Không gian xạ ảnh pn

Môn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh, các tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh với mục đích giúp cho sinh viên có cái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liê

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

       Bộ  môn Hình học xạ ảnh là học phần nối tiếp sau học phần Hình học Afin và hình học Ơclit. Môn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh, các tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh với mục đích giúp cho sinh viên có cái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liên quan đến tính  đồng  quy,  thẳng  hàng.  Đồng  thời,  Hình  học  xạ  ảnh  giúp  chúng  ta  có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.  

       Không  gian  xạ  ảnh  Pn  nằm  trong  Hình  học  xạ  ảnh  được  học  vào  học vào học kỳ 1 năm thứ ba của Sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2. Trong  phần  này  đã  đưa  ra  những  khái  niệm  cơ  bản:  Định  nghĩa  về  không gian xạ ảnh và các mô hình của nó, phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình của 

m – phẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng và nguyên tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh. Đây là một nội dung quan trọng, mở đầu cho việc hình thành những khái niệm về hình học 

xạ ảnh và cũng là cơ sở cho việc giải các bài toán hình học xạ ảnh sau này.       Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về không gian xạ ảnh và các khái niệm liên quan, được sự gợi ý của thầy hướng dẫn Đinh Văn Thủy, tôi quyết định nghiên cứu đề tài: 

“Không gian xạ ảnh Pn”

2 Mục đích nghiên cứu

- Định nghĩa không gian xạ ảnh và tính chất của không gian xạ ảnh. 

- Các dạng bài tập liên quan. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống các  kiến thức về không gian xạ ảnh và việc xây dựng các khái niệm liên quan. 

- Nghiên cứu các bài tập liên quan đến định nghĩa không gian xạ ảnh, tính chất của không gian xạ ảnh. Các dạng bài tập về tọa độ xạ ảnh, phẳng, tỉ số kép và các phát biểu đối ngẫu. 

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

-  Đối  tượng:  các  bài  toán  liên  quan  đến  không  gian  xạ  ảnh  Pn,  phẳng,  hệ điểm độc lập, tọa độ xạ ảnh, xây dựng các mô hình của không gian xạ ảnh 

và các tính chất của chúng. Các dạng bài toán về tỉ số kép, hàng điểm điều hòa, chùm siêu phẳng điều hòa. 

- Phạm vi nghiên cứu: một số lớp các bài toán trong hình học xạ ảnh. 

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

     Giúp cho sinh viên có tài liệu tham khảo về việc xây dựng các ví dụ về không gian xạ ảnh và một số tính chất của nó, giúp cho việc học tập môn hình học xạ ảnh tốt hơn. 

B NỘI DUNG

Chương 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian xạ ảnh và các phẳng của nó

   Cho ( , ,  ) là không gian xạ ảnh. Gọi  là không gian vectơ con của   

+ Phẳng tổng của một họ phẳng là phẳng bé nhất chứa tất cả các phẳng  của họ. 

1.1.2.3 Định lý số chiều

Định lý:

1.1.4 Định lý Đờ-dác 1

Định lý:  

      Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ trong đó không có 

B 

S 

Do BC, B’C’, MP  đồng quy tại N nên theo chứng minh phần trên ta suy ra: 

BC ∩ B′C′, B M ∩ C P, MB ∩ PC thẳng hàng. 

 AA’, BB’, CC’ đồng quy. Định lý được chứng minh. 

1.2 Mô hình của không gian xạ ảnh

1.2.1 Mô hình chính tắc (mô hình vectơ):

      Cho   là một không gian vectơ  + 1 chiều.  = và   là phép đồng nhất của   Do   là song ánh nên: 

ảnh nếu bất kỳ  + 1 trong  + 2 điểm đó đều độc lập. 

Dễ thấy rằng mục tiêu xạ ảnh là tồn tại. 

Các điểm   gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm U gọi là điểm đơn vị. 

đặc biệt là các đường thẳng     với  ≠ , gọi là các trục tọa độ. 

Sự tồn tại: Gọi  si

 là vectơ đại diện của  ( = 0, )     

    (1) 

, , … , là + 1 tham số  không  đồng  thời  bằng  0,  được  gọi  là  các tham số. 

.1 2      

.1 5       

x x x

2       

2        

5       

x x x

(2) được gọi là phương trình tổng quát của α. 

Ngược  lại,  cho  hệ  (2)  trong    đã  cho  luôn  có  − phẳng    nhận  nó  làm phương trình tổng quát. 

2 

2      

x x

22 

  2 1 0 1 1 0 1

1.4.3 Tọa độ của siêu phẳng

       Cho   là siêu phẳng của   Trong  phương trình tổng quát của   là:   + + ⋯ + = 0  hay  0 0 n i i i a x     

trong đó các  không đồng thời bằng 0. Thì bộ ( , , … , ) được gọi là  tọa độ của trong Tính chất: Giống như tính chất của tọa độ điểm  + Có ít nhất một số sai khác nhau.  + Có thể sai khác nhân tử khác không.      Ví  dụ  siêu  phẳng  đi  qua  mọi  đỉnh  của  mục  tiêu  xạ  ảnh  trừ  đỉnh    có  phương trình:  = 0, và tọa độ của nó là: (0, … , 0, 1, 0, … , 0) (số 1 nằm ở  vị trí thứ  + 1, ngoài ra là số 0).       Đối với mỗi siêu phẳng  = ( , , … , ) ta cũng kí hiệu ma trận cột  tọa  độ  của  nó  là ( ).  Như  thế  phương  trình  của  siêu  phẳng    có  thể  viết  dưới dạng ma trận:        ( ) ( ) = 0.  

1.4.4 Hệ siêu phẳng độc lập     Cho   là siêu phẳng  , … ,  có tọa độ:         ( , , … , )  

       ( , , … , )  

       ………. 

       ( , , … , )  

Nếu  =  thì { }  được gọi là hệ siêu phẳng độc lập. 

Nếu    siêu  phẳng  đó  độc  lập  thì  phương  trình  tổng  quát  của  chúng  làm thành một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hạng bẳng   

Từ đó suy ra: Giao của − siêu phẳng độc lập là − phẳng

1.5.4 Hàng điểm điều hòa

       Nếu  tỉ  số  kép  ( ) = −1  thì  ta  nói  rằng  cặp  điểm  ,   chia điều

hòa  điểm  ,  Khi đó vì ( ) = −1. Bởi vậy ta còn nói: cặp điểm  ,  

và cặp điểm  ,  liên hiệp điều hòa. Còn nói:  , , ,  là một hàng điểm

điều hòa

Chứng minh:

 

Tọa  độ  của  các  siêu  phẳng  đó  là:  = ( , … , ),  = ( , … , )  cũng như đối với tọa độ các điểm, ta kí hiệu ( ) và ( ) lần lượt là các ma trận cột tọa độ của các siêu phẳng   và   

   

1.6.5 Chùm bốn siêu phẳng điều hòa

      Bốn  siêu  phẳng  , , ,   của  một  chùm  được  gọi  là  chùm bốn siêu

phẳng điều hòa nếu ( ) = −1. Khi đó ta còn nói: Cặp siêu phẳng ,

chia điều hòa cặp siêu phẳng ,

hình  bốn  đỉnh  toàn  phần  ′  thì  điều  đó  là  hiển  nhiên.  Định  lý  được chứng minh. 

1.7 Nguyên tắc đối nhẫu

1.7.1 Phép đối xạ trong

1.7.1.1 Định nghĩa

P 

B A’

Ta kí hiệu  , là tập hợp tất cả các phẳng trong  có số chiều nhỏ hơn   

a. Ảnh của điểm là siêu phẳng. 

b. Ảnh của hệ   điểm độc lập là   siêu phẳng độc lập. 

c. Ảnh của hệ   điểm phụ thuộc là   siêu phẳng phụ thuộc. 

e. Nếu cho hai phẳng  ,  và  ∩  thì:  ( ) ⊂ ( ). 

1.7.2 Nguyên tắc đối ngẫu

Quan hệ liên thuộc: Hai cái phẳng   và   trong không gian xạ ảnh  gọi 

là có quan hệ liên thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia, tức là 

⊂  hoặc  ⊂  Khi đó ta nói   thuộc   hoặc   thuộc   

     Chẳng  hạn:  Nếu  điểm    nằm  trên  đường  thẳng    thì  ta  nói:  Điểm   thuộc đường thẳng  , hoặc nói đường thẳng    thuộc điểm   Như vậy, từ 

“thuộc”  đồng  nghĩa  với  một  trong  các  từ:  “nằm  trên”,  “chứa”,  “đi  qua”, 

“chứa trong”. 

Nhận xét:  Phép  đối  xạ  bảo  toàn  quan  hệ  liên  thuộc  giữa  các  phẳng,  có 

nghĩa là nếu   thuộc   thì  ( ) thuộc  ( ). 

Mệnh đề đối ngẫu: Giả sử   là một mệnh đề nào đó trong không gian xạ ảnh  nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa chúng. Nếu trong mệnh  đề  đó  các  từ  “ −  phẳng”  được  thay  bằng  các  từ  “ − − 1) − phẳng”, các từ khác giữ nguyên thì ta được mệnh đề mới  ∗, gọi là mệnh

1.7.3 Khái niệm đối ngẫu

      Cho  khái  niệm  ,  ta  xây  dựng  được  khái  niệm  mới  đối  ngẫu  của  nó bằng  cách  thay  “ − phẳng” bởi  “( − − 1) − phẳng”, giữ  nguyên  các quan hệ liên thuộc nêu trong định nghĩa. 

Ví dụ:

a. Khái niệm   điểm độc lập trong  , được định nghĩa là: “ − điểm không cùng thuộc một ( − 2) − phẳng” có khái niệm đối ngẫu là: “  siêu phẳng 

không cùng thuộc một ( − + 1) − phẳng”. Đó chính là khái niệm  siêu

d. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng và tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng 

Chương 2: BÀI TẬP 2.1 Các mô hình của không gian xạ ảnh 

Bài 1: Trong không gian Ơclit cho một siêu cầu   Gọi   là tập tất cả các cặp  xuyên  tâm  đối  của    (Hai  điểm  của    gọi  là  xuyên  tâm  đối  nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng đi qua tâm của  ). Hãy xây dựng  thành một không gian xạ ảnh n chiều. Không gian xạ ảnh này gọi là mô hình cầu của không gian P (K) tổng quát. 

Với = , ta có các bài toán sau:

Bài 4: Trong   cho mặt cầu đơn vị   (tức là mặt cầu có phương trình theo 

(tức  là  đường  tròn  + + = 1, = 0).  Gọi    là  tập  hợp  các  điểm thuộc bán cầu bắc nhưng không thuộc đường xích đạo và các cặp điểm đối tâm của đường xích đạo. Chứng minh rằng   là một mô hình của   thực. Trong mô hình này, đường thẳng xạ ảnh là gì? 

Bài 5: Trong   cho đường tròn   Gọi [ ] là tập các điểm trong của   và các điểm đối tâm của   Chứng minh rằng [ ] là một mô hình của   thực. Trong mô hình này, đường thẳng xạ ảnh là gì? 

 

 

2.2 Các tính chất của không gian xạ ảnh

∈ , ∈ , do đó ∈ +  Từ đó đường thẳng  ⊂ +  

Ngược lại, giả sử   là một điểm thuộc  +  Cần chứng minh   thuộc một đường thẳng nào đó cắt cả   lẫn   

Bây  giờ  giả  sử    không  thuộc    lẫn    và  ∩ = ∅.  Khi  đó  +   là ( + + 1) −  phẳng.  Giả  sử    là  ( + 1) −phẳng  qua    và  ,  và    là ( + 1) −phẳng qua  và   

Vậy  ∩  là một đường thẳng. Đường thẳng này qua   và cắt   lẫn    Trường hợp  ∩ ≠ ∅ thì bài toán hiển nhiên. 

Bài 9: Trong không gian   cho hệ điểm độc lập  , , … , Chứng minh rằng  phẳng  〈 , , … , 〉  và  phẳng  〈 , , … , 〉  không  có  điểm chung. 

Giải:

Cho 3 điểm phân biệt A, B, C không độc lập đại diện bởi ba vectơ ⃗,  ⃗, ⃗ phụ  thuộc  tuyến  tính  (⃗ ≠ 0,  ⃗ ≠ 0, ⃗ ≠ 0)  thì  có  một  trong  ba  vectơ  đó biểu  thị  tuyến  tính  qua  hai  vectơ  kia,  chẳng  hạn  ⃗ = ⃗ + ⃗,  nếu  đặt 

⃗ = ⃗,  ⃗ = ⃗,  ⃗ = ⃗  thì  ⃗, ⃗, ⃗ đại diện cho A, B, C và  ⃗ = ⃗ + ⃗. 

Bài 11: Trong không gian   cho 4 điểm A, B, C, D mà ba điểm nào trong chúng  cũng  độc  lập  và  các  điểm  M,  N,  P,  Q  lần  lượt  nằm  trên  các  đường thẳng AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MN, AC, QP đồng quy khi và chỉ khi MQ, BD, NP đồng quy. 

Bài 12: Cho mục tiêu xạ ảnh { , } trong không gian xạ ảnh   Tìm điều 

Bài 14: Trong   với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, cho các điểm  

3

0

i i i

0 0

Bài 20: Trong   cho ba điểm phân biệt  , ,  thuộc đường thẳng   và ba 

⇔ ( ) ( ) ( ) = −1 

Bài 30: Trong    cho  ba  điểm  độc  lập  , ,   và  ba  điểm , , lần  lượt 

2.7 Bài tập đề nghị và hướng dẫn giải

 

 

 

C KẾT LUẬN

Qua  quá  trình  tìm  hiểu  và  nghiên  cứu  khóa  luận,  em  đã  bước  đầu  làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó, em cũng củng cố thêm cho  mình  kiến  thức  về  không  gian  xạ  ảnh,  đồng  thời  thấy  được  sự  phong phú, lý thú của toán học. Đặc biệt khóa luận này tôi nghiên cứu  một cách khái quát về định nghĩa không gian xạ ảnh, xây dựng các mô hình, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng. Bên cạnh đó là nguyên tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn sinh viên quan tâm đến môn hình học xạ ảnh nói riêng và hình học nói chung. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và kiến  thức  nên  khóa  luận  không  tránh  khỏi  những  thiếu  sót.  Tôi  rất  mong nhận được sự đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn sinh viên. 

D TÀI LIỆU THAM KHẢO