Dạng 14: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

V. Nội dung đề tài

2. Các dạng toán cơ bản

2.14. Dạng 14: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

2.15. Dạng 15 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp :

Giả sử cần xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta thực hiện như sau :

Bước 1 : Chọn mặt phẳng (Q) chứa a và có điểm chung với (P) Bước 2 : Xác định giao tuyến b của (P) và (Q) .

Bước 3 : Xác định giao điểm M của a và b .

Nếu có điểm chung M thì điểm M là giao điểm của a và (P) . Nếu không có điểm chung M thì a không cắt (P) .

Vấn đề cơ bản để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng dựa thực chất là tìm hai điểm chung thì giao tuyến chính là đườngthẳng đi qua hai điểm chung đó.

Các cách tìm điểm chung của hai mặt phẳng là:

-Điểm chung loại 1: Tìm điểm chung của các điểm đã cho của hai mặt phẳng. -Điểm chung loại 2: Tìm điểm trong các điểm đã cho của mặt phẳng này thuộc một đường thẳng của mặt phẳng kia.

-Điểm chung loại 3: Nếu có hai đường thẳng trong các đường thẳng đã cho của hai mặt phẳng cùng thuộc mặt phẳng thứ ba thì giao điểm (nếu có) của chúng là điểm chung của hai mặt phẳng trên .

B N A C M P D K -Điểm chung loại 4: Nếu có mặt phẳng thứ ba có giao tuyến với hai mặt phẳng đã cho thì giao điểm (nếu có) của hai giao tuyến là điểm chung của hai mặt phẳng.

+ Quy trình 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (tìm hai điểm chung)

1. Tìm điểm chung thứ nhất:

-Tìm điểm chung loại 1. Nếu có thì đó là điểm chung thứ nhất. Nếu không có thì thực hiện

-Tìm điểm chung loại 2. Nếu có thì đó là điểm chung thứ nhất. Nếu không có thì thực hiện

-Tìm điểm chung loại 3 :

Nếu tìm được hai đường thẳng p,q đồng phẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q) thì giao điểmcủa p và q nếu có là điểm chung thứ nhất của (P) và (Q) nếu không có giao điểm thì giao tuyến (nếu có) của (P) và (Q) sẽ song song với p hoặc q.

Nếu không tìm được hai đường thẳng p,q nào đồng phẳng thì thực hiện -Tìm điểm chung loại 4 :

Nếu tìm đươc mặt phẳng ( R ) có giao tuyến với cả (P) và (Q) lần lượt là d1, d2, xác định giao điểm của d1, d2 . Nếu có giao điểm thì đó là điểm chung thứ nhất . Nếu không có giao điểm thì giao tuyến của (P) và (Q) (nếu có) sẽ song song với d1 , d2.

2. Tìm điểm chung thứ hai:lặp lại bước 1 .

Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP=2PD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD) .

Giải : Ta có:           ACD AC M MNP M

 M là điểm chung thứ nhất (điểm chung loại 2).

NP và CD cùng thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi  K NPCD . Suy ra: K là điểm chung thứ hai (điểm chung loại 3).

2.16. Dạng 16: Xác định thiết diện của một hình đa diện n mặt tạo bởi mặt phẳng () (() thỏa các điềukiện cho trước) phẳng () (() thỏa các điềukiện cho trước)

Bài toán này thực chất là bài toán xác định các đoạn giao tuyến của mặt phẳng () với các mặt của đa diện.Vì vậy việc trước tiên là phải xác định cho được mặt phẳng () dựa vào các điều kiện xác định của một mặt phẳng, sau đó áp dụng quy trình 1 để xác định các đoạn giao tuyến của () với đa diện. Sau đây là một số quy trình cụ thể áp dụng cho bài toán 2.

+ Quy trình 2: Xác định thiết diện của một hình đa diện tạo bởi mặt phẳng () qua ba điểm không thẳng hàng.

1.Xác định mặt phẳng ().

2. Xác định các đoạn giao tuyến của mặt phẳng () lần lượt với mặt thứ 1, thứ 2,…, thứ k (k  n) của hình đã cho, đến khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác thì kết thúc: thực hiện quytrình 1. Kết luận thiết diện tìm được.

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi K và L lần lượt là trung

điểm của các cạnh B’C’ và C’D’. Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng ( AKL ).

Giải

1. Mặt phẳng () là mặt phẳng (AKL).

2. Áp dụng quy trình 1 ta xác định được LK, AM, MK, AN, NL lần lượt là các đoạn giao tuyến của ( AKL ) với (A’B’C’D’), (AA’B’B), (BB’C’C), (AA’D’D), (CC’D’D) của hình lập phương.

Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác AMKLN.

+ Quy trình 3: Xác định thiết diện của một hình đa diện tạo bởi mặt phẳng () chứa đường thẳng avà song song với đường thẳng b, a và b chéo nhau.

1. Xác định mặt phẳng ().

1.1. Chọn một điểm M thuộc đườngthẳng a.

1.2. Chọn đường thẳng c qua M, c song song b, mặt phẳng (a,c) là mặt phẳng ().

2.Xác định các đoạn giao tuyến của mặt phẳng () lần lượt với mặt thứ 1, thứ 2,…, thứ k (k  n) của hình đã cho, đến khi các đoạn giao tuyến tạothành một đa giác thì kết thúc: thực hiện quy trình 1. Kết luận thiết diện tìm được.

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Xác định thiết diện của hình lăng trụ tạo bởi mặt phẳng () đi qua A’C và song song với BC’.

Giải

Vận dụng quy trình 3: 1.

1.1 Chọn C.

1.2 Đường thẳng qua C, song song với BC’ cắt BB’ tại K.

2.Gọi D là giao điểm A’K với AB. Áp dụng quy trình 1 ta xác định được A’C,A’D và CD lần lượt là các đoạn giao tuyến của mặt phẳng () với (AA’C’C), (AA’B’D) và (ABC) của hình lăng trụ. Vậy thiết diện cần tìm là tam giác ACD.

+ Quy trình 4:Xác định thiết diện của một hình đa diện tạo bởi mặt phẳng () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng a, b chéo nhau.

1. Xác định đường thẳng c qua M và song song với a (hoặc b) .

2. Xác định thiết diện tạo bởi () đi qua c và song song với b (hoặc a): thực hiện quy trình 3.

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD, M là một điểm của cạnh AB. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng () qua M, song song với AC và BD.

Giải

Giải theo quy trình 4.

1. Ta có được MN//AC, NBC. 2. Thực hiện quy trình 3: 2.1. 2.1.1. Chọn điểm N. C D B A N P M Q B' C' A D C B A' K

2.1.2. Đường thẳng qua N, song song với BD cắt CD tại P.

2.2. Các giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của tứ diện là MN, NP, PQ, QM (MQ song song BD).

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ.

+ Quy trình 5: Xác định thiết diện của một hình đa diện tạo bởi mặt phẳng () đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước.

- Trường hợp 1: M không thuộc d. 1. Xác định mặt phẳng ().

1.1. Xác định hình chiếu H của M lên d .

1.2. Xác định mặt phẳng (Q) chứa d và một điểm của hình đã cho khác mặt phẳng (M,d) .

1.3. Trong mặt phẳng (Q) xác định đường thẳng a qua H và a vuông góc với d .

2. Xác định các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (a,MH) lần lượt với mặt thứ 1, thứ 2,…, thứ k ( k  n ) của hình đã cho, đến khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác thì kết thúc: thực hiện quy trình 1. Kết luận thiết diện tìm được. -Trường hợp 2: M thuộc d.

1. Xác định mặt phẳng ().

1.1. Xác định 2 mặt phẳng (Q), (R) , mỗi mặt phẳng chứa d và một điểm của hình đã cho ( không thuộc d ) .

1.2. Trong (Q) xác định đường thẳng a qua M và vuông góc với d . 1.3. Trong (R) xác định đường thẳng b qua M và vuông góc với d . ((a,b)  ()).

2. Xác định các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (a,b) lần lượt với mặt thứ 1, thứ 2,…, thứ k (k  n) của hình đã cho, đến khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác thì kết thúc: thực hiện quy trình 1. Kết luận thiết diện tìm được.

Ví dụ 5: Cho hình chóp SABC, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC vuông tại B. Xác định thiết diện qua A, vuông góc với SC.

Giải

Áp dụng quy trình 5 trongtrường hợp 1. 1.

1.1. Xác định hình chiếu H của A trên SC.

1.2.Trong mặt phẳng (SBC) xác định đường thẳng qua H, vuông góc với SC, cắt SB tại K.

2. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AHK) và các mặt của hình chóp, tađược thiết diện là tam giác AHK.

+ Quy trình 6: Xác định thiết diện của một hình đa diện tạo bởi mặt phẳng () đi qua đường thẳng a và vuông góc với mặt phẳng   (a không vuông góc với

  )

1. Xác định mặt phẳng (): tìm đường thẳng b vuông góc với   . Có hai trường hợ:

Trường hợp 1: b cắt a, ()(a,b).

Trường hợp 2: b không cắt a, () là mặtphẳng qua a và song song với b.

2.Xác định các đoạn giao tuyến của mặt phẳng () với các mặt đa diện ứng với từng trường hợp:

Trường hợp 1: thực hiện quy trình 1. Trường hợp 1: thực hiện quy trình 3.

Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Trên cạnh AA’ lấy một điểm M sao cho

'

MA

AM = 2. Dựng thiết diện của hình lập phương tạo bởi mặt phẳng () qua BM và vuông góc với mặt phẳng (B’AC).

Giải BD'  B'AC do: BD'  AC (AC  BB'D'D) và BD'  AB' (AB'  BA'D'C) Suy ra mặt phẳng () là mặt phẳng (BMD’) (quy trình 6).

Thực hiện quy trình 1 sẽ xác định được thiết diện

cần dựng là hình bình hành BMD’N (với NCC’ sao cho MB // D’N). B A K S H C A' B B' A D C C' D' M N

2.17. Một số ví dụ về giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến, thiếtdiệncủamột khối đa diệncắtbởimặtphẳng  thiếtdiệncủamột khối đa diệncắtbởimặtphẳng 

1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA=2MI.

b. Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM). Chứng minh F là trung điểm của cạnh SD và tứ giác ABMF là một hình thang.

c. Gọi N là một điểm tùy ý lấy trên cạnh BC. Tìm thiết diện của hình chóp SABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Giải

a. Gọi O  ACBD. Ta có:

SOSAC  SBD;  I  AM SO

Suy ra:  I  AMSBD.

Đối với tam giác SAC, hai trung tuyến SO và AM cắt nhau tại I. Vậy I là trọng tâm của tam giác đó và suy ra IA=2MI.

b. Xét mặt phẳng (SBD) chứa SD. Mặt phẳng (ABM) cắt mặt phẳng (SBD) theo giao tuyến BI. Trong mặt phẳng (SBD) ta có:  F SDBI

Suy ra:  F SDABM.

Đối với tam giác SBD ta có SO là trung tuyến và SI=2IO (vì I là trọng tâm của tam giác SBD).

Do đó BF là trung tuyến và ta suy ra F là trung điểm của cạnh SD. Ta có MF là đường trung bình của tam giác SCD nên MF//CD và

MF CD =2, MF AB =2. Mặt khác, ta có IM IA = IF

IB=2. Ta suy ra hai tam giác IAB và IFM vị tự với nhau qua phép vị tự tâm I với tỉ số k=2. Do đó AB//MF và tứ giác ABMF là một hình thang.

a. Gọi  E DCAN,  P EM SD, ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN) là tứ giác MNAP.

D C A M S O I F N E P B

2.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC’ sao cho: ' NC CN MD AM  . a. Chứngminh: MN//(ACB’).

b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với(ACB’).

Giải

a. Qua M vẽ đườngthẳngsong song vớiAC cắtCD tạiP. MDP vuông cân tại D. Nên MD=PD.

Theo giả thiết:

' NC CN MD AM   MD=NC’  PN// DC’//AB’

Ta được: MP//AC và PN//AB’ nên (MNP)//(ACB’).

Suy ra: MN//(ACB’).

b. Gọi   là mặt phẳng qua MN song song với AC;   cắt (ABCD); (CDD’C’); mp(BCC’B’); (ABB’A’); (A’B’C’D’); (ADD’A’) theo các

giao tuyến liên tiếplà MP, PN, NS, QR, QS, RM trong đó: MP//AC; PN//AB’; NS//B’C; SQ//AC; QR //AB’; RM//B’C.

Vậythếtdiệncầntìm là lụcgiác MPNSQR.

3.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’//BB’//CC’. Gọi H là trung điểm của A’B’. a. Chứng minh CB’//(AHC’).

b. Tìm giao điểm của AC’ với (BHC).

c. Gọi () là mặt phẳng qua trung điểm của CC’, song song với AH và CB’. Xác định các đoạn giao tuyến mà () cắt các mặt của lăng trụ.

Giải

a.Gọi K là trung điểm của cạnh AB, ta có:    ' // // ' HC KC AH K B M C P A D' D B A' S N C' B' Q R

 (B’KC)//(AHC’) Mà CB'B'KC  CB’//(AHC’).

b. (BCH) cắt (A’B’C’) theo giao tuyến HL song song với BC vì (ABC)//(A’B’C’). Nối CL cắt AC’ tại I. Vậy I là giao điểm của AC’ với (BHC). c. Ta có:            ' // , // ' // ' CB AH ACH KC B    ()//(B’KC).

Do đó () cắt (BCC’B’) theo đoạn giao tuyến PQ//AH, cắt (ABC) theo đoạn giao tuyến QR//CK, cắt (AA’CC’) theo đoạn giao tuyến RM. Ta được thiết diện là ngũ giác MNPQR.

4.Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh SA=2a vuông góc với (ABC). Gọi () là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện S.ABC cắt bởi mặt phẳng () và hãy tính diện tích của thiết diện này.

Giải

Gọi I là trung điểm của cạnh AC, ta có BI SA nên SAC

mp 

BI .

Do đó BI SC. Vẽ IH SC tại H, ta có SCBIH. Vậy () chính là (BIH). Vì BI SAC và HI(SAC) nên

HI 

BI .

Do đó thiết diện là BHI vuông tại I. Gọi S là diện tích BHI ta có: S= 2 1BI.IH mà BI= 2 3 a .

Hai tam giác vuông CHI và CAS có có góc nhọn C chung nên chúngđồngdạng vớinhau. Ta có: CS CI SA IH   IH= CS SA CI. = 5 5 4 2 . 2 . 2 2 2 2 a a a a a AC SA SA CI     . L P B' A' C' A C H I N M Q R K I C A S B H

Vậy 20 15 5 5 . 2 3 . 2 1 . 2 1BIIH a a a2 S    .

5.Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho AB=2a, AD=DC=a. Giả sử hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung điểm của SA, M là một điểm trên đoạn AD. ĐặtAM = x (0 xa). Gọi mp  là mặt phẳng chứa EM và vuông góc vớimpSAD. Hãy xácđịnhthiếtdiệncủahình chóp S.ABCD vớimp  .

Giải

Do hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với(ABCD) nên SAABCD. Ta có: ABSAD nên AB//  . Bởi vậy mp  cắt các mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo các giao tuyến EF, MN cùng song song với AB. Suy ra AFNM là hình thang.

Mặtkhác: ABSAD

 ABEM và EF//AB  EFEM.

VậyEFNM là hình thang vuông.

2.18. Dạng 17: Tính thể tíchcủakhối đa diện

Ví dụ

1.Cho khốichóp đều S.ABCD có AB=a, góc giữa mặt bên và mặt đáybằng60o. Tính thểtích khốichóp S.ABCD theo a.

Giải:

Do S.ABCD là khốichópđều và AB=a nên đáyABCD là hình vuông cạnha. A D C S B M F N E

Để tính thể tích của khốichop ta tính diện tíchđáy (Sđáy)và chiềucao (h)củanó, sau đótính thểtích củanó theo công thức: V=

3

1 Sđáy.h.

Để tính thể tích củakhối lăng trụ ta tính diện tích mặt đáy (S)và chiều cao (h)của nó, sau đótính thểtích của nó theo công thức: V=

3 1 S.h.

GọiO là tâm của hình vuông ABCD và gọi I là trung điểm của cạnh BC. Ta có SO làđườngcao và SIO là góc giữamặtbên và mặt đáycủakhốichópđã cho. Trong tam giác vuông SIO.

Ta có: SO=OI.tanSIO = 2 atan60o= 2 3 a .

Diệntíchđáy: SABCD= a2.

Do đó, thểtích khốichóp S.ABCD là: VABCD= 3 1