Không gian xạ ảnh pn

A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài        Bộ môn Hình học xạ ảnh là học phần nối tiếp sau học phần Hình học  Afin và hình học Ơclit. Môn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh,  các tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh với mục đích giúp cho  sinh viên có cái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liên quan đến  tính  đồng  quy,  thẳng  hàng.  Đồng  thời,  Hình  học  xạ  ảnh  giúp  chúng  ta  có  một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán  thuộc chương trình phổ thông.          Không  gian  xạ ảnh  Pn  nằm  trong  Hình  học  xạ  ảnh  được  học  vào  học  vào học kỳ 1 năm thứ ba của Sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2.  Trong phần này  đã đưa ra những  khái niệm  cơ  bản:  Định  nghĩa  về không  gian xạ ảnh và các mô hình của nó, phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình của  m – phẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép của chùm bốn siêu  phẳng và nguyên tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh. Đây là một nội  dung quan trọng, mở đầu cho việc hình thành những khái niệm về hình học  xạ ảnh và cũng là cơ sở cho việc giải các bài toán hình học xạ ảnh sau này.        Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về không gian xạ ảnh và các khái niệm  liên quan, được sự gợi ý của thầy hướng dẫn Đinh Văn Thủy, tôi quyết định  nghiên cứu đề tài:  “Không gian xạ ảnh Pn” Mục đích nghiên cứu - Định nghĩa không gian xạ ảnh và tính chất của không gian xạ ảnh.  - Khái niệm về phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình m – phẳng, tỉ số kép của  bốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng. Nguyên tắc đối ngẫu trong  các không gian xạ ảnh.  - Các dạng bài tập liên quan.  Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống các  kiến thức về không gian xạ ảnh và việc xây dựng các khái  niệm liên quan.  - Nghiên cứu các bài tập liên quan đến định nghĩa không gian xạ ảnh, tính  chất của không gian xạ ảnh. Các dạng bài tập về tọa độ xạ ảnh, phẳng, tỉ số  kép và các phát biểu đối ngẫu.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu -  Đối  tượng:  các  bài  toán  liên  quan  đến  không  gian  xạ  ảnh  Pn,  phẳng,  hệ  điểm độc lập, tọa độ xạ ảnh, xây dựng các mô hình của không gian xạ ảnh  và các tính chất của chúng. Các dạng bài toán về tỉ số kép, hàng điểm điều  hòa, chùm siêu phẳng điều hòa.  - Phạm vi nghiên cứu: một số lớp các bài toán trong hình học xạ ảnh.  Ý nghĩa khoa học thực tiễn      Giúp cho sinh viên có tài liệu tham khảo về việc xây dựng các ví dụ về  không gian xạ ảnh và một số tính chất của nó, giúp cho việc học tập môn  hình học xạ ảnh tốt hơn.  B NỘI DUNG Chương 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian xạ ảnh phẳng 1.1.1 Định nghĩa > trên trường   Ta kí hiệu  là       Cho    là  không  gian  vectơ  có  tập hợp các không gian con một chiều của   Cho   là tập hợp tùy ý.  Nếu có một song ánh:  → :  〈 ⃗〉     (〈 ⃗〉) =   thì bộ ba ( , ,  ) được gọi là không gian xạ ảnh.  : Không gian vectơ liên kết với không gian xạ ảnh.  Mỗi phần tử của  được gọi là điểm (xạ ảnh).  Vectơ  ⃗ ≠ 0 mà   (〈 ⃗〉) =  được gọi là vectơ đại diện của  , thường kí  hiệu là  ⃗.  Do đó, ∀ ⃗ = Nếu  ⃗ ( ≠ 0) cũng là vectơ đại diện của    = + 1 thì  bộ ba  ( , ,  )  được  gọi  là  không gian xạ ảnh chiều. Kí hiệu là         Không gian xạ ảnh trên trường số thực  gọi là không gian xạ ảnh thực.  Kí hiệu:  ( ).       Không gian xạ ảnh trên trường số phức  gọi là không gian xạ ảnh phức.  Kí hiệu:  ( ).  1.1.2 Phẳng 1.1.2.1 Định nghĩa    Cho ( , ,  ) là không gian xạ ảnh. Gọi  là không gian vectơ con của    > 0.  có  Khi đó  = = Nếu  \ ⃗∈  được gọi là phẳng xạ ảnh  = + 1 thì   được gọi là      − phẳng.   là một 0 − phẳng.  Như vậy, mỗi điểm của  − phẳng chính là đường thẳng.  − phẳng chính là mặt phẳng.  ( − 1) − phẳng của   còn gọi là siêu phẳng.  1.1.2.2 Phẳng tổng, phẳng giao     Cho  Khi đó  , ∩ Do  vậy  khi  = ∅   ∩ + ( = 1,2).  = 0⃗   ∩ ≠ ∅  thì  được gọi là phẳng giao của  = =  là các phẳng xạ ảnh,  ∩  và  = ∩   cũng  là  phẳng.  Nó      là  phẳng  có  số  chiều  bé  nhất  chứa  cả  phẳng tổng của   và   Kí hiệu là  = + ,   được  gọi  là    Tương tự xây dựng khái niệm:   + Phẳng giao của một họ phẳng là phẳng lớn nhất nằm trong các phẳng   của họ.   + Phẳng tổng của một họ phẳng là phẳng bé nhất chứa tất cả các phẳng   của họ.  1.1.2.3 Định lý số chiều Định lý: a) ∩ ≠ ∅   ( + )= + − dim ( ∩ ).  b) ∩ = ∅   ( + )= + + 1.  Chứng minh: +  là phẳng có không gian con liên kết là  = ,   = ( + )=   a) ∩   ( + + )= ) + +   ( + )+1 =(   ( + )= ∩    ≠ ∅  ( b) + ( − ∩ + 1)+( + − )  + 1) −[ ( ∩ ) + 1] ( ∩ ).  = ∅  ( + )= + dim  ( + )+1 =  ( + )= +1+ + 1  +1+ + 1.  Phản chứng để có điều ngược lại của a), b).  1.1.3 Hệ điểm độc lập 1.1.3.1 Định nghĩa     Cho       Nếu A1 , A2 ,, Am   độc  lập  tuyến     điểm  A1 , A2 ,, Am  trong   tính thì hệ điểm đã cho được gọi là hệ điểm độc lập Ví dụ:       Hệ hai điểm phân biệt độc lập.      A  B  A  k B  , k  A ,  B    độc lập tuyến tính.          Hệ ba điểm không thẳng hàng (cùng thuộc một đường thẳng) là độc lập.        C  AB  C   A , B     C  , A , B    độc lập tuyến tính.      1.1.3.2 Định lý Định lý 1: Qua  m  1 điểm độc lập có và duy nhất  m   phẳng.  Chứng minh: } độc lập.  Thật vậy, cho hệ { , … ,  = Ai  ( = 0,  ) là không gian vectơ   = ( = 0,   = − phẳng đi qua   và   ) là  Nếu  =  cũng     Ai  ∈ , = 0,    = Ai ⊂   − phẳng đi qua , ,…, ∈    (1)  +1= Từ (1) và (2) suy ra + 1 chiều.  (2)  =  Định lý được chứng minh.  Định lý 2: Hệ r điểm (r  ≥ 2) là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng  thuộc một (r – 2) – phẳng Chứng minh:      Giả sử  , ,… là r điểm của không gian xạ ảnh  lượt là r vectơ   ⃗,  ⃗, … , Hệ điểm  ⃗ của  , có đại diện lần   (r ≥ 2).    là độc lập khi và chỉ khi các vectơ  mi  độc lập tuyến tính nên  không cùng thuộc một không gian vectơ con r – 1 chiều của  khi và chỉ khi hệ điểm  , tức là  không cùng nằm trên một (r – 2) – phẳng. Định lý  được chứng minh.  1.1.4 Định lý Đờ-dác Định lý:         Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ trong đó không có  ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó, hai mệnh đề sau đây tương đương:  a. Ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.  b.  Giao  điểm  của  các  cặp  đường  thẳng  AB  và  A’B’, BC   và  B’C’, CA   và     C’A’  là ba điểm thẳng hàng.  Chứng minh: (a ⇒ b)  Gọi S = AA ∩ BB ∩ CC S ∈ AA ⇒ S⃗ = λ A⃗ + μ B⃗   Do  các  vectơ  đại  diện  có  thể  sai  khác  thừa  số  khác  0.  Có  thể  coi  rằng:  S⃗ = A⃗ + A′⃗  Tương tự: S⃗ = B⃗ + B′⃗ = C⃗ + C′⃗  B  A’  Suy ra: A⃗ + A′⃗ = B⃗ + B′⃗  ⇒ A⃗ − B⃗ = B′⃗ − A′⃗ = M⃗  M  P  ⇒ M⃗ là vectơ đại diện của  C  N  M = AB ∩ AB′       B A  Và B⃗ + B′⃗ = C⃗ + C′⃗  C’  ⇒ B⃗ − C⃗ = C′⃗ − B′⃗ = N⃗                             S  ⇒ N⃗ là vectơ đại diện của  N = BC ∩ B′C′  ⇒ C⃗ + C′⃗ = A⃗ + A′⃗   ⇒ C⃗ − A⃗ = A′⃗ − C′⃗ = P⃗   ⇒ P⃗ là vectơ đại diện của P = CA ∩ C′A′. Ta có: M⃗ + N⃗ + P⃗ = 0⃗    ⇒ M, N, P thẳng hàng.  (b ⇒ a)  Xét hệ 6 điểm {B, B , M, C, C , P}  Với M = AB ∩ AB , P = AC ∩ A′C′  Do BC, B’C’, MP  đồng quy tại N nên theo chứng minh phần trên ta suy ra:  BC ∩ B′C′, B M ∩ C P, MB ∩ PC thẳng hàng.    AA’, BB’, CC’ đồng quy. Định lý được chứng minh.  1.2 Mô hình không gian xạ ảnh 1.2.1 Mô hình tắc (mô hình vectơ):       Cho   là một không gian vectơ  + 1 chiều.  = và   là phép đồng  nhất của   Do   là song ánh nên:  ( , ,  ) là không gian xạ ảnh n chiều.  1.2.2 Mô hình bó       Giả  sử  ∈ là  không  gian  afin  + 1  chiều  có  nền  là    Lấy   Tập hợp các đường thẳng đi qua   được gọi là bó đường thẳng  tâm  , kí hiệu    Xét ánh xạ  : →                             〈 ⃗〉    Đường thẳng qua   có phương 〈 ⃗〉                                           = ( , 〈 ⃗〉)   , thì   là song ánh nên ( , ) là không gian xạ ảnh  chiều.  1.2.3 Mô hình afin     Lấy siêu phẳng  =     Gọi  ∪ Xét ánh xạ  : →                          thì   là song ánh và  ánh: :  ⊂ , có nền là   Gọi   là bó đường thẳng tâm   với  ∉ ∩ ⃗ nếu ∦ ∥       =  với   trong mô hình bó ở 1.2.2 thì  ′ là song  → ⇒( , , ) là không gian xạ ảnh   chiều.  Chú ý: Trong  có hai loại điểm:               Điểm afin thông thường trong               Điểm “vô tận” thuộc  1.2.4 Mô hình số học  là tích Đề-các của với chính nó  + 1      Cho   là một trường nào đó,  lần, tức là:   = {( , )\ ,…, ∈ Cho vectơ  ⃗ = ( , Xét không gian vectơ  mà  ⃗ ≠ 0⃗ = (0,0, … ,0) ∈ } ,…, )∈   kí  hiệu  〈 ⃗〉  là  không  gian  vectơ  một  chiều  sinh  ra  bởi  ⃗  và  kí  hiệu  ( , ,…, ) = 〈 ⃗〉 − 0⃗   Như vậy ( , ,…, ) là một lớp các bộ số sắp thứ tự (không đồng thời  bằng 0) của   và hai bộ bất kỳ trong lớp đó thì tỉ lệ với nhau (hệ số tỉ lệ  ≠ 0).  Gọi  là tập hợp tất cả các lớp như vậy.  Có thể lập song ánh  : →               〈 ⃗〉   ( , Khi đó ( , K ,…, )  , ) là một không gian xạ ảnh n chiều trên   Ta gọi nó là  mô hình số học của  ( ).  1.3 Tọa độ xạ ảnh 1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh       Cho không gian xạ ảnh  hợp có thứ tự   + 2 điểm của  liên kết  – không gian vectơ  :{ , ,…,  Một tập  ; } được gọi là mục tiêu xạ  ảnh nếu bất kỳ  + 1 trong  + 2 điểm đó đều độc lập.  Dễ thấy rằng mục tiêu xạ ảnh là tồn tại.  Các điểm   gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm U gọi là điểm đơn vị.  −  phẳng ( Các  < ) đi qua  + 1 đỉnh gọi là các  − phẳng toạ độ,  đặc biệt là các đường thẳng     với  ≠ , gọi là các trục tọa độ.  1.3.2 Định lý 1.3.2.1 Phát biểu ={ , } trong  thì  trong không    n có  cơ  sở    ei   mà  ei   là  vectơ  đại  diện  của        Nếu  cho các  mục  tiêu xạ  ảnh  gian  vectơ  liên  kết   ( = 0, ).   e  i   là vectơ đại diện của điểm    n i 0     là duy nhất theo nghĩa nếu có   '  e 'i   như vậy thì  e 'i  kei        1.3.2.2 Chứng minh  Sự tồn tại: Gọi  si  là vectơ đại diện của  ( = 0, )       n   si  là cơ sở của         Gọi  ⃗ là vectơ đại diện của   thì:      u  k0 s0  k1 s1  kn sn                   với    ≠ ( = 0, )  Vì trái lại có, chẳng hạn  = 0 thì:      u  k1 r1  k2 r2   kn rn      10 = ∩ =( − , − , − )  = ∩ =( − , − , − )  Cộng ba dòng tọa độ của  , ,  lại ta được (0, 0, 0) nên:  bb '  cc ' cc '  aa ' aa '  bb' b'  c' c'  a' a '  b' bc c  a  0  ab Do đó  , ,  thẳng hàng.  2.5 Tỉ số kép Bài 21: Trong    cho  mục  tiêu  { , , }  và  ba  điểm  có  tọa  độ  , (1, −1, 0),  (1, 0, −1), (0, 1, −1) đối với mục tiêu đó. Chứng minh rằng  ) =  cho trước.  ba điểm này thẳng hàng. Tìm điểm   sao cho có ( Giải: 1 Vì  1    nên  , ,  thẳng hàng.  1 Dễ thấy  rằng  = − +  Giả sử  = Theo giả thiết: ( Vì  ≠ 0, chọn  Vậy  = − ) =  tức là:  =1⇒ + ) =   thì ( k2  = −   l2 = −   + , tức là  = (− + 1, , −1).  Bài 22: Cho  đường  thẳng  xạ  ảnh    và  sáu  điểm  , , , Chứng minh rằng nếu: ( thì (  :   ∙  )=( )=( )=( )=( ) = −1.    43 , ) = −1  , ′  trên    Giải: Chọn  mục  tiêu  trên    (không  gian  xạ  ảnh  một  chiều)  là  { , ; }  thì  = (1, 0), = (0, 1), Theo  giả  thiết  ( = = (1, 1).  ) = −1  hay  ( ) = −1  mà  = −   nên  = (1, 2).  + Tương tự:  ( ′ ) = −1 hay ( ′) = −1 và  = −  ⇒ = + = (2, 1).  ( ′ ) = −1 hay ( ′) = −1 và  = +  ⇒ = − = (1, 1).  Từ đó suy ra:   ( )=( )=( ) = −1.  Bài 23: Cho 4 điểm phân biệt thẳng hàng  , , ,  sao cho ( ) > 0.  Chứng minh rằng có cặp điểm  ,  duy nhất sao cho:   ( )=( ) = −1.  Giải: Trong  , cho mục tiêu xạ ảnh { , ; } sao cho:  = (1, 0)           = (0, 1)                                                                                   = (1, 1).               Giả sử điểm   có tọa độ dạng (0, ) ⇒ = 1.  ⇒ Điểm  = (0, 1) =   ⇒( ) = 0 (Mâu thuẫn giả thiết ( Vậy  có tọa độ dạng (0, ) =     ABCD   Vậy  > 0, 1 :    ⇒ d d ) > 0).  +   > 0                                                      ≠ 1 (Vì nếu  = 1 thì  = ).  Cần tìm  (1, ), (1, ) để ( ) = −1 và (CDPQ) = −1.  44 ⎧( ⇒ )= = −1   −1 −1 : = −1 − − ⎨(CDPQ) = ⎩ =− ⇔ ( − 1) ( − )   = −1 ( − ) ( − 1) =− ⇔ = ⇔ = ±√    Vậy có cặp điểm  ,  duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài là:  1, √ , (1, −√ ) hay  1, −√ , (1, √ ).  Bài 24: Trên đường thẳng xạ ảnh cho 5 điểm phân biệt  , , , ,  và điểm   Chứng minh rằng ( ( )=( ) thì  ) ( ) ( ) = 1 và nếu   ≡   Giải: Theo tính chất tỉ số kép ta có:  ( ) ( )=( ), ( ) ( )=( ), ( )=( ) = 1. Nếu ( )=( ) thì   Do đó:   ( ) ( = + ,  = + , Do đó: = ′ + ′  thỏa mãn: k2 k1 k '2 k1 :  :  .  l2 l1 l '2 l1 k2 k '2  .   l2 l '2 Mặt khác, có thể viết  D  k2 k' A  B, G  A  B   l2 l '2 45 ) = 1.  ≡   Suy ra:  Bài 25: Trong   cho hai đường thẳng phân biệt   và  ′ cắt nhau tại điểm  , ba  điểm  phân  biệt  , ,   trên  ,  ba  điểm  phân  biệt  ′, ′, ′  trên  ′.  , Chứng  minh  rằng  cần  và  đủ  để  ( ′  đồng  quy  là  ( , )= ).  Giải: Đặt  = ′∩ ′. Giả sử  , Cần và đủ để  ( )=( , )=(  cắt  ′ tại  ′′ thì ( ′ đồng quy là  ′ đi qua  , tức là  )   ≡ ′′, hay  ).    d  D    C  B  A  B’  C’  D’  d’      O    Bài 26: Trong  ( ): − ( ): +2  cho bốn đường thẳng có phương trình:  +2 +3 = 0                   ( ): = 0                 ( ): + +7 = 0  = 0  Chứng tỏ rằng chúng cùng thuộc một chùm đường thẳng. Tính tỉ số kép của  bốn đường thẳng theo thứ tự đã cho.  46 Giải: − +2 =0 + =0 ⇔ +2 +3 =0 Xét hệ: =7 = ⇒ (7, 1, −3).  = −3   thỏa  mãn  phương  trình  ( ) ⇒  Bốn  đường  thẳng  đã  cho  thuộc  vào  một  chùm đường thẳng có tâm  (7, 1, −3).  Áp dụng công thức tính tỉ số kép cho:  = (1, −1, 2), = (1, 2, 3), = (0, 3, 1),  = (3, 0, 7).  Ta được:     1 : 3 1     Bài 27: Xét mục tiêu { , ( 〈 , , , , , ; } của không gian  ,  và điểm  ). Tìm tỉ số kép của bốn mặt phẳng: 〈 , , 〉 và 〈 , , , 〉, 〈 , , 〉.  Giải: Xét mục tiêu xạ ảnh: { , = (0, 1, 0, 0),  Gọi  = 〈 , , , ; }, ta có:  , = (0, 0, 1, 0),  〉, =〈 , , = (0, 0, 0, 1),  = (1, 1, 1, 1).  〉,  = 〈 , Phương trình của mặt phẳng   là:  x0 0 x1 x2 0 = (1, 0, 0, 0)   x3   x3     0   47 , 〉, =〈 , , 〉.  〉,  Phương trình của mặt phẳng   là:  x0 0 x1 x2 0 x3   x2    Phương trình của mặt phẳng   là:  x0 1 x1 1 x2 0 x3   x2  x3    Phương trình của mặt phẳng   là:  x0 x1 x2 x3 0 0   a3 x2  a2 x3    a0 a1 a2 a3 Từ đó ta có:  (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, −1), (0, 0, Ta có: Bốn mặt phẳng  , , và   cùng chứa đường thẳng  thuộc chùm mặt phẳng có giá  Có:  = − ,     = −  a2 1 a2 :  a3 a3 Bài 28: Trong  ,− ).   nên chúng       cho hai đường thẳng phân biệt  ,  và một đường điểm    không nằm trên chúng. Một đường thẳng thay đổi đi qua   cắt  ,  lần lượt  tại  ,   Cho  số    mà  ( ≠ 0, ≠ 1.  Tìm  quỹ  tích  các  điểm    sao  cho  ) =   48 Giải: Đặt  = ∩ ,  là đường thẳng     ) =   Qua   dựng đường thẳng   sao cho ( Nếu  ∈ , ≠  và    cắt  ,  tại  ,  thì  ) =       ( a  A  ) =    sao cho có ( O  (trong đó   = ( ∩ , , , m  M  Ngược lại, nếu   là điểm khác    = ∩ B  ) thì   b  ) =  Do đó  , ∈   n  N  Vậy quỹ tích   là đường thẳng    trừ đi điểm     cho ba điểm  , ,  không thẳng hàng và ba điểm  , ,   Bài 29: Trong  , lần  lượt  trên  , , không  thuộc    mà  không  trùng  với  , ,   Gọi  ,   Đặt  = ∩  Chứng minh rằng:  a. Cần và đủ để  ( ) ( , ,  đồng quy là:  ) ( ) = 1  b. Cần và đủ để  , ,  thẳng hàng là:  ( ) ( ) ( ) = −1  Giải: Chọn mục tiêu ( , , , ) thì   49 , = ∩ là  một  điểm  , = ∩ (1, 0, 0), (0, 1, 0),   A  (0, 0, 1), (1, 1, 1),  (0, ), ( , 0, , ( , ),  Q  (0, 1, 1).  , 0), R Áp  dụng  công  thức  tính  tỉ  số  kép ta được:    BCPA   aa '  ,   C’ B’   CAQB '  b2  ,   b1  ABRC '  c2   c1 Ta lại có:  = (0, −                  = ( , 0, − ),                   = (− , , a. Cần và đủ để  b c2  a2 c1 ⇔ , ),  C  A’  P  , 0).  ,  đồng quy là:  a1 b2  a1b1c1  a2b2c2   a1b1c1  a2b2c2     =1⇔( ) ( ) ( ) = 1  b. Cần và đủ để  , ,  thẳng hàng là:  b2 c1 a1 c2 a2 a b c b1  a1b1c1  a2b2c2    1    a1 b1 c1 50 B  ⇔( ) ( , , ) = −1    cho  ba  điểm  độc  lập  , ,   và  ba  điểm , , Bài 30: Trong  trên  ) ( lần  lượt   mà không trùng với  , ,  Một đường thẳng   không đi  qua  , ,  cắt  , ,  lần lượt tại  , , ′. Chứng minh rằng:  a. Cần và đủ để  , ,  thẳng hàng là:  ( ) ( b. Cần và đủ để  ( ) ( , , ) ( ) = 1. (Định lý Menelaus)   đồng quy là:  ) ( ) = −1. (Định lý Ceva)  Giải: A      Q  R    d        C’’      E      A’’    A’’’  B  P  C    Đặt  = ta được ( ∩ , = ∩  Xét hình bốn đỉnh toàn phần  ) = −1.   Áp dụng Bài 29 suy ra:  a. Cần và đủ để  , ,  thẳng hàng là:  51    ( ) ( ) ( ) = −1     ) ( ⇔ ( ) ( ) ( ) = −1    ) = −1)                                                     (mà ( ⇔( ) ( b. Cần và đủ để  ( ) ( ⇔( ) ( , , ) = 1.   đồng quy là:  ) ( ) ( ) = 1  ) ( ) ( ) = 1  ) = −1)                                                     (mà ( ⇔( ) ( ) ( ) = −1.   2.6 Nguyên tắc đối ngẫu Bài 31: Phát biểu định lý đối ngẫu của định lý Đờ-dác 1 trong    Giải: Định lý:  Trong  cho  hai  bộ  ba  điểm  ( , , ), ( , )  trong  đó  , không có ba điểm nào thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng  , ( ,  đồng quy là ba cặp đường thẳng ( , ), ( ),   , , ′ ′) giao nhau tại ba điểm thẳng hàng.   Đối ngẫu: Trong   cho hai bộ ba mặt phẳng ( , , ), ( ′, ′, ′) trong  đó không có ba mặt phẳng nào cùng chứa một đường thẳng. Điều kiện cần  và đủ để ba đường thẳng:  = ∩ ′, = một mặt phẳng là ba cặp đường thẳng: ( ∩ , ∩ , ∩ = ∩ ′ cùng thuộc  ), ( ∩ , ∩ ),  ( ∩ , ′ ∩ ′) nằm trong ba mặt phẳng chứa một đường thẳng chung.  Bài 32: Hãy phát biểu mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề sau: “Trong   cho  bốn đường thẳng  , , ,  cùng đi qua điểm O. Một đường thẳng   không     52   đi qua O cắt  , , ,  lần lượt tại  , , ,  thì tỉ số kép ( ) không phụ  thuộc vào  ”.  Giải: “Trong    cho  bốn  điểm  , , ,   cùng  thuộc  một  đường  thẳng  o.  Một  ∉ o  và  nối  với  , , ,   lần  lượt  tạo  thành  các  đường  thẳng  điểm  , , ,   thì tỉ số kép ( ) không phụ thuộc vào điểm  ”.  2.7 Bài tập đề nghị hướng dẫn giải 2.7.1 Đề Bài 1: Trong   với một mục tiêu cho trước  a) Tìm   để ba điểm  ( , ), ( , , − b) Tìm   để ba đường thẳng  − + + = 0, a) Từ mục tiêu { , , b) Từ mục tiêu { , } sang mục tiêu { , , , , − , , , } sang mục tiêu { , =( , } sang mục tiêu { ,  cho mục tiêu xạ ảnh { , = (1, −1, 0, 0); − = 0,    trong các trường hợp sau đây:  điểm  ′ đối với mục tiêu thứ nhất là  Bài 3: Trong  ) thẳng hàng.  , = 0 đồng quy.  Bài 2: Viết công thức đổi tọa độ trong  c) Từ mục tiêu { , ), ( , , = (0, 1, 1, 1); Chứng  minh  rằng:  { ′ , ′ , ′ , , , , , }.  , , ′ } biết tọa độ  , ).  , , }.  } cho các điểm:  = (0, 0, 1, −1); = (1, 0, 0, −1)  }  là  mục  tiêu  xạ  ảnh.  Tìm  ma  trận  chuyển từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai.        53   2.7.2 Hướng dẫn giải Bài 1: a) Để  , ,  thẳng hàng thì cần và đủ là:  a0 b0 c0 a1 a2 b1 b2     c1 c2 Suy ra nếu  Còn nếu  b1 b1 c    thì  x  b1 c1 c1 b0 c0 b0 b1 c0 c1 b2 b0 b2 c c c2 a0  a1    b0 b1 b0 c0 c1 c0    thì mọi   đều thỏa mãn.  b) Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì cần và đủ là:  1 1 1   hay  u  1  .  u Bài 2: a) = ′ = ′ = ′ b) = = = c) = ′ − ′ = ′ − ′ = ′ ( ≠ 0)  ′ ′ ′ ( ≠ 0)  ( ≠ 0)  54 Bài 3: Do  ⃗ = ⃗ + ⃗ − ⃗ + ⃗  ⇒{ ′, }  là một mục tiêu xạ ảnh.   x0  x '0  x '3   x1   x '0  x '3 (  0) Công thức đổi tọa độ là:   x  x '  x '     x3  x '1  x '2  x '3                           55 C KẾT LUẬN Qua  quá trình tìm  hiểu và nghiên  cứu khóa  luận, em  đã bước đầu làm  quen với cách làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó, em cũng củng cố thêm  cho  mình  kiến  thức  về  không  gian  xạ  ảnh,  đồng  thời  thấy  được  sự  phong  phú, lý thú của toán học. Đặc biệt khóa luận này tôi nghiên cứu một cách  khái quát về định nghĩa không gian xạ ảnh, xây dựng các mô hình, tỉ số kép  của bốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng. Bên cạnh đó là nguyên  tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích  cho các bạn sinh viên quan tâm đến môn hình học xạ ảnh nói riêng và hình  học nói chung. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và  kiến  thức  nên  khóa  luận  không  tránh  khỏi  những  thiếu  sót.  Tôi  rất  mong  nhận được sự đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn sinh viên.                                                                                        Sinh viên                                                                              Ngô Mạnh Hùng      56 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đô, Tạ Mân (1984), Bài tập hình học cao cấp tập II,  Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội 2. Văn Như Cương (1999), Giáo trình hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo      dục, Hà Nội.  3. Văn Như Cương, Kiều Huy Luân (1978), Hình học cao cấp, Nhà xuất      bản Giáo dục, Hà Nội.  4. Phạm Bình Đô (2002), Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm.  5. Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục,       Hà Nội.  6. Nguyễn Mộng Hy (2008), Bài tập Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo      dục, Hà Nội.  7. Nguyễn Cảnh Toàn (1979), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục,      Hà Nội.                57 [...]... Chứng minh rằng trong không gian xạ ảnh :  a. Có những cặp đường thẳng không có điểm chung (ta gọi chúng là chéo  nhau).  b. Một đường thẳng và một phẳng luôn luôn có điểm chung.  Giải: a. Không gian xạ ảnh Trong  ⇒ Trong   có không gian vectơ liên kết là     ta lấy 4 vectơ độc lập tuyến tính  ⃗, ⃗, ⃗, ⃗.   có 4 điểm  , , ,  có các đại diện là  ⃗, ⃗, ⃗, ⃗.  32 Đường thẳng   có không gian vectơ liên kết là 〈... của    (Hai  điểm  của   Gọi   là tập tất cả các    gọi  là  xuyên  tâm  đối  nếu  chúng cùng nằm trên một đường thẳng đi qua tâm của  ). Hãy xây dựng   thành một không gian xạ ảnh n chiều. Không gian xạ ảnh này gọi là mô  hình cầu của không gian P (K) tổng quát.  Giải: Giả sử  có tâm O. Xét bó đường thẳng tâm O trong  Mỗi đường thẳng a của  Rõ ràng có song ánh  , a ↦ ( Vì   cắt  :   tại hai điểm xuyên tâm đối ... thuộc bán cầu bắc nhưng không thuộc đường xích đạo và các cặp điểm đối  tâm của đường xích đạo. Chứng minh rằng   là một mô hình của   thực.  Trong mô hình này, đường thẳng xạ ảnh là gì?  Bài 5: Trong   cho đường tròn   Gọi [ ] là tập các điểm trong của   và  các điểm đối tâm của   Chứng minh rằng [ ] là một mô hình của  Trong mô hình này, đường thẳng xạ ảnh là gì?      31  thực.  2.2 Các tính chất của không gian xạ ảnh. .. Xét hai bộ ba điểm (M, A, Q) và  (N, C, P).  Áp dụng Định lý Đờ-dác 1 ta suy ra:   Q  MN, AC, QP đồng quy tại I   A  M  khi và chỉ khi B, Q thẳng hàng   với J = QM ∩ PN.   Từ đó ta có điều cần chứng minh.  B D  J  N  P C  2.3 Tọa độ xạ ảnh Bài 12: Cho mục tiêu xạ ảnh { , } trong không gian xạ ảnh kiện  để  hệ  điểm  〈 , ,…, =( , ,…, )  nằm  trên   Tìm điều  − phẳng  tọa  độ  〉.  Giải: Gọi { ⃗}  là cơ sở của mục tiêu { , } và ...  là tập các cặp điểm xuyên tâm đối và điểm trong của siêu cầu  Bài 3: Gọi  ( )= + + ⋯+ = 1. Chứng minh rằng   là không gian xạ ảnh.      Giải: Gọi   là tập các cặp điểm xuyên tâm đối của  cặp điểm xuyên tâm đối thì  (    : ( → , Vậy  Với )↦  Giả sử ( , ) là  ) ≥ 0. Khi đó thiết lập song ánh:               ( , (0, ) , ,…, nếu ) nếu ( ( )=0 )>0    là một không gian xạ ảnh.   = , ta có các bài toán sau: Bài 4: Trong   cho mặt cầu đơn vị   (tức là mặt cầu có phương trình theo ...                     X  1.7.1.2 Tính chất a. Ảnh của điểm là siêu phẳng.  b. Ảnh của hệ   điểm độc lập là   siêu phẳng độc lập.  c. Ảnh của hệ   điểm phụ thuộc là   siêu phẳng phụ thuộc.  d. Ảnh của một  − phẳng là ( − − 1) − phẳng.  e. Nếu cho hai phẳng  ,  và  ∩  thì:  ( ) ⊂ ( ).  1.7.2 Nguyên tắc đối ngẫu Quan hệ liên thuộc: Hai cái phẳng   và   trong không gian xạ ảnh gọi  là có quan hệ liên thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia, tức là ... ′} trong đó không có ba điểm nào  thẳng hàng. Hai mệnh đề sau tương đương:  a , b ∩ , ′ đồng quy  , ∩ , ∩ ′ ′ thẳng hàng.   Đối ngẫu: Cho 6 đường  thẳng { , , , , , ′}  trong đó không có ba  đường thẳng nào đồng quy. Hai mệnh đề sau tương đương:  a ∩ , ∩ b ∩ + , ∩ ′ thẳng hàng  ∩ , ∩ + ∩ , ∩ 29 + ′ ∩ ′  đồng quy Chương 2: BÀI TẬP  2.1 Các mô hình của không gian xạ ảnh Bài 1: Trong không gian Ơclit cho một siêu cầu ...        Trong  − không gian xạ ảnh  liên kết với   cho bốn điểm thẳng  hàng  , , ,  trong đó có ba điểm  , ,  đôi một không trùng nhau.  Ta gọi  ⃗, ⃗, ⃗, ⃗ là các vectơ lần lượt đại diện cho các điểm  , , ,  thì  các vectơ đó thuộc một không gian vectơ hai chiều, trong đó  ⃗ và  ⃗ độc lập  tuyến tính. Ta suy ra có các số  ,  và  ,  sao cho:  ⃗= ⃗+ ⃗   ⃗= ⃗+ ⃗   Trong đó ( ≠ 0 và  Khi đó nếu tỉ số:  ≠ 0 vì  không trùng với ... chất của không gian xạ ảnh Bài 6: Chứng minh rằng trong không gian xạ ảnh :  a. Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng.  b. Hai đường thẳng phân biệt có duy nhất một điểm chung.  Giải: a. Giả sử  ,  là hai điểm phân biệt trong  có hai vectơ đại diện lần lượt  là  ⃗,  ⃗.  ⇒ Hệ  ⃗, ⃗  độc lập tuyến tính.  ⇒ Có duy nhất một không gian vectơ 2 chiều 〈 ⃗, ⃗〉 chứa cả  ⃗, ⃗.  ⇒ Có duy nhất một đường thẳng của ... Tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng 1.6.1 Chùm siêu phẳng       Trong không gian xạ ảnh cho ( − 2) − phẳng ∆. Tập hợp các siêu  phẳng cùng đi qua ∆ được gọi là chùm siêu phẳng có giá ∆.  Nhận xét: Một chùm siêu phẳng được xác định khi cho giá của nó hoặc cho  hai siêu phẳng nào đó của chùm.      Giả sử trong  đã chọn một mục tiêu xạ ảnh cho một chùm siêu phẳng  mà hai siêu phẳng   và   của nó lần lượt có phương trình:   ... là  không gian xạ ảnh chiều. Kí hiệu là         Không gian xạ ảnh trên trường số thực  gọi là không gian xạ ảnh thực.  Kí hiệu:  ( ).       Không gian xạ ảnh trên trường số phức  gọi là không gian xạ ảnh phức. ... ) là một không gian xạ ảnh n chiều trên   Ta gọi nó là  mô hình số học của  ( ).  1.3 Tọa độ xạ ảnh 1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh       Cho không gian xạ ảnh hợp có thứ tự   + 2 điểm của  liên kết  – không gian vectơ ... - Hệ thống các  kiến thức về không gian xạ ảnh và việc xây dựng các khái  niệm liên quan.  - Nghiên cứu các bài tập liên quan đến định nghĩa không gian xạ ảnh,  tính  chất của không gian xạ ảnh.  Các dạng bài tập về tọa độ xạ ảnh,  phẳng, tỉ số