Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô khoa Toán,các thầy cô tổ hình học, bạn sinh viên tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt thời gian em thực khóa luận “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Đinh Văn Thủy, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trình chuẩn bị hoàn thành khóa luận Một lần em xin gửi lời cảm ơn kính chúc sức khỏe tới thầy cô! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị My Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan trước hội đồng khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Toán: Khóa luận “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” viết, kết tìm tòi, tổng hợp từ tài liệu tham khảo hướng dẫn thầy Đinh Văn Thủy, trích dẫn khóa luận trung thực Khóa luận không trùng với khóa luận tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị My Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU PHẦN I: LÝ THUYẾT Chương 1: SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG Pn 1.1 Định nghĩa kí hiệu 1.2 Định nghĩa 1.3 Giao siêu mặt bậc hai m – phẳng 1.4 Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực 1.5 Phân loại siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực 1.6 Phân loại xạ ảnh siêu mặt bâc hai P2(R) P3(R) tên gọi chúng 10 1.7 Liên hệ hai siêu mặt bậc hai xạ ảnh siêu mặt bậc hai afin …………………………………………………………………11 1.8 Đường ôvan mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin thực.13 Chương 2: CỰC VÀ SIÊU PHẲNG ĐỐI CỰC 15 ĐỐI VỚI MỘT SIÊU MẶT BẬC HAI 15 2.1 Điểm liên hợp 15 2.2 Định lí 15 2.3 Định lí 15 2.4 Siêu phẳng đối cực Điểm kì dị 16 2.5 Siêu phẳng tiếp xúc siêu mặt bậc hai 16 2.6 Siêu phẳng liên hợp siêu mặt bậc hai không suy biến 17 Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” 2.7 Siêu diện lớp hai 18 2.8 Đối ngẫu 20 2.9 Định lí Mac – Laurin (Mác – Lôranh) 22 2.10 Nói thêm siêu mặt bậc hai afin 23 Chương 3: MỘT SỐ ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG 25 VỀ ĐƯỜNG BẬC HAI 25 3.1 Ánh xạ xạ ảnh 25 3.2 Phép chiếu xuyên tâm 26 3.3 Định lí Steiner 28 3.4 Vấn đề xác định conic 30 3.5 Định lí Pascal 32 3.6 Định lí Brianchon 35 3.7 Định lí Frêgiê (Frégier) 37 3.8 Định lí Đờdác thứ hai 38 PHẦN II: BÀI TẬP 40 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học xạ ảnh ba môn hình học cao cấp giảng dạy chương trình ngành Toán trường ĐHSP Môn học chủ yếu đề cập đến tính chất xạ ảnh, tính chất bất biến qua phép biến đổi xạ ảnh Hình học xạ ảnh nghèo nàn đối tượng nghiên cứu (các tính chất liên quan đến số đo không xét đến, tính song song phẳng không có) tổng quát hình học khác Cái lại chủ yếu hình học xạ ảnh quan hệ liên thuộc Thế mạnh môn học giúp giải toán tính đồng quy thẳng hàng (đặc biệt hình học phẳng) cách tổng quát Các định lý liên quan đến đường conic thú vị cho nhìn lại tập tương tự PTTH Và đối tượng cụ thể hình học xạ ảnh siêu mặt bậc hai tính chất định lý liên thuộc Nghiên cứu, tìm hiểu siêu mặt bậc hai giúp có thêm kiến thức sâu sắc hơn, nhìn tổng quát phương pháp tọa độ, tính chất thú vị đường đường bậc hai, mặt bậc hai, cách chứng minh hình học sáng tạo Với niềm đam mê Toán học đặc biệt niềm yêu thích môn Hình học, mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu sâu vấn đề liên quan đến hình học Dưới hướng dẫn thầy Đinh Văn Thủy phần làm điều Trong khuôn khổ khóa luận thời gian nghiên cứu nên tập trung nghiên cứu đề tài :“ Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh tính chất, định lý liên thuộc Đối tượng nghiên cứu Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh Pn Mức độ phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan siêu mặt bậc hai khônng gian xạ ảnh Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, định lý, tính chất siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh Tìm hiểu cực siêu phẳng đối cực siêu mặt bậc hai Nghiên cứu số định lý quan trọng đường bậc hai Cách giải số toán chọn lọc liên quan đến siêu mặt bậc hai Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” PHẦN I: LÝ THUYẾT Chương 1: SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG Pn 1.1 Định nghĩa kí hiệu Phương trình bậc hai n + biến x0, x1, …, xn trường K phương trình có dạng: Trong đó, aij  K, aij = aji, có aij khác không Ta kí hiệu ma trận A =(aij), i,j = 0, 1, 2, …., n, A ma trận vuông đối xứng, cấp n + có hạng Lại kí hiệu x ma trận cột, n + dòng: X= phương trình (1) viết dạng là: xtAx = (2) xt ma trận chuyển vị ma trận x, kí hiệu cho ma trận dòng cột gồm số 1.2 Định nghĩa Trong không gian xạ ảnh Pn, với mục tiêu { Si ; E}, tập hợp (S) gồm điểm x có tọa độ (x0: x1: …: xn) thỏa mãn phương trình (1) gọi siêu mặt bậc hai, xác định phương trình (1) Phương trình (1) gọi phương trình siêu mặt bậc hai (S) mục tiêu cho Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Ma trận A gọi ma trận siêu mặt bậc hai (S) mục tiêu cho Nếu det (A) ≠ 0, tức ma trận A không suy biến, siêu mặt bậc hai (S) gọi không suy biến Ngược lại, det A = 0, siêu mặt bậc hai (S) gọi suy biến Siêu mặt bậc hai P2 goi đường bậc hai Siêu mặt bậc hai P3 gọi mặt bậc hai Hai siêu mặt bậc hai (S) ( ) với ma trận A xem trùng có số k k tương ứng K \ { } cho A = Định lí Khái niệm siêu mặt bậc hai khái niệm xạ ảnh 1.3 Giao siêu mặt bậc hai m – phẳng Trong Pn cho siêu mặt bậc hai (S) m – phẳng Q Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Si ; E } cho m + điểm S0, S1, …, Sm nằm Q Khi phương trình Q là: xk = 0, với k = m + 1, m + 2, …, n (1) Giả sử đó, phương trình (S) là: Giao Q (S) tập hợp ( ) gồm điểm có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình (1) (2), hệ phương trình: Nếu aij, i, j = 0, 1, …, m điểm thuộc Q thuộc (S) Vậy: Q ⊂ (S), hay ( ) = Q Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Nếu số không đồng thời ( ) siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh m chiều Q 1.4 Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực Trong không gian xạ ảnh thực Pn(R) mục tiêu chọn, cho siêu mặt (S) có phương trình: xtAx = Xem xtAx dạng toàn phương không gian vectơ Rn + 1, ta tìm phép biến đổi tuyến tính cho dạng toàn phương trở thành dạng tắc Lại xem phép biến đổi tuyến tính phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh Pn, ta đến định lí sau: Định lí Với siêu mặt bậc hai (S) không gian xạ ảnh thực P(R),luôn tìm đựợc mục tiêu xạ ảnh cho phương trình (S) có dạng chuẩn tắc: (có p dấu “ ” q dấu “+”) ≤ p +q ≤ n + q ≥ p ≥ Mỗi siêu mặt bậc hai có dạng phương trình chuẩn tắc Siêu mặt bậc hai (S) trường hợp gọi siêu mặt bậc hai có số (p, q) 1.5 Phân loại siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực Hai siêu mặt bậc hai (S1) (S2) Pn gọi tương đương xạ ảnh có phép biến đổi xạ ảnh biến (S1) thành (S2) Khi chúng có tính chất xạ ảnh Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Định lí Hai siêu mặt bậc hai (S1) (S2) không gian xạ ảnh thực tương đương phương trình chuẩn tắc chúng giống ( nói cách khác, chúng có số (p, q)) Chứng minh: Giả sử mục tiêu { } siêu mặt (S1) có phương trình chuẩn tắc giống phương trình chuẩn tắc siêu mặt (S2) mục tiêu { } Gọi f phép biến đổi xạ ảnh biến mục tiêu thứ thành mục tiêu thứ hai dễ dàng thấy f biến (S1) thành (S2) Ngược lại, (S1) (S2) tương đương xạ ảnh có phép biến đổi xạ ảnh f biến (S1) thành (S2) Chọn mục tiêu { } cho (S1) có phương trình dạng chuẩn tắc gọi { } ảnh mục tiêu Khi đó, hiển nhiên mục tiêu này, phương trình (S2) có dạng chuẩn tắc giống dạng chuẩn tắc (S1) 1.6 Phân loại xạ ảnh siêu mặt bâc hai P2(R) P3(R) tên gọi chúng Trong P2(R) ta có loại đường bậc hai sau đây: 1) Nó gọi đường ôvan ảo không chứa điểm thực Trong mặt phẳng (phức) mở rộng P2(R) phương trình xác định đường bậc hai không rỗng 2) Nó gọi đường ôvan, hay đường conic 3) Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 10 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Bài 10: Trong P2 cho đường bậc hai (G) điểm phân biệt A, B, C, D (G) Giả sử A, B, C, D đỉnh hình tứ đỉnh toàn phần Chứng minh đường chéo đối cực điểm chéo không nằm đường chéo Giả sử P = AB ⋂ CD, Q = AC ⋂ BD, R = BC ⋂ DA M = QR ⋂ AB, N = QR ⋂ CD Từ tính chất hình bốn đỉnh toàn phần ta có [ABPM] = -1, [CDPN] = -1 Suy P liên hợp với M N (G) Do QR đối cực P Một cách tương tự với PQvà PR Bài 11: Trong P2 thực cho đường bậc hai (G) có phương trình: mục tiêu {S0, S1, S2; E} Viết phương trình tiếp tuyến (G) qua điểm S0, S1, S2, E Nhận xét S0, S1, S2 nằm (G) E không thuộc (G) Do tiếp tuyến (G) S0, S1, S2 đường đối cực S0, S1, S2 Theo cách lập phương trình đường đối cực ta được: Tiếp tuyến S0 là: Tiếp tuyến S1 là: Tiếp tuyến S2 là: Để tìm tiếp tuyến xuất phát từ E ta tìm đường đối cực ∆ E Bằng cách biết dễ dàng tìm ∆: Ta tìm giao ∆ ⋂ (G) Nếu có điểm A ∈ ∆ ⋂ (G) EA tiếp tuyến qua E Xét hệ: Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 53 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Thay (2) vào (1) Do hay x0x1 ≥ Suy Để tồn x0, x1 theo công thức Vi-ét cần có ⇔ ⇔ x0 = x1 Thay vào (2) ta Thay vào (1) ta ⇒ x0 = ⇒ x1 = x2 = Nhưng (0, 0, 0) không xác định điểm nên (G) ⋂ ∆ = Vậy tiếp tuyến qua E Bài 12: Trong P2 cho đường bậc hai không suy biến (G) Chứng minh hai cặp đỉnh đối diện hình tứ cạnh toàn phần liên hợp với (G) cặp đỉnh đối diện lại liên hợp với (G) (định lí Staud) Phát biểu kết đối ngẫu Giả sử (A, A’), (B, B’), (C,C’) ba cặp đỉnh đối diện hình bốn cạnh toàn phần mà A liên hợp với A’, B liên hợp với B’ (G) Có thể xem C = AB ⋂ A’B’, C’ = AB’ ⋂ A’B Ta cần chứng minh C liên hợp với C’ (G) Chọn mục tiêu (A, A’, B, B’) giả sử (G) có phương trình: Ta có A(1 : : 0), A’(0 : : 0), B(0 : : 1), B’(1 : : 1) Từ ta tính C(1 : : 1), C’(0 : : 1) Đặt : F(x0, x1, x2, y0, y1, y2) = Vì A A’ liên hợp nên F(1, 0, 0, 0, 1, 0) = 0, a10 = Vì B B’ liên hợp nên F(0, 0, 1, 1, 1, 1) = 0, Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 54 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Với hai điểm C C’ ta có F(1, 0, 1, 0, 1, 1) = Vậy F(1, 0, 1, 0, 1, 1) = 0, tức C liên hợp với C’ Đối ngẫu: Trong P2 cho đường bậc hai không suy biến (G) hình bốn đỉnh toàn phần có hai cặp cạnh đối diện hai cặp đường thẳng liên hợp (G) Khi cặp cạnh đối diện lại cặp đường thẳng liên hợp (G) Chương III: Một số định lí quan trọng đường bậc hai ∗ Các tính chất phép chiếu xuyên trục định lí Steiner công cụ đắc lực cho việc giải toán quỹ tích Bài 13: Trong P2 cho ba điểm phân biệt A, B, C thuộc đường thẳng d ba điểm phân biệt thuộc đường thẳng Giả sử không trùng với sáu điểm cho Chứng minh rằng: ba điểm thẳng hàng (Định lí Papuýt) Gọi h: phép chiếu xuyên tâm với tâm g: phép chiếu xuyên tâm với tâm Khi đó: f = g ◦ h : Ta có ánh xạ xạ ảnh Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 55 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” ⇒ f phép chiếu xuyên tâm Ta có: f(A) = N h(A) =A, g(A) = N f(M) = C h(M) = C, g(C) = C Mà ⇒ Q tâm phép chiếu xuyên tâm f Mặt khác : f(R) = P ⇒ P, Q, R thẳng hàng Bài 14: Cho đường thẳng d, d’, a không đồng quy điểm O không nằm chúng Một đường thay đổi qua O cắt d, d’ a M, M’ I Gọi J điểm mà [M, M’, I, J] = -1.Tìm quỹ tích điểm J Đặt S = d ⋂ d’ Lập ánh xạ f: {S} → {O}, SJ → OJ Có thể phân tích f = p ◦ h ◦ g, đó: g: SJ → SI (g phép biến đổi xạ ảnh đối hợp {S} có hai phần tử bất động d, d’) h: SI → I (phép cắt {S} a) p: I → OI (phép nối hàng điểm giá a với tâm O) Vậy f ánh xạ xạ ảnh Do O ∉ d, d’, a nên f(SO) ≠ OS Vậy f không phép chiếu xuyên trục Suy quỹ tích J đường bậc hai không suy biến qua S, O Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 56 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Bài 15: Trong P2 cho đường bậc hai không suy biến (G), đường thẳng d không qua A, B, điển M chạy d Đường thẳng AM cắt (G) A’ Đường thẳng BM cắt (G) B’ Tìm quỹ tích giao điểm N = AB’ ⋂ BA’ Xét ánh xạ f: {A} → {B}, AN → BN Có thể phân tích f = g◦h◦g, đó: g: AN → BB’ (g ánh xạ xạ ảnh theo định lí Steiner) h: BB’ → AA’ (phép chiếu xuyên trục, với trục chiếu d) g: AA’ → BN Vậy f ánh xạ xạ ảnh Kiểm nghiệm ta thấy f(AB) ≠ BA nên f không phép chiếu xuyên trục Vậy (theo định lí Steiner đảo) quỹ tích N đường bậc hai không suy biến qua A, B Chú ý giao điểm (nếu có) d (G) điểm quỹ tích ∗Việc chứng minh tính thẳng hàng điểm, tính đồng quy đường thẳng vận dụng, kết hợp hài hòa định lí đường bậc hai: Pascal, Brianchon Bài 16: Cho đường ôvan (S) thay đổi qua điểm cố định A, B, C, D Tiếp tuyến (S) B cắt AC BD , tiếp tuyến (S) C cắt Chứng minh rằng, đường thẳng qua điểm cố định Phát biểu kết đối ngẫu Theo giả thiết A, B, C, D ∈ (S) Áp dụng định lí Pascal cho trường hợp hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan (S) Xét hình sáu đỉnh BBDACC ta có: Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 57 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Giao điểm tiếp tuyến B AC Giao điểm BD tiếp tuyến C Giao điểm AD CB gọi I ⇒ thẳng hàng Do A, B, C, D cố định nên I cố định Vậy qua điểm cố định Đối ngẫu: Cho đường ôvan (S) thay đổi tiếp xúc với đường thẳng cố định a, b, c, d Gọi: b’ đường thẳng qua giao điểm a c với tiếp điểm b c’ đường thẳng qua giao điểm b d với tiếp điểm c Khi điểm thuộc đường thẳng cố định, a b c’ c b’ d Bài 17: Trong P2 cho hai đơn hình ABC A’B’C’ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC đồng quy sáu điểm M = AB ⋂ A’C’, N = AB ⋂ B’C’, K = CA ⋂ C’B’, P = CA ⋂ A’B’, Q = BC ⋂ B’A’, Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 58 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” R = BC ⋂ C’A’ nằm đường bậc hai không suy biến (G) Phát biểu kết đối ngẫu Vì AA’, BB’, CC’ đồng quy nên theo định lí Đơdác thứ áp dụng vào hai đơn hình ABC, A’B’C’ ta có ba điểm sau thẳng hàng: α = BC ⋂ B’C’, β= CA ⋂ C’A’, γ = AB ⋂ A’B’ Do hình sáu đỉnh MNKPQR có ba cặp cạnh đối diện giao ba điểm thẳng hàng α, β, γ.Theo định lí Pascal đảo, tồn đường bậc hai không suy biến(G) qua M, N, K, P, Q, R Đối ngẫu: Trong P2 cho hai đơn hình ABC, A’B’C’ có giao điểm AB ⋂ A’B’, BC ⋂ B’C’, CA ⋂ C’A’ thẳng hàng Khi sáu đường thẳng AB’, B’C, CA’, A’B, BC’, C’A tiếp xúc với đường bậc hai không suy biến (G) Bài 18: Trong P2 chứng minh hai đơn hình ABC, DEF có đỉnh nằm đường bậc hai không suy biến (G) tồn đường bậc hai không suy biến tiếp xúc với tất cạnh hai đơn hình Phát biểu kết đối ngẫu Xét hình sáu điểm ACFDEB có sáu đỉnh (G) nên theo định lí Pascal, điểm P = AC ⋂ DE, Q = CF ⋂ EB, R = FD ⋂ BA thẳng hàng Như hình sáu đỉnh BCPEFR có ba đường thẳng nối ba cặp đỉnh đối diện đồng quy Q Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 59 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Theo định lí Brianchon, đường thẳng BC, CP, PE, EF, FR tiếp xúc với đường bậc hai không suy biến Sáu đường thẳng sáu cạnh hai đơn hình ABC, DEF Đối ngẫu: Nếu hai đơn hình có sáu cạnh tiếp xúc với đường bậc hai không suy biến đỉnh chúng nằm đường bậc hai không suy biến Bài 19: Trong P2 cho đường bậc hai không suy biến (G), bốn điểm A, B, C, D (G) Gọi P giao hai tiếp tuyến A D Gọi Q giao hai tiếp tuyến B C Đặt M = AC ⋂ DP, N = BD ⋂ CQ Chứng minh MN, PQ, AB đồng quy Đặt E = AP ⋂ BQ, F = DP ⋂ CD, K = AC ⋂ BD Áp dụng định lí Brianchon vào hình bốn đỉnh PEQF (G) ta có PQ, EF vừa đồng quy với AC vừa đồng quy với BD Do EF qua giao điểm K = AC ⋂ BD Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 60 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Vậy E, F, K thẳng hàng Hai đơn hình APM BQN có ba cặp cạnh tương ứng giao ba điểm thẳng hàng E, F, K nên theo định lí Đơdác thứ nhất, ba đường thẳng AB, PQ, MN đồng quy Bài 20: Trong P2 cho đường thẳng (d) biến đổi xạ ảnh f: d → d Giả sử f đối hợp (tức f ◦ f = id) cho biết f(A) = , f(B) = Áp dụng định lí Frêgiê tìm ảnh điểm M thuộc (d) tìm điểm bất động f (d) Lấy đường bậc hai không suy biến (G) điểm O ∈ (G) O ∉ (d) Giả sử OA, OB, OA’, OB’, OM cắt lại (G) điểm A, B, A’, B’, M Đặt F = AB ⋂ A’B’ Giả sử FM cắt lại (G) điểm M’ Đặt M’ = OM’ ⋂ (d) Theo định lí Frêgiê ta có M’ = f(M) Nếu (d) cắt (G) điểm P, Q P = OP ⋂ (d), Q = OQ ⋂ (d) hai điểm bất động f Bài 21: Trong P2 cho đường bậc hai không suy biến (G), điểm A thuộc (G), hai đường thẳng cố định phân biệt u, v qua A, hai đường thẳng biến thiên m, n qua A cho [u v m n] = -1 Gọi giao điểm m với (G) A, M giao điểm n với (G) A, N Từ M N dựng tiếp tuyến p, q với (G) Chứng minh giao điểm p ⋂ q thuộc vào đường thẳng cố định Từ giả thiết ta có ánh xạ f : {A} → {B}, m ↦ n biến đổi xạ ảnh đối hợp nhận u, v làm hai phần tử bất động Theo định lí Frégier, đường thẳng MN qua điểm cố định F Vì p ⋂ q cực MN nên p ⋂ q phải chạy đường đối cực F Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 61 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Bài 22: Trong P2 cho đường bậc hai không suy biến (G), hai điểm phân biệt I, J liên hợp với (G) Một đường thẳng qua I cắt (G) M, M’ Một đường thẳng khác qua I cắt (G) N, N’ Đặt A = MN’ ⋂ IJ, B = NM’ ⋂ IJ, (G) ⋂ IJ = {A0, B0} Chứng minh [IJAB] = -1, [IJA0B0] = -1 Ta có [IJA0B0] = -1 I J liên hợp với (G) Áp dụng định lí Đơdác thứ hai vào hình bốn đỉnh MNM’N’ đường thẳng IJ có biến đổi xạ ảnh đối hợp f : {IJ} → {IJ} cho f(A0) = B0, f(A) =B, f(I) = I Đặt f(J) = J’ thì: -1 = [IJA0B0] = [IJ’B0A0] = : [IJ’A0B0] Do đó,[IJ’A0B0] = -1 = [IJA0B0] Suy J’ ≡ J, tức f(J) = J Vì f ánh xạ xạ ảnh đối hợp có hai điểm bất động I, J f(A) = B nên [IJAB] = -1 Bài 23: Trong P2 cho đơn hình ABC ba đường thẳng Ax, by, Cz qua A, B, C cho đường cạnh Chứng minh điều kiện cần đủ để ba đường thẳng Ax, By, Cz đồng quy ba cặp đường thẳng (Ax, BC), (By, CA), (Cz, AB) cắt đường thẳng d theo ba cặp điểm tương ứng biến đổi xạ ảnh đối hợp Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 62 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” f : d → d Nếu Ax, By, Cz đồng quy điểm D, áp dụng định lí Đơdác thứ hai vào hình bốn đỉnh ABCD đường thẳng d ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f : d → d biến Ax ⋂ d, By ⋂ d, Cz ⋂ d thành BC ⋂ d, CA ⋂ d, AB ⋂ d Ngược lại, có biến đổi xạ ảnh đối hợp f đặt D = Ax ⋂ By, theo phần thuận Ax ⋂ d, By ⋂ d, CD ⋂ d thành BC ⋂ d, CA ⋂ d, AB ⋂ d Do đó, Cz ⋂ d ≡ CD ⋂ d Suy Cz ≡ CD, tức z đồng quy với x, y D (Đây hệ định lí Đơdác thứ hai) Bài 24: Trong P2 đơn hình gọi tự liên hợp đường bậc hai (G) hai đỉnh liên hợp với (G) Giả sử P2 cho hai đơn hình mà đỉnh đơn hình không nằm cạnh đơn hình Chứng minh điều kiện cần đủ để có đường bậc hai không suy biến (G) nhận làm hai đơn hình tự liên hợp tồn đường bậc hai không suy biến (S) qua Phát biểu kết đối ngẫu Giả sử (G) đường bậc hai không suy biến nhận ABC A’B’C’ làm hai đơn hình tự liên hợp Lấy mục tiêu tọa độ {A, B, C; E} với E phương trình (G) có dạng Vì B’C’ không thuộc vào BC nên B’C’ có tọa độ dạng B’(1 : X1 : X2), C’(1 : Y1 : Y2) Bây lấy E ≡A’ A’(1 : : 1) Điều kiện A’ liên hợp với B’, A’ liên hợp với C’ B’ liên hợp với C’ có nghĩa Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 63 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Vì nên Hay Giả sử (S) đường bậc hai không suy biến qua A, B, C, A’ phương trình (S) có dạng b + c = 1, , với a + Điểm B’ C’ thuộc vào (S) và Do tồn đường bậc hai không suy biến (S) qua A, B, C, A’, B’, C’ có a, b, c khác thỏa mãn: , tức là: Rõ ràng nên Từ suy tồn (G) tồn (S) điều cần phải chứng minh Đối ngẫu: Trong P2 cho hai đơn hình ABC A’B’C’ mà cạnh đơn hình không chứa đỉnh đơn hình Điều kiện cần đủ để có đường bậc hai không suy biến (G) nhận ABC A’B’C’ làm hai đơn hình tự liên hợp tồn đường bậc hai không suy biến (G) tiếp xúc với sáu cạnh hai đơn hình Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 64 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” Bài 25: Trong P2 phức chứng minh có đơn hình tự liên hợp đường bậc hai không suy biến (G) mà đỉnh nằm đường bậc hai không suy biến (S) có vô số đơn điểm (S) lấy làm đỉnh đơn (khi nói (S) ngoại tiếp điều hòa (G)) Lấy điểm A’ (S), khác với A, B, C Đường đối cực a A’ (G) cắt (S) hai điểm B’, C’ Đường đối cực B’ (G) cắt a điểm C” Khi A’, B’, C” ba đỉnh đơn hình A’B’C” tự liên hợp (G) Theo 22 tồn đường bậc hai không suy biến qua A, B, C, A’, B’, C” Đường có điểm A, B, C, A’, B’ nằm (S) nên trùng với (S) Do C” ≡ C’ Vậy A’B’C’ đơn hình thỏa mãn yêu cầu Đối ngẫu: Trong P2 phức có đơn hình tự liên hợp với đường bậc hai không suy biến (G), có cạnh tiếp xúc với đơn hình không suy biến (S) có vô số đơn tiếp tuyến (S) lấy làm cạnh đơn Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 65 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa nội dung liên quan đến siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh Nội dung khóa luận bao gồm: Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh Pn Cực siêu phẳng đối cực siêu mặt bậc hai Một số định lí quan trọng đường bậc hai Một số tập vận dụng Qua khóa luận thân em lĩnh hội thêm cách sâu sắc tri thức môn hình học xạ ảnh, việc nghiên cứu sâu “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh ” góp phần làm sáng rõ kết quan trọng môn hình học xạ ảnh, môn có tầm quan trọng toán học Bên cạnh đó, nhờ việc nhiên cứu khóa luận mà thân em có nhìn tổng quát toán hình học phẳng liên quan đến tính đồng qui, thẳng hàng Các định lí liên quan đến đường conic giúp em nhìn lại tập PTTH cách thống Tuy nhiên, thời gian thực khóa luận kiến thức thân hạn chế nên không tránh khỏi sai sót , em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin chân thành cám ơn thầy cô khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em suốt trình Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 66 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: “Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh” hoàn thành khóa luận, đặc biệt giúp đỡ bảo tận tình thầy Đinh Văn Thủy giúp em hoàn thành khóa luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương (2006), “Hình học xạ ảnh”, Nhà xuất Đại học sư phạm Phạm Đình Đô (2002), “Bài tập hình học xạ ảnh”, Nhà xuất Đại học sư phạm Nguyễn Mộng Hy (2009), “Hình học cao cấp”, Nhà xuất giáo dục Việt Nam Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 67 [...]... siêu mặt bậc hai afin trong không gian An Khi đó ta nói rằng siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) sinh ra siêu mặt bậc hai afin ( ) Ngược lại, mỗi siêu mặt bậc hai afin ( ) trong An đều được sinh ra bởi một siêu mặt bậc hai xạ ảnh duy nhất (S) trong Pn Thật vậy, nếu ( ) có phương trình (**) trong một mục tiêu afin của An, thì bằng cách thay Xi bằng ta được phương trình (*) xác định cho ta một siêu mặt bậc hai. .. M, cụm từ siêu mặt bậc hai sẽ được giữ nguyên và cụm từ “điểm thuộc siêu mặt bậc hai được thay bởi cụm từ siêu diện của siêu mặt bậc hai Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 22 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh Chẳng hạn câu: “Cho hai điểm thuộc một siêu mặt bậc hai (câu 1) sẽ trở thành “Cho hai siêu phẳng thuộc một siêu mặt lớp hai (câu... là mặt nón 5) , được gọi là cặp mặt phẳng ảo 6) liên hợp Nó gồm một đường thẳng thực với phương trình là: Đây là cặp mặt phẳng có 7) phương trình: 8) 1.7 và Đây là cặp mặt phẳng trùng nhau Liên hệ giữa hai siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 11 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh Ta xét không gian. .. liên quan tới siêu mặt bậc hai không suy biến Ví dụ: Trong P2 cặp mệnh đề sau là đối ngẫu: “Có một đường ôvan duy nhất đi qua 5 điểm cho trước, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng” và “Có một đường ôvan tiếp xúc với 5 đường thẳng cho trước, trong đó không có 3 đường nào đồng quy” 2.10 Nói thêm về siêu mặt bậc hai afin Trong mô hình xạ ảnh của không gian afin An = Pn \ W, xét siêu mặt bậc hai afin (S’)... KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh Như vậy, tuyến lớp hai (S*) đã cho là tập hợp gồm hai chùm đường thẳng có tâm I và J 2.8 Đối ngẫu Trước hết ta chứng minh rằng: Khái niệm siêu diện lớp hai là đối ngẫu của khái niệm siêu mặt bậc hai Thật vậy, giả sử đã chọn trong Pn một mục tiêu xạ ảnh, ta xét phép đối xạ , nó biến mỗi điểm X thành siêu phẳng có tọa độ giống như... ôvan trong mặt phẳng xạ ảnh P2 thì trong mặt phẳng afin A2 = P2 \ W, tập (S) \ W sẽ là: - Đường elíp, nếu (S) không cắt W - Đường hypebol, nếu (S) cắt W tại hai điểm phân biệt - Đường parabol, nếu (S) tiếp với W Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 14 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh Chương 2: CỰC VÀ SIÊU PHẲNG ĐỐI CỰC ĐỐI VỚI MỘT SIÊU MẶT BẬC HAI. .. NGHIỆP ĐẠI HỌC: Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh và V* là hai điểm liên hợp đối với (S) Vì U gồm những điểm liên hợp với U* nên U đi qua V* Tương tự ta có V đi qua U* b Siêu phẳng U liên hợp với chính nó đối với siêu mặt bậc hai (S) khi và chỉ khi U tiếp xúc với (S) (tại điểm U* là điểm đối cực của U) c Cho hai siêu phẳng phân biệt U, V liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến... PHẠM TOÁN Page 24 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh Chương 3: MỘT SỐ ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG VỀ ĐƯỜNG BẬC HAI 3.1 Ánh xạ xạ ảnh 3.1.1 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm và chùm đường thẳng Ánh xạ f biến mỗi điểm của đường thẳng m thành một điểm của đường thẳng hoặc biến mỗi đường thẳng của chùm tâm S thành một là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỉ số kép 4 đường thẳng của... chỉ khi nằm trên (S) 2.2 Định lí Giả sử hai điểm phân biệt Y và Z liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai (S) trong không gian xạ ảnh Pn Khi đó: - Nếu đường thẳng cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N thì [Y, Z, M, N ] = -1 - Nếu cắt (S) tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là Y hoặc Z 2.3 Định lí Trong K – không gian xạ ảnh Pn cho siêu mặt bậc hai (S) và điểm Y Tập hợp tất cả những... trình: n  a ij u i u j  0 i, j0 Nói cách khác một siêu mặt bậc hai biến thành một siêu diện lớp hai Từ chứng minh trên ta cũng có: Siêu mặt bậc hai không suy biến và siêu diện lớp hai không suy biến là hai khái niệm đối ngẫu Ta có thể định nghĩa các khái niệm liên quan đến siêu diện lớp hai, đối ngẫu với các khái niệm tương ứng liên quan đến siêu mặt lớp hai Cụ thể là: Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ ... HỌC: Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh Nếu số không đồng thời ( ) siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh m chiều Q 1.4 Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực Trong không gian xạ ảnh. .. Mỗi siêu mặt bậc hai có dạng phương trình chuẩn tắc Siêu mặt bậc hai (S) trường hợp gọi siêu mặt bậc hai có số (p, q) 1.5 Phân loại siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực Hai siêu mặt bậc hai. .. Giao siêu mặt bậc hai m – phẳng 1.4 Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực 1.5 Phân loại siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực 1.6 Phân loại xạ ảnh siêu mặt