Thiết lập hệ trục tọa độ giải một số bài toán trong hình học không gian

S GIO DC V O TO THANH HO TRNG THPT Lí THNG KIT SNG KIN KINH NGHIM TấN TI THIT LP H TRC TA GII MT S BI TON TRONG HèNH HC KHễNG GIAN TON HC 12 C BN Ngi thc hin: Nguyn Vn Hng Chc v: Giỏo viờn n v cụng tỏc: Trng THPT Lý Thng Kit Lnh vc: Hỡnh hc THANH HểA NM 2017 MC LC A PHN M U 1 Lý chn ti Kho sỏt thc trng hc sinh gii toỏn hỡnh hc khụng gian c in Cỏc gip phỏp giỳp hc sinh gii toỏn hỡnh hc khụng gian c in 3.1 Ni dung bi toỏn thng gp 3.2 Phng phỏp 3.3 C s thc tin a Thun li b Khú khn Phng phỏp nghiờn cu i tng v phm vi ỏp dng ca ti B PHN NI DUNG Cỏc dng hỡnh thng gp v vớ d ỏp dng DNG 1: Hỡnh chúp cú cha gúc tam din vuụng a Phng phỏp thit lp b Vớ d ỏp dng DNG 2: Hỡnh chúp tam giỏc u a Phng phỏp thit lp b Vớ d ỏp dng DNG 3: Hỡnh chúp cú ỏy l hỡnh thoi, hỡnh ch nht, hỡnh vuụng v hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm a giỏc ỏy a Phng phỏp thit lp b Vớ d ỏp dng DNG 4: Hỡnh chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi mt phng ỏy; ỏy l tam giỏc cõn, tam giỏc u, tam giỏc vuụng 11 a Phng phỏp thit lp 11 b Vớ d ỏp dng 12 DNG 5: Hỡnh lng tr ng ỏy l tam giỏc cõn, tam giỏc u 14 a Phng phỏp thit lp 14 b Vớ d ỏp dng 15 DNG 6: Hỡnh lng tr ng ỏy l hỡnh ch nht, hỡnh vuụng, tam giỏc vuụng 17 a Phng phỏp thit lp 17 b Vớ d ỏp dng 17 DNG 7: Hỡnh lng tr ng ỏy l hỡnh thoi 17 a Phng phỏp thit lp 17 b Vớ d ỏp dng 17 DNG 8: Hỡnh lng tr xiờn cú hỡnh chiu ca mt nh trựng vi tm a giỏc ỏy 20 a Phng phỏp thit lp 20 b Vớ d ỏp dng 20 DNG 9: Cỏc dng hỡnh khỏc 22 a Phng phỏp thit lp 22 b Vớ d ỏp dng 22 Bi tõp dng 24 KT LUN 26 A PHN M U Lý chn ti : Trong quỏ trỡnh ging dy v ụn luyn cho hc sinh d thi tt nghip cng nh thi i hc Cao ng v bõy gi l d thi THPT Quc Gia, bn thõn tụi nhn thy hc sinh gp khụng ớt khú khn gii bi hỡnh hc khụng gian Nht l i vi hc sinh cú lc hc trung bỡnh, kh nng t tng tng hỡnh khụng gian ca cỏc em cũn nhiu hn ch c bit l cỏc bi toỏn chng minh quan h song song, vuụng gúc, cỏc bi toỏn tớnh khong cỏch, xỏc nh gúc, tớnh din tớch ca cỏc hỡnh, th tớch cỏc Trong ú, rt nhiu bi toỏn ca chng trỡnh THPT, bit cỏch s dng phng phỏp ta thỡ bi toỏn cú th c gii quyt c mt cỏch n gin hn Vỡ phng phỏp ta cú th c xem nh mt phng phỏp i s húa bi toỏn hỡnh hc Bng phng phỏp ny, hc sinh ch yu lm vic vi cỏc s, khụng cn t hỡnh hc nhiu v gõy hng thỳ cho hc sinh gii cỏc bi ton ny Tuy nhiờn thit lp h trc ta nh th no cho phự hp v thun tin cho quỏ trỡnh tớnh toỏn thỡ khụng phi bt c hc sinh no cng lm c i vi mi dng hỡnh khỏc thỡ cú nhng cỏch thit lp h ta khỏc Vỡ lý trờn, tụi quyt nh chn nghiờn cu chuyờn Thit lp h trc ta gii mt s dng toỏn Hỡnh hc khụng gian, vi hy vng cung cp cho hc sinh mt cỏi nhỡn khỏi quỏt v phng phỏp thit lp h ta cho mt s dng toỏn hỡnh hc khụng gian, cung cp mt phng phỏp gii toỏn cho hc sinh Kho sỏt thc trng vic hc sinh gii hỡnh hc khụng gian c in: 2.1 Nhng khú khn hc sinh thng gp gii hỡnh hc khụng gian c in - Khụng xỏc nh c ng cao ca hỡnh hoc ó cho - Khụng xỏc nh c hỡnh chiu hỡnh vuụng gúc ca mt im trờn ng thng, mt phng, t ú tớnh khong cỏch ca im n mt phng, t mt im ti ng thng , gia hai ng thng chộo nhau, - Khi thc hin gn h trc ta khụng gian cha bit cỏch la chn gn trc t ú xỏc nh ta cỏc im trờn hỡnh v mt cỏch d dng v hiu qu 2.2 Nguyờn nhõn: - L mt dng bi khú - Nng lc ca hc sinh cú gii hn 2.3 Kt qu kho sỏt : Nm hc 2014-2015 2015-2016 2016-2017 Tng s 42 35 40 S hs lm c 10 S hs cha lm c 32 30 33 Chỳ ý 3.Cỏc gii phỏp giỳp hc sinh gii toỏn hỡnh hc khụng gian c in 3.1: Ni dung bi toỏn thng gp: Cho hỡnh hoc (Chúp, t giỏc, lng tr,) khụng gian Tớnh: - ng cao, th tớch, din tớch xung quanh, din tớch ton phn, th tớch mt cu ngoi tip - Khong cỏch 3.2: Phng phỏp: thit lp mt h ta v gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian bao gm nhng bc sau: Bc 1: Chn h ta + Cn chn h ta Oxyz mt cỏch thớch hp thun tin cho cỏc bc gii sau + Nu bi toỏn Hỡnh hc khụng gian ang xột cú sn mt gúc tam din vuụng, hai mt phng vuụng gúc, cỏc quan h vuụng gúc khỏc thỡ ta cú th la chn h ta da trờn cỏc quan h vuụng gúc cú sn ú Tuy nhiờn cn da vo cỏc tớnh cht c bit ca hỡnh ang xột, c bit cỏc tớnh cht cú th suy c cỏc quan h vuụng gúc chn h ta mt cỏch thớch hp Bc 2: Xỏc nh ta cỏc im + Tỡm ta cỏc im bi theo h ta va chn, thc ch cn tỡm ta mt s im cú liờn quan n gi thit, kt lun bi toỏn + Cn lu ý, nu bi toỏn ó cho cú sn s liu thỡ vic suy ta cỏc im da trc tip vo hỡnh v , i vi cỏc bi toỏn cha cú sn s liu thỡ cn a s liu vo bi toỏn sau ú da vo hỡnh v v theo s liu ú tớnh ta cỏc im cú liờn quan Bc 3: Th hin cỏc gi thit bi toỏn theo quan im ca Hỡnh hc gii tớch + Da vo yờu cu bi toỏn trờn c s ta cỏc im va tỡm th hin cỏc gi thit ca bi toỏn ó cho di dng Hỡnh hc gii tớch Bc 4: S dng cỏc kin thc ca ta gii bi toỏn Cỏc dng toỏn thng gp: - Tớnh khong cỏch: gia hai im, t mt im n mt ng thng, gia hai ng thng chộo nhau, gia ng thng vi mt phng song song vi nú - Tớnh gúc: gia ng thng v mt phng, gia hai mt phng, gia hai ng thng - Tớnh din tớch, th tớch - Chng minh cỏc quan h vuụng gúc, cỏc bi toỏn cc tr 3.3 C s thc tin a Thun li Vic s dng ta xõy dng quan h vuụng gúc khụng gian lm cho cỏch din t mt s ni dung hỡnh hc c gn nh hn, hc sinh d dng tip thu b Khú khn Cũn rt nhiu hc sinh cha nhn thc ỳng v tm quan trng ca vic phõn tớch bi, dng hỡnh v nh hng phng phỏp gii quyt bi toỏn Cỏc em cũn mỏy múc gii cỏc bi toỏn theo khuụn mu, thiu s sỏng to, ngi ghi nh cụng thc nờn kt qu khụng nh mong i Phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu lý lun, c ti liu liờn quan hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta i tng v phm vi ỏp dng ca ti Hc sinh hc lp 12 B PHN NI DUNG Cỏc dng hỡnh thng gp v vớ d ỏp dng DNG 1: Hỡnh chúp cú cha gúc tam din vuụng a Phng phỏp thit lp: i vi hỡnh chúp cú cha gúc tam din vuụng ta thit lp h ta vi cỏc trc ta chớnh l cỏc cnh ca gúc tam din vuụng ú (hỡnh v) b Vớ d ỏp dng: Vớ d 1: Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc, OA = a, OB = b, OC=c a Chng minh rng tam giỏc ABC cú ba gúc nhn b Gi , , ln lt l gúc hp bi cỏc mt phng (OAB, OBC), (OCA) vi mp (ABC) Chng minh rng: cos + cos + cos = Gii: Chn h ta Oxyz vi: A Ox, B Oy, C Oz Khi ú ta cú: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) a Trong tam giỏc ABC ta cú: uuu r uuur uuu r uuur AB AC cos A = cos( AB, AC ) = uuu r uuur AB AC = a2 a +b a +b 2 2 > àA nhọn = cos B ả = cos C b2 a +b b +c 2 2 c2 a +c b +c 2 2 nhọn , >0 B nhọn >0C Vy tam giỏc ABC cú ba gúc nhn b Ta cú: cỏc mt phng (OAB), (OAC), (OCA) cú cỏc vộc t phỏp tuyn ln lt l: ur uu r uu r n1 = (0;0;1), n2 = (1;0;0), n3 = (0;1;0) mp (ABC) cú phng trỡnh l: x y z + + =0 a b c uu r bcx + acy + abz = mp(ABC) có vtpt n = (bc;ca;ab) ur ur n1.n ur ur ab cos = cos(n1,n ) = ur ur = n1 n (bc)2 + (ca)2 + (ab)2 (ab)2 cos = (bc)2 + (ca)2 + (ab)2 Tng t ta cú: (bc)2 (ca)2 cos = , cos = (bc)2 + (ca)2 + (ab)2 (bc)2 + (ca)2 + (ab)2 cos2 + cos2 + cos2 = pcm Vớ d 2: Cho hỡnh chúp SABCD cú SA vuụng gúc vi mt phng ỏy, ỏy ABCD l hỡnh ch nhp, SA = AB = a, AD = a , gi M, N ln lt l trung im ca AD v SC, I l giao im ca BM v AC a) CMR: ( SAC ) ( SMB) b) Tớnh th tớch t din ANIB Gii: Chn h ta vi Axyz vi D Ax, B Ay , S Az Khi ú: A(0;0;0), B(0;a;0),C(a 2;a;0), S(0;0;a), M ( a ;0;0), a a a N ; ; ữ 2 ur a) Ta cú: mp (SAC) cú vtpt l n1 = (1; 2;0) , uu r mp (SMB) cú vtpt l n2 = ( 2;1;1) ur uu r ur uu r n1.n2 = n1 n2 Hay ( SAC ) ( SMB ) b) Ta cú mp (SAC) cú phng trỡnh: x 2y = , x = t BM cú phng trỡnh: y = a 2t z = r a3 uuur uur uuu a a I = BM ( SAC ) Vỡ I( ; ;0) VANIB = AN, AI AB = 3 36 DNG 2: Hỡnh chúp tam giỏc u: a Phng phỏp thit lp: Cỏch 1: Thit lp h ta Oxyz cho gc O trựng vi tõm ca tam giỏc ỏy; trc cao cha ng cao ca hỡnh chúp Trc th hai i qua nh ca tam giỏc ỏy, trc cũn li song song vi cnh ỏy ca tam giỏc ỏy (h.3) Cỏch 2: Thit lp h ta Oxyz cho gc O trựng vi trung im mt cnh ca tam giỏc ỏy, trc cao vuụng gúc vi mt phng ỏy, trc th hai trựng vi cnh tam giỏc ỏy v trc cũn li i qua nh ca tam giỏc ỏy (h.4) c bit nu bi toỏn ó cho l mt t din u thỡ ta cú th thit lp h ta Oxyz vi I chớnh l trung im ca ng trung tuyn ng vi mt nh ca t din, cỏc trc Ox, Oy, Oz ln lt i qua ba nh cũn li ca t din (h.5) b Vớ d ỏp dng Vớ d 1: Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, ỏy cú cnh bng a Gi M, N ln lt l trung im ca SB, SC Bit rng (AMN ) (SBC) Tớnh th tớch chúp Gii: Chn h ta Oxyz nh hỡnh v (h.6) t SO = h Khi ú ta cú: C( a a a a a ;0;0), A( ; ;0), B( ; ;0), S(0;0;h) 3 2 uuur a 3a h uuur a a h a a h a h ; ; ), AN = ( ; ; ) , M ( ; ; ), N( ;0; ) Ta cú: AM = ( 4 2 4 2 Mp (SBC) i qua ct Oy ti K (0; a a ;0) , Ox ti C( ;0;0) , Oz ti S 3 (0;0;h) Nờn cú phng trỡnh on chn l: x y z 3 + + = x y+ z = a a h a a h 3 uu r 3 mp(SBC)có vectơpháp tuyến là: n2 ( ; ; ) a a h Ta cú: ur uu r 3 5a (AMN ) (SBC) n1.n2 = (h) + h 3.( ) + = h= a a a 12 h Vy VS.ABC 1 a2 a3 = SO.SABC = a = 3 12 24 Vớ d 2: Cho t din u SABC cnh l a G l trng tõm tam giỏc ABD I l trung im SG Chng minh rng: IA, IB, IC ụi mt vuụng gúc 10 uuu r uur uur 3a3 AB, SC AS a 15 = 22 = uuu r uur Khong cỏch gia AB v SC l: d(AB,SC) = AB, SC a 15 Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA (ABC) ABC vuụng ti B, AB = a, BC = b SC to vi mp (ABC) gúc 600 Tớnh th tớch hỡnh chúp v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp Gii: Chn h ta Bxyz nh hỡnh v (h.18), gi s SA = h uur Khi ú ta cú: B(0;0;0), C(b;0;0), A(0;a;0), S(0;a;h) SC = (b;a;h) Mp (ABC) cú phng trỡnh: z=0 v cú vtpt l: n= (0;0;1) r uur n SC sin600 = r uur n SC h a +b +h 2 = h = 3(a2 + b2 ) SA = h = 3(a2 + b2 ) 11 VS ABC = SABC SA = BA.BC 3(a2 + b2 ) 32 2 = ab 3(a + b ) Gi I (x0; y0;z0 ) l tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp Khi ú: IA2 = IB2 = IC2 = IS2 = R2 x02 + (y0 a)2 + z02 = x02 + y02 + z02 = (x0 b)2 + y02 + z02 ( = x02 + (y0 a)2 + z0 3(a2 + b2 ) ) b a 3(a2 + b2 ) a b 3(a2 + b2 ) y0 = , x0 = , z0 = I ; ; ữ 2 ữ 2 2 Bỏn kớnh mt cu ngoi tip l: R = IB = a2 + b2 DNG 5: Hỡnh lng tr ng ỏy l tam giỏc cõn, tam giỏc u a Phng phỏp thit lp: 17 - Vi hỡnh lng tr ng cú ỏy l tam giỏc cõn: + Cỏch 1: Chn h ta vi hai trc ln lt l cnh ỏy v chiu cao tng ng ca tam giỏc cõn ỏy, trc cũn li cha ng trung bỡnh ca mt bờn (h.19) + Cỏch 2: Chn h ta vi hai trc ln lt l cnh bờn lng tr v ng cao ng vi cnh ỏy ca tam giỏc cõn ỏy Trc cũn li song song vi cnh ỏy ca tam giỏc cõn ỏy (h.20) + Cỏch 3: Chn h ta vi hai trc ln lt l cnh bờn lng tr v cnh ỏy ca tam giỏc cõn ỏy Trc cũn li song song vi ng cao ng vi cnh ỏy ca tam giỏc cõn ỏy (h.21) - Vi hỡnh lng tr ng cú ỏy l tam giỏc u ta lm tng t b Vớ d ỏp dng: Vớ d 1: Cho lng tr ng ABC.ABCcú ỏy ABC l tam giỏc cõn vi ã AB=AC=a v BAC = 1200 , BB=a Gi I l trung im ca CC a) Chng minh rng tam giỏc ABI vuụng A b) Tớnh gúc gia hai mt phng (ABC) v (ABI) Gii: Chn h ta Oxyz nh hỡnh v (h.22) ã a) Do tam giỏc ABC cõn cú AB=AC=a v BAC = 1200 nờn BC = a 18 a a a Khi ú: A( ;0;0), C(0; ;0), B(0; ;0), 2 a a a a ;a), B'(0; ;a), I (0; ; ) 2 2 uuur a a uur a a a AB'( ; ;a), AI ( ; ; ) 2 2 uuu r uur a2 3a2 a2 AB.AI = + = AB' AI hay AB'I vuông A 4 C '(0; b) D nhn thy mt phng (ABC) cú vtpt l ur ur n(0;0;1) n = uuur uur 3a2 a2 3a2 Ta có: AB', AI = ( ; ; ) 4 uu r ur mp(AB'I ) có vtpt là:n'(3 3;1;2 3) n' = 40 ur ur n.n' 30 = Gi l gúc gia hai mp (ABC) v (ABI) cos = ur ur = 40 10 n n' Vớ d 2: Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a, AA=2a gi D l trung im ca BB, M di ng trờn AA Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht din tớch ca tam giỏc MCD Gii: Chn h ta Axyz nh hỡnh v (h.23) Khi ú: A(0;0;0), B(0;a;0); A(0;0;2a), C'( a a ; ;2a) , D(0;a;a) 2 Do M di ng trờn AA, nờn ta M(0;0;t) vi t [0;2a] uuuu r a a uuuu r Ta cú: DC '( ; ;a), DM(0;a;t a) 2 uuuu r uuuu r a(t 3a) a 3(t a) a2 DC ', DM = ; ; ữ 2 uuuu r uuuu r a DC ', DM = 4t2 12at + 15a2 Ta cú: 19 SDC'M uuuur uuuur a = DC ', DM = 4t2 12at + 15a2 Giỏ tr ln nht hay nh nht ca din tớch tam giỏc MCD tựy thuc vo giỏ tr hm s: f (t) = 4t2 12at + 15a2 đoạn [0;2a] f '(t) = 8t 12a, f '(t) = t = Ta cú: f (0) = 15a2, f ( 3a 3a ) = 6a2, f (2a) = 7a2 max f (t) = f (0) = 15a2,min f (t) = f ( [0;2a] [0;2a] Vy 3a ) = 6a2 2 SMC'D t giỏ tr ln nht l: a 15 v t giỏ tr nh nht l: a 4 DNG 6: Hỡnh lng tr ng ỏy l hỡnh ch nht, hỡnh vuụng, tam giỏc vuụng (Hỡnh lng tr ng cú nh l nh ca mt gúc tam din vuụng) a Phng phỏp thit lp: - Phng phỏp chung l chn h ta cho gc ta trựng vi nh ca gúc tam din vuụng, cỏc trc ta ln lt cha ba cnh ca gúc tam din vuụng ú (h.24) - i vi lng tr cú ỏy l hỡnh vuụng, hỡnh ch nht ta cú th chn h ta vi gc l tõm ca ỏy, trc cao cha ng ni hai tõm ca ỏy, hai trc cũn li song song vi hai cnh ỏy (h.25) - c bit vi lng tr t giỏc u (ỏy l hỡnh vuụng) ta cú th chn h ta vi gc l tõm ca ỏy, trc cao cha ng ni hai tõm ca hai ỏy, hai trc cũn li cha hai ng chộo ca hỡnh vuụng ỏy (h.26) 20 b Vớ d ỏp dng: Vớ d 1: Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti A v AB=AC=AA= a Trờn BC v AC ln lt ly cỏc im E v F cho EF // (ABBA) Tỡm giỏ tr nh nht di on EF Gii: Chn h ta Axyz nh hỡnh v (h.27) Khi ú: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;a;0), C(0;a;a), A(0;0;a) uuur uuuu r BC ' = ( a;a;a), A'C = (0;a; a) Phng trỡnh tham s ca BC v AC ln lt l: x = a t (BC): y = t v (AC): z = t x = y = a t' z = t' Vỡ uuu r E BC ' E(a t;t;t), F A'C F (0;a t';t') EF = (a + t;a t' t;t' t) Mp(ABBA) cú vtpt uuu r ur EF j = a t t' = l ur j (0;1;0) nờn EF//(ABBA) uuu r t' = a t EF ( a + t;0;a 2t) EF = ( a + t)2 + (a 2t)2 3a a2 a2 a = 5t 6at + 2a = 5(t ) + EF 5 5 2 Vậy EF đạt giá trịnhỏ a 21 thỡ Vớ d 2: Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB=a, AD=b, AA=c chng minh rng bỡnh phng din tớch ABD bng 1/8 tng bỡnh phng din tớch cỏc mt hỡnh hp Gii: Chn h ta nh hỡnh v (h.28) a b a b a b Khi ú: B( ; ;0), D( ; ;0), A'( ; ;c) 2 2 2 uuuu r uuuur A' B(a;0;c), A' D(0;b;c) uuuu r uuuur A' B, A' D = (bc;ac;ab) r uuuur uuuu S = A' B, A' D A'BD 2 2 2 = bc +ac +ab S2 = (b2c2 + a2c2 + a2b2 ) (1) A'BD Mt khỏc d thy tng bỡnh phng din tớch cỏc mt l: S = 2( (ac)2 + (ab)2 + (bc)2 ) (2) T (1) v (2) suy iu phi chng minh DNG 7: Hỡnh lng tr ng ỏy l hỡnh thoi a Phng phỏp thit lp: Chn h ta vi gc l tõm ca hỡnh thoi ỏy, trc cao cha ng ni hai tam ca hai ỏy, hai trc cũn li cha hai ng chộo ca hỡnh thoi ỏy (h.29) 22 b Vớ d ỏp dng: Vớ d: Cho hỡnh lng tr ng ABCD.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi cnh ã a, BAD = 600 Gi M, N ln lt l trung im ca AA v CC a) Chng minh B, M, D, N ng phng b) Tỡm AA theo a BMDN l hỡnh vuụng Gii: Chn h ta nh hỡnh v (h.30) a Khi ú d thy ABD u nờn AO = CO = a a , BO = DO = 2 Gi s AA = h a a a h B'( ;0;h), D( ;0;0),N (0; ; ), 2 2 uuuu r a a h a h M(0; ; ) DM( ; ; ), 2 2 uuur a a h uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r ah a2 DN ( ; ; ), DB'(a;0;h) DM, DN = ( ;0; ) DM, DN DB' = 2 2 uuuu r uuur uuuu r Vy ba vect DM, DN, DB' ng phng hay bn im B, M, D, N ng phng 4a2 + h2 b) Ta cú MB//DN, DM//BN v DM = DN = nờn t giỏc BMDN l hỡnh thoi BMDN l hỡnh vuụng thỡ DM DN uuuu r uuur h2 2a2 uuuu r uuur DM.DN = h2 2a2 = h = a Ta cú DM.DN = Vy BMDN l hỡnh vuụng h = a DNG 8: Hỡnh lng tr xiờn cú hỡnh chiu ca mt nh trựng vi tm a giỏc ỏy 23 a Phng phỏp thit lp: Chn h ta vi gc l tõm ca a giỏc ỏy, trc cao i qua nh ca lng tr, hai trc cũn li thit lp da theo tớnh cht c bit ca a giỏc ỏy b Vớ d ỏp dng: Vớ d 1: Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC, ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, trc tõm l O, A'O (ABC) , AA to vi mt phng (ABC) gúc 600 a Chng minh BCCB l hỡnh ch nht, tớnh din tớch BCCB Gii: Chn h ta nh hỡnh v (h.31) Khi ú: A(0; a a a a a a a ;0), A'(0;0;a), B( ; ;0),C( ; ;0), B'( ; ;a) 6 2 uuur a uuu r uuur uuu r a) BB'(0; ;a), BC(a;0;0) BB'.BC = BB' BC BCCB l hỡnh ch nht 2a2 SBCC'B' = BC.BB' = uuur a a uuur a b) Ta cú: AC( ; ;0), AA'(0; ;a) 2 uuur uuur a2 a2 a2 AC, AA' = ( ; ; )= 2 a2 (3; 3;1) uu r mp(ACC ' A') có vtpt là: n'(3; 3;1) uuu r a a uuu r uuur a2 a2 a2 a2 Li cú: BA( ; ;0) BA, BB' = ( ; ; )= (3 3;3; 3) 2 2 6 ur mp(BAA' B') có vtpt là: n(3 3;3; 3) Gi l gúc gia hai mp (ABBA) v (ACCA) ur ur n.n' 5 cos = ur uu = r = 39 13 13 n n' 24 Vớ d 2: Cho lng tr ABCD.ABCD cú ỏy l ABCD l hỡnh thoi tõm ã O cnh bng a, gúc BAD = 600 B'O (ABCD) , BB=a a) Tớnh gúc gia cnh bờn v mp ỏy b) Tớnh khong cỏch t B, B n mt phng (ACD) Gii: Chn h ta nh hỡnh v (h.32) ã ' BO a) Gi l gúc gia hai cnh bờn v ỏy = B cos = BO a / = = B'O a a B'O = BB'.sin600 = a.sin600 = b) Ta cú: a a a B( ;0;0), B'(0;0 ), A(0; ;0), 2 a a C(0; ;0), D'(a;0; ) 2 uuur AC(0;a 3;0), uuuu r uuur uuuu r a a 3a2 a2 AD '(a; ; ) AC, AD ' = ( ;0;a 3) = ( 3;0;2) 2 2 mp(ACD) cú vtpt l: ur n( 3;0;2) v qua C(0; a ;0) ptmp(ACD ') là: 3x + 2z = Khong cỏch t B n mt phng (ACD) l: d = ( B',( ACD')) Khong cỏch t B n mt phng (ACD) l: d(B,( ACD')) = DNG 9: Cỏc dng hỡnh khỏc a Phng phỏp thit lp: 25 a a 21 14 = a 21 Tựy theo tớnh cht hỡnh hc ca mi hỡnh m ta cú th da vo tỏm dng hỡnh trờn v tớnh cht c bit ca bi toỏn thit lp h ta cho phự hp, thun tin cho quỏ trỡnh gii toỏn b Vớ d ỏp dng: Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD, cú ỏy ABCD l na lc giỏc u ni tip ng trũn ng kớnh AB=2a, SA = a v SA (ABCD) Tớnh gúc gia cỏc cp mt phng: (SAD) v (SBC); (SCD) v (SBC) Gii: Chn h ta Oxyz vi O A, B Ay, S Az (h.33) Khi ú: A(0;0;0), B(0;2a;0), C( a 3a a a ; ;0), D( ; ;0) 2 2 uur uuur a a S(0;0;a 3) AS(0;0;a 3), AD( ; ;0) 2 uur uuur a2 3a2 AS.AD = ( ; ;0) 2 , a2 = (1; 3;0) uu r vtpt mp(SAD)là: n1(1; 3;0) 2 uuu r a a uur a 3a uuu r uur a 3 a a CB( ; ;0),CS( ; ;a 3) CB.CS = ( ; ;a 3) = (1; 3;2) 2 2 2 uu r vtpt mp(SBC)là: n2 (1; 3;2) 2 uuur uuur uur a a CD(0;a;0) CD.CS = (a 3;0; )= (2;0;1) 2 uu r vtpt mp(SCD)là: n3(2;0;1) ur uu r n1.n2 2 = r = Gi l gúc gia hai mp (SAD) v (SBC) cos = ur uu n1 n2 uu r uu r n2.n3 10 = r uu r = Gi l gúc gia hai mp (SCD) v (SBC) cos = uu n2 n3 26 Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi cnh a, 2a ã BAD = 600, SA = SB = SD = Tớnh gúc gia (SBD) v (ABCD) Gii: Chn h ta nh hỡnh v (h.34) Khi ú: a a a a ; ;0), D( ; ;0),S(0;0;a) 6 uur a a uuu r BS( ; ;a), BD(0; a;0) B( uu r uur uuur a BS, BD = (a ;0; ) mp(SBD) cú vtpt l: n1 (6;0; 3) , uu r n Mt khỏc, mp (ABCD) cú vtpt l: (0;0;1) Gi l gúc gia hai mp (SBD) v (ABCD) ur uu r n1.n2 13 cos = ur uu = r = 39 13 n1 n2 Bi dng Bi 1: Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cnh OA=OB=OC=3cm v vuụng gúc vi tng ụi mt Gi H l hỡnh chiu ca im O lờn (ABC) v cỏc im A,B,C ln lt l hỡnh chiu ca H lờn (OBC), (OCA), (OAB) Tớnh th tớch t din HABC Gi S l im i xng ca H qua O Chng t S.ABC l t din u Bi Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc Gi a, b, g ln lt l gúc nh din cnh AB, BC, CA Gi H l hỡnh chiu ca nh O trờn (ABC) Chng minh H l trc tõm ca D ABC Chng minh cosa + cosb + cos g Ê 27 Bi Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, ỏy cú cnh bng a Gi M, N ln lt l trung im ca SB, SC Bit rng (AMN ) (SBC) Tớnh din tớch tam giỏc AMN theo a Bi Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = SB = SC, khong cỏch t S n mp (ABC) l h Tớnh h theo a hai mp (SAB) v (SAC) vuụng gúc vi Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O, AC = 4, BD = 2, SO = v vuụng gúc vi mt phng ỏy Tỡm M thuc SO cỏch u hai mt phng (SAB) v (ABCD) Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy ABCD l hỡnh ch nht cúAB = 2a, BC = a Cỏc cnh bờn u bng a Gi M, N, P, Q theo th t l trung im ca AB, CD, SC, SD Cmr SMN u Cmr: SN (MPQ) Bi Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ti B, AB = a, BC = 2a Cnh SA vuụng gúc vi ỏy v SA = 2a Gi M l trung im ca SC Tớnh din tớch D MAB theo a Tớnh khong cỏch gia MB v AC theo a Bi Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a SA = a v vuụng gúc vi ỏy Gi M, N theo th t l trung im ca AB v AC Tớnh gúc gia hai mp (SMN) v (SBC) Tớnh khong cỏch gia AM v SC Bi Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú cỏc mt bờn u l cỏc hỡnh vuụng cnh a Gi D, F ln lt l trung im ca BC v BC Tớnh khong cỏc gia AB v BC Bi 10 Cho hỡnh lng tr u ABC.ABC cú tt c cỏc cnh u bng nhau, M l trung im ca BB Cmr AM vuụng gúc vi AC v CB Bi 11 Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng cõn vi AB = AC = a v AA = h Gi E, F ln lt l trung im ca BC v AC tỡm 28 trờn on DE im I cỏch u hai mp (ABC) v (ACCA) Tớnh khong cỏch ú Bi 12 Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a Gi I, K, M, N ln lt l trung im ca AD, BB, CD, BC Chng minh I, K, M, N ng phng Tớnh din tớch t giỏc IKNM Tớnh khong cỏch gia IK v AD Bi 13 Cho hỡnh hp ABCD.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi cnh a, gúc ã BAD = 600 Chõn ng vuụng gúc h t B xung ỏy mp (ABCD) trựng vi giao im cỏc ng chộo, bit BB = a Tớnh gúc gia cỏc mt bờn v mt phng ỏy Tớnh th tớch hỡnh hp Bi 14 Cho hỡnh thoi ABCD tõm O cnh a, AC = a T trung im H ca AB dng SH (ABCD) , SH = a Tớnh khong cỏch t O n mp(SCD) Tớnh khong cỏch t A n mp(SBC) KT LUN Sau dy chng trỡnh Hỡnh hc khụng gian lp 11 v lp 12, tụi ó i sõu vo nghiờn cu v ỏp dng chuyờn Thit lp h trc ta gii mt s dng toỏn Hỡnh hc khụng gian cho hc sinh lp 12 vi hy vng cung cp cho cỏc em mt cỏi nhỡn khỏi quỏt v phng phỏp thit lp h ta cho mt s dng toỏn Hỡnh hc khụng gian, mt phng phỏp gii toỏn hu hiu.V qu thc sau lng ghộp ni dung ny vo cỏc tit hc chớnh khúa, cỏc tit hc t chn, hc bi dng thỡ tụi ó thy rừ s thay i cỏch nhỡn nhn, cỏch gii mt bi toỏn Hỡnh hc khụng gian Ban u mi a cỏc bi toỏn n gin thỡ cỏc em hc tp, tip thu nhanh chúng v dng thnh tho ng thi to c thúi quen s dng phng phỏp ta cho hc sinh Sau gii thnh tho c cỏc bi toỏn n gin, tụi a cỏc bi toỏn nõng cao, hc sinh ó tham gia tớch cc vo vic gii v dng cỏc phng phỏp gii c bit 29 cỏc em ó thy rừ c tớnh u vit ca phng phỏp ta so vi cỏc phng phỏp thụng thng Kt qu thu c nh sau: - i vi cỏc bi toỏn n gin thỡ 100% hc sinh dng tt phng phỏp v thit lp c h ta phự hp - i vi cỏc bi toỏn phc tp, mc khú cao hn thỡ cú n 80% tr lờn hc sinh dng tt phng phỏp v thit lp c h ta phự hp gii toỏn, cũn khong 15% - 20% hc sinh cũn lỳng tỳng khõu thit lp h ta Qua thnh cụng bc u ca vic ỏp dng ni dung ny tụi thy chỳng ta cn thit phi i mi cỏch dy v hc Khụng nờn dy hc sinh theo nhng quy tc mỏy múc m cn ch cho hc sinh nhng quy trỡnh mụ phng mang tớnh chn la hc sinh t mỡnh tỡm ng gii toỏn Sỏng kin kinh nghim ny ch l kinh nghim bn thõn thu nhn c qua quỏ trỡnh dy mt phm vi hc sinh nh hp Rt mong c s gúp ý, b sung ca cỏc ng nghip ti c hon thin hn XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Hoỏ, ngy 15 thỏng 04 nm 2017 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Nguyn Vn Hng 30 TI LIU THAM KHO Hỡnh hc 11 (Sgk NXB Giỏo dc 2014) Trn Vn Ho, Nguyn Mng Hy (Ch biờn) Hỡnh hc 12 (Sgk NXB Giỏo dc 2013) - Trn Vn Ho, Nguyn Mng Hy (Ch biờn) Bi dng hc sinh gii toỏn hỡnh hc 11 Lờ Honh Phũ NXB i hc quc gia H Ni 2013 Bi dng hc sinh gii toỏn hỡnh hc 12 - Lờ Honh Phũ NXB i hc quc gia H Ni 2012 Cỏc bi toỏn v phng phỏp vộc t v phng phỏp ta - Nguyn Mng Hy (NXB Giỏo dc 1998) 31 ... Kho sỏt thc trng hc sinh gii toỏn hỡnh hc khụng gian c in Cỏc gip phỏp giỳp hc sinh gii toỏn hỡnh hc khụng gian c in 3.1 Ni dung bi toỏn thng gp 3.2 Phng... ti : Trong quỏ trỡnh ging dy v ụn luyn cho hc sinh d thi tt nghip cng nh thi i hc Cao ng v bõy gi l d thi THPT Quc Gia, bn thõn tụi nhn thy hc sinh gp khụng ớt khú khn gii bi hỡnh hc khụng gian. .. hỡnh khụng gian ca cỏc em cũn nhiu hn ch c bit l cỏc bi toỏn chng minh quan h song song, vuụng gúc, cỏc bi toỏn tớnh khong cỏch, xỏc nh gúc, tớnh din tớch ca cỏc hỡnh, th tớch cỏc Trong ú, rt