Ánh xạ liên tục trong không gian metric

Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến LỜI CẢM ƠN Bản khóa luận hoàn thành trường đại học Sư phạm Hà Nội bảo hướng dẫn tận tình thầy giáo – tiến sĩ Bùi Kiên Cường Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giúp đỡ em trình em học tập hoàn thành khóa luận: “Ánh xạ liên tục không gian Metric” Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán nói chung, thầy cô tổ môn giải tích nói riêng tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Mến Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu em hướng dẫn tận tình thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Bên cạnh em quan tâm , tạo điều kiện thầy cô khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Vì vậy, em xin khẳng định nội dung đề tài: “Ánh xạ liên tục không gian Metric” trùng lặp với đề tài khác Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Mến Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến MỤC LỤC Trang Phần MỞ ĐẦU Phần NỘI DUNG CHÍNH Chương Một số khái niệm kết không gian Metric §1 Không gian Metric §2 Sự hội tụ Không gian đủ §3 Tập hợp mở, tập hợp đóng Chương Ánh xạ liên tục không gian Metric 13 §1 Ánh xạ liên tục 13 §2 Định lý mở rộng 19 §3 Hàm thực phức liên tục 24 §4 Sự liên tục đều…………………………………………………26 §5 Phép đồng phôi, hai metric tương đương phép đẳng cự 32 §6 Sự hội tụ dãy hàm……………………………………35 Chương Ánh xạ co ứng dụng .44 §1 Ánh xạ co 44 §2 Ứng dụng ánh xạ co………………………………………49 Phần KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến MỞ ĐẦU Giải tích hàm ngành Toán học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỷ XX đến xem ngành Toán học cổ điển Trong trình phát triển, Giải tích hàm tích lũy nội dung phong phú; phương pháp kết mẫu mực Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành Toán học có liên quan Chính điều mở phạm vi nghiên cứu rộng lớn cho ngành Toán học Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu môn bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài: “ Ánh xạ liên tục không gian Metric ’’ khóa luận tốt nghiệp Nội dung khóa luận gồm có: Chương 1: Một số khái niệm kết không gian Metric Chương 2: Ánh xạ liên tục không gian Metric Chương 3: Ánh xạ co ứng dụng Nhờ giảng dạy thầy cô khoa Toán, cố gắng học tập nghiên cứu thân góp ý bạn sinh viên mà em có đủ kiến thức để hoàn thành khóa luận Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán, đặc biệt TS Bùi Kiên Cường tận tình bảo, giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận Trong trình thực hiên khóa luận này, cố gắng, song điều kiện thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi hạn chế Em mong ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên để khóa luận bổ sung hoàn thiện Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Mến Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Chương Một số khái niệm kết không gian Metric §1.Không gian metric Định nghĩa 1.1.1: Giả sử X tập hợp không rỗng Ta gọi metric hay khoảng cách d: X  X   X ánh xạ : ( x, y)  d ( x, y) Thỏa mãn tiên đề: M1: d ( x, y)  0; x, y  X ; d ( x, y)   x  y; ( Tiên đề M2: d ( x, y)  d ( y, x); x, y  X giao hoán); M3: d ( x, y)  d ( x, z )  d ( z, y); x, y, z  X ( Tiên đề tam giác); Ta gọi không gian metric, cặp (X, d), X tập hợp gọi tập hợp d metric X Khi phần tử x  X gọi điểm d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x, y X Ví dụ 1.1.1: Cho X tập hợp không rỗng Với x, y X, ta đặt : x  y d(x,y)= (1.1) x  y Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Thế d metric X không gian metric (X, d) gọi không gian metric rời rạc Thật vậy, tiên đề M1, M2 hiển nhiên Để kiểm tra M3, với phần tử x, y, z  X , ta xét trường hợp: - Nếu z hai phần tử x y , không tính tổng quát giả sử x = z, M1 ta có: d(x, y) = d(z, y)  d(x, z) + d(z, y) - Nếu z khác x y : d(x, y)  1< = d(x, z) + d(z, y) Do đó, tiên đề M3 thỏa mãn, d metric Định lý 1.1.2: Trong không gian metric (X, d), ta có : 1)Bất đẳng thức tam giác mở rộng : d ( x0 , xn )  d ( x0 , x1 )  d ( x1 , x2 )   d ( xn 1 , xn ) Với x j  X ( j  0,1, 2, , n); 2)Bất đẳng thức tứ giác: Với phần tử x, y, u, v  X d ( x, y )  d (u, v)  d ( x, u )  d ( y, v) (1.2) Chứng minh: Ta dễ dàng chứng minh 1) quy nạp nhờ bất đẳng thức tam giác Chứng minh 2) Với x, y, u, v X, theo 1) ta có: d(x, y)  d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) Do : d(x, y) - d(u, v)  d(x, u) + d(v, y) (1.3) Đổi vai trò x, y u, v ta nhận : d(u, v) – d(x, y)  d(u, x) + d(y, v) Từ (1.3) (1.4) M2 ta suy (1.2) (1.4) Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Định nghĩa 1.1.3: Giả sử d1 , d hai metric tập hợp X Ta nói d1 , d hai metric tương đương  ,   :  d ( x, y)  d1 ( x, y)   d ( x, y); x, y  X Khi đó, ta nói ( X , d1 ) ( X , d2 ) hai không gian metric tương đương Ví dụ 1.1.4: Trên tập hợp : X  {x  (1,  , ,  k ) :  j   ;( j  1, 2, , k )} Metric d không gian  k metric: k d1 ( x, y )    j   j ; j 1 d ( x, y)  max  j   j ; 1 j  k Với x  (1 ,  , ,  k ), y  ( ,  , ,  k )  X ; metric tương đương Thật vậy, dễ thấy với x, y  X ta có: d1 ( x, y)  d ( x, y)  kd  ( x, y)  k kd1 ( x, y ) k Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến §2 Sự hội tụ Không gian đủ Định nghĩa 1.2.1: Dãy điểm ( xn ) không gian metric (X, d) gọi hội tụ tới điểm a  X d ( xn , a)  0;(n  ) Nghĩa :   0, n0 : d ( xn , a)   , n  n0 Khi đó, điểm a gọi giới hạn dãy ( xn ) kí hiệu xn  a;(n  ) hay lim xn  a n  Ví dụ 1.2.2: Trong không gian metric rời rạc (X, d) (ví dụ 1.1.1) : Dãy ( xn ) hội tụ tới điểm a  X :   0(  1); n0 : d ( xn , a)   ; n  n0 Rõ ràng với metric cho không gian rời rạc điều xảy d ( xn , a)  0; n  n0 ; nghĩa xn  a; n  n0 Vậy, không gian metric rời rạc, dãy hội tụ dãy dừng Ví dụ 1.2.3: Dãy điểm xn  xn (t ) hội tụ tới điểm a = a(t) không gian C [a, b] hội tụ dãy hàm Định nghĩa 1.2.4 : Dãy ( xn ) không gian metric (X, d) gọi dãy hay dãy Cauchy,   0; n0 : m, n  n0 ta có: d ( xm , xn )   10 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Định lý 1.2.5: Trong không gian Metric dãy hội tụ dãy Cauchy Chứng minh: Giả sử ( xn ) dãy không gian metric (X, d) hội tụ tới a  Theo giả thiết thì:   0; n0 : d ( xn , a)  ; n  n0  Tương tự với   ta có: d ( xm , a)  ; m  n0 Suy ra: d ( xm , xn )  d ( xm , a)  d (a, xn )       ; m, n  n0 Do đó, dãy ( xn ) dãy Cauchy Điều ngược lại không Chẳng hạn tập Q số hữu tỉ không gian metric với metric xác định (1.1.3) Tuy nhiên, dãy xấp xỉ gần : x1  1, 4; x2  1, 414, dãy Cauchy Q, không hội tụ (trong Q) Ta có định nghĩa: Định nghĩa 1.2.6: Không gian metric (X, d) gọi không gian metric đầy đủ dãy hội tụ Ví dụ 1.2.7: Một không gian rời rạc không gian metric đầy đủ Thật vậy, giả sử ( xn ) dãy Cauchy không gian rời rạc X Theo định nghĩa với    tồn số tự nhiên n0 cho: d ( xn , xn0 )    1; n  n0 Suy ra, d ( xn , xn )  0; n  n0 Vậy ( xn ) dãy dừng, hội tụ Ví dụ 1.2.8 Không gian C [a, b] không gian metric đầy đủ 11 Ánh xạ liên tục không gian Metric  Nhưng Nguyễn Thị Hồng Mến n d(xn, x0) 1 lim  n  n   {xn} dãy Cauchy (X, d) không gian đầy Lấy y  lim x n Vì T ánh xạ co nên liên tục n  xn )  lim Txn  lim xn 1  y  Ty  T (lim n  n  n Vậy y điểm bất động T Hơn nữa, y≠z thỏa mãn Ty = y Tz = z d(y, z)=d(Ty, Tz)  d(y, z) < d(y, z)  d(y, z) =  y = z Chú ý 3.1.5 : Cho T : X  X với (X, d) không gian metric đầy, thỏa mãn : d(Tx, Ty) < d(x, y) với x, y  X Vậy thì, T không thiết phải có điểm bất động Ánh xạ T : [1, ) [1, ) cho Tx = dù |Tx - Ty| = |x -y| (1 - x 1 x điểm bất động mặc ) < |x - y| [1, ) không gian đầy x y Mệnh đề 3.1.6 : Giả sử {xn}n  dãy không gian metric (X, d) k số nguyên dương cho với k, dãy : {xmk  j }m1 ; j = 0, 1, 2, , k – ; hội tụ tới giới hạn x Thế {xn}n  hội tụ tới x Chứng minh : Cho  > 0,  số nguyên dương m0, m1, , mk-1 cho m  mj Ta có : d(xmk+j, x) <  ; j = 0, 1, 2, , k-1 51 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Lấy N = max {m0, m1, , mk-1} Xét tùy ý n  Nk Đặt n = mk + j với  j  k - Vì m  N n (N - 1)k + j  (N - 1)k + (k - 1) = Nk - Ta có m> N - 1; nên m  N  mj; j = 0, 1, 2, , k - Từ  d(xmk+j , x) <  Tức d(xn, x) <  Điều với n  Nk Do đó, {xn}n  hội tụ với x Hệ 3.1.7: Cho T ánh xạ liên tục không gian metric đầy vào Định nghĩa Tn T1 = T Tn+1 = T0Tn Nếu Tk ánh xạ co với số nguyên dương k phương trình Tx = x có nghiệm Hơn nữa, với x  X tùy ý dãy {Tnx}n  hội tụ tới nghiệm Chứng minh : Cho x  X tùy ý xét dãy Tnkx, n = 0, 1, 2, Theo nguyên lý ánh xạ co {Tnkx}n  hội tụ Lấy x0  lim T nk x n Ta Tx0 = x0 Vì Tk ánh xạ co nên : d(Tnk Tx, Tnk x)  d(T(n - 1)k Tx, T(n-1)k x)   nd(Tx, x) với <  < cho d(Tk x, Tk y)  d(x, y) với x, y  X Vì T liên tục, ta có : d (Tx0 , x0 )  lim(TT nk x, T nk x) n  lim d (T nkTx, T nk x)  limsup  n d (Tx, x)  n n (vì <  < 1) Chứng minh  nghiệm phương trình Tx = x 52 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Chứng minh tính tương tự định lý 3.1.4 Vậy Tk ánh xạ co, dãy {Tmk }m  hội tụ tới x0 với  tùy ý Chọn  để có x, Tx, , Tk-1 x, ta k dãy {Tmk+j x}m  ; j = 0, 1, 2, ,k-1 ; Vì dãy hội tụ tới x0 nên dãy {Tn x}n  hội tụ tới x0 53 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến §2 Ứng dụng ánh xạ co 3.2.1.Phương trình tuyến tính Xét ánh xạ y = Tx không gian  n vào cho hệ phương trình: n yi   aij x j  bi ; i  1, , n j 1 d  (x, y) = max { |xi – yi| ;  i  n } metric (a) Nếu  n , : n a j 1 ij    1; i  1, , n Suy hệ phương trình: n xi   aij x j  bi ; i  1, , n j 1 Có nghiệm Để chứng minh (a) ta cần T ánh xạ co Xét x '  ( x1' , x2' , , xn' ) x ''  ( x1'' , x2'' , , xn'' ) Ta có : d  (Tx ', Tx '')  max i d  (Tx ', Tx '')  max i n  a (x j 1 ij n a j 1 ij ' j  x ''j ) x 'j  x ''j d (Tx ', Tx '')  max i (max j x 'j  x ''j   d ( x ', x '') 54 n a j 1 ij ) Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến n (b) Nếu: d1 ( x, y )   xi  yi metric  n , thì: i 1 n a    1; i  1, , n ij i 1 n Suy hệ phương trình xi   aij x j  bi , i  1, , n có nghiệm j 1 Ta cần chứng minh ánh xạ T ánh xạ co để chứng minh (b) Cũng trên, xét x '  ( x1' , x2' , , xn' ) x ''  ( x1'' , x2'' , , xn'' ) Ta có : n n i 1 j 1 n n d1 (Tx ', Tx '')    aij ( x 'j  x ''j ) d1 (Tx ', Tx '')   aij x 'j  x ''j i 1 j 1 n n   aij x 'j  x ''j j 1 i 1 n   n    x 'j  x ''j   aij j 1   i 1 n     max j  aij d1 ( x ', x '') j 1   d1 ( x ', x '')  n 2 (c) Nếu d2(x,y)=  xi  yi  metric  n  i 1  n thì: n  a i 1 j 1 ij    Suy hệ phương trình: n xi   aij x j  bi ; i  1, , n có nghiệm i 1 Ta cần chứng minh T ánh xạ co 55 Ánh xạ liên tục không gian Metric Lấy Nguyễn Thị Hồng Mến x '  ( x1' , x2' , , xn' ) x ''  ( x1'' , x2'' , , xn'' ) Ta có: n n : [d2 (Tx ', Tx '')]    aij ( x  x ) ' j j 1 j 1 '' j  n  : [d (Tx ', Tx '')]     aij x 'j  x ''j  i 1  j 1  n 2 n  n 2 : [d (Tx ', Tx '')]     aij  x 'j  x ''j  i 1  j 1 j 1  n Theo bất đẳng thức Schwarz, thế: n n [d (Tx ', Tx '')]2   aij [d ( x ', x '')]2   [d ( x ', x '')]2 i 1 j 1 3.2.2.Phương trình vi phân (Định lý Picard): Nguyên lý ánh xạ co sử dụng để tồn nghiệm dy phương trình vi phân dạng : dx = f(x, y) thỏa mãn điều kiện Trước hết, ta điều kiện định phương trình tương đương với tích phân Định nghĩa 3.2.2.1: Cho f hàm thực liên tục hình chữ nhật R = {(x, y) : |x - x0|  a, |y - y0|  b} Với a > b > Một hàm thực  xác định khoảng I gọi nghiệm toán giá trị ban đầu: y’ = f(x, y) , y(x0) = y0 (3.2) thứ : (x, (x)) thuộc R với ’(x) = f(x, (x)) với tùy ý x  I thứ hai : (x0) = y0 56 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Trước hết, ta nghiệm toán giá trị ban đầu tương đương với tích phân : x y(x) = yo +  (t , y (t ))dt I (3.3) x0 Định nghĩa 3.2.2.2 : Một nghiệm (3.3) I hàm thực  cho (x, (x)) thuộc R với x I (x) = y0 + x  (t ,  (t ))dt với x I x0 ( từ phương trình ta suy  phải liên tục) Mệnh đề 3.2.2.3 : Một hàm  nghiệm toán giá trị ban đầu (3.2) khoảng I nghiệm tích phân (3.3) I Chứng minh : Giả sử  nghiệm toán giá trị ban đầu (3.2) khoảng I Vậy ’(t) = f(t,(t)) I (3.4) Vì  liên tục I f liên tục R, hàm F địn nghĩa I F(t) = f(t, (t)) liên tục I Lấy tích phân (3.4) từ x0 tới x, ta có : (x) = (x0) + x  (t ,  (t ))dt x0 Vì (x0) = y0   nghiệm (3.3) Đảo lại, giả sử  nghiệm (3.3) I, dễ dàng thấy ’(x) = f(x, (x)) với x  I Đồng thời, từ (3.3) ta nhận thấy (x0) = y0 Vì thế,  nghiệm toán giá trị ban đầu (3.2) Ta cần mệnh đề sau để chứng minh định lý Picard Mệnh đề 3.2.2.4 : 57 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Cho X tập chứa ánh xạ liên tục từ [a, b] vào [l, m] Vì X không gian không gian C[a, b] gồm tất hàm thực liên tục xác định [a, b] X không gian đầy Chứng minh : Vì X C[a, b] không gian đầy, điều đủ để X tập đóng Tiếp đó, ta giả sử f  C[a, b] điểm giới hạn X cần f  X  dãy {fn} n X hội tụ tới f với metric C[a, b] Với x  [a,b], ta có : |fn(x) - f(x)|  d(fn,f) f n ( x)  f ( x) Và lim n  Nhưng với x  [a, b] ta có l fn(x)  m nên l  f(x) m Điều f  X Định lý 3.2.2.5 : (Định lý Picard) Cho f liên tục R = {(x, y) : |x - x0|  a ; |y - y0| b} với a >0 b > Lấy K = sup {|f(x, y)| : (x, y)  R} (3.5) Nếu M > cho : |f(x, y1) - f(x, y2)|  M|y1 - y2| Với (x, y1), (x, y2)  R ; số dương  = min{a, (3.6) b } có tính chất  K hàm  [x0 -  , x0 +  ] cho : ’(x) = f(x, (x)) với x  [x0 -  , x0 +  ] y0 = (x0) (3.6) Hàm  giới hạn dãy {n} hàm liên tục [x0 -  , x0 +  ] cho : n(x) = y0 + x  (t ,  n 1 (t ))dt ; n  1, 2, x0 Và 0 hàm liên tục tùy ý [x0 -  , x0 +  ] với giá trị [y0 - b, y0 +b] Chứng minh: Cho X = { C[x0 -  , x0 +  ] : |(x) - 0|  b với x [x0 -  , x0 +  ]} 58 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Thế X không gian đầy theo mệnh đề 3.2.4 Theo cách chọn  , dễ thấy (x, (x)) R |x - x0|     X Do đó, ta xác định T X sau: x (T) (x) = y0 +  (t ,  (t ))dt; x  x  x0 Hiển nhiên, theo mệnh đề 3.2.2.3,  thỏa mãn (3.7)  T = , tức   điểm bất động T Vậy, để chứng minh  hàm , trước hết ta chứng minh T ánh xạ từ X vào có điểm bất động Nếu |x - x0 |   theo (3.4) định nghĩa  | (T )( x)  y0  x  (t ,  (t ))dt  x0 x  (t ,  (t )) dt  K |x - x0|  K  b x0 Và thế, T  X Vậy, T ánh xạ từ X vào Tiếp theo ta Tk ánh xạ co với số nguyên dương k Xét 1 2  X tùy ý : x (T1)(x) - (T2)(x) =  ( f (t ,  (t ))  f (t , 2 (t )) dt x0 Nên x0  x, có : (T 1 )( x)  (T 2 )( x)  x  f (t , 1 (t ))  f (t , 2 (t )) dt x0 x  M  1 (t )  2 (t ) dt theo (3.6) x0  M (x - x0 ) d(1, 2) Vì điều với 1, 2 tùy ý  X nên ta lặp lại với T1 T2 thay cho 1, 2 Ta có : x (T 21 )( x)  (T 22 )( x)   T1 (t )  (T2 (t ) dt x0 59 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến x  M  M (t  x0 )d (1 , 2 ) x0  M ( x  x0 )2 d (1 , 2 ) Sau n- bước ta : n (T n1 )( x)  (T n2 )( x)  M ( x  x0 ) d (1 , 2 ) n! M n x  x0  d (1 ,  ) n! n  ( Ma) n d (1 , 2 ) n! Dễ dàng kiểm tra với x  x0 có bất đẳng thức giống Vì lim  n ( Ma) k ( Ma)n   nên tồn k cho k! n! Khi Tk ánh xạ co ( Theo hệ 3.1.7) Trong định lý điều cần thiết R bị chặn để  sup K Với trường hợp quan trọng phương trình tuyến tính thay đổi R dải đứng vô hạn tồn nghiệm toàn khoảng tạo nên dải Định lý 3.2.2.6 : (Định lý Picard dải đứng ) Cho f liên tục R = {(x, y) : x I} với I khoảng bị chặn Nếu M > cho |f(x, y1) - f(x, y2)|  M|y1 - y2| (3.8) Với (x, y1) , (x, y2)  R với (x0, y0)  R tùy ý,  nghiệm  I cho : ’(x) = f(x, (x)) với x  I (x0) = y0 (3.9) Hàm  giới hạn dãy {n} hàm liên tục I cho : 60 Ánh xạ liên tục không gian Metric  n (x) = y0 + x  (t ,  n 1 Nguyễn Thị Hồng Mến (t )) dt , n = 1, 2, 0 hàm liên tục tùy ý x0 I Chứng minh : Lấy X = C(I) Thế X không gian metric đầy ta xác định T X (T  )( x)  y0  x ; x  I  (t ,  (t ))dt x0 Như trên,  thỏa mãn (3.9)  T =    điểm bất động T Vậy, để chứng minh tồn hàm , trước hết ta chứng minh T ánh xạ từ X vào có điểm bất động Dễ thấy T liên tục I, T ánh xạ từ X vào Tiếp đến, Tk ánh xạ co với k giống Ví dụ 3.2.2.7 : Xét phương trình : dy = x + y ; y(0) = dx Theo mệnh đề 3.2.2.3 ,  nghiệm ban đầu toán x   (t ,  (t ))dt (x) =  Nếu 1 = T  Ta thiết lập nghiệm sau : 0 (x)  1(x) = x  tdt = x0 Nếu 2  T 1 x  ( x )   (t  Nếu n  T n 1 n ( x)  x2 2! t2 x2 x3 )dt   ; 2! 2! 3! x2 x3 x n 1    ; 2! 3! (n  1)! 61 Ánh xạ liên tục không gian Metric Do đó: lim n ( x)  lim( n  n  Nguyễn Thị Hồng Mến x x3 x n 1    ) 2! 3! (n  1)!  ex  x 1 Ta dễ dàng kiểm tra ex - x - nghiệm ban đầu phương trình khắp R không đơn khoảng bị chặn định lý 3.2.2.6 Ta đưa số ví dụ ánh xạ T không co T2 lại ánh xạ co Ví dụ 3.2.2.8 : Xét không gian metric C[ 0, Định nghĩa T : C[0,  ] với metric   ]  C[0, ] 2 t (Tx)(t) =  x(u ) sin u.du Nếu x(t) = -t y(t) = - t : d(x, y) = sup t  (1  t )  0t   t d(Tx, Ty) = sup 0t    ( x(u)  y(u) )sin u.du = sup (1  cos t )  0t   Vì không tồn số K cho  K [...]... phải chứng minh 17 Ánh xạ liên tục trong không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Chương 2 Ánh xạ liên tục trong không gian Metric §1: Ánh xạ liên tục Định nghĩa 2.1.1: Cho (X, dX) và (Y, dY) là hai không gian metric và A  X Một hàm f : A  Y được gọi là liên tục tại điểm a A nếu với   0 ; tồn tại số   0 sao cho dY ( f ( x), f (a))   với x  A và d X ( x, a)   Khi f liên tục tại mọi điểm của.. .Ánh xạ liên tục trong không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Thật vậy, giả sử xn  xn (t ) là dãy Cauchy trong không gian C[a, b] Thế thì dãy hàm {xn (t )} hội tụ đều trên [a, b ] về một hàm x0 (t ) trên [a, b] Theo tính chất của dãy hàm hội tụ đều thì hàm giới hạn x0 (t ) cũng là hàm liên tục trên [a, b], suy ra xn  x0 trong không gian C[a, b] 12 Ánh xạ liên tục trong không gian Metric Nguyễn... H=  Định lý 2.4.6: Nếu f và g là hai ánh xạ liên tục lần lượt từ các không gian metric (X,dX) vào (Y,dY) và (Y,dY) vào (Z,dZ) thì g 0 f là ánh xạ liên tục đều từ (X,dX) vào (Z,dZ) Chứng minh: Vì g liên tục đều nên với   0,   0 sao cho dY(f(x),f(y))<   dZ((g 0 f)(x), (g 0 f)(y))<  với  f(x), f(y)  Y 33 Ánh xạ liên tục trong không gian Metric Vì f liên tục đều nên với   0 ở trên, Nguyễn... Vậy g liên tục đều Chú ý 2.4.10: Điều kiện (Y,dY) là không gian metric đầy không thể thiếu được Thật vậy, cho X=  với metric tự nhiên và Y=  ; tập số hữu tỷ với metric cảm sinh từ  Lấy A=  , hiển nhiên A là tập trù mật trên X Hàm f: A  Y; f(x)=x; liên tục đều nhưng nó không là mở rộng liên tục tới X vì chỉ có một hàm hữu tỷ liên tục trên X=  là hàm hằng 36 Ánh xạ liên tục trong không gian Metric. ..   Ánh xạ liên tục trong không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến §4: Sự liên tục đều Định nghĩa 2.4.1: Cho (X,dX) và (Y,dY) là hai không gian metric Một ánh xạ f: X→Y được gọi là liên tục đều trên X nếu với mọi   0 tồn tại số   0 (chỉ phụ thuộc vào  ) sao cho dY(f(x1),f(x 2))<  với dX(x1,x2) <  với  x1, x2  X Mọi hàm f liên tục đều trên X thì liên tục trên X Tuy nhiên, điều ngược lại không. .. Nguyễn Thị Hồng Mến Định lý 2.4.9: Cho f là ánh xạ liên tục đều của tập A trù mật trong không gian metric (X,dX) vào không gian metric đầy (Y,dY) Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ liên tục g: X  Y sao cho g(x)=f(x) với mọi x  A Hơn nữa, g liên tục đều Chứng minh: Vì f liên tục đều nên với mọi x  A là điểm giới hạn của X, giới hạn của f(y) khi y  x không chỉ tồn tại trong Y mà còn bằng f(x) Do đó, theo định... x và x  sin x liên tục từ  vào  nên hàm x  (cos x,sin x) liên tục từ  vào  (ii) Cho X   với metric tự nhiên Các ánh xạ: 1 1 z  cos(Im z ) và z  sin(Re z )  1 2 2 từ  vào  là liên tục 1 1  Nên ánh xạ z   cos(Im z ); z  sin(Re z )  1 2 2  từ C vào C liên tục (iii) Nếu (X, d) là không gian metric rời rạc thì mọi hàm f : X  Y với Y là không gian metric tuỳ ý liên tục Lấy a  X và... dX) và (Y, dY) là các không gian metric và f ; g : X  Y là các ánh xạ liên tục Nếu F   x  X ; f ( x)  g ( x) là tập trù mật trong X thì f = g Chứng minh: Theo định lý 2.2.2., F là tập đóng, vì F trù mật trong X  X  F  F tức là f(x) = g(x) với x  X Định lý 2.2.4: Cho (X, dX) và (Y, dY) là các không gian metric; A là tập trù mật của X 25 Ánh xạ liên tục trong không gian Metric Nguyễn Thị Hồng... những không gian Metric, A  X và f : A  Y liên tục thì liệu có tồn tại ánh xạ liên tục mở rộng g của f Vấn đề này gặp nhiều trong giải tích và đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà Toán học Dưới đây, ta đưa ra một vài phương pháp mở rộng đơn giản Định lý 2.2.2: Cho (X, dX) và (Y, dY) là các không gian metric và f; g : X  Y là các ánh xạ liên tục Khi đó tập  x  X ; f ( x)  g ( x) là tập đóng trong. .. 0 f liên tục đều trên X Ví dụ 2.4.7: Cho X=(0;  ) với metric tự nhiên cảm sinh của  và Y là  với metric tự nhiên Hàm f: X  Y f(x)= 1 x 1 n liên tục trên X Dãy { } n1 là dãy Cauchy trong X Nhưng dãy 1 n {f( )} n1 ={n} n1 không là dãy Cauchy trong Y Tuy nhiên, ánh xạ liên tục đều biến dãy Cauchy thành dãy Cauchy Định lý 2.4.8: Cho (X,dX) và (Y,dY) là hai không gian metric và f: X  Y liên tục ... chứng minh 17 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Chương Ánh xạ liên tục không gian Metric §1: Ánh xạ liên tục Định nghĩa 2.1.1: Cho (X, dX) (Y, dY) hai không gian metric A  X... Y 34 Ánh xạ liên tục không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến Định lý 2.4.9: Cho f ánh xạ liên tục tập A trù mật không gian metric (X,dX) vào không gian metric đầy (Y,dY) Khi tồn ánh xạ liên tục. .. niệm kết không gian Metric §1 Không gian Metric §2 Sự hội tụ Không gian đủ §3 Tập hợp mở, tập hợp đóng Chương Ánh xạ liên tục không gian Metric 13 §1 Ánh xạ liên tục