -Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Định lí: Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng 1.2 Điều kiện xác định mặt phẳng -Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm không thẳng hàng -Một mặt phẳng xác định biết qua đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng -Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng cắt Ba điều kiện xác định mặt phẳng quy nội dung cần nhớ là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết ba điểm không thẳng hàng mặt phẳng đó” 1.3 Hai đường thẳng song song 1.3.1 Định nghĩa Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng điểm chung 1.3.2 Các tính chất a Điểm A không thuộc đường thẳng a, có đường thẳng qua A song song a b Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian a, b phân biêt  a // c    b // c   a // b c Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song a   P    R  b  Q   R     c  P   Q   a, b, c phân biêt a, b, c đông quy   a, b, c đôi môt song song d Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song P   Q   d  P   a   Q   b   a // b  d//a //b  d  a hoac d  b  1.4 Hai đường thẳng vuông góc 1.4.1 Định nghĩa Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 90o 1.4.2 Nhận xét Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song vuông góc với đường thẳng lại a  c    a  c  //  //  b a b b  c  b c  a  1.5 Hai mặt phẳng song song 1.5.1 Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi song song chúng điểm chung 1.5.2 Các tính chất a Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q) GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian  a, b a     a  b  P  b   // Q  // Q   P  // Q  b Qua điểm nằm mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng c Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) có mặt phẳng (P) chứa a song song với (Q) d Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với P , Q  phân biêt   P  // R   Q  // R    P  // Q  e Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song    P  P  // Q   R   a  P   Q   b  a // b  1.5.3 Định lí Talet Nếu ba mặt phẳng đôi song song P , Q , R  cắt hai dường thẳng a a’ A,B,C A’,B’,C’ thì: AB BC CA = = A' B' B'C ' C ' A' Định lí Talet đảo Cho hai đường thẳng chéo a a Lấy điểm phân biệt A,B,C a A’,B’,C’ a’ cho: AB BC CA = = A' B' B'C ' C ' A' Khi đó, ba đường thẳng AA, BB, CC, nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song song với mặt phẳng 1.6 Hai mặt phẳng vuông góc 1.6.1 Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian 1.6.2 Các tính chất a Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vuông góc với P   a a  Q   P    Q  b Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với đường thẳng a nằm (P), vuông góc với giao tuyến (P) (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q)  P   Q   a  P    P   Q   b  a  b  a  Q  c Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với A điểm nằm (P) đường thẳng a qua điểm A vuông góc với (Q) nằm (P) P   A     a  a   Q  P   A   a  P  Q  d Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba P   Q   a    P    R   Q   R    a  R  e Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian 1.7 Đường thẳng song song với mặt phẳng 1.7.1 Định nghĩa Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung 1.7.2 Các tính chất a Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng nằm (P) a song song với (P) a   P    b   P   a // b   a // P  b Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) cắt theo giao tuyến song song với a a // P     Q   a P   Q   c   a // c c Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng a // b   P  P   a // b d Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng P   Q   c   P  // a  Q  // a   a // c e Nếu a b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa a song song với b 1.8 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1.8.1 Định nghĩa Một đường thẳng gọi vuông góc với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng 1.8.2 Các tính chất GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 10 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian 2.17 Một số ví dụ giao điểm đường thẳng mặt phẳng, giao tuyến, thiết diện khối đa diện cắt mặt phẳng   Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC a Tìm giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD) Chứng minh IA=2MI b Tìm giao điểm F đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM) Chứng minh F trung điểm cạnh SD tứ giác ABMF hình thang c Gọi N điểm tùy ý lấy cạnh BC Tìm thiết diện hình chóp SABCD cắt mặt phẳng (AMN) Giải a Gọi O  AC  BD Ta có: SO  SAC   SBD  ; I   AM  SO Suy ra: I   AM  SBD  Đối với tam giác SAC, hai trung tuyến SO AM cắt I Vậy I trọng tâm tam giác suy IA=2MI b Xét mặt phẳng (SBD) chứa SD Mặt phẳng S (ABM) cắt mặt phẳng (SBD) theo giao tuyến BI Trong mặt phẳng (SBD) ta có: F   SD  BI P Suy ra: F   SD   ABM  Đối với tam giác SBD ta có SO trung tuyến M F I SI=2IO (vì I trọng tâm tam giác SBD) A B Do BF trung tuyến ta suy F trung điểm cạnh SD Ta có MF đường trung bình tam giác SCD nên MF//CD Mặt khác, ta có O D N C E CD AB =2, =2 MF MF IA IB = =2 Ta suy hai tam giác IAB IFM vị tự với qua IM IF phép vị tự tâm I với tỉ số k=2 Do AB//MF tứ giác ABMF hình thang a Gọi E  DC  AN , P  EM  SD , ta thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) tứ giác MNAP GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 36 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Hai điểm M N nằm hai cạnh AD CC’ cho: AM CN  MD NC ' a Chứng minh: MN//(ACB’) b Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua MN song song với (ACB’) Giải a Qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt CD P MDP vuông cân D Nên MD=PD Theo giả thiết: AM CN   MD=NC’ MD NC '  PN// DC’//AB’ Ta được: D' A' MP//AC PN//AB’ nên (MNP)//(ACB’) Q B' R C' S Suy ra: MN//(ACB’) b A Gọi   mặt phẳng qua MN song song với AC;   cắt (ABCD); (CDD’C’); mp(BCC’B’); M D N P B C (ABB’A’); (A’B’C’D’); (ADD’A’) theo giao tuyến liên tiếp MP, PN, NS, QR, QS, RM đó: MP//AC; PN//AB’; NS//B’C; SQ//AC; QR //AB’; RM//B’C Vậy thết diện cần tìm lục giác MPNSQR Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’//BB’//CC’ Gọi H trung điểm A’B’ a Chứng minh CB’//(AHC’) b Tìm giao điểm AC’ với (BHC) c Gọi (  ) mặt phẳng qua trung điểm CC’, song song với AH CB’ Xác định đoạn giao tuyến mà (  ) cắt mặt lăng trụ Giải a.Gọi K trung điểm cạnh AB, ta có:  B' K // AH   KC // HC ' GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 37 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian  (B’KC)//(AHC’) Mà CB ' B' KC   CB’//(AHC’) A b (BCH) cắt (A’B’C’) theo giao tuyến HL R Q C K M song song với BC (ABC)//(A’B’C’) Nối CL I cắt AC’ I Vậy I giao điểm AC’ với  B' KC  //  ACH ' c Ta có:    // AH ,   // CB ' C' L A' (BHC) N H P B'  (  )//(B’KC) Do (  ) cắt (BCC’B’) theo đoạn giao tuyến PQ//AH, cắt (ABC) theo đoạn giao tuyến QR//CK, cắt (AA’CC’) theo đoạn giao tuyến RM Ta thiết diện ngũ giác MNPQR Cho tứ diện S.ABC có ABC tam giác cạnh a cạnh SA=2a vuông góc với (ABC) Gọi (  ) mặt phẳng qua B vuông góc với SC Tìm thiết diện tứ diện S.ABC cắt mặt phẳng (  ) tính diện tích thiết diện Giải Gọi I trung điểm cạnh AC, ta có BI  SA nên S BI  mpSAC Do BI  SC Vẽ IH  SC H, ta có SC  BIH Vậy (  ) (BIH) Vì BI  SAC HI  (SAC) nên BI  HI B A Do thiết diện  BHI vuông I Gọi S diện tích  BHI ta có: H I C S= BI.IH mà BI= a Hai tam giác vuông CHI CAS có có góc nhọn C chung nên chúng đồng dạng với Ta có: IH CI CI.SA CI SA  =  IH=  SA CS CS SA  AC GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc a a a  2 4a  a Trang 38 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian Vậy S  1 a a a 15  BI IH  2 20 Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang ABCD vuông A D Cho AB=2a, AD=DC=a Giả sử hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SA=a Gọi E trung điểm SA, M điểm đoạn AD Đặt AM = x (0  x  a ) Gọi mp   mặt phẳng chứa EM vuông góc với mp SAD  Hãy xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mp   Giải S Do hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc với (ABCD) nên SA  ABCD F E Ta có: AB  SAD  nên AB//   Bởi mp   cắt mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo giao tuyến EF, MN song song với AB Suy AFNM hình thang B A N M D C Mặt khác: AB  SAD   AB  EM EF//AB  EF  EM Vậy EFNM hình thang vuông 2.18 Dạng 17: Tính thể tích khối đa diện Để tính thể tích khối chop ta tính diện tích đáy (Sđáy)và chiều cao (h)của nó, sau tính thể tích theo công thức: V= Sđáy.h Để tính thể tích khối lăng trụ ta tính diện tích mặt đáy (S)và chiều cao (h)của nó, sau tính thể tích theo công thức: V= S.h Ví dụ Cho khối chóp S.ABCD có AB=a, góc mặt bên mặt đáy 60o Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải: Do S.ABCD khối chóp AB=a nên đáy ABCD hình vuông cạnh a GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 39 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian Gọi O tâm hình vuông ABCD gọi I trung điểm cạnh BC Ta có  SO đường cao SIO góc mặt bên mặt đáy khối chóp cho Trong tam giác vuông SIO Ta có:  a SO=OI.tan SIO = tan60o = a S Diện tích đáy: SABCD = a2 Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là: VABCD= C D O I A B a a SABCD.SO= a = Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác vuông A, AB=a, AC= a , mặt bên SBC tam giác vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Giải S Gọi H trung điểm cạnh BC Do SBC nên SH  BC , mà SBC    ABC  (theo giả thiết) nên SH  ABC Do SH đường cao hình chóp S.ABC C B Do  ABC vuông A nên BC  AB  AC  a  3a  2a Do  SBC nên SH  Diện tích đáy: SABC = A BC 2a  a 2 AB AC a  2 Do đó, thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = a3 SABC.SH = 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy tam giác ABC vuông B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết AB=a, BC= a SA=3a a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 40 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian b Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Giải:  a.Tam giác ABC có B =90o, nên có diện tích SABC = S a BA.BC  2 Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC= SABC.SA= b.Ta có: a3 C B  BC  AB  BC  SB (định lí ba  SA   ABC  A đường vuông góc) Từ tam giác SBC vuông B, tam giác SAB vuông A, ta có: BI  Vậy BI= SC SC  SB  BC  SA +BC2 =13a2 A a 13 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ACB tam giác cạnh a, AA’=2a đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60o Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a Giải A' Gọi H hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng A’B’C’ Khi AH B' C' đường cao lăng trụ ABC.A’B’C’  Ta có A =600 (Đường thẳng AA’ tạo với B A mp(ABC) góc 60 ) Nên tam giác vuông A’AH có:  tan A = 60 C  A' H  A’H=tan A AA’= 2a= a AA' Tam giác ABC tam giác cạnh a nên có diện tích là: SABC= GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 41 a2 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: VABC.A’B’C’= 3a a2 a = 4 3a a = 4 Suy VACA’B’= VABC.A’B’C’= Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA 2a, S  tam giác ABC vuông C có AB=2a, CAB =30o Gọi K H, K hình chiếu A SC SB Tính thể tích khối hình chóp H.ABC H Giải : B A BC  SASA  ABC  AH  BC BC  ACABC vuong taiC   Ta có :  C Và AH  SC Suy AH  SCB  hay AH  HBC  Vậy AH đường cao khối chop H.ABC Xét tam giác vuông SAC có Suy AH  12a 1 1      2 AH SA SC 4a 3a 12a Xét tam giác vuông ABC có BC=AB.cos300= 2a =a Xét tam giác vuông AHC có HC  AC  AH  3a  12a 3a  7 3a 3a a  7 Suy diện tích tam giác HBC là: SHBC= 12a 3a a 3  7 Vậy thể tích khối chop H.ABC là: VH.ABC= Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D b Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 42 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian Giải  A' B  AB'   A' B  AD  A' B   AB ' C ' D  A'  A' B  B' D D' B' Tương tự: A' C '  B' D  B' D   A' BC ' C' G I A Gọi G  B' D   A' BC ' Do B’A’=B’B=B’C’=a nên GA’=GB=GC’ D C B  G tâm tam giác A’BC’có cạnh a Gọi I trung điểm A’B IG đường vuông góc chung A’B B’D nên a 1  d  A' B, B' D   IG  C ' I  A' B 3 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy  ( 00 <  < 900) Tính tan góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo  Tính thể tích khối chóp theo a  Giải Gọi O  AC  BD SO   ABCD  S  Suy SAO =  Gọi trung điểm AB M OM  AB SM  AB  Góc hai mặt phẳng (SAB) D  (ABCD) SMO O Tam giác OAB vuông cân O, nên OM = OA = a ,  VS.ABCD = A M B  a a tan   SO = 2 Do đó: tan SMO = C SO  tan  OM 1 a 2 SABCD.SO = a a tan  tan   3 GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 43 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Cho hình chóp S.ABCD Gọi I điểm cạnh AD K điểm cạnh SB a Tìm giao điểm E, F IK DK với (SAC) b Gọi O giao điểm AD BC, M giao điểm SC OK Chứng minh bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng Cho hình chóp tứ giác có đáy tứ giác lồi Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh bên SA, SB, SC SD a Chứng minh ME//AC, NF//BD b Chứng minh ba đường thẳng ME, NF SO (O giao điểm AC BD) đồng quy c Chứng minh bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng 3.Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a Điểm D thuộc mặt phẳng nào? b Chứng minh AC BD chéo c Gọi Bx đường thẳng qua B song song với đường thẳng AD, M thuộc AD Gọi J trung điểm đoạn BM Nếu điểm M di động đường thẳng AD, điểm B di động đường thẳng Bx, chứng minh đường thẳng CJ luôn nằm mặt phẳng cố định Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q điểm nằm BC, SC, SD, AD cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD a Chứng minh PQ//SA b Gọi K giao điểm hai đường thẳng MN PQ Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động BC Cho hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a Gọi O, O’ tâm hai hình bình hành ABCD ABEF Chứng minh đường thẳng OO’ song song với mặt phẳng (ADF) (BCE) b Gọi M, N trọng tâm tam giác ABD ABE Chứng minh đường thẳng MN song song với mp(CEF) GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 44 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi trung điểm SA SD a Chứng minh (OMN)//(SBC) b Gọi P, Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ//(SBC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, P, Q điểm đoạn SA, SD, AB, ON, SB a Chứng minh (OMN) // (SBC) b Chứng minh PQ // mp(SBC) c Chứng minh (MOR)//(SCD) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Trên cạnh DC BB’ ta lấy điểm M N cho DM=BN=x với  x  a Chứng minh hai đường thẳng AC’ MN vuông góc với Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c a Chứng minh cạnh nối trung điểm cặp cạnh đối vuông góc với hai cạnh b Tính góc hợp đường thẳng AC BD 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a, AD= a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA=a Tính: a Góc đường thẳng SB CD b Góc đường thẳng SD (SAB)  11 Cho tứ diện SABC có SA   ABC  , SA=a, BSC =900, SB=2a, SC= a a Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) b Tính diện tích tam giác ABC 12 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Các cạnh bên SA=SB=SC=SD= a Gọi I, K trung điểm AD BC a Chứng minh (SIK)  (SBC) b Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB 13.Trong hai mặt phẳng vuông góc (  ) (  ) cho hai tam giác cân ACD BCD với đáy chung CD=a, cạnh khác có độ dài 2a Hãy vẽ đường vuông góc chung AB CD Tính độ dài đường vuông góc chung theo a GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 45 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian 14 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi I K trung điểm đoạn thẳng AD BC a Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) b Gọi M, N hai điểm lấy hai đoạn thẳng AB AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DMN) 15 Trong hình chop S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành a Tìm giao tuyến hai mặt phẳng b Xác định thiết diện hình chop cắt mặt phẳng (MBC), điểm M hai điểm S A cho SM  SA 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Xác định thiết diện hình chop cắt mặt phẳng   qua trung điểm M cạnh AB, song song với BD SA 17.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm cạnh A’B’ a Chứng minh rằng: đường thẳng CB’//(AHC’) b Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (AB’C’) (A’BC) Chúng minh d // (BB’C’C) c Xác định thiết diện hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cắt mp(H,d) 18 Cho hình chop S.ABCD với M, N hai điểm lấy cạnh AB CD Gọi   mặt phẳng qua MN song song với SA a Tìm giao tuyến mặt phẳng   Với mặt phẳng (SAB) (SAC) b Tìm thiết diện hình chop với mặt phẳng   c Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang 19 Cho hình cóp S.ABCD với ABCD hình thang đáy lớn AD Gọi M điểm cạnh AB   mp qua M song song với AD SB a Mặt phẳng   cắt S.ABCD theo thiết diện hình gì? b Chứng minh SC//   GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 46 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số toán hình học không gian 20 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SB=b tam giác SAC cân S Trên cạnh BA lấy điểm M với AM=x (0[...]... SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số bài toán về hình học không gian 2.16 Dạng 16: Xác định thiết diện của một hình đa diện n mặt tạo bởi mặt phẳng (  ) ((  ) thỏa các điều kiện cho trước) Bài toán này thực chất là bài toán xác định các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (  ) với các mặt của đa diện.Vì vậy việc trước tiên là phải xác định cho được mặt phẳng (  ) dựa vào các điều kiện xác định của một mặt phẳng, sau... 1 sẽ xác định được thiết diện C' cần dựng là hình bình hành BMD’N (với N  CC’ sao cho MB // D’N) GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 35 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số bài toán về hình học không gian 2.17 Một số ví dụ về giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến, thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng   1 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của cạnh... Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là các mặt của tứ diện Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó Đặc biệt, hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều c Thể tích của khối chóp GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 14 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số bài toán về hình học không gian Thể tích của một khối... hình chóp Các đoạn thẳng SA1, SA2,…., SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp Mỗi tam giác SA1A2, SA2A3,…, SAnA1 gọi là một mặt bên của hình chóp Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,… b Hình tứ diện Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình. .. 11: Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Để tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (  ) ta đi xác định d’ là hình chiếu của d trên mặt phẳng (  ) Khi đó góc giữa đường thẳng d và d’ chính là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (  ) Ta đi tính số đo của góc này Ví dụ GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 25 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số bài toán về hình học không gian Cho hình chóp.. .Một số bài toán về hình học không gian a Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) a         d d a b b       a b P  P   d  P  b Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng a cho trước c Có duy nhất một đường thẳng a đi qua một điểm... hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SA, SD Chứng minh: a (OMN)//(SCD) b (ONP)//(SBC) Giải a Theo bài ra ta có: O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm hai đường chéo BD và AC M, N là trung điểm SB, SA nên: OM là đường trung bình của  SBD, do đó: GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 21 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số bài toán về hình học không. .. 3: Xác định thiết diện của một hình đa diện tạo bởi mặt phẳng (  ) chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b, a và b chéo nhau 1 Xác định mặt phẳng (  ) 1.1 Chọn một điểm M thuộc đường thẳng a 1.2 Chọn đường thẳng c qua M, c song song b, mặt phẳng (a,c) là mặt phẳng (  ) GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 32 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số bài toán về hình học không gian 2 Xác định các đoạn giao... Thuỷ Tiên Một số bài toán về hình học không gian 2.1.2 Đường thẳng qua N, song song với BD cắt CD tại P 2.2 Các giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của tứ diện là MN, NP, PQ, QM (MQ song song BD) Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ + Quy trình 5: Xác định thiết diện của một hình đa diện tạo bởi mặt phẳng (  ) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước - Trường hợp 1: M không thuộc... song song với nó Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện Bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Điểm cắt nhau đó gọi là tâm của hình hộp c Thể tích của khối lăng trụ GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc Trang 15 SVTH: Lưu Thuỷ Tiên Một số bài toán về hình học không gian Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối lăng trụ đó Kí hiệu: diện tích ... mặt phẳng song song với mặt phẳng c Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) có mặt phẳng (P) chứa a song song với (Q) d Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với... thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách... O M song song với AB K I C D Lập luận tương tự ta chứng minh MN song song với CD c Trong mp(CAN) đường thẳng AO không song song với CN nên cắt CN I Trong mp(BMD) đường thẳng BO không song song