Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian lớp 12 trung học phổ thông

Rốn luyn k nng dng phng phỏp ta gii toỏn hỡnh hc khụng gian lp 12 trung hc ph thụng : Lun ThS Giỏo dc hc: 60 14 10 / Hong Th Phng Tho ; Nghd : PGS.TS Bựi Vn Ngh Lý chn ti Trong cỏc mụn hc trng ph thụng, mụn Toỏn cú mt v trớ c bit quan trng vỡ toỏn hc l cụng c ca nhiu mụn hc khỏc, cú tỏc dng ln rốn luyn cho hc sinh trớ thụng minh sỏng to Nhn thy, cựng vi phng phỏp vộct vic a phng phỏp ta chng trỡnh hc cng l c hi hc sinh lm quen vi cỏc ngụn ng ca toỏn hc cao cp, hc sinh c trang b thờm mt cụng c mi lm toỏn v suy ngh thờm v cỏc toỏn hc khỏc Theo mc tiờu o to, sau hc xong chng trỡnh ph thụng, hc sinh phi nm c nhng kin thc c bn nht hỡnh hc phng v hỡnh hc khụng gian ng thi phi nm vng hai phng phỏp ch yu nghiờn cu hỡnh hc l phng phỏp tng hp v phng phỏp ta Trờn thc t tỡnh hỡnh dy v hc cũn nhiu hn ch vic dng phng phỏp ta gii cỏc bi toỏn hỡnh hc ca hc sinh ó cú nhiu cụng trỡnh khoa hc giỏo dc nghiờn cu theo mt s gúc khỏc liờn quan n phng phỏp ta , song cha nờu bt c mt cỏch y cỏc k nng gii cỏc bi toỏn khụng gian bng phng phỏp ta da trờn s tng h gia phng phỏp tng hp v phng phỏp ta Vỡ vy, khc phc thc trng ny v tỡm phng phỏp dy hc thớch hp vi hc sinh THPT tụi chn ti: Rốn luyn k nng dng phng phỏp ta gii toỏn hỡnh hc khụng gian lp 12 trung hc ph thụng Gi thuyt khoa hc Nu xõy dng c mt h thng cỏc bi toỏn nhm rốn luyn k nng dng phng phỏp ta gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian lp 12 theo nh hng kt hp gia hỡnh hc v i s thỡ hc sinh s gii toỏn hỡnh hc khụng gian tt hn, giỳp khc phc c nhng khú khn v sai lm ca hc sinh, nõng cao cht lng dy v hc ch phng phỏp ta hỡnh khụng gian trng THPT Nhim v nghiờn cu - C s lý lun ca phng phỏp ta - ng dng ca phng phỏp ta vo gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian - Rốn luyn k nng dng phng phỏp ta vo gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian - xut phng phỏp dy hc thớch hp s dng cú hiu qu cỏc kt qu nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu Trong lun chỳng tụi ó phi hp s dng cỏc phng phỏp nghiờn cu: - Phng phỏp nghiờn cu lý lun: - Phng phỏp iu tra, quan sỏt: - Phng phỏp tng kt kinh nghim: B cc ca lun Ngoi cỏc phn m u, kt lun, ti liu tham kho, ph lc, lun gm chng: Chng 1: C s lý lun ca phng phỏp ta Chng 2: Rốn luyn nhng k nng c bn gii toỏn bng phng phỏp ta Chng 3: Th nghim s phm Chng C S Lí LUN CA PHNG PHP TA 1.1 S lc v lch s i phng phỏp ta Nh chỳng ta ó bit, hỡnh hc l mt mng kin thc ca ngnh toỏn hc i t giai on toỏn hc c i cỏch õy hn vi nghỡn nm vi mt lng kin thc khng l i s v hỡnh hc l hai mng kin thc khỏc toỏn hc, nhng vi phng phỏp ta thỡ hai mng kin thc ny li dung hũa vi nhau, cựng phỏt trin S i ca phng phỏp ta ó thit lp c mi quan h mt thit gia hỡnh hc v i s Mụn hỡnh hc i t thi Euclid ( Th k th III trc cụng nguyờn ) nhng n nm 1619, Rene Descartes Mt nh trit hc kiờm vt lý v toỏn hc ngi Phỏp ( 1596 1650 ) ó khỏm phỏ nhng nguyờn lý ca mụn hỡnh hc gii tớch ễng ó dựng i s n gin húa hỡnh hc c in Cụng trỡnh toỏn hc ch yu ca ụng l quyn La gộometrie (Hỡnh hc, xut bn nm 1637) ca nh toỏn hc thiờn ti ny ó t nn tng cho hỡnh hc gii tớch, ụng ó trỡnh by v phng phỏp ta : vi mt h trc ta xỏc nh, vớ d khụng gian vi h trc ta cac vuụng gúc ta cho im (x, y, z); cho mt phng: Ax + By + Cz + D = (A2 + B2 + C2 v D l s),Núi cỏch khỏc phng phỏp ta , ngi ta dch chuyn nhng i tng, tớnh cht hỡnh hc sang khung i s v dn n nhng phộp toỏn khung ú õy, phộp toỏn i s l ht nhõn ca phộp gii toỏn v v nguyờn tc nú tỏch trc giỏc hỡnh hc Hỡnh hc c trỡnh by theo phng phỏp ta m ngy gi l hỡnh hc gii tớch Nhõn loi ó tụn Rene Descartes lờn hng bt t vỡ ụng ó phỏt minh mt phng phỏp nghiờn cu hỡnh hc mi bng ngụn ng v phng phỏp i s Ngy nay, chng trỡnh hỡnh hc ca trng ph thụng t nm 1991, hc sinh ó c hc v vộct, cỏc phộp toỏn v vộct ng thi dựng vộct lm phng tin trung gian chuyn cỏc khỏi nim hỡnh hc v cỏc mi quan h gia cỏc i tng hỡnh hc sang khỏi nim i s v quan h i s ỏp ng yờu cu ca chng trỡnh ci cỏch giỏo dc, phng phỏp ta khụng gian c a vo chng trỡnh hỡnh hc cui cp THPT vi nhng yờu cu c bn sau: - V kin thc - V k nng - V phng phỏp 1.2 Cỏc loi h ta 1.2.1 H ta afin H ta xiờn ur uur ur H ta afin: H ta afin gm mt im gc O v vộct c s e1 , e2 , e3 r Cỏc vộct ny u khỏc vộct v to thnh vộct khụng ng phng 1.2.2 H ta cỏc vuụng gúc H ta trc chun H ta cỏc l mt h ta afin c bit tc l khụng gian h ta ur uur ur ur uur ur afin {0; e1 , e2 , e3 } tr thnh h ta cỏc vuụng gúc nu ta cú: | e1 |=| e2 |=| e3 |=1 v ur uur uur ur ur ur e1 e2 , e2 e3 , e3 e1 Do ú cỏc cú liờn quan n h ta afin trờn c xột tng t nh i vi h ta cỏc vuụng gúc Phng trỡnh ng thng v mt phng h ta cỏc vuụng gúc c thnh lp nh i vi h ta afin V trớ tng i ca mt phng V trớ tng i ca ng thng V trớ tng i ca ng thng v mt phng Tớnh gúc h ta cỏc vuụng gúc Tớnh khong cỏch h ta cỏc vuụng gúc Phng trỡnh cỏc mt bc hai n gin khụng gian 1.2.3 Ta cc 1.2.4 Ta tr 1.2.5 Ta cu 1.2.6 Cỏc tri thc khoa hc khỏc cú liờn quan n phng phỏp ta a Phép đổi hệ toạ độ Đêcác vuông góc không gian b nh hng khụng gian 1.3 Cỏc khỏi nim 1.3.1 K nng Theo [6], Kĩ khả vận dụng kiến thức thu nhận đợc vào thực tế Một cách hiểu cụ thể khả vận dụng kiến thức, tri thức khoa học vào thực tiễn, khả đợc hiểu sức đ có (về mặt đó) để làm tốt đợc công việc Theo [7], Kĩ giai đoạn trung gian tri thức kĩ xảo trình nắm vững phơng thức hành động Đặc điểm đòi hỏi tập trung ý cao, kiểm soát chặt chẽ thị giác, hành động cha bao quát, có động tác thừa Đợc hình thành tập luyện hay bắt chớc 1.3.2 K nng toỏn hc K nng gii toỏn a) Kĩ toán học Kĩ tính toán Kĩ vận dụng thành thạo quy tắc Kĩ vận dụng tri thức vào giải toán Kĩ chứng minh toán học Kĩ chuyển từ t thuận sang t nghịch, kĩ biến đổi xuôi chiều ngợc chiều Kĩ đọc vẽ hình, đo đạc Kĩ toán học hoá tình thực tiễn Kĩ hoạt động t hàm Kĩ tự kiển tra, tự đánh giá trình bày lời giải tránh sai lầm giải toán b) Kĩ giải toán Trong toán học, kĩ khả giải toán, thực chứng minh nh phân tích có phê phán lời giải chứng minh nhận đợc Kĩ giải toán đợc hiểu kĩ vận dụng tri thức toán học để giải tập toán học (bằng suy luận, chứng minh, ) 1.3.3 S hỡnh thnh k nng Khi hỡnh thnh k nng ch yu l k nng hc v k nng gii toỏn cho hc sinh chỳng ta cn phi: + Giỳp hc sinh bit cỏch tỡm tũi v nhn yu t ó cho, yu t phi tỡm v mi quan h gia chỳng + Giỳp hc sinh hỡnh thnh mt mụ hỡnh khỏi quỏt gii quyt cỏc bi tp, cỏc i tng cựng loi + Xỏc lp c mi liờn quan gia bi mụ hỡnh v cỏc kin thc tng ng 1.3.4 Vai trũ ca bi toỏn hc 1.3.5 Vai trũ ca phng phỏp ta a Tớnh ti u ca phng phỏp ta Cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian l nhng bi toỏn thuc dng khú i vi hc sinh ph thụng Khi gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian, hc sinh thng gp mt s khú khn Vớ d: Cho hỡnh hp ABCDA1B1C1D1 mt im I trờn ng chộo C1D ca mt bờn CC1D1D Mt phng (A1BI) ct AD1 ti J v ct B1C ti K Chng minh im I, J, K thng hng Nu gii bi toỏn ny bng phng phỏp tng hp thỡ s vỡ gp mt s khú khn, tr ngi Chng hn: - Khú khn vic xỏc nh cỏc im J v K theo im I cho trc - Ng nhn t hỡnh v - Hỡnh v quỏ phc - Khú khn quỏ trỡnh tỡm li gii - Vic chng minh v bin i phc Mt li gii bi toỏn bng phng phỏp tng hp ( Theo hng dn gii thi i hc v cao ng phn hỡnh hc 137 ) Nu gii bi toỏn bng phng phỏp vộct, li gii khụng ph thuc vo hỡnh v, m bo tớnh chớnh xỏc, nhng cng khụng trỏnh vic bin i cng knh v phc Nu ta dựng phng phỏp ta gii bi toỏn thỡ li gii chng nhng khụng ph thuc vo hỡnh v, li gii chớnh xỏc, ng li rừ rng m cũn ngn gn hn hai phng phỏp trờn b Vi phng phỏp ta , vic gii toỏn ó thoỏt ly cỏc quan h hỡnh hc, trớ tng tng khụng gian m nghiờn cu cỏc mi quan h thụng qua cỏc biu thc ta Vớ d 1: Chng minh im thng hng Cho t din u ABCD, H l chõn ng cao t din h t nh D, I l trung im ca DH v K l chõn ng vuụng gúc h t I lờn DC Chng minh rng ng thng IK i qua trng tõm tam giỏc DAB Li gii: Chn h ta cỏc vuụng gúc cho H l gc ta , A( 3; 1;0), B( 3; 1; 0), C (0; 2;0) v ú D(0; 0; h) Ta xỏc nh h (h>0) Ta cú DA = ( 3; 1; h) ; DC = (0; 2; h) Vỡ ( DA, DC ) = 600 z cos600 = |h 2| h=2 h2 + D D(0; 0; 2 ) K I(0; 0; ) Gọi (x;y;z) tọa độ điểm k KDC I Vì x=0 y z2 DK // DC = 2 C B y H M A x Lại có IK DC IK DC = y 2 ( z ) = y = ( z ) y = 2(z 2) y=3 Gii h: z 2 c y= z = 2 2) IK (0; ; ) 3 3 Vy K(0; ; 2 2 ) IG = (0, , ) 3 3 Gi G l trng tõm DAB G(0, , Rừ rng IG = IK I, G, K thng hng 1.4 Cỏc bc gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta Gii mt bi toỏn bng phng phỏp ta cú th tin hnh theo cỏc bc sau: Bc 1: Chn h ta thớch hp Bc 2: Chuyn ngụn ng hỡnh hc thụng thng sang ngụn ng ta Bc 3: Dựng cỏc kin thc ta gii toỏn Bc 4: Chuyn kt qu t ngụn ng ta sang ngụn ng hỡnh hc Vớ d 2: Tỡm khong cỏch gia ng chộo ca mt hỡnh lp phng cú cnh bng v ng chộo ca mt mt nu chỳng khụng ct Li gii: Mun tớnh khong cỏch gia ng chộo ca hỡnh lp phng ABCDA1B1C1D1 v ng chộo ca mt mt, chng hn AC1 v DB bng phng phỏp ta ta s thc hin qua cỏc bc sau: Bc 1: Chn h ta : Nờn chn h ta ly A lm gc ta , cỏc tia Ax, Ay, Az trựng vi cỏc tia AB, AD, AA1 ( hỡnh v ) Bc 2: Phiờn dch bi toỏn sang ngụn ng ta : Mun tớnh khong cỏch gia AC1 v DB ta vit phng trỡnh ng thng AC1 v DB, ta tớnh ta cỏc im: A( 0; 0; 0); B (1; 0; 0); D(0; 1; 0); C1(1; 1; 1) x = + t Phng trỡnh ng thng AC1: y = + t z = + t x = t1 Phng trỡnh ng thng DB: y = + t1 z = + 0.t Bc 3: Dựng cỏc kin thc v ta gii toỏn Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AC1 v DB bng cụng thc, ta cú: d = Bc 4: Phiờn dch kt qu t ngụn ng ta sang ngụn ng hỡnh hc thụng thng z A1 B1 D1 C1 A B y D x C Kt lun chng Chng ny trỡnh by s lc v lch s i ca phng phỏp ta , vai trũ ca phng phỏp ta vic nghiờn cu hỡnh hc, nhng yờu cu dy hc phng phỏp ta trng ph thụng Mi ni dung u cú mt s vớ d minh lm sỏng t cho lý lun Tip ú lun trỡnh by v cỏc khỏi nim, k nng, k nng gii toỏn Cú th núi, phng phỏp ta cú chiu di lch s, nú cho chỳng ta mt phng phỏp nghiờn cu rt hu hiu Vic s dng phng phỏp ta gii toỏn hỡnh hc khụng gian ó giỳp cho hc sinh cú th gii nhiu bi mt cỏch d dng hn, tin li hn CHNG RẩN LUYN NHNG K NNG C BN GII TON BNG PHNG PHP TA 2.1 K nng thit lp h ta 2.1.1 Thit lp h ta vuụng gúc nhng trng hp thng gp Vic la chn h ta cỏc vuụng gúc gn vi cỏc hỡnh c bn c th hin cỏc hỡnh v sau: Tam din vuụng SABC T din vuụng SABCD z z C D O B C y y O A A x B x Hỡnh hp ch nht z Hỡnh lp phng z D D D x A C D y O x B Hỡnh chúp tam giỏc u A C y O B Hỡnh chúp t giỏc u z z O O y y x x 2.1.2 H thng cỏc bi toỏn rốn luyn k nng thit lp h ta Bi toỏn 1: Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh bng a a Tớnh theo a khong cỏch gia AB v BD b Gi M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh BB, CD, AD Tớnh gúc gia MP v CN Túm tt li gii: a Lp h trc ta gc A, z trc honh cha AB, trc tung Ta cú ta cỏc im A(0; 0; 0), P A cha AD, trc cao cha AA B C A (0; 0; a), B(a; 0; 0), B (a; 0; a), N x ' y A a P(0; ; a) ' D M a a D(0; a; 0), M(a; 0; ), N( ; a; 0), 2 Tớnh c d( A B, B D ) D uuur uuuur uuuur A' B, B' D A' B ' a = = uuur uuuur A' B, B ' D 10 B C r uuur uuuu ' b cos( MP, C N ) = cos( MP, C N ) = ' Bi toỏn 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, mt bờn (SAB) l tam giỏc u v nm mt phng vuụng gúc vi ỏy Gi M, N, P ln lt l trung im cỏc cnh SB, BC, CD Chng minh AM vuụng gúc vi BP v tớnh th tớch z t din CMNP Túm tt li gii: S Gi H l trung im AD thỡ SH M Vuụng gúc (ABCD) Lp h trc B Ta gc H, trc honh cha HD, H Trc tung cha HN, trc cao cha HS N ( 0; a; 0), P ( y A N O a a a a a ; ; 0), M ; ; 2 4 x D P C uuuur uuur AM BP = AM BP uuuur uuur uuur CM , CN CP a3 Tớnh: V = uuuur uuur CMNP = CM , CN 96 2.2 K nng chuyn húa t ngụn ng hỡnh hc thụng thng sang ngụn ng ta v ngc li 2.2.1 Kin thc c bn Hc sinh phi hiu c s tng ng -1 gia i tng, quan h hỡnh hc vi s v phng trỡnh i s, t ú c th chuyn t ngụn ng hỡnh hc sang ngụn ng i s v ngc li Vớ d: Mt im M khụng gian tng ng vi mt b s sp th t (x; y; z) h trc ta Oxyz, Kớ hiu l M(x; y; z) Ngc li mi b sp th t (x; y; z) h trc vuụng gúc Oxyz tng ng mi im M khụng gian thun li cho hc sinh vic chuyn i gia hai loi ngụn ng: ngụn ng hỡnh hc thụng thng v ngụn ng i s, ta thit lp bng nh sau: a Chuyn i khỏi nim b Chuyn i cỏc mi quan h 11 2.2.2 H thng bi toỏn hỡnh hc khụng gian nhm rốn luyn k nng chuyn i ngụn ng hỡnh hc i s cho hc sinh Bi toỏn 2: Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a Gi M l trung im ca AD, N l tõm ca hỡnh vuụng CCDD Cho im P(a; 3a ; a) Chng minh rng im P, B,C, M, N cựng thuc mt mt cu Túm tt li gii: chng minh im cựng thuc mt cu thỡ trc ht ta chng minh im B,C, M, N cựng thuc mt mt cu, sau ú thay ta im P vo phng trỡnh mt z cu tỡm c fcm A D Ta cú C DB l tam giỏc u nờn BN DC ' trung im E ca BC C B l tõm ng trũn ngoi tip N t din BC MN nm trờn ng A D M y thng ( ) qua E vuụng gúc vi mt phng (BNC) Vỡ vy ta cú x th chn h trc ta Oxyz cho: C A B O D; A, C, D ln lt nm trờn cỏc trc Ox, Oy, Oz Ta cú: D(0; 0; 0) A(a; 0; 0) C(0; a; 0) B(a; a; 0) D(0; 0; a) A(a; 0; a) C(0; a; a) B(a; a; a) uuur uuuur Mt phng (BNC) i qua D(0;0;0) cú cp vộct ch phng DB =(a;a;0); DC ' =(0;a;a) nờn cú phng trỡnh x - y + z = a a ng thng ( ) qua E ; a; v vuụng gúc vi mt phng (BNC) nờn cú phng 2 a x = + t trỡnh ( ) y = a t a z = + t a a Tõm I ( ) I + t ; a t ; + t 2 2 3a a a a + t + t2 + + t t = Vỡ MI = BI t + ( a t ) + + t = 2 12 a 35 a R = t + (a t ) + + t = 2 Vy phng trỡnh mt cu i qua cỏc im B,C, M, N l: 2 5a a 5a 35a x + y +z = 16 Thay ta im P vo phng trỡnh mt cu thy tha fcm 2.3 K nng lp phng trỡnh mt phng Dng M1 Mt phng qua mt im v song song vi mt mt phng khỏc Hai mt phng song song thỡ cú cựng vecto phỏp tuyn A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = Dng M2 Mt phng qua ba im A, B, C uuur uuur r uuur uuur Vộct phỏp tuyn l tớch cú hng ca hai vecto AB v AC : n p = [ AB ; AC ] Trng hp c bit: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ta cú phng trỡnh mt phng theo on chn: x y z + + =1 a b c Dng M3 Mt phng qua mt im v mt ng thng Ly im A bt kỡ trờn d, vecto phỏp tuyn ca (P) bng tớch cú hng ca r uuur u d v MA Dng M4 Mt phng qua hai ng thng song song Cho ng thng d v d song song vi Ly A d, B d Khi ú vộc t phỏp tuyn ca mt phng (P) cn tỡm bng tớch cú hng ca vộc t ch phng uuur ca ng thng (d) v AB : r r n p = [ u d; uuur AB ] Dng M5 Mt phng cha ng thng d v song song vi ng thng d Mt phng cn tỡm s i qua mt im bt kỡ thuc d v cú vộct phỏp tuyn l tớch cú r r r hng ca cp vộc t ch phng ca ng thng d v d : n p = [ u d; u d] Dng M6 Mt phng qua mt im v song song vi hai ng thng chộo cho trc Mt phng cn tỡm s i qua mt im cho trc v cú vộct phỏp tuyn l tớch r r r cú hng ca cp vộc t ch phng ca ng thng d v d : n p = [ u d; u d] 13 Dng M7: Mt phng qua ng thng d v vuụng gúc vi mt phng (P) cho trc Phng trỡnh mt phng cn tỡm s i qua mt im M bt kỡ thuc d v cú vộc t phỏp tuyn bng tớch cú hng ca vộc t ch phng ca ng thng d v vộc t r r r phỏp tuyn ca mt phng (P): n Q = [ u d; n p] Dng M8 Mt phng tip xỳc vi mt mt cu tõm I bit tip im A r uur Mt phng cn tỡm i qua im I l tõm mt cu v cú vộct phỏp tuyn l: n P = IA 2.4 K nng lp phng trỡnh ng thng Dng D1: Lp phng trỡnh ng thng qua mt im M v vuụng gúc vi hai ng thng d v d chộo cho trc ng thng cú vộc t ch phng l tớch cú hng ca vộct ch phng ng thng d v d: uur uur uur u = ud , ud ' d M d d v d chộo Dng D2 Lp phng trỡnh hỡnh chiu ca ng thng d trờn mt phng (P) Trng hp 1: (d) ct (P) ti A d M Cỏch 1: - Ly M bt k trờn d, lp phng d trỡnh qua M v vuụng gúc vi (P) A (P) - Tỡm giao im M ca v (P) - Lp phng trỡnh d qua A v M Cỏch 2: - Gi (Q) l mt phng qua d v d vuụng gúc vi (P) thỡ: uur uur uur nQ = ud , nP (Q) M (P) 14 d A - Gi d l giao tuyn ca (P) v (Q) thỡ d cú vộct ch phng: uur uur uur ud ' = nP , nQ d M Trng hp 2: d//(P) d Cỏch 1: (P) - Ly M bt k trờn d, lp phng trỡnh qua M v vuụng gúc vi (P) - Tỡm giao im M ca v (P) - Lp phng trỡnh d qua M v d (Q) M song song vi d Cỏch 2: d (P) - Gi (Q) l mt phng qua d v vuụng gúc vi (P) thỡ: uur uur uur nQ = ud , nP r uur uur - Giao tuyn d ' = ( P ) I (Q ) cú vộct ch phng v = nP , nQ Dng D3 Lp phng trỡnh ng thng d i xng vi ng thng d qua mt phng (P) d Trng hp 1: d ct (P) ti A M - Tỡm im N l hỡnh chiu ca M trờn (P) nh trờn A - M i xng vi M qua (P) thỡ N l trung im ca MM ta M M d - Lp phng trỡnh d qua A v M Trng hp 2: d//(P) M d - Tỡm im M l hỡnh chiu ca M trờn (P) - N i xng vi M qua (P) thỡ M l trung im ca MN M ta N d N 15 - Lp phng trỡnh d qua N v song song vi d Dng D4 Lp phng trỡnh ng thng i qua im M, vuụng gúc vi ng thng d v ct ng thng d Cỏch 1: - Lp phng trỡnh mt phng (P) qua M v vuụng gúc vi d - Tỡm giao im N ca d v (P) d (Q) - Lp phng trỡnh qua MN M N Cỏch 2: d - Lp phng trỡnh mt phng (P) (P) qua M v vuụng gúc vi d - Lp phng trỡnh mt phng (Q) qua M v d - Lp phng trỡnh giao tuyn = ( P ) I ( Q ) Dng D5 Lp phng trỡnh ng thng song song vi ng thng a, ct ng thng d v ng thng d chộo cho trc Cỏch 1: a - Lp phng trỡnh mt phng M (P) qua d v song song vi a d - Tỡm giao im M ca d v (P) d - Lp phng trỡnh qua M v (Q) (P) song song vi a, chng minh ct d Cỏch 2: - Lp phng trỡnh mt phng (P) qua d v song song vi a - Lp phng trỡnh mt phng (Q) qua d v song song vi a - Lp phng trỡnh giao tuyn ca (P) v (Q), chng minh ct d 16 Dng D6 Lp phng trỡnh ng thng i qua im M, ct ng thng d v ng thng d chộo cho trc Cỏch 1: - Lp phng trỡnh mt phng (P) qua M v d - Tỡm giao im N ca d v (P) - Lp phng trỡnh qua M v N, chng minh ct d Cỏch 2: - Lp phng trỡnh mt phng (P) qua M v d - Lp phng trỡnh mt phng (Q) qua M v d - Lp phng trỡnh giao tuyn = ( P ) I ( Q ) , chng minh ct d v d Dng D7 Lp phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai ng thng chộo d1 v d2 cho trc Cỏch 1: ur uur r - Gi u1 , u2 , u l vộct ch phng ca (d1), (d2) v (d) - r ur r ur uur r u u1 Vỡ r uur u = u1 , u2 t ú xỏc nh u u u2 - Vit phng trỡnh mt phng (P1) cha d v d1 - Vit phng trỡnh mt phng (P2) cha d v d2 - Phng trỡnh ng thng d l giao tuyn ca (P1) v (P2) Cỏch 2: - Chuyn d1 v d2 v phng trỡnh tham s - Gi s d I d1 = A, d I d = B Ta A, B tha phng trỡnh tham s ca d1 v d2 - uuur ur uuur ur AB u1 AB.u1 = Ta A, B uuur uur uuur uur AB u2 AB.u2 = - Lp phng trỡnh ng thng d chớnh l AB Dng D8: Lp phng trỡnh ng thng i qua im M, nm trờn mt phng (P) cho trc v vuụng gúc vi ng thng d cho trc - Lp phng trỡnh mt phng (Q) qua M va vuụng gúc vi d 17 - Lp phng trỡnh giao tuyn = ( P ) I ( Q ) Chng minh nm trờn (P) v vuụng gúc vi d Dng D9: Lp phng trỡnh ng thng i qua im M, vuụng gúc v ct ng thng d cho trc Cỏch 1: d - Lp phng trỡnh mt phng (P) qua M v vuụng gúc vi d - Tỡm giao im I ca d v (P) I - Lp phng trỡnh = IM (P) M Cỏch 2: - Lp phng trỡnh mt phng (P) qua M v vuụng gúc vi d - Lp phng trỡnh mt phng (Q) qua M v d - Lp phng trỡnh giao tuyn = ( P ) I (Q ) Dng D10: Lp phng trỡnh ng phõn giỏc gúc A ca tam giỏc ABC Gi I, J ln lt l cỏc giao im ca ng phõn giỏc v ng phõn giỏc ngoi ca gúc A vi cnh ỏy BC - Tớnh t s - AB =k AC A Theo tớnh cht phõn giỏc: uur uur uur IB = k IB = k IC IC ta I phng trỡnh AI uur uur uuur JB = k JB = k JC - Tng t JC B I C J ta J phng trỡnh AJ 2.5 K nng chuyn húa cỏc phng trỡnh ca ng thng * Chuyn phng trỡnh ca ng thng t dng giao tuyn ca hai mt phng sang dng tham s hoc chớnh tc 18 * Chuyn phng trỡnh ca ng thng t dng tham s sng dng chớnh tc ri t ú chuyn v dng giao tuyn ca hai mt phng 2.6 K nng lp phng trỡnh mt cu Dng C1: Lp phng trỡnh mt cu bit tõm v bỏn kớnh Mt cu tõm I(x0;y0;z0) bỏn kớnh R: (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2 Dng C2: Lp phng trỡnh mt cu i qua im Cỏch 1: Phng trỡnh mt cu cú dng: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by+ 2cz +d =0 Thay ta im vo ta tỡm c a, b, c, d Cỏch 2: Gi tõm cu l I(x0;y0;z0) thỡ IA = IB = IC = ID Gii h phng trỡnh suy ta im I Dng C3: Lp phng trỡnh mt cu i qua ba im v bit gi thit khỏc Gi tõm cu l I (x;y;z) Mt cu i qua A, B, C thỡ: IA = IB, IA = IC, cựng vi gi thit th ta cú h phng trỡnh ba n, gii tỡm c tõm cu Dng C4: Lp phng trỡnh mt cu tip xỳc vi mt mt phng bit tõm cu Bỏn kớnh R bng khong cỏch t tõm cu ti mt phng (P): R= Ax + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Dng C5: Lp phng trỡnh mt cu qua im A, B, C bit tõm nm trờn (P) Lp phng trỡnh mt phng trung trc ca AB v AC ct theo giao tuyn Tõm cu l giao im ca vi mt phng (P) Dng C6: Lp phng trỡnh mt cu tip xỳc vi mt ng thng bit ta tõm Bỏn kớnh mt cu bng khong cỏch t tõm n ng thng a uur uuuur ua AM uur R = d( M ,a ) = ua 2.7 K nng kt hp gia hỡnh hc tng hp v hỡnh hc gii tớch 2.8 K nng chuyn húa bi toỏn * chng minh im A,B,C thng hng ta chng minh: AB = k AC Hoc ta ca mi im tha phng trỡnh ng thng i qua hai im * chng minh im A,B,C,D ng phng ta chng minh: D( AB, AC , AD) = 19 Hoc chng minh ta ca mt im tha phng trỡnh mt phng i qua im * chng minh ng thng ng quy ta chng minh h phng trỡnh cú nghim nht Hoc giao im ng thng ( v ch cú giao im) nm trờn ng thng th Kt lun chng Chng ny trỡnh by h thng nhng k nng cn rốn luyn cho hc sinh hc v phng phỏp ta khụng gian v nhng bi tng h thng ú l: H thng rốn luyn k nng thit lp h ta H thng rốn luyn k nng chuyn húa ngụn ng hỡnh hc thụng thng sang ngụn ng ta v ngc li H thng rốn luyn k nng lp phng trỡnh mt phng H thng rốn luyn k nng lp phng trỡnh ng thng H thng rốn luyn k nng lp phng trỡnh mt cu H thng rốn luyn k nng chuyn húa cỏc phng trỡnh ca ng thng H thng rốn luyn k nng kt hp gia hỡnh hc tng hp v hỡnh hc gii tớch H thng rốn luyn k nng chuyn húa bi toỏn Vi h thng ny, nhng k nng cn thit quỏ trỡnh gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian s c rốn luyn cng c Qua ú hc sinh s bt c nhng khú khn gii toỏn hỡnh hc khụng gian, ý thc c phng phỏp i s húa mt bi toỏn hỡnh hc CHNG TH NGHIM S PHM 3.1 Mc ớch, t chc th nghim 3.1.1 Mc ớch th nghim 20 Bc u kim tra tớnh kh thi v hiu qu ca cỏc k nng vic gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta dy chng Phng phỏp ta khụng gian lp 12 trng THPT 3.1.2 T chc th nghim Lp th nghim: 12A5, 12A6 ca trng THPT ng Hũa Kin An Hi Phũng, ú lp 12A5 l lp th nghim v lp 12A6 l lp i chng Quỏ trỡnh th nghim: Tin hnh t th nghim thỏng t 15/2/2009 n 15/4/2009 3.2 Ni dung th nghim Cỏc tit dy th i vi lp 12A5, 12A6 chng Phng phỏp ta khụng gian Tit 23 - 27 Bi 1: H ta khụng gian Tit 28 - 32 Bi 2: Phng trỡnh mt phng Tit 33 - 38 Bi 3: Phng trỡnh ng thng khụng gian Trong cỏc tit dy, giỏo viờn ó s dng tinh thn hot ng húa ngi hc dn dt hc sinh, lm phiu bi Vớ d t chc hot ng cho hc sinh tit: Luyn k nng lp h ta v tit : Luyn k nng lp phng trỡnh ng thng 3.3 ỏnh giỏ th nghim 3.3.1 Phng phỏp ging dy Giỏo viờn dy th nghim ó s dng v phi hp cỏc phng phỏp mt cỏch hiu qu, linh hot, hp lý, bo m c y vai trũ ca ngi t chc, iu khin c cỏc hot ng nhn thc ca hc sinh 3.3.2 Kh nng lnh hi ca hc sinh Cỏc em phn v t tin hn vỡ hiu c bn cht hỡnh hc ca ngụn ng i s, cú th lm c nhng bi ũi hi phi suy lun, nhng bi tng hp gii bng phng phỏp i s 3.3.3 Kt qu kim tra I kim tra 45 phỳt 21 ^ Cõu 1(3 im): Cho hỡnh chúp SABC, ỏy l tam giỏc vuụng ABC ( C = 1V) v cnh SA (ABC) Cỏc cnh AC =a, BC=b, SA=h Gi M, N ln lt l trung im cỏc cnh AC, SB Tớnh di MN Cõu 2( im ): Gii bi toỏn sau bng phng phỏp ta Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú cnh bng a Gi cỏc im M, N, P ln lt l trung im ca AB, DD, CB CMR: mp(MNP)//mp(ADB) Cõu3: ( im ) Lp phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai ng thng: (d ) : x y z = = , II (d ') : x y z = = Nhng ý nh kim tra Cõu1: Kim tra kin thc ca hc sinh v cỏch la chn h ta thớch hp cú th gii bi toỏn mt cỏch n gin, ngn gn Cõu 2: Kim tra k nng gii bi tng hp bng phng phỏp ta ca hc sinh, cỏch thit lp h ta vi nhng trng hp c bit Cõu 3: Kim tra k nng lp phng trỡnh ng thng III Nhng ỏnh giỏ qua bi kim tra ca hc sinh lp th nghim Cõu1: Hu ht hc sinh lm c bi, hỡnh v rừ rng, cú lp lun cht ch iu ú chng t hc sinh ó hiu c bn cht ca hỡnh hc khụng gian Cú s linh hot quỏ trỡnh thit lp h ta Mt s hc sinh cũn lm chm Cõu 2: Hu ht hc sinh chn c h trc ta , biu din c cỏc im, ng thng, mt phng qua h trc ta ú.Mt s hc sinh lm chm v tớnh toỏn nhm Cõu 3: Hu ht hc sinh lm c bi, cú hng gii bi toỏn, mt s hc sinh cũn lm chm IV Kt qu c th im 10 Lp S bi 12A5-Th nghim 0 12A6 - i chng 10 13 22 10 12 11 48 0 48 5 Nhỡn chung, hc sinh lp th nghim nm vng kin thc c bn, thnh tho vic chuyn t ngụn ng hỡnh hc sang ngụn ng i s v ngc li, trỡnh by li gii mt cỏch rừ rng hiu c bn cht ca Kt lun chng Kt qu t th nghim s phm cho thy nh sau: + Vic s dng h thng bi ó c xõy dng nhm rốn luyn k nng dng phng phỏp ta gii toỏn hỡnh hc khụng gian lp 12 THPT + Bng phng phỏp ta khụng gian hc sinh d dng gii quyt mt s dng toỏn v hỡnh hc khụng gian + Vi phng phỏp dy hc thớch hp, hc sinh thc s thu c kt qu, cú tỏc dng tt vic lụi cun hc sinh vo cỏc hot ng hc t giỏc, tớch cc, c lp v sỏng to, giỳp hc sinh rốn luyn c t v k nng gii toỏn To iu kin tip tc b sung, rỳt kinh nghim i tỡm li gii nhng bi toỏn khỏc ca bn thõn mi hc sinh, giỳp cỏc em lnh hi c kin thc Nh vy mc ớch th nghim ó t c v gi thuyt khoa hc ca lun l hp lý KT LUN V KHUYN NGH Kt lun Quỏ trỡnh nghiờn cu ti cho nhng kt qu v úng gúp nh sau: S lc v lch s i ca phng phỏp ta , qua ú thy c ng i s húa hỡnh hc trng THPT Vic s dng phng phỏp ta gii quyt cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian úng vai trũ rt quan trng vic dy hc toỏn nh trng ph thụng Nú khụng ch trang b cho hc sinh v mt tri thc m cũn giỳp cỏc em phỏt trin v trớ tu v cỏc c tớnh cn thit ca ngi lao ng Lun ó tng quan v k nng, k nng gii toỏn, vai trũ v trớ chc nng ca h thng bi dng phng phỏp ta gii toỏn hỡnh hc khụng gian lp 12 trung hc ph thụng Lun ó ch cỏc k nng c bn gii toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta , vi h thng bi toỏn kốm theo, gúp phn khc phc nhng yu kộm ca hc sinh hc ni dung ny Cỏc k nng ú l: + K nng thit lp h ta 23 + K nng chuyn húa ngụn ng hỡnh hc thụng thng sang ngụn ng ta v ngc li + K nng lp phng trỡnh mt phng + K nng lp phng trỡnh ng thng + K nng lp phng trỡnh mt cu + K nng chuyn húa cỏc phng trỡnh ca ng thng + K nng kt hp gia hỡnh hc tng hp v hỡnh hc gii tớch + K nng chuyn húa bi toỏn Kt qu ca ti phn no ó c kim nghim qua th nghim s phm Nhng kt qu th nghim s phm ó chng t: H thng bi ó xõy dng cú tớnh hiu qu v kh thi, gi thit khoa hc ca lun chp nhn c v mc ớch nghiờn cu ó hon thnh Khuyn ngh Trong sut quỏ trỡnh thc hin ti: Rốn luyn k nng dng phng phỏp ta gii toỏn hỡnh hc khụng gian lp 12 trung hc ph thụng , tụi cng mnh dn a mt s ý kin sau: Cỏc trng hc v cỏc b mụn hc cn cú nhng nghiờn cu v vic rốn luyn cỏc k nng cho hc sinh Trong quỏ trỡnh dy hc cn phỏt huy cao vic rốn luyn k nng dng phng phỏp ta gii toỏn hỡnh hc khụng gian lp 12, t ú giỳp cho hc sinh thy c s hp dn, thỳ v vic kt hp gia hỡnh hc v i s, khc phc nhng khú khn v sai lm ca hc sinh, nõng cao cht lng dy v hc Chỳng tụi cng hi vng rng nhng ó c trỡnh by lun cú th dựng lm ti liu tham kho cho cỏc ng nghip ang ging dy lp 12 cỏc trng THPT, gm phn nõng cao cht lng dy hc toỏn trng ph thụng 24 [...]... năng giải toán, vai trò vị trí chức năng của hệ thống bài tập vận dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian lớp 12 trung học phổ thông 3 Luận văn đã chỉ ra các kỹ năng cơ bản giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, với hệ thống bài toán kèm theo, góp phần khắc phục những yếu kém của học sinh khi học nội dung này Các kỹ năng đó là: + Kỹ năng thiết lập hệ tọa độ 23 + Kỹ năng chuyển... rèn luyện kĩ năng vận dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian lớp 12 THPT + Bằng phương pháp tọa độ trong không gian học sinh dễ dàng giải quyết một số dạng toán về hình học không gian + Với phương pháp dạy học thích hợp, học sinh thực sự thu được kết quả, có tác dụng tốt trong việc lôi cuốn học sinh vào các hoạt động học tập tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo, giúp học sinh rèn luyện. .. ngôn ngữ tọa độ và ngược lại 3 Hệ thống rèn luyện kỹ năng lập phương trình mặt phẳng 4 Hệ thống rèn luyện kỹ năng lập phương trình đường thẳng 5 Hệ thống rèn luyện kỹ năng lập phương trình mặt cầu 6 Hệ thống rèn luyện kỹ năng chuyển hóa các phương trình của đường thẳng 7 Hệ thống rèn luyện kỹ năng kết hợp giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích 8 Hệ thống rèn luyện kỹ năng chuyển hóa bài toán Với... khoa học của luận văn chấp nhận được và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành 2 Khuyến nghị Trong suốt quá trình thực hiện đề tài: Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian lớp 12 trung học phổ thông “, tôi cũng mạnh dạn đưa ra một số ý kiến sau: 1 Các trường học và ở các bộ môn học cần có những nghiên cứu về việc rèn luyện các kỹ năng cho học sinh 2 Trong quá trình dạy học. .. lập hệ tọa độ 23 + Kỹ năng chuyển hóa ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ tọa độ và ngược lại + Kỹ năng lập phương trình mặt phẳng + Kỹ năng lập phương trình đường thẳng + Kỹ năng lập phương trình mặt cầu + Kỹ năng chuyển hóa các phương trình của đường thẳng + Kỹ năng kết hợp giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích + Kỹ năng chuyển hóa bài toán 4 Kết quả của đề tài phần nào đã được kiểm... độ, qua đó thấy được con đường đại số hóa hình học ở trường THPT Việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết các bài toán hình học không gian đóng vai trò rất quan trọng trong việc dạy học toán ở nhà trường phổ thông Nó không chỉ trang bị cho học sinh về mặt tri thức mà còn giúp các em phát triển về trí tuệ và các đức tính cần thiết của người lao động 2 Luận văn đã tổng quan về kỹ năng, kỹ năng giải. .. tra tính khả thi và hiệu quả của các kỹ năng trong việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ để dạy chương “ Phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12 trường THPT 3.1.2 Tổ chức thử nghiệm 1 Lớp thử nghiệm: 12A5, 12A6 của trường THPT Đồng Hòa – Kiến An – Hải Phòng, trong đó lớp 12A5 là lớp thử nghiệm và lớp 12A6 là lớp đối chứng 2 Quá trình thử nghiệm: Tiến hành đợt thử nghiệm... với lớp 12A5, 12A6 trong chương “ Phương pháp tọa độ trong không gian Tiết 23 - 27 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian Tiết 28 - 32 Bài 2: Phương trình mặt phẳng Tiết 33 - 38 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian Trong các tiết dạy, giáo viên đã sử dụng tinh thần hoạt động hóa người học để dẫn dắt học sinh, làm phiếu bài tập… Ví dụ tổ chức hoạt động cho học sinh trong tiết: Luyện tập kỹ năng. .. hệ phương trình có nghiệm duy nhất Hoặc giao điểm 2 đường thẳng ( và chỉ có giao điểm) nằm trên đường thẳng thứ 3 Kết luận chương 2 Chương này trình bày hệ thống những kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi học về phương pháp tọa độ trong không gian và những bài tập trong từng hệ thống Đó là: 1 Hệ thống rèn luyện kỹ năng thiết lập hệ tọa độ 2 Hệ thống rèn luyện kỹ năng chuyển hóa ngôn ngữ hình học thông. .. những kỹ năng cần thiết trong quá trình giải bài toán trong hình học không gian sẽ được rèn luyện củng cố Qua đó học sinh sẽ bớt được những khó khăn khi giải toán hình học không gian, ý thức được phương pháp đại số hóa một bài toán hình học CHƯƠNG 3 THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích, tổ chức thử nghiệm 3.1.1 Mục đích thử nghiệm 20 Bước đầu kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các kỹ năng trong việc giải