Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian lớp 12 trung học phổ thông

Nhận thấy các kiến thức và các phương pháp chứng minh suy luận dùng trong hình học mà học sinh đang học hiện nay tuy đã có từ thời Euclid thế kỷ thứ 3 trước công nguyên nhưng vẫn được

đại học quốc gia hà nội

Khoa s- phạm

Hoàng thị ph-ơng thảo

rèn luyện kỹ năng vận dụng ph-ơng pháp toạ độ giảI toán hình học không gian

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán có một vị trí đặc biệt quan trọng vì toán học là công cụ của nhiều môn học khác Không những thế, toán học còn “chỉ cho ta những phương pháp hoặc những con đường dẫn tới chân lý Toán học làm cho những chân lý ẩn khuất trở thành minh bạch và phơi bày chúng ra trước ánh sáng Một mặt toán học làm giàu sự hiểu biết của chúng ta thêm sâu sắc” [tr 418] Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, hợp logic, phương pháp khác trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập,… Qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo

Việc truyền thụ những tri thức cũng như cung cấp cho học sinh phương pháp nghiên cứu toán học ở trường phổ thông được thực hiện chủ yếu thông qua quá trình rèn luyện phương pháp để giải các bài toán Trong chương trình phổ thông hiện nay, việc đưa phương pháp véc tơ và phương pháp tọa độ vào trong chương trình vừa nhằm hiện đại hóa vừa đáp ứng mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người phát triển toàn diện Nghị quyết hội nghị lần thứ hai, Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khóa VIII về sự nghiệp giáo dục và đào tạo đã nhận định: “Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người và thế hệ thiết tha gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc, có ý thức giữ gìn và phát huy các giá trị văn hóa của dân tộc, có năng lực tiếp thu tinh hoa văn hóa của nhân loại, phát huy tiềm năng của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ năng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ

chức là kỷ luật, có sức khỏe, là những người thừa kế xây dựng chủ nghĩa xã hội vừa “ hồng “ vừa “ chuyên “ như lời căn dặn của Bác Hồ “

Nghị quyết trên cũng đã chỉ rõ: Cùng với những thay đổi về nội dung cần có những đổi mới về phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn thành nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy và học, để không ngừng nâng cao hiệu quả của giáo dục và đào tạo

Nhận thấy các kiến thức và các phương pháp chứng minh suy luận dùng trong hình học mà học sinh đang học hiện nay tuy đã có từ thời Euclid ( thế kỷ thứ 3 trước công nguyên ) nhưng vẫn được dạy cho học sinh vì đó là những kiến thức cơ bản, nền tảng cho việc rèn luyện tư duy, suy luận và gắn toán học với thực tiễn Cùng với phương pháp véctơ việc đưa phương pháp tọa độ trong chương trình học cũng là cơ hội để học sinh làm quen với các ngôn ngữ của toán học cao cấp, học sinh được trang bị thêm một công cụ mới để làm toán và suy nghĩ thêm về các vấn đề toán học khác Theo mục tiêu đào tạo, sau khi học xong chương trình phổ thông, học sinh phải nắm được những kiến thức cơ bản nhất ở hình học phẳng và hình học không gian đồng thời phải nắm vững hai phương pháp chủ yếu để nghiên cứu hình học là phương pháp tổng hợp và phương pháp tọa độ

Trên thực tế tình hình dạy và học nay vẫn còn nhiều hạn chế trong việc vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học của học sinh Ngay

cả một số giáo viên dạy toán ở trường THPT cũng chưa nhận thức đúng đắn trong việc tăng cường rèn luyện phương pháp tọa độ để giải bài tập hình học cho học sinh Mà giải bài tập là một tình huống dạy học điển hình Thông qua quá trình giải bài tập, học sinh sẽ nắm chắc, củng cố được kiến thức, rèn luyện được kỹ năng vận dụng tri thức vào thực tiễn và phát triển tư duy Hệ thống bài tập hợp lý sẽ tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học để củng cố và đào sâu kiến thức

Đã có nhiều công trình khoa học giáo dục nghiên cứu theo một số góc

độ khác nhau liên quan đến phương pháp tọa độ, song chưa nêu bật được một cách đầy đủ các kỹ năng giải các bài toán trong không gian bằng phương pháp tọa độ dựa trên sự tương hỗ giữa phương pháp tổng hợp và phương pháp tọa

độ Vì vậy, để khắc phục thực trạng này và tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh THPT tôi chọn đề tài:

“Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian lớp 12 trung học phổ thông “

2 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được một hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian lớp 12 theo định hướng kết hợp giữa hình học và đại số thì học sinh sẽ giải toán hình học không gian tốt hơn, giúp khắc phục được những khó khăn và sai lầm của học sinh, nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề phương pháp tọa độ trong hình không gian ở trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Cở sở lý luận của phương pháp tọa độ

- Ứng dụng của phương pháp tọa độ vào giải các bài toán hình học không gian

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ vào giải các bài toán hình học không gian

- Đề xuất phương pháp dạy học thích hợp để sử dụng có hiệu quả các kết quả nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn chúng tôi đã phối hợp sử dụng các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các sách về giáo dục học môn Toán, Tâm lý học, các sách về khoa học toán học, sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí giáo dục, tạp chí

toán học và tuổi trẻ, các công trình nghiên cứu… liên quan trực tiếp và phục vụ cho đề tài

- Phương pháp điều tra, quan sát:

Lên lớp, dự giờ, trao đổi với các giáo viên khác, làm thực nghiệm sư phạm

để nắm được việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh trong việc sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán hình học không gian

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:

Tổng kết những kinh nghiệm có được qua thực tế giảng dạy và trao đổi kinh nghiệm với giáo viên dạy giỏi bộ môn Toán

5 Bố cục của luận văn

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận của phương pháp tọa độ

Chương 2: Rèn luyện những kỹ năng cơ bản giải toán bằng phương pháp tọa độ

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 1.1 Sơ lược về lịch sử ra đời phương pháp tọa độ

Như chúng ta đã biết, hình học là một mảng kiến thức của ngành toán học

ra đời từ giai đoạn toán học cổ đại cách đây hơn vài nghìn năm với một khối lượng kiến thức khổng lồ Do đó không thể đưa toàn bộ kiến thức đó vào dạy học cho các thế hệ học sinh mà cần phải có sự lựa chọn, sàng lọc hợp lý những kiến thức hữu ích đáp ứng được yêu cầu cảu từng thời kỳ Vì vậy, trong chương trình phổ thông trước đây đến nay đã được thu gọn và cắt bớt để nhường chỗ cho phương pháp tọa độ

Đại số và hình học là hai mảng kiến thức khác nhau trong toán học, nhưng với phương pháp tọa độ thì hai mảng kiến thức này lại dung hòa với nhau, cùng nhau phát triển Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã thiết lập được mối quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số Tất cả các định lý hình học đều có thể chuyển thành những quan hệ đại số giữa các con số, các chữ và các phép toán đại số Và đây là phát minh mang tính chất cách mạng lớn trong toán học

vì nó giúp cho toán học nói chung và hình học nói riêng thoát khỏi tư duy cụ thể để đạt tới đỉnh cao của sự trừu tượng và khái quát Engels đã viết: “ Đại lượng biến thiên của Descartes là một bước ngoặt trong toán học Nhờ nó mà vận động và biện chứng đã đi vào toán học”

Môn hình học ra đời từ thời Euclid ( Thế kỷ thứ III trước công nguyên ) nhưng đến năm 1619, Rene Descartes – Một nhà triết học kiêm vật lý và toán học người Pháp ( 1596 – 1650 ) đã khám phá ra những nguyên lý của môn hình học giải tích Ông đã dùng đại số để đơn giản hóa hình học cổ điển Công trình toán học chủ yếu của ông là quyển “ La géometrie “ (Hình học, xuất bản năm 1637) của nhà toán học thiên tài này đã đặt nền tảng cho hình học giải tích, ông đã trình bày về phương pháp tọa độ: với một hệ trục tọa độ xác định,

ví dụ trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc ta cho điểm (x, y, z); cho mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2

+ B2 + C2  0 và D là 1

số),…Nói cách khác trong phương pháp tọa độ, người ta dịch chuyển những đối tượng, tính chất hình học sang khung đại số và dẫn đến những phép toán trong khung đó Ở đây, phép toán đại số là hạt nhân của phép giải toán và về nguyên tắc nó tách khỏi trực giác hình học

Hình học được trình bày theo phương pháp tọa độ mà ngày nay gọi là hình học giải tích Môn hình học giải tích ra đời đã cung cấp cho chúng ta những phương pháp nghiên cứu hình học bằng công cụ đại số Trên cơ sở của sự phát triển và hoàn chỉnh môn hình học giải tích, những tư tưởng của phương pháp tọa độ đã khai sinh ra các chuyên ngành toán học mới

Nhân loại đã tôn Rene Descartes lên hàng bất tử vì ông đã phát minh ra một phương pháp nghiên cứu hình học mới bằng ngôn ngữ và phương pháp đại

số Đánh giá phương pháp tọa độ của Descartes trong hình học, nhiều nhà Bác học đã nhận xét: “ Nhờ có Descartes mà chúng ta biết sử dụng đại số và giải tích làm hoa tiêu trên biển cả không bản đồ” hay “Descartes không xem xét lại hình học mà sáng tạo ra nó”

Ngày nay, trong chương trình hình học của trường phổ thông từ năm 1991, học sinh đã được học về véctơ, các phép toán về véctơ đồng thời dùng véctơ làm phương tiện trung gian để chuyển các khái niệm hình học và các mối quan

hệ giữa các đối tượng hình học sang khái niệm đại số và quan hệ đại số Ví dụ trong không gian muốn xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng nào đó, ta sẽ viết phương trình của đường thẳng và phương trình của mặt phẳng, rồi tìm nghiệm của hệ hai phương trình ấy, tùy theo hệ phương trình này có nghiệm như thế nào ta sẽ kết luận rằng đường thẳng cắt mặt phẳng hoặc đường thẳng song song với mặt phẳng hoặc đường thẳng thuộc mặt phẳng

Đáp ứng yêu cầu của chương trình cải cách giáo dục, phương pháp tọa độ trong không gian được đưa vào chương trình hình học cuối cấp THPT với những yêu cầu cơ bản sau:

- Về kiến thức: Học sinh cần nhận thức được thực chất của nghiên cứu phương pháp tọa độ ở trường phổ thông là nghiên cứu một cách thể hiện khác của hệ các tiên đề hình học không gian Việc đưa hệ tọa độ Đề các vuông góc cho phép đặt tương ứng mỗi véctơ trong không gian với bộ 3 số thực sắp thứ tự (x, y, z) Khi đó mặt phẳng là bộ 3 số (x, y, z) thỏa mãn: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2  0 và D là 1 số),… Từ các kiến thức dẫn xuất suy từ các tiên đề được trình bày bằng tọa độ, bằng cách đại số hóa Học sinh nắm được những kiến thức về hệ trục tọa độ, tọa độ của điểm, tọa độ của véctơ , biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, các công thức tính góc và tính khoảng cách

- Về kỹ năng: Kỹ năng xác định tọa độ véctơ, tọa độ của điểm bằng cách

sử dụng tọa độ véctơ hoặc hình chiếu vuông góc lên các hệ trục tọa độ; kỹ năng lập các dạng phương trình đường thẳng trong không gian, lập phương trình mặt phẳng; các kỹ năng về xác định khoảng cách, xác định góc giữa các yếu tố trong không gian; kỹ năng lập phương trình đường tròn theo các yếu tố: tâm, bán kính, điều kiện tiếp xúc với đường thẳng và đương tròn, tính phương tích của một điểm với đường tròn; kỹ năng lập phương trình mặt cầu, xác định tâm và bán kính, xác định giao của mặt phẳng và mặt cầu, lập phương trình tiếp diện của mặt cầu

- Về phương pháp: Đảm bảo sự cân đối cho học sinh nắm vững các mặt

cú pháp và ngữ nghĩa trong việc dạy học các nội dung Chú trọng khai thác các ứng dụng khác nhau của từng khái niệm, định lý, quy tắc, các tính chất, Chú trọng các yếu tố trực quan ảo nhờ sự hỗ trợ của máy tính điện tử

1.2 Các loại hệ tọa độ

1.2.1 Hệ tọa độ afin – Hệ tọa độ xiên

* Hệ tọa độ afin: Hệ tọa độ afin gồm một điểm gốc O và 3 véctơ cơ sở e1

* Tọa độ afin của một điểm trong không gian: Trong không gian, giả sử điểm

M ta có: OMx e0 1y e0 2z e0 3 Bộ 3 số (x0, y0, z0) được gọi là tọa độ của điểm

M đối với hệ tọa độ afin 0; ,e e e1 2 , 3

  

* Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ afin của không gian:

Trong không gian cho hệ tọa độ afin 0; ,e e e   1 2 , 3

và cho đường thẳng

đi qua điểm M0 (x0, y0, z0) có véctơ chỉ phương u  , ,  M x y z ( , , )  d

Phương trình tham số của đường thẳng d :

* Phương trình mặt phẳng trong hệ tọa độ afin của không gian:

Giả sử trong không gian cho hệ tọa độ afin 0; ,e e e1 2 , 3

  

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và có cặp véctơ chỉ phương là a ( ,a a a1 2, 3)

1.2.2 Hệ tọa độ Đề các vuông góc – Hệ tọa độ trực chuẩn

Chú ý: Hệ tọa độ Đề các là một hệ tọa độ afin đặc biệt tức là trong không gian hệ tọa độ afin 0; ,e e e1 2 , 3

tọa độ afin ở trên vẫn được xét tương tự như đối với hệ tọa độ Đề các vuông góc

Tọa độ của véc tơ và của điểm trong hệ tọa độ Đề các vuông góc:

Đối với hệ tọa độ trực chuẩn 0; ,e e e   1 2 , 3

ta có: u ( ;x y z1 1; );1 v ( ;x y z2 2; 2)

+ Hai véctơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ của chúng bằng nhau

+ Tích của một véctơ với 1 số: ku(kx ky kz1; 1; 1);kR

+ Tổng hai véctơ: u v  (x1x y2; 1y z2; 1z2)

+ Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu MAk MB Khi đó điểm

M có tọa độ:

1 1 1

A B M

A B M

A B M

x kx x

k

y ky y

k

z kz z

+ Bình phương vô hướng: 2 2 2 2

x x y y z z

u v c

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng ( ) lần lượt có phương trình là:

+ Cho đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương u ( , , )a b c và đường thẳng (d’) có véctơ chỉ phương ' ' ' '

( , , )

u   a b c  là góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) được tính theo công thức:

' ' ' '

Aa sin

+ Cho 2 mặt phẳng (P) và (P’) lần lượt có véctơ pháp tuyến là: n   ( ; ; ) A B C

và n' ( ;A B C' '; ')  là góc nhọn giữa 2 mặt phẳng được tính theo công thức:

AA os

Tính khoảng cách trong hệ tọa độ Đề các vuông góc

+ Khoảng cách giữa 2 điểm: Cho 2 điểm A(a1; b1; c1); B(a2 ;b2; c2) Ta có:

d A B  AB  a a  b b  c c

+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian:

Khoảng cách từ điểm M0 (x0, y0, z0) đến mặt phẳng ( ) có phương trình: Ax +

By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:

0 0 2 0 2 02

Ax( , ( )) By Cz D

d M

 

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian:

Khoảng cách từ điểm M1(x1; y1; z1) đến đường thẳng (d) có phương trình

0 1 1

, ( , )

phương của (d) và M M u 0 1,  là diện tích hình chữ nhật có cạnh là M M0 1và u

Do đó công thức trên được tính:

đi qua M1 và vuông góc với (d)

Bước 2: Tìm giao điểm H = ( ) P  d

+ Định nghĩa: Cho điểm I (a; b; c) cố định và khoảng cách R cho trước không

đổi M thuộc mặt cầu (S)  IM Tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính R

+ Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R:

Dạng 1: (x-a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

Đặc điểm phương trình mặt cầu:

+ Các hệ số của x2, y2, z2 bằng nhau

+ Không có các số hạng chứa cách tích xy, yz, zx Do đó ta có:

Dạng 2: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c) và bán kính R = a2 b2 c2 d với điều kiện: a2 + b2 + c2 - d ≥ 0

Chú ý:

- Ta có thể chuyển dạng 2 về dạng 1 để tìm tâm và bán kính của mặt cầu, khi cần tìm tập hợp điểm trong không gian thoả mãn một số tính chất nào đó của bài toán mà ta tìm được phương trình dạng 2 thì ta có thể căn cứ vào đó để kết luận khi nào tập hợp cần tìm đó là một mặt cầu

- Từ phương trình của mặt cầu ta dễ dàng viết được phương trình đường tròn trong không gian là một hệ gồm hai phương trình trong đó:

Mỗi phương trình là phương trình của một mặt cầu với điều kiện 2 mặt cầu này cắt nhau

Có một phương trình mặt cầu và một phương trình mặt phẳng với điều kiện mặt phẳng cắt mặt cầu

* Cho mặt cầu (S): (x-a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 và mặt phẳng

(α): Ax + By + Cz + D = 0

- Khoảng cách d từ tâm I (a; b; c) của (S) tới (α) là: d =

2 2 2

C B A

D cC bB aA

d là khoảng cách 2 tâm của (S) và (S’) khi đó:

+ d > R + R’  2 mặt cầu ngoài nhau

+ d = R + R’  2 mặt cầu tiếp xúc ngoài

+  R - R’ < d < R + R’  2 mặt cầu cắt nhau và khi đó giao tuyến là đường tròn (C) có phương trình:

+ d = R - R’ 2 mặt cầu tiếp xúc trong

+ 0 < d < R-R’ 2 mặt cầu lồng nhau

+ d = 0  2 mặt cầu đồng tâm

- Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu: Trong trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c2 – d ≥ 0 tại điểm M (xo, yo, zo) thì mặt phẳng tiếp xúc được gọi là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại điểm M và có phương trình là:

xxo + yyo + zzo + a(x + xo) + b ( y – yo) + c (z + zo) + d = 0

- Phương tích của điểm P(x1, y1, z1) đối với mặt cầu (S):

PP/(S) = x21 + y21 + z21 + 2ax1 + 2by1 + 2cz1 + d

- Mặt phẳng đẳng phương của 2 mặt cầu (S) và (S’) không đồng tâm:

(S): x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c2 –d ≥ 0

(S): x2 + y2 + z2 + 2a’x + 2b’y + 2c’z + d’ = 0 với a’2 + b’2 + c’2 - d ≥ 0 Mặt phẳng đẳng phương có phương trình:

 Mặt trụ:

Chú ý: Khi thành lập phương trình mặt trụ trong không gian, chúng ta cần

chú ý rằng nếu đường chuẩn (C) được cho bởi phương trình F(x, y) = 0 trong

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

(x - a’)2 + (y - b’)2 + (z - c’)2 = R2

mặt phẳng.Trong không gian đường cong phẳng này được biểu thị bằng hệ

phương trình: (C): ( , ) 0

0

F x y z





 

Nếu xét phương trình F(x, y) = 0 trong hệ toạ độ Oxyz của không gian thì phương trình đó biểu thị cho ta một mặt trụ có đường sinh song song với trục

Oz và nhận đường cong (C) nói trên làm đường chuẩn

- Phương trình mặt trụ tròn xoay có đường sinh song song với trục Oz và

có bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (phương trình không chứa z)

- Phương trình mặt trụ tròn xoay có đường sinh song song với trục Oy và

có bán kính R: (x – a)2 + (z – c)2 = R2 (phương trình không chứa y)

- Phương trình mặt trụ tròn xoay có đường sinh song song với trục Ox và

có bán kính R: (y– b)2 + (z – c)2 = R2 (phương trình không chứa x)

2 2 2

ososos

x c y

Trong không gian Oxyz tọa độ trụ của một điểm P được xác định bởi một bộ ba số có thứ tự   , , , trong đó:  là khoảng cách OP,

1.2.6 Các tri thức khoa học khác có liên quan đến phương pháp tọa độ

a Phép đổi hệ toạ độ Đêcác vuông góc trong không gian

Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc O; e1, e2, e3 và

O; e’1, e’2, e’3, giả sử:

e’1 = a1e1 + a2e2 + a3e3

e’2 = b1e1 + b2e2 + b3e3

e’3 = c1e1 + c2e2 + c3e3

OO’ = d1e1 + d2e2 + d3e3

Gọi u là một vectơ bất kỳ, giả sử u có toạ độ (x; y; z) đối với hệ

O; e1, e2, e3còn (x’, y’, z’) là toạ độ của u đối với hệ O’; e’1, e’2, e’3

Ta có công thức liên hệ giữa các tọa độ của cùng một véctơ đối với hai hệ tọa độ đã cho:

Giả sử M là một điểm tùy ý, có tọa độ (x; y; z) đối với hệ 0; ,e e e   1 2 , 3

còn (x’; y’; z’) là tọa độ u

 đối với hệ  ' ' ' ' 

gọi là công thức đổi tọa độ

b) Định hướng trong không gian

Ta xét tập hợp các bộ ba véctơ độc lập tuyến tính trong không gian thì tập hợp đó được phân thành 2 lớp: hai bộ ba véctơ trong cùng một lớp thì cùng hướng với nhau và ngược lại

Nếu trong không gian ta chọn một bộ ba véc tơ nào đó và gọi nó là có hướng dương thì ta có thể định nghĩa hướng của các bộ ba khác là dương hay

âm tùy theo nó cùng hướng hay khác hướng với bộ 3 đã chọn, làm như vậy ta

đã định hướng cho không gian

Định nghĩa:

Nếu trong không gian ta đã chọn một bộ ba véctơ độc lập tuyến tính  a b c   , ,thì ta nói rằng không gian đã được định hướng Khi đó một bộ ba véctơ độc lập tuyến tính  a b c   , ,

gọi là bộ ba thuận nếu nó cùng hướng với  a b c   , ,

và gọi là

bộ ba nghịch nếu nó ngược hướng với  a b c   , ,

Qua việc nghiên cứu các loại hệ tọa độ trong không gian ta nhận thấy hệ tọa độ afin chỉ giải quyết được các bài toán afin tức là những dạng toán sử dụng quan hệ liên thuộc, quan hệ song song,… còn hệ tọa độ Đềcác có thể giải quyết được các bài toán về metric Kiến thức về hệ tọa độ afin trong chương trình phổ thông được sử dụng dưới dạng phương pháp véctơ, kiến thức về hệ tọa độ Đềcác được sử dụng xuyên suốt chương trình phổ thông Tuy nhiên, do

yêu cầu giảm tải kiến thức nên mọi kiến thức không thể đưa vào trường phổ thông được, nhưng nếu giáo viên có ý thức khai thác thì cũng có thể lựa chọn được một số bài toán hay để minh họa cho tính ưu việt của các hệ đó

1.3 Các khái niệm

1.3.1 Kỹ năng

Theo [6], “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được vào thực tế” Một cách hiểu cụ thể là khả năng vận dụng những kiến thức, tri thức khoa học vào thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là sức đã có (về mặt nào đó)

để có thể làm tốt được công việc

Theo [7], “Kĩ năng là giai đoạn trung gian giữa tri thức và kĩ xảo trong quá trình nắm vững một phương thức hành động Đặc điểm đòi hỏi sự tập trung chú ý cao, sự kiểm soát chặt chẽ của thị giác, hành động chưa bao quát, còn có động tác thừa Được hình thành do tập luyện hay do bắt chước” Ở đây, vẫn theo [7],

“Kĩ xảo là mức độ lĩnh hội hoạt động của cá nhân được tự động hoá một cách có ý thức Kĩ xảo có đặc điểm: 1) mang tính chất kĩ thuật thuần tuý; 2) được hình thành chủ yếu bằng sự luyện tập có mục đích và hệ thống; 3) không gắn với một tình huống nhất định nào cả; 4) được đánh giá về mặt kĩ thuật, thao tác; 5) mức độ tự động hoá khá cao, do đó không sửa được khi cần; 6) động tác mang tính khái quát, không có động tác thừa, kết quả cao, ít tốn năng lượng thần kinh và cơ bắp.”

Theo tâm lí học, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định Nếu ta tạm thời tách tri thức và kĩ năng để xem xét riêng biệt thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết” còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm” Cũng theo tâm lý học, bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết – đó là kiến thức Bởi vì, xuất phát từ cấu trúc của kỹ năng ( phải hiểu mục đích, biết cách thức đi đến kết quả và hiểu được những điều kiện cần thiết để triển khai các cách thức đó ) Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi

vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kỹ năng

Các nhà giáo dục học cho rằng: “ Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin “ kiến thức thuần túy “ và một phần là kỹ năng Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình;

kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định; cuối cùng, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [7;tr 99,100]

1.3.2 Kỹ năng toán học – Kỹ năng giải toán

a) Kĩ năng toán học

Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học toán là học sinh phải nắm vững kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thức hành giải toán Tuỳ theo từng nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng Trong chương trình Toán phổ thông, ta có thể chỉ ra một

số kĩ năng cần thiết khi giải toán

 Kĩ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận độc

lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán vì nó có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc học tập hiện tại và cuộc sống sau này Trong hoạt động thực tế ở bất kỳ các lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán : Tính đúng, tính nhanh, tính hợp lý

 Kĩ năng vận dụng thành thạo các quy tắc: Về mặt kĩ năng này thì cần yêu

cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc

 Kĩ năng vận dụng tri thức vào giải toán: Học sinh được rèn luyện kĩ năng

này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán Nên hướng dẫn học sinh thực hiện

giải toán theo quy trình giải toán của Polya: Tìm hiểu nội dung bài toán; Xây dựng chương trình giải; Thực hiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

 Kĩ năng chứng minh toán học: Theo Hoàng Chúng, để có kĩ năng chứng

minh toán học, học sinh cần phải đạt được: Hình thành động cơ chứng minh; Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh; Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận

 Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi xuôi

chiều và ngược chiều: là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và vận

dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của toán học Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

 Kĩ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn luyện

cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước và phù hợp với lý thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, đẹp

 Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn: Kĩ năng toán học hoá các

tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức toán học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập giúp học sinh nắm được thực chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức

 Kĩ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên

quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng Tư duy hàm đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông Những hoạt động tư duy hàm là: hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng; hoạt động nghiên cứu sự tương ứng; hoạt động nghiên cứu sự tương ứng

 Kĩ năng tự kiển tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm khi giải

toán: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”

(Polya) Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm của lời giải là một thành công của người học toán Trên thực tế, có nhiều học sinh, kể cả học sinh khá giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích được những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó Qua đó học sinh cũng cần được rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính xác, hình thức… Việc hình thành và rèn luyện kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh góp phần nâng cao thành tích, chất lượng dạy và học

b) Kĩ năng giải toán

Trong toán học, “kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” Kĩ năng giải toán được hiểu là kĩ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh, )

Theo Polya: Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được

Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức toán học (bao gồm kiến thức,

kĩ năng, phương pháp) Sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố kiến thức toán học thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hoá kiến thức toán học Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động toán học, hoạt động học tập trong môn toán

Kĩ năng cũng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động

1.3.3 Sự hình thành kỹ năng

Theo tâm lý học, thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể

Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng chủ yếu là kỹ năng học tập và kỹ năng giải toán cho học sinh chúng ta cần phải:

+ Giúp học sinh biết cách tìm tòi và nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm

và mối quan hệ giữa chúng

+ Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

+ Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình và các kiến thức tương ứng

1.3.4 Vai trò của bài tập toán học

Người thầy giáo muốn rèn luyện được phương pháp tọa độ cho học sinh cần phải hiểu rõ được vị trí, chức năng của bài tập toán học

Bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn ở người giải tại thời điểm bài tập được đưa ra

Khái niệm này gồm ba ý chính:

- Chỉ ra bài tập đối với đối tượng nào đó hay với trạng thái phát triển nào đó của người giải

- Lời giải bài tập phải tương thích với tình huống của bài tập

- Lời giải gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tình huống mà người giải đã quen thuộc

Vị trí, chức năng của bài tập toán học:

Trong trường phổ thông việc dạy toán là dạng hoạt động toán học Đối với học sinh có thể coi việc giải toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học

Hệ thống các bài toán ở trường phổ thông có vai trò rất hữu hiệu và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Do đó việc giải bài

tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông và việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tâp toán học được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,… Với mỗi bài tập cụ thể được đặt ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Và những chức năng này đều hướng tới mục đích dạy học môn toán:

Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức con người trong thời đại mới

Với chức năng phát triển, bài tập phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là việc rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất

tư duy khoa học

Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật của mình

1.3.5 Vai trò của phương pháp tọa độ

a Tính tối ưu của phương pháp tọa độ

Các bài toán hình học không gian là những bài toán thuộc dạng khó đối với học sinh phổ thông Khi giải các bài toán hình học không gian, học sinh thường gặp các khó khăn sau:

- Nếu dùng phương pháp tổng hợp, học sinh sẽ lệ thuộc vào hình vẽ; trong khi đó nhiều bài toán việc vẽ hình đúng ngay từ ban đầu là rất khó khăn Nhiều bài toán dạng xác định hình cũng rất phức tạp

- Khi giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tổng hợp thì học sinh phải nắm chắc kiến thức và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, tinh tế nhưng đó không phải là điều dễ dàng

- Có rất nhiều bài toán chứng minh các sự kiện hình học, các bài toán về Mêtric cũng là khó nếu dùng phương pháp tổng hợp, hoặc lời giải khá cồng kềnh, phức tạp nếu dùng phương pháp vectơ Do đó việc dùng phương pháp tọa độ hoặc dùng phương pháp tọa độ để trợ giúp cho việc giải bài toán hình học không gian; thì sẽ tìm được những lời giải gọn gàng, sáng sủa và chính xác Phương pháp tọa độ là phương pháp giải toán có hiệu quả một cách nhanh chóng tổng quát, đôi khi không cần hình vẽ, nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp

Ta hãy xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC Hãy tìm tập hợp các

điểm M sao cho: MA2

+ MB2 = MC2Lời giải:

Bài toán này nếu dùng phương pháp hình học thông thường sẽ gặp không

ít khó khăn Dùng phương pháp tạo độ ta có ngay được kết quả và việc biện luận cũng khá dễ dàng

Ta chọn hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz sao cho điểm O  C Giả sử đối với hệ tọa độ đó các điểm A, B lần lượt có tọa độ là: A(a1,a2,a3); B(b1,b2,b3) Gọi tọa độ của điểm M là (x1,x2,x3) theo giả thiết ta có:

3

1

2

0 )

( )

(

i i

i i

1 3

1

2

0 ) (

) (

2

i

i i i

i i i i

Ta nhận thấy tập hợp các điểm M thỏa mãn phương trình bậc hai (2) chính là phương trình của mặt cầu Ta có thể biến đổi (2) thành:

[x1-(a1+b1)]2 + [x2-(a2+b2)]2 + [x3-(a3+b3)]2 + a2a b12 a22 b22 a23 b23

-[(a1+b1)2+(a2+b2)2+(a3+b3)2] = 0

Mặt cầu này có tâm O((a1+b1), (a2+b2), (a3+b3))

i i

1

2

(vì chọn O trùng với C)

Gọi  là góc giữa 2 véc tơ CAvà CBta có: cos =

|

|

.

CB CA

CB CA

* Nếu cos >0 tức là  <

2



ta có mặt cầu thực có bán kính R = 2CA  CB

* Nếu cos = 0 tức là  =

2



ta có mặt cầu điểm

Nếu giải bài toán này bằng phương pháp tổng hợp thì sẽ vì gặp một số khó khăn, trở ngại Chẳng hạn:

- Khó khăn trong việc xác định các điểm J và K theo điểm I cho trước

- Ngộ nhận từ hình vẽ

- Hình vẽ quá phức tạp

- Khó khăn trong quá trình tìm lời giải

- Việc chứng minh và biến đổi phức tạp

Gọi giao điểm của tia A1 J với DD1 là E Gọi giao điểm của tia CC1 với

BK là F (hình vẽ) Ta có giao tuyến của mặt phẳng (A1BI) với (AA1D1D) và (BB1C1C) lần lượt là A1E và BF

Do hai mặt phẳng bị cắt song song nên

A1E//BF (1)

Các đoạn thẳng này lại bị chắn bởi 2 mặt

bên song song nên bằng nhau, ta có A1E = BF

x EJ

JA

EJ EA

EJ hay a

x AA

E D JA

1

1 1

Vậy: EJ =

x a

EA x



(3)

a

x BB

x FK KB

FK FB

xFB FK

F C KB

Đặt C1D1 i ; C1B1 j , 





 k C

1 1

1 1 1 1

1 0

1

1 1

y

x x

(1)

B, A1, I, K đồng phẳng  2 2 1 0

1 0

1 0 1

1 1

z

x x

z x z

y

z x KJ KI

)2()1(0

011

1

z x xz xy

z x xz xy z

y

z x x

z y

z x

Bài toán được chứng minh

Nếu ta dùng phương pháp tọa độ để giải bài toán thì lời giải chẳng những không phụ thuộc vào hình vẽ, lời giải chính xác, đường lối rõ ràng mà còn ngắn gọn hơn hai phương pháp trên

C1 1, 1 1, 1 } Khi đó C1(0,0,0); D1(1,0,0); B1(0,1,0); C(0,0,1); B(0,1,1); A1(1,1,0), A(1,1,1)

I C1D nên giả sử C1I a C1Da(C1D1C1C) I(a, 0 ,a)

Mặt phẳng (IBA1) có cặp véc tơ chỉ phương BI(a,1,a1) và

)1,

1)

1(11

11

0

11

a a

x a

0Giao điểm K của CB1 và mặt phẳng (IBA1) là K(

22

1,22

12,0

a

) Đường thẳng AD1 đi qua D1 có véc tơ chỉ phương D1A = (0,1,1) có

1 1 0

1

t z y x

a

2

1 2 , 2

1 2 ,

)

Ta có: (2 2 '1 2 '2 2 1)

22

a a

a a

a JI

2

22

do đó I, K, J thẳng hàng

b Với phương pháp tọa độ, việc giải toán đã thoát ly khỏi các quan hệ hình học, trí tưởng tượng không gian mà nghiên cứu các mối quan hệ thông qua các biểu thức tọa độ

Ví dụ 1:

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Cho tứ diện đều ABCD, H là chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh D, I là trung điểm của DH và K là chân đường vuông góc hạ từ I lên DC Chứng minh rằng đường thẳng IK đi qua trọng tâm tam giác DAB

Tóm tắt lời giải:

Chọn hệ tọa độ Đề các vuông góc sao cho H là gốc tọa độ,

A  B   C và khi đó D(0;0;h) Ta xác định h (h>0)

2 2 2

0

x DC

) 2 ( 2

z y

z y

z y

2 , 0 ( )

3

2 2 , 3

1

| ] AC AB [

| 2

1

a c c b b

2 Xuất phát từ cos= 0

.

|

|

|

|

.

2 2 2 2

a AC

AB

AC AB

Chứng tỏ <900

4

2 2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 2

2

1 ) )(

( 1 cos

1

a

a c c b b a a

b a c a

1.4 Các bước giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Khi nghiên cứu hình học không gian trong chương trình toán các trường THPT bằng phương pháp tọa độ chúng ta đã dùng các số thực và các phép toán của trường số thực để thể hiện các khái niệm và các quan hệ trong hình học không gian Đây là một quá trình trừu tượng hóa và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học, vì vậy giáo viên cần hết sức lưu ý trong việc rèn luyện phương pháp tọa độ cho học sinh ngay trong tiết dạy lý thuyết liên quan đến việc xác định tọa độ của một điểm, một véctơ Điều đó chuẩn bị những cơ

sở ban đầu cho học sinh để dùng véc tơ tọa độ làm phương tiện sau này khi chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa các đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số Với nhiều bài toán hình học có chứa yếu tố “ khoảng cách “, “ cùng phương” và đặc biệt là yếu tố

“ vuông góc”, nếu khéo chọn hệ tọa độ thì có thể chọn được thành bài toán đại

số có nhiều hứa hẹn cho khả năng tìm lời giải Đó là tư tưởng dùng phương pháp tọa độ để giải toán

Giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ có thể tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp

Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ tọa độ

Bước 3: Dùng các kiến thức tọa độ để giải toán

Bước 4: Chuyển kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là trung

b Xác định góc giữa hai đường thẳng '

AC



và MN

Bước 2: Do A(0; 0; 1); C’ (1; 1; 0) nên AC' (1;1; 1)

Bước 3: Giả sử  là góc giữa hai đường thẳng AC’ và MN có các véc tơ chỉ

2 2cos

Ví dụ 2: Tìm khoảng cách giữa đường chéo của một hình lập phương có

cạnh bằng 1 và đường chéo của một mặt nếu chúng không cắt nhau

Lời giải:

Muốn tính khoảng cách giữa đường chéo của hình lập phương ABCDA1B1C1D1 và đường chéo của một mặt, chẳng hạn AC1 và DB bằng phương pháp tọa độ ta sẽ thực hiện qua các bước sau:

Bước 1: Chọn hệ tọa độ: Nên chọn hệ tọa độ lấy A làm gốc tọa độ, các tia Ax, Ay, Az trùng với các tia AB, AD, AA1 ( hình vẽ )

Bước 2: Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ tọa độ: Muốn tính khoảng cách giữa AC1 và DB ta viết phương trình đường thẳng AC1 và DB, ta tính tọa

độ các điểm: A( 0; 0; 0); B (1; 0; 0); D(0; 1; 0); C1(1; 1; 1)

Phương trình đường thẳng AC1:

0 0 0

1 1

Bước 3: Dùng các kiến thức về tọa độ để giải toán

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC1 và DB bằng công thức, ta có:

Chương này trình bày sơ lược về lịch sử ra đời của phương pháp tọa độ, vai trò của phương pháp tọa độ trong việc nghiên cứu hình học, những yêu cầu khi dạy học phương pháp tọa độ ở trường phổ thông Mỗi nội dung đều có một

số ví dụ minh họa để làm sáng tỏ cho lý luận Tiếp đó luận văn trình bày về các khái niệm, kỹ năng, kỹ năng giải toán Có thể nói, phương pháp tọa độ có chiều dài lịch sử, nó cho chúng ta một phương pháp nghiên cứu rất hữu hiệu Việc sử dụng phương pháp tọa độ trong giải toán hình học không gian đã giúp cho học sinh có thể giải nhiều bài tập một cách dễ dàng hơn, tiện lợi hơn

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN GIẢI TOÁN BẰNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 2.1 Kỹ năng thiết lập hệ tọa độ

2.1.1 Thiết lập hệ tọa độ vuông góc trong những trường hợp thường gặp

Các bài toán hình học không gian được coi là các bài toán khó đối với học sinh phổ thông, do đó người thầy có vai trò rất quan trọng trong việc hướng dẫn học sinh trong tất cả các khâu làm bài tập Trước hết học sinh cần đọc kỹ toàn bộ bài toán, từ đó có cơ sở để tưởng tượng và phác thảo sơ bộ hình

có chứa các dữ kiện trong đề bài Cần phải lựa chọn được hệ trục tọa độ sao cho điểm gốc O và các trục tọa độ trùng với các điểm đặc biệt, các đường đặc biệt thì việc tính toán sẽ được thực hiện một cách thuận lợi và đơn giản hơn

Việc lựa chọn hệ tọa độ Đềcác vuông góc gắn với các hình cơ bản được thể hiện trong các hình vẽ sau:

1 Tam diện vuông SABC 2 Tứ diện vuông SABCD

3 Hình hộp chữ nhật 4 Hình lập phương

5 Hình chóp tam giác đều 6 Hình chóp tứ giác đều

2.1.2 Hệ thống các bài toán rèn luyện kỹ năng thiết lập hệ tọa độ

Bài toán 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a

a Tính theo a khoảng cách giữa A’B và B’D

b Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc giữa MP và C’N

Tóm tắt lời giải:

a Lập hệ trục tọa độ gốc A,

trục hoành chứa AB, trục tung

chứa AD, trục cao chứa AA’

Ta có tọa độ các điểm A(0; 0; 0),

A’(0; 0; a), B(a; 0; 0), B’(a; 0; a),

A B B D

A B B D A B

a d

a Chứng minh IJ song song với mặt phẳng (A’BCD’)

b Tìm m để độ dài IJ nhỏ nhất, khi đó hãy chứng minh IJ là đường vuông góc chung của AD’ và BD

2 2

Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên

(SAB) là tam giác đều vă nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N,

P lần lượt là trung điểm các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với

BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP

Tóm tắt lời giải:

Gọi H là trung điểm AD thì SH

Vuông góc (ABCD) Lập hệ trục

Tọa độ gốc H, trục hoành chứa HD,

Trục tung chứa HN, trục cao chứa HS

Bài toán 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông

góc với đáy ABCD Gọi I là trung điểm BC, J là điểm thuộc cạnh BC đạt DJ =

x Tìm x để:

a Hai mặt phẳng (SAI) và (SIJ) vuông góc với nhau

b Góc giữa hai mặt phẳng (SAI) và (SAJ) có số đo bằng 600

Tóm tắt lời giải:

a Lập hệ trục tọa độ gốc A,

trục hoành chứa AB, trục tung

chứa AD, trục cao chứa AS

( ) ( I )

3.AJ 0

2( 13 2)

Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông cân ABC đỉnh

A, BC = a, SB = a và SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC Tính: