Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh

Với mỗi siêu mặt bậc hai S trong không gian xạ ảnh thực PR,luôn tìm đựợc một mục tiêu xạ ảnh sao cho đối với nó phương trình của S có dạng chuẩn tắc: có p dấu “ ” và q dấu “+”.. Trong

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong khoa Toán,các

thầy cô trong tổ hình học, các bạn sinh viên đã tạo điều kiện thuận lợi

cho em trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận “Siêu mặt bậc hai

trong không gian xạ ảnh”

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Đinh Văn

Thủy, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình chuẩn bị

và hoàn thành khóa luận này

Một lần nữa em xin gửi lời cảm ơn và kính chúc sức khỏe tới các

thầy cô!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên Nguyễn Thị My

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan trước hội đồng khoa học Trường Đại học sư

phạm Hà Nội 2 và hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Toán:

Khóa luận “Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh” do tôi

viết, đó là kết quả của sự tìm tòi, tổng hợp từ các tài liệu tham khảo và

sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy, những trích dẫn trong khóa luận

là trung thực

Khóa luận không trùng với các khóa luận của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên Nguyễn Thị My

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

MỞ ĐẦU 5

PHẦN I: LÝ THUYẾT 7

Chương 1: SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG Pn 7

1.1 Định nghĩa và kí hiệu 7

1.2 Định nghĩa 7

1.3 Giao của siêu mặt bậc hai và m – phẳng 8

1.4 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực 9

1.5 Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực 9

1.6 Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bâc hai trong P2(R) và P3(R) và tên gọi của chúng 10

1.7 Liên hệ giữa hai siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin ………11

1.8 Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực.13 Chương 2: CỰC VÀ SIÊU PHẲNG ĐỐI CỰC 15

ĐỐI VỚI MỘT SIÊU MẶT BẬC HAI 15

2.1 Điểm liên hợp 15

2.2 Định lí 15

2.3 Định lí 15

2.4 Siêu phẳng đối cực Điểm kì dị 16

2.5 Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai 16

2.7 Siêu diện lớp hai 18

2.8 Đối ngẫu 20

2.9 Định lí Mac – Laurin (Mác – Lôranh) 22

2.10 Nói thêm về siêu mặt bậc hai afin 23

Chương 3: MỘT SỐ ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG 25

VỀ ĐƯỜNG BẬC HAI 25

3.1 Ánh xạ xạ ảnh 25

3.2 Phép chiếu xuyên tâm 26

3.3 Định lí Steiner 28

3.4 Vấn đề xác định một conic 30

3.5 Định lí Pascal 32

3.6 Định lí Brianchon 35

3.7 Định lí Frêgiê (Frégier) 37

3.8 Định lí Đờdác thứ hai 38

PHẦN II: BÀI TẬP 40

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học xạ ảnh là một trong ba môn hình học cao cấp cơ bản

được giảng dạy trong chương trình của ngành Toán các trường ĐHSP

Môn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh, các tính chất bất biến

qua các phép biến đổi xạ ảnh Hình học xạ ảnh nghèo nàn về đối tượng

nghiên cứu (các tính chất liên quan đến số đo sẽ không được xét đến,

tính song song giữa các phẳng cũng không có) nhưng tổng quát hơn các

hình học khác

Cái còn lại chủ yếu trong hình học xạ ảnh là quan hệ liên thuộc

Thế mạnh của môn học là giúp chúng ta giải quyết các bài toán về tính

đồng quy và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng) một cách tổng quát

Các định lý liên quan đến các đường conic sẽ rất thú vị cho chúng ta khi

nhìn lại các bài tập tương tự ở PTTH Và một đối tượng cụ thể của hình

học xạ ảnh chính là siêu mặt bậc hai cùng các tính chất và định lý liên

thuộc của nó Nghiên cứu, tìm hiểu về siêu mặt bậc hai giúp tôi có thêm

kiến thức sâu sắc hơn, cái nhìn tổng quát hơn về phương pháp tọa độ, các

tính chất thú vị của các đường đường bậc hai, các mặt bậc hai, các cách

chứng minh hình học sáng tạo

Với niềm đam mê Toán học và đặc biệt là niềm yêu thích môn

Hình học, tôi rất mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về các

vấn đề liên quan đến hình học Dưới sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn

Thủy tôi đã phần nào làm được điều đó Trong khuôn khổ một khóa luận

và thời gian nghiên cứu nên tôi chỉ tập trung nghiên cứu đề tài :“ Siêu

mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh cùng các

tính chất, định lý liên thuộc của nó

3 Đối tượng nghiên cứu

Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh Pn

4 Mức độ và phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu tổng quan về siêu mặt bậc hai trong khônng gian xạ ảnh

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các định nghĩa, định lý, tính chất về siêu mặt bậc hai

trong không gian xạ ảnh

Tìm hiểu về cực và siêu phẳng đối cực đối với một siêu mặt bậc

hai

Nghiên cứu một số định lý quan trọng về đường bậc hai

Cách giải một số bài toán chọn lọc liên quan đến siêu mặt bậc hai

một dòng một cột gồm một số 0

1.2 Định nghĩa

Trong không gian xạ ảnh Pn, với mục tiêu { Si ; E}, tập hợp (S)

gồm những điểm x có tọa độ (x0: x1: …: xn) thỏa mãn phương trình (1)

được gọi là một siêu mặt bậc hai, xác định bởi phương trình (1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình của siêu mặt bậc hai

(S) đối với mục tiêu đã cho

Ma trận A được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai (S) đối với

mục tiêu đã cho

Nếu det (A) ≠ 0, tức ma trận A không suy biến, thì siêu mặt bậc

hai (S) được gọi là không suy biến Ngược lại, nếu det A = 0, siêu mặt

bậc hai (S) được gọi là suy biến

Siêu mặt bậc hai trong P2 được goi là đường bậc hai Siêu mặt bậc

hai trong P3 được gọi là mặt bậc hai

Hai siêu mặt bậc hai (S) và ( ) với các ma trận A và tương ứng

được xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số k K \ { 0 } sao cho A =

k

Định lí Khái niệm siêu mặt bậc hai là một khái niệm xạ ảnh

1.3 Giao của siêu mặt bậc hai và m – phẳng

Trong Pn cho siêu mặt bậc hai (S) và m – phẳng Q Ta hãy chọn

mục tiêu xạ ảnh {Si ; E } sao cho m + 1 điểm S0, S1, …, Sm nằm trên Q

Khi đó phương trình của Q là:

xk = 0, với k = m + 1, m + 2, …, n (1) Giả sử khi đó, phương trình của (S) là:

Giao của Q và (S) là tập hợp ( ) gồm các điểm có tọa độ thỏa

mãn hệ phương trình (1) và (2), hay là hệ phương trình:

Nếu các aij, i, j = 0, 1, …, m đều bằng 0 thì mọi điểm thuộc Q đều

thuộc (S) Vậy: Q ⊂ (S), hay ( ) = Q

Nếu các số đó không đồng thời bằng 0 thì ( ) là một siêu mặt bậc

hai trong không gian xạ ảnh m chiều Q

1.4 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh

thực

Trong không gian xạ ảnh thực Pn(R) đối với mục tiêu đã chọn, cho

siêu mặt (S) có phương trình: xtAx = 0

Xem xtAx như là một dạng toàn phương trong không gian vectơ

Rn + 1, ta có thể tìm được phép biến đổi tuyến tính sao cho dạng

toàn phương ấy trở thành dạng chính tắc Lại xem phép biến đổi tuyến

tính đó như là một phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh của Pn, ta đi đến định lí

sau:

Định lí Với mỗi siêu mặt bậc hai (S) trong không gian xạ ảnh thực

P(R),luôn tìm đựợc một mục tiêu xạ ảnh sao cho đối với nó phương trình

của (S) có dạng chuẩn tắc:

(có p dấu “ ” và q dấu “+”)

trong đó 1 ≤ p +q ≤ n + 1 và q ≥ p ≥ 0

Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một dạng phương trình chuẩn tắc

Siêu mặt bậc hai (S) trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai

có chỉ số (p, q)

1.5 Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực

Hai siêu mặt bậc hai (S1) và (S2) trong Pn gọi là tương đương xạ

ảnh nếu có một phép biến đổi xạ ảnh biến (S1) thành (S2) Khi đó chúng

có cùng những tính chất xạ ảnh

Định lí Hai siêu mặt bậc hai (S 1 ) và (S 2 ) trong không gian xạ ảnh

thực là tương đương khi và chỉ khi phương trình chuẩn tắc của chúng

giống nhau ( nói cách khác, chúng có cùng chỉ số (p, q))

Chứng minh:

Giả sử đối với mục tiêu { } siêu mặt (S1) có phương trình

chuẩn tắc giống như phương trình chuẩn tắc của siêu mặt (S2) đối với

mục tiêu { } Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh biến mục tiêu thứ nhất

thành mục tiêu thứ hai thì dễ dàng thấy rằng f sẽ biến (S1) thành (S2)

Ngược lại, nếu (S1) và (S2) tương đương xạ ảnh thì có phép biến

đổi xạ ảnh f biến (S1) thành (S2) Chọn mục tiêu { } sao cho đối với

nó (S1) có phương trình dạng chuẩn tắc và gọi { } là ảnh của mục

tiêu đó Khi đó, hiển nhiên đối với mục tiêu mới này, phương trình của

(S2) có dạng chuẩn tắc giống dạng chuẩn tắc của (S1)

1.6 Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bâc hai trong P2(R) và

P3(R) và tên gọi của chúng

Trong P2(R) ta có 5 loại đường bậc hai sau đây:

Nó được gọi là đường ôvan ảo vì nó không chứa điểm thực nào

Trong mặt phẳng (phức) mở rộng của P2(R) thì phương trình trên xác

định một đường bậc hai không rỗng

Nó được gọi là đường ôvan, hay đường conic

Nó được gọi là cặp đường thẳng ảo liên hợp Nó chỉ gồm một

điểm thực duy nhất là điểm (0: 0: 1)

Đây là cặp đường thẳng có phương trình:

Đây là cặp đường thẳng trùng nhau

Trong P3 có 8 loại mặt bậc hai sau đây:

Ta xét không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu xạ ảnh

{S0, S1, …, Sn ; E } và không gian afin An = Pn \ W, trong đó W là siêu

phẳng vô tận x0 = 0

Giả sử (S) là một siêu mặt bậc hai trong Pn có phương trình đối

với mục tiêu đã chọn là:

Ta gọi ( ) = (S) \W thì các điểm của ( ) có tọa độ afin (đối với

mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh đã chọn, thỏa mãn phương trình:

Nếu các aij (i, j = 1, 2, …, n) không đồng thời bằng 0 thì ( ) là

một siêu mặt bậc hai afin trong không gian An Khi đó ta nói rằng siêu

mặt bậc hai xạ ảnh (S) sinh ra siêu mặt bậc hai afin ( )

Ngược lại, mỗi siêu mặt bậc hai afin ( ) trong An đều được sinh ra

bởi một siêu mặt bậc hai xạ ảnh duy nhất (S) trong Pn

Thật vậy, nếu ( ) có phương trình (**) trong một mục tiêu afin

của An, thì bằng cách thay Xi bằng ta được phương trình (*) xác định

cho ta một siêu mặt bậc hai xạ ảnh(S) đối với mục tiêu xạ ảnh sinh ra

mục tiêu afin đã chọn

Ta hãy lấy một điểm C nằm trên giao S ⋂ W, khi đó C có tọa độ xạ

ảnh C =(0 : c1 : … : cn) mà

Bởi vậy điểm vô tận C xác định phương = (0 ; c1 : … : cn) chính là

phương tiệm cận của siêu mặt afin ( ) = (S) \ W

1.8 Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực

Gọi W là một đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2, và

A2 = P2 \ W là mặt phẳng afin thực Ta hãy xem một đường conic của

A2 sẽ được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh nào trong P2 ?

Giả sử (E) là đường elíp của A2 Khi đó, ta có thể chọn một mục

tiêu afin của A2 sao cho phương trình của (E) có dạng

Đường elíp (E) được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh của P2, mà phương trình của nó đối với mục tiêu xạ ảnh tương ứng

sẽ là: Đây là một đường ôvan không cắt đường

thẳng vô tận W

Giả sử (H) là một hypebol Khi đó, ta có thể chọn một mục tiêu

afin của A2 sao cho phương trình của (H) có dạng:

Đường hypebol (H) được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh của P2, mà

phương trình của nó đối với mục tiêu xạ ảnh tương ứng sẽ

là: Đây là một đường ôvan cắt đường thẳng vô tận

W tại hai điểm phân biệt (đó là điểm ( ) và ( ))

Cuối cùng, ta giả sử (P) là một đường parabol của A2 Ta sẽ chọn

mục tiêu afin để nó có phương trình: Khi đó nó được sinh

ra bởi đường bậc hai xạ ảnh có phương trình: Đây là một

đường ôvan, vì chỉ cần dùng phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh:

ta đưa nó về phương trình chính tắc:

Ngoài ra ta nhận thấy đường ôvan ấy cắt đường vô tận W tại một

điểm kép (đó là điểm (0 : 0 : 1), ta còn nói rằng nó tiếp với đường vô tận

W).Tóm lại, ta đi đến kết quả sau đây:

- Đường elíp, nếu (S) không cắt W

- Đường hypebol, nếu (S) cắt W tại hai điểm phân biệt

- Đường parabol, nếu (S) tiếp với W

Chương 2: CỰC VÀ SIÊU PHẲNG ĐỐI CỰC

ĐỐI VỚI MỘT SIÊU MẶT BẬC HAI

2.1 Điểm liên hợp

Trong Pn với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt bậc hai (S) có

phương trình xtAx = 0, và hai điểm Y = (y0 : y1 : …: yn), Z = (z0 : z1 : …: zn)

trong đó y và z lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm Y và điểm Z

Cố nhiên, khi đó ta cũng có ztAy = 0, nên điểm Z cũng liên hợp

với điểm Y đối với (S) Bởi vậy ta nói: Hai điểm Y và Z liên hợp với

nhau đối với (S)

Rõ ràng là: Điểm Y liên hợp với chính nó đối với (S) khi và chỉ

khi nằm trên (S)

2.2 Định lí

Giả sử hai điểm phân biệt Y và Z liên hợp với nhau đối với siêu

- Nếu đường thẳng <Y, Z> cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N thì

[Y, Z, M, N ] = -1

- Nếu <Y, Z> cắt (S) tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là Y

hoặc Z

2.3 Định lí

Y Tập hợp tất cả những điểm liên hợp với Y đối với (S) hoặc là một siêu

2.4 Siêu phẳng đối cực Điểm kì dị.

2.4.1 Nếu tập hợp các điểm liên hợp với điểm Y đối với siêu mặt

phẳng bậc hai (S) là một siêu phẳng thì siêu phẳng đó được gọi là siêu

là điểm đối cực của siêu phẳng Y*

Giả sử phương trình của (S) và tọa độ điểm Y đã cho như trong

mục 2.3, thì siêu phẳng đối cực Y* có phương trình (1)

Nếu ta đặt F là vế trái của phương trình xác định (S) thì phương







 | Y xj = 0,

trong đó |Y là đạo hàm riêng của F đối với biến xj lấy tại Y

2.4.2 Điểm Y được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y

liên hợp với mọi điểm của Pn đối với (S)

Cố nhiên, điểm kì dị của (S) phải nằm trên (S) (vì điểm kì dị liên

hợp với chính nó)

Chỉ có siêu mặt bậc hai suy biến mới có điểm kì dị

Thật vậy, tọa độ của điểm kì dị là nghiệm của hệ phương trình:

Bởi vậy, nếu (S) có điểm kì dị thì hệ phương trình đó có nghiệm

không tầm thường, do đó, det A = 0, hay (S) là suy biến

2.5 Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai

Nếu điểm Y nằm trên siêu mặt bậc hai (S) nhưng không phải là

điểm kì dị của(S) thì siêu phẳng đối cực Y* của Y đối với (S) được gọi là

siêu phẳng tiếp xúc của (S) tại Y, hay còn gọi là siêu tiếp diện của (S) tại

Y Rõ ràng là điểm Y nằm trên siêu phẳngY* Điểm Y được gọi là tiếp

điểm

Bất kì m – phẳng nào đi qua Y và nằm trong siêu tiếp diện Y* của

(S) tại Y đều gọi là m – phẳng tiếp xúc của(S) tại Y Khi m = 1, ta có

đường thẳng tiếp xúc của (S) tại Y, hay còn gọi là tiếp tuyến của (S) tại

Y

Nếu Y là điểm kì dị của (S) thì mọi m – phẳng đi qua Y (m < n)

đều gọi là m – phẳng tiếp xúc với (S) tại Y

Trong mọi trường hợp, 0 – phẳng Y (tức là điểm Y) tiếp xúc với

(S) khi và chỉ khi Y (S)

2.6 Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến

Trước hết ta chú ý rằng: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến

thì mỗi siêu phẳng bất kì đều có điểm đối cực duy nhất

Thật vậy, giả sử (S) có phương trình xtAt = 0 với detA ≠ 0 Với

siêu phẳng U, điểm X là đối cực của nó khi và chỉ khi (X)tA = (U)t, hay

A(X) = (U), do đó, (X) = (U) được xác định duy nhất

Định nghĩa Hai siêu phẳng U và V được gọi là liên hợp với nhau

đối với siêu mặt bậc hai không suy biến (S) khi hai điểm đối cực của

chúng liên hợp với nhau đối với (S)

Thật vậy, cho hai siêu phẳng U, V có điểm đối cực đối với (S) lần

lượt là U* và V* Khi đó U liên hợp với V đối với (S) khi và chỉ khi U*

và V* là hai điểm liên hợp đối với (S) Vì U gồm những điểm liên hợp

với U* nên U đi qua V* Tương tự ta có V đi qua U*

mặt bậc hai (S)

nhau đối với

Thật vậy, gọi các điểm đối cực của các siêu phẳng U, V, P, Q lần

Vậy bốn điểm U*, V*, P*, Q* thẳnghàng Nhưng hai điểm U*, V*

liên hợp với nhau đối với (S) còn U*, V* là giao điểm của P*, Q* với (S)

nên [U*,V*, P*,Q*] = , do đó [U, V, P, Q] =

2.7 Siêu diện lớp hai

Trong Pn với một mục tiêu đã chọn, một siêu diện lớp hai được

định nghĩa là tập hợp (S*) tất cả các siêu phẳng U = (u0 : u1 : …: un) mà

tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình:

vuông cấp n + 1, đối xứng và có hạng ít nhất bằng 1 Nó được gọi là ma

dưới dạng ma trận:

utAu = 0

Nếu detA ≠ 0, siêu diện lớp hai (S*) gọi là không suy biến, nếu

detA = 0, (S*) được gọi là suy biến Siêu diện lớp hai trong P2 còn được

gọi là tuyến lớp hai

Ma trận của nó là:

Đó là tuyến lớp hai suy biến vì detA = 0

Ta viết lại phương trình của (S*) dưới dạng:

Như vậy, tuyến lớp hai (S*) đã cho là tập hợp gồm hai chùm

đường thẳng có tâm I và J

2.8 Đối ngẫu

Trước hết ta chứng minh rằng: Khái niệm siêu diện lớp hai là đối

ngẫu của khái niệm siêu mặt bậc hai

Thật vậy, giả sử đã chọn trong Pn một mục tiêu xạ ảnh, ta xét phép

đối xạ , nó biến mỗi điểm X thành siêu phẳng có tọa độ giống

như tọa độ của X Bây giờ giả sử (S) là một siêu mặt bậc hai nào đó

trong Pn, đối với mục tiêu đã chọn có phương trình:

Một điểm X = (x0 : x1 : …: xn) thuộc (S) khi và chỉ khi tọa độ của

nó thỏa mãn phương trình (*) Qua phép đối xạ , điểm X được biến

thành siêu phẳng U có tọa độ giống như tọa độ của X, cho nên tọa độ U

thỏa mãn phương trình (*) Như vậy, qua phép đối xạ, tập (S) biến thành

tập tất cả các siêu phẳng có tọa độ (u0 : u1 : …: un) thỏa mãn phương

Từ chứng minh trên ta cũng có: Siêu mặt bậc hai không suy biến

và siêu diện lớp hai không suy biến là hai khái niệm đối ngẫu

Ta có thể định nghĩa các khái niệm liên quan đến siêu diện lớp hai,

đối ngẫu với các khái niệm tương ứng liên quan đến siêu mặt lớp hai Cụ

thể là:

Siêu phẳng liên hợp: Cho siêu diện lớp hai (S*) có phương trình

utAu = 0 Hai siêu phẳng V và W được gọi là liên hợp với nhau đối với

tọa độ của V và W

Ta có các kết quả sau đây suy ra từ nguyên tắc đối ngẫu:

a Nếu hai siêu phẳng V và W liên hợp với nhau

đối với siêu diện

lớp hai (S*) trong không gian xạ ảnh Pn thì:

- Nếu chỉ có một siêu phẳng duy nhất của (S * ) đi qua giao V ⋂ W thì

siêu phẳng đó trùng với V hoặc W

b Cho siêu diện lớp hai (S*) và siêu phẳng V thì:

- Hoặc V liên hợp với bất kì một siêu phẳng nào

Trong trường hợp đó, ta gọi V là siêu phẳng kì dị của (S*), nó

cũng thuộc (S*) Chỉ có siêu diện lớp hai suy biến mới có siêu phẳng kì

dị

- Hoặc là mọi siêu phẳng liên hợp với V đều đi qua một điểm, gọi là

c Nếu siêu phẳng V thuộc siêu diện lớp hai (S*)

và không phải là

siêu phẳng kì dị thì điểm đối cực V* của nó được gọi là điểm tiếp xúc

của (S*) tại V Mọi m – phẳng (m < n) nằm trong V và đi qua V* được

gọi là m – phẳng tiếp xúc tại V

d Nếu (S*) là siêu diện lớp hai không suy biến thì

mọi điểm M

đều có siêu phẳng đối cực M* đối với (S*) Hai điểm M và N được gọi là

siêu phẳng đối cực của chúng liên hợp với nhau Điểm M là điểm tiếp

Cho M và N là hai điểm phân biệt và liên hợp với nhau đối với

siêu diện lớp hai không suy biến (S*) Khi đó, nếu có hai điểm tiếp xúc

P, Q của (S*) nằm trên đường thẳng <M, N> thì [M, N, P, Q] =

2.9 Định lí Mac – Laurin (Mác – Lôranh)

Định lí Mác – Lôranh Tập hợp các siêu phẳng tiếp xúc của một

siêu mặt bậc hai không suy biến là một siêu diện lớp hai không suy biến

Ngược lại, mỗi siêu diện lớp hai không suy biến gồm những siêu phẳng

tiếp xúc với một siêu mặt bậc hai không suy biến

Chứng minh:

Cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình xtAx = 0, vì nó không

suy biến nên detA ≠ 0 Giả sử siêu phẳng U tiếp xúc với (S) tại điểm Y =

(y0 : y1 : …: yn) thuộc (S) Khi đó, tọa độ U là (U) = Ay Vì điểm Y

thuộc (S) nên ytAy = 0, từ đó ta có: = 0, hay (U)tA(U) = 0

Điều đó chứng tỏ rằng tập hợp các siêu tiếp diện U của (S) là siêu diện

lớp hai (S*) có ma trận là

Ngược lại, cho siêu diện lớp hai không suy biến (S*) có phương

trình: utAu = 0 (detA ≠ 0) Ta gọi (S) là siêu mặt bậc hai có phương trình

xt x = 0 Khi đó cũng chứng minh tương tự như trên thì mỗi siêu

phẳng U của (S*) đều là siêu phẳng tiếp xúc của (S)

Hệ quả: Giả sử ta có một mệnh đề M nào đó có liên quan đến khái

niệm siêu mặt bậc hai không suy biến Trong mệnh đề (M*) đối ngẫu của

M, cụm từ “siêu mặt bậc hai” sẽ được giữ nguyên và cụm từ “điểm thuộc

siêu mặt bậc hai” được thay bởi cụm từ “siêu diện của siêu mặt bậc hai”

Chẳng hạn câu: “Cho hai điểm thuộc một siêu mặt bậc hai” (câu 1)

sẽ trở thành “Cho hai siêu phẳng thuộc một siêu mặt lớp hai” (câu 2)

Nhưng theo định lí Mác – Lôranh thì câu 2 ấy cũng có nghĩa là “Cho hai

siêu phẳng tiếp xúc với một siêu mặt bậc hai” (câu 2’) Ta lại biết rằng

câu 1 có thể phát biểu dưới dạng: “Cho hai 0 – phẳng tiếp xúc với một

siêu mặt bậc hai” (câu 1’) So sánh hai câu đối ngẫu 1’ và 2’ ta thấy rằng

từ 0 – phẳng được thay bằng (n – 1) – phẳng, các từ khác giữ nguyên

Một cách tổng quát, ta có thể nói rằng: Nguyên tắc đối ngẫu vẫn

được áp dụng đối với những mệnh đề liên quan tới siêu mặt bậc hai

không suy biến

ôvan duy nhất đi qua 5 điểm cho trước, trong đó không có 3 điểm nào

thẳng hàng” và “Có một đường ôvan tiếp xúc với 5 đường thẳng cho

trước, trong đó không có 3 đường nào đồng quy”

2.10 Nói thêm về siêu mặt bậc hai afin

Trong mô hình xạ ảnh của không gian afin An = Pn \ W, xét siêu

mặt bậc hai afin (S’) sinh ra bởi siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S): ( ) = (S) \

W

2.10.1 Hai điểm của An được gọi là liên hợp với nhau đối với ( ) nếu

chúng liên hợp với nhau đối với (S) Từ đó suy ra: tập hợp các điểm của

An cùng liên hợp với một điểm I (I không phải là tâm của ( )) là một

siêu phẳng \ W trong đó là siêu phẳng đối cực của điểm I đối

với (S)

2.10.2 Nếu hai điểm P, Q của Pn liên hợp với nhau đối với (S) và

đường thẳng <P, Q> cắt ( ) tại hai điểm M, N Khi đó Q là điểm vô tận

của An khi và chỉ khi P là trung điểm của đoạn thẳng MN Từ đó suy ra:

Điểm I của An là tâm của ( ) khi và chỉ khi nó liên hợp với mọi điểm

của W đối với (S) Đặc biệt, nếu (S) không suy biến và không tiếp xúc

với W thì ( ) có tâm duy nhất, đó là điểm đối cực của W đối với (S)

2.10.3 Gọi C = (0 : c1 : c2 : … : cn) là một điểm thuộc (S) ⋂ W, nó xác

định một phương: = (c1 : c2 : … : cn) của An, vì khi đó,

nên chính là phương tiệm cận của ( ) Nếu ( ) có tâm duy nhất I thì đường thẳng afin đi qua I có phương là đường tiệm

cận của ( )

Chương 3: MỘT SỐ ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG

VỀ ĐƯỜNG BẬC HAI

3.1 Ánh xạ xạ ảnh

3.1.1 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm và chùm đường thẳng

Ánh xạ f biến mỗi điểm của đường thẳng m thành một điểm của

đường thẳng hoặc biến mỗi đường thẳng của chùm tâm S thành một

đường thẳng của chùm tâm là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỉ số kép 4

điểm của hàng hoặc bảo tồn tỉ số kép 4 đường thẳng của chùm

Khi đó ta nói rằng có một liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm hoặc

giữa hai chùm đường thẳng Ta kí hiệu sự liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng

điểm m và như sau (H 1):

tâm như sau (H 2):

hoặc {S} { }

Hình 2

CHÚ Ý: Ánh xạ xạ ảnh ở đây chính là phép đẳng cấu xạ ảnh giữa hai

hàng điểm hoặc giữa hai chùm đường thẳng

3.1.2 Sự xác định ánh xạ xạ ảnh trong P2

Định lí Nếu cho ba điểm A, B, C phân biệt thuộc đường thẳng m

và ba điểm A’, B’, C’ phân biệt thuộc đường thẳng m’ thì khi đó có một

phép ánh xạ xạ ảnh duy nhất f: {m} → {m’} sao cho f(A) = A’, f(B) = B’,

f(C) = C’

Định lí đối ngẫu Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thuộc

chùm tâm S và ba đường thẳng phân biệt a’, b’, c’ thuộc chùm tâm S’

thì khi đó có một phép đẳng cấu xạ ảnh duy nhất f: {S} → {S’} sao cho

f(a) = a’; f(b) = b’; f(c) = c’

CHÚ Ý: Ta không cần chứng minh đối với định lí đối ngẫu vì dựa

vào nguyên tắc đối ngẫu ta khẳng định được sự đúng đắn của định lí đối

ngẫu Trong định lí trên nếu có một đường thẳng m của chùm tâm S và

 Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi là phép chiếu xuyên

tâm (hay phép phối cảnh) nếu đường thẳng nối các điểm tương ứng luôn

đi qua một điểm O cố định Ta gọi O là tâm của phép chiếu (H.3)

Hình 3

 Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng gọi là phép chiếu

xuyên trục nếu giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng luôn nằm

trên một đường thẳng t cố định Ta gọi t là trục của phép chiếu (H.4)

Hình 4

3.2.2 Định lí Điều kiện cần và đủ để phép ánh xạ xạ ảnh

f:{m} →{m’} giữa hai hàng điểm trở thành phép chiếu xuyên tâm là

giao điểm O của hai giá tự ứng nghĩa là f(O) = O

3.2.3 Định lí đối ngẫu Điều kiện cần và đủ để ánh xạ xạ ảnh f giữa

hai chùm đường thẳng trở thành phép chiếu xuyên trục là đường thẳng

nối hai tâm tự ứng (H.5)

f: {S} → { } là phép chiếu xuyên tâm ⇔ f( ) =

Hình 5 3.3 Định lí Steiner

3.3.1 Định lí thuận: Nếu ánh xạ xạ ảnh f: {A 1 } → {A 2 } giữa hai chùm

các đường thẳng tương ứng nằm trên một đường conic

Chứng minh:

Xét ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm tâm A1 và A2 Gọi đường thẳng

g3 = A1A2 Vì f không phải là phép chiếu xuyên trục nên ta có f(g3) = g1,

f(g2) = g3 Ta có g1, g2, g3 là ba đường thẳng phân biệt

Gọi A3 = g1 ⋂ g2 Lấy một đường thẳng e thuộc chùm tâm A1 mà không

trùng với g2 và g3 Ta có thuộc chùm tâm A2 Khi đó một

đường thẳng m bất kì thuộc chùm tâm A1 sẽ biến thành đường thẳng m’

thuộc chùm tâm A2 Vì f là ánh xạ xạ ảnh nên ta có:

Chọn {A1, A2, A3, E} làm mục tiêu xạ ảnh và gọi (x1, x2, x3) là tọa

độ xạ ảnh của điểm M đối với mục tiêu vừa chọn ta có:

(A2A3E2M2) = và (A3A1E1M1) = nên suy ra = hay

Hình 6 Đây là phương trình của một đường conic Conic này đi qua điểm

E (vì điểm E có tọa độ thỏa mãn phương trình của conic) đồng thời tiếp

xúc với các đường thẳng g2 và g1 tại các điểm A1 và A2

3.3.2 Định lí đảo Nếu A 1 , A 2 là các điểm cố định của một đường

phải là phép chiếu xuyên trục

Định lí thuận đối ngẫu Nếu f: {m 1 } → {m 2 } là ánh xạ xạ ảnh

là phép chiếu xuyên tâm thì các đường thẳng nối các cặp điểm tương

ứng sẽ tiếp xúc với một đường conic

Định lí đảo đối ngẫu Nếu m 1 và m 2 là hai tiếp tuyến khác nhau

của một đường conic và m là một tiếp tuyến thay đổi của nó thì phép ánh

chiếu xuyên tâm

3.4 Vấn đề xác định một conic

3.4.1 Định lí Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm

nào thẳng hàng, bao giờ cũng có một đường conic duy nhất đi qua 5

điểm đó

Chứng minh:

Ta xét hai chùm tâm A và B và ánh xạ xạ ảnh f: {A} → {B} sao

cho f(AC) = BC, f(AD) = BD, f(AE) = BE Ánh xạ như vậy được hoàn

toàn xác định và không phải là phép đối xứng tâm (H 7)

Hình 7

Do đó theo định lí Steiner thuận, giao điểm của các cặp đường

thẳng tương ứng là một conic (S) Đường conic này đi qua 5 điểm A, B,

A

B

E

C, D, E đã cho Sự duy nhất của (S) được suy ra từ sự duy nhất của ánh

xạ f

3.4.2 Định lí đối ngẫu Cho 5 đường thẳng a, b, c, d, e trong đó

không có ba đường thẳng nào đồng quy, bao giờ cũng có một đường

conic duy nhất tiếp xúc với 5 đường thẳng đó

3.4.3 Các trường hợp đặc biệt

Nếu ta hay điều kiện đường conic đi qua một điểm bằng điều kiện

conic đó tiếp xúc với một đường thẳng ta có các trường hợp đặc biệt sau

đây:

 Cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng

hàng và một đường thẳng a đi qua điểm A nhưng không đi qua các điểm

còn lại Khi đó có một conic duy nhất đi qua A, B, C, D và tiếp xúc với a

tại A

 Cho 4 đường thẳng a, b, c, d trong đó không có ba đường thẳng

nào đồng quy và một điểm A thuộc a nhưng không thuộc các đường

thẳng còn lại Khi đó có một conic duy nhất tiếp xúc với a, b, c, d và đi

qua A

 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, đường thẳng a đi qua A

nhưng không đi qua B và C, đường thẳng b đi qua B nhưng không đi qua

A và C Khi đó có một conic duy nhất đi qua C tiếp xúc với a tại A và

tiếp xúc với b tại B

 Cho ba đường thẳng a, b, c không đồng quy, điểm A thuộc

đường thẳng a nhưng không thuộc b và c, điểm B thuộc đường thẳng b

nhưng không thuộc a và c Khi đó có một đường conic duy nhất tiếp xúc

với c, tiếp xúc với a tại A và tiếp xúc với b tại B

3.5 Định lí Pascal

3.5.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, tập hợp 6 điểm và 6

đường thẳng sao cho mỗi điểm là giao của hai đường thẳng, mỗi đường

thẳng đi qua hai và chỉ hai điểm, gọi là một hình lục giác Các điểm đã

cho gọi là đỉnh và các đường thẳng đã cho gọi là cạnh của hình lục giác

(H.8)

Hình 8

Ta có thể sắp xếp các đỉnh và các cạnh của lục giác theo một thứ

tự nhất định nào đó bằng cách đánh số thứ tự Thí dụ A1, a1, A2, a2, A3,

a3, A4, a4, A5, a5, A6, a6 (Ai là đỉnh và ai là cạnh) sao cho cạnh ai đi qua

hai đỉnh Ai và Ai + 1 (xem đỉnh A6 + 1 là A1) và do đó cạnh ai và ai + đi qua

Điều kiện cần và đủ để một lục giác nội tiếp trong một conic (các

đỉnh của nó thuộc conic) là giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm

trên một đường thẳng (đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal)

CHÚ Ý: Nếu đường bậc hai suy

biến thành hai đường thẳng phân

biệt ta có định lí Pappus Vậy

định lí này là một trường hợp

đặc biệt của định lí Pascal (H.9)

Hình 9

3.5.3.Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal

Ta có thể xem ngũ giác, tứ giác, tam giác nội tiếp một conic là các

trường hợp đặc biệt của lục giác khi một cặp đỉnh, hai cặp đỉnh hay ba

cặp đỉnh trùng nhau Khi đó ta xem cạnh của lục giác chứa cặp đỉnh

trùng nhau là tiếp tuyến của conic tại điểm đó Người ta chứng minh

được định lí Pascal vẫn đúng trong các trường hợp đặc biệt đó Cụ thể:

Đối với ngũ giác A1A2A3A4A5 nội tiếp đường conic (S) Ta xem

ngũ giác này như một trường hợp đặc biệt của lục giác khi hai đỉnh liên

tiếp nào đó trùng nhau, chẳng hạn đó là lục giác A1A2A3A4A5A5 Khi đó

lập luận trong chứng minh của định lí Pascal vẫn đúng nếu cạnh A5A6

được thay bằng tiếp tuyến của conic tại đỉnh A5 Vậy ta có kết quả sau

đây:

Định lí Nếu ngũ giác A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 nội tiếp đường conic (S) thì ba

giao điểm của: cạnh A 1 A 2 với cạnh A 4 A 5 , cạnh A 2 A 3 với tiếp tuyến của