Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy đã giúp đỡ em trong quá trình em học tập và hoàn thành bản khóa luận: “Ánh xạ liên tục trong không gian Metric”.. Với mong muốn được tìm hiểu và ng

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận này được hoàn thành tại trường đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của thầy giáo – tiến sĩ Bùi Kiên Cường

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy đã giúp đỡ em trong quá trình em học

tập và hoàn thành bản khóa luận: “Ánh xạ liên tục trong không gian Metric”.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán nói chung, cácthầy cô trong tổ bộ môn giải tích nói riêng đã tạo điều kiện tốt nhất để emhoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Mến

Ánh xạ liên tục trong không gian Metric Nguyễn Thị Hồng Mến

1

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là những nghiên cứu của em dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Bên cạnh đó em cũngđược sự quan tâm , tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa Toán – TrườngĐại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Vì vậy, em xin khẳng định nội dung đề tài: “Ánh xạ liên tục trong không gian Metric” không có sự trùng lặp với đề tài khác.

Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Mến

MỤC LỤC

Trang

Phần 1 MỞ ĐẦU 1

Phần 2 NỘI DUNG CHÍNH 2

Chương 1 Một số khái niệm và kết quả về không gian Metric 2

§1 Không gian Metric 2

§2 S ự h ộ i t ụ Không gian đủ 5

§3 T ậ p h ợ p m ở , t ậ p h ợp đóng 8

Chương 2 Ánh xạ liên tục trong không gian Metric 13

§1 Ánh x ạ liên t ụ c 13

§2 Đị nh lý m ở r ộ ng 19

§3 Hàm thực và phức liên tục 24

§4 Sự liên tục đều………26

§5 Phép đồng phôi, hai metric tương đương và phép đẳng cự 32

§6 Sự hội tụ đều của dãy hàm………35

Chương 3 Ánh xạ co và ứng dụng 44

§1 Ánh xạ co 44

§2 Ứng dụng của ánh xạ co………49

Phần 3 KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

Giải tích hàm là một ngành Toán học được xây dựng vào khoảng nửađầu thế kỷ XX và đến nay vẫn được xem như một ngành Toán học cổ điển.Trong quá trình phát triển, Giải tích hàm đã tích lũy một nội dung hết sứcphong phú; những phương pháp và kết quả mẫu mực của Giải tích hàm đãxâm nhập vào tất cả các ngành Toán học có liên quan Chính điều đó đã mở raphạm vi nghiên cứu rộng lớn cho các ngành Toán học

Với mong muốn được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về bộ môn này

và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài:

“ Ánh xạ liên tục trong không gian Metric ’’ trong khóa luận tốt nghiệp của

mình

Nội dung khóa luận gồm có:

Chương 1: Một số khái niệm và kết quả về không gian Metric

Chương 2: Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Trong quá trình thực hiên khóa luận này, mặc dù đã hết sức cố gắng,song do điều kiện về thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không tránhkhỏi những hạn chế Em rất mong được ý kiến đóng góp của các thầy cô vàcác bạn sinh viên để khóa luận được bổ sung và hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 4 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Mến

Chương 1 Một số khái niệm và kết quả về không gian Metric

§1.Không gian metric

( Tiên đề

( Tiên đề tam giác);

Ta gọi là không gian metric, một cặp (X, d), trong đó X là một tập hợp gọi

là tập hợp nền và d là một metric trong X Khi đó một phần tử x ∈ X

còn được gọi là một điểm và d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x, y X Ví dụ 1.1.1:

Cho X là một tập hợp không rỗng Với mọi x, y X, ta đặt :

1 nếu x ≠ y

0 nếu x = y

Thế thì d là một metric trong X và không gian metric (X, d) còn được gọi làkhông gian metric rời rạc.

Thật vậy, các tiên đề M1, M2 là hiển nhiên Để kiểm tra M3, với các phần tử

d(u, v) – d(x, y) ≤ d(u, x) + d(y, v) (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) và M2 ta suy ra (1.2)

là các metric tương đương.

Thật vậy, dễ thấy rằng với mọi x, y ∈ X ta có:

§2 Sự hội tụ Không gian đủ

Trong không gian metric rời rạc (X, d) (ví dụ 1.1.1) : Dãy (x n )

tới điểm a ∈X khi và chỉ khi :

Vậy, trong không gian

metric rời rạc, một dãy là hội tụ khi và chỉ khi là dãy dừng

Ví dụ 1.2.3:

Dãy điểm x

n = x n (t) hội tụ tới điểm a = a(t) trong không gian

C [a, b] là sự hội tụ đều của dãy hàm.

Do đó, dãy (x n ) là dãy Cauchy.

Điều ngược lại không đúng Chẳng hạn tập Q các số hữu tỉ là một không gian metric với metric xác định bởi (1.1.3) Tuy nhiên, dãy xấp xỉ gần đúng của

2 : x1 = 1, 4; x2 = 1, 414, là dãy Cauchy trong Q, nhưng không hội tụ (trong Q) Ta có định nghĩa:

Định nghĩa 1.2.6:

Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong nó đều hội tụ

Ví dụ 1.2.7:

Một không gian rời rạc là không gian metric đầy đủ

Thật vậy, giả sử (x n ) là một dãy Cauchy trong không gian rời rạc X Theođịnh nghĩa thì với mọi 0 < ε < 1 tồn tại số

Ví dụ 1.2.8.

Không gian C [a, b] là không gian metric đầy đủ

x0

trong không gian C[a, b]

Giả sử (X, d) là không gian metric , A X.

Điểm x A được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một hình cầu

1.Với điểm bất kì x B(a, r), ta có d(x, a) < r Đặt ε = r – d(x, a).

Thế thì ε

> 0 với mọi y ∈ B(x,ε ) ta có:

d ( y, a) ≤ d ( y, x) + d (x, a) < ε + d (x, a) = r

trong của G Vậy G là mở.

3 Ta chỉ cần chứng minh với hai tập hợp là đủ Gải sử G j (j = 1, 2) là các tập

hợp mở và U = G

1  G2

α α

Với bất kì x U, tồn tại các hình cầu mở

Đặt r = min {r1, r2}, thế thì rõ ràng là B(x,

r) Vậy U là mở

B(x, r j ) ∈G j ( j = 1, 2).

⊂ U

Cho không gian metric X, A X.

*Ta gọi lân cận mở của tập hợp A một tập hợp mở chứa A, lân cận của A làmột tập hợp chứa trong một lân cận mở của A

*Nếu tập hợp A chỉ gồm một điểm, tương ứng ta có khái niệm lân cận mở, lâncận của một điểm Hình cầu mở tâm x, bán kính > 0 còn được gọi là mộtlân cận của điểm x, kí hiệu là U(x, )

*Ta gọi phần trong của tập hợp A là tập hợp tất cả các điểm trong của A kíhiệu là int A

*Điểm x X được gọi là điểm dính của A nếu với lân cận bất kì V của x thì

* Bằng ngôn ngữ lân cận, ta có thể nói: điểm x A là điểm trong của tập

hợp A nếu tồn tại một lân cận (hay lân cận) U của x, U A và nếu U là

lân cận của điểm x thì x là điểm trong của U

Ta có thể phát biểu một số tính chất cơ bản của phần trong, bao đóng của mộttập hợp trong không gian metric Chứng minh của các mệnh đề này hoàn toànnhư các mệnh đề tương ứng trong không gian Tô Pô

Định lý 1.3.4:

Phần trong của tập hợp A là tập hợp mở, là hợp của mọi tập hợp mở chứa trong A, do đó là tập hợp mở lớn nhất chứa trong A

Hệ quả 1.3.5:

G là tập hợp mở khi và chỉ khi G = intG

Đối ngẫu kết quả trên, ta có:

x ∈ F.

Chương 2 Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

∈ A và d<X (x, a) δ Do đó, số δ ở trên không tồn tại duy nhất.

(ii) Trong định nghĩa liên tục, ta đã không hạn chế bất kì điều gì về bảnchất của các miền A của hàm số Có thể xảy ra a là điểm cô lập của A tức là

có một lân cận của a không chứa điểm nào khác của A ngoài a Trong trườnghợp này, hàm f liên tục tại a không phân biệt nó được xác định như thế nào tạicác điểm khác của A Tuy nhiên, nếu a là điểm giới hạn của A và

điểm trong A sao cho x

n

→

x

thì f (x n ) → f (a)

khi và chỉ khi với mọi dãy

thì dãy { f (x n )} hội tụ tới

A hội tụ tới a Ta sẽ chỉ ra rằng { f

tuỳ ý; vì f liên tục tại a nên tồn tại số

δ > 0 sao cho với ∀x

sao cho không

có số δ nào thoả mãn với x

*Chú ý: Trong định nghĩa giới hạn; điểm a∈ X chỉ cần là điểm giới hạn

với mọi dãy

{x n } trong A sao cho x n ≠ a

Mệnh đề 2.1.7:

Cho (X,dX) và (Y,dY) là hai không gian Metric, A⊆ X Cho f: A→Y và a là một điểm giới hạn của A Thế thì f liên tục tại a khi và chỉ khi

Một ánh xạ f của không gian metric (X, dX) và không gian metric

(Y, dY) liên tục tại a ∈ X ⇔ với mọi

ε > 0 , tồn tại số δ > 0 sao cho

S (a,δ ) ⊆

f −1 (S( f (a),ε ))

Với S (x, r) là hình cầu mở tâm x, bán kính r

Tức là x ∈ S(a,δ ) ⇒ f (x) ∈ S( f (a),ε )

Hay f (S(a,δ )) ⊆ S( f (a),ε )

Tương đương với:

(S( f (x),ε ))

là mở trong

X Nên x ∈ f −1(S( f (x),ε ))

Suy ra rằng tồn tại số δ > 0 sao cho.

Lấy F là tập con đóng của Y Thế thì Y\F là tập mở trong Y nên

Ngược lại, giả sử f

Cho (X, dX) và (Y, dY) là 2 không gian metric và

điều kiện sau là tương đương

(i): f liên tục trên X

f : X

→

Y

khi đó các

liên tục từ  vào  nên hàm

(iii) Nếu (X, d) là không gian metric rời rạc thì mọi hàm

f được gọi là hạn chế (thu hẹp) của g trên A.

Nếu X và Y là những không gian Metric, A

Cho F = {x ∈ X ; f (x) = g(x)}⇒ X \ F = {x ∈ X ; f (x)

≠ g(x)}

Ta sẽ chứng minh X\F là tập mở.

- Nếu X/F = φ thì hiển nhiên

- Nếu X/F ≠ φ thì ∃ a∈X\F và f(a) ≠ g(a)

và

d Y

( g(x), g(a)) < r

3

Theo BĐT tam giác, ta có:

d y ( f (a), g(a)) ≤ d Y ( f (a), f (x)) + d Y ( f (x), g(x)) + d Y (g(x), g(a))

g Y

mà còn bằng f(x) trong trường hợp

x ∈ A Khi mở rộng tồn tại

nó là duy nhất

( lim f ( y)

= f (x) ) khi

x ∈ A tức

là f liên tục trên A)

y→x

Chứng minh:

Giả sử

f có

mở rộng liên tục g.Xét x

∈ X

S(x,ε ')

⊆ S

(x,ε )

sao cho

li m

f y

y

→

x

nếu

x

∉

A

nhưng

X nênhàm gxác định trên X

ta cầnchỉ ra

g liên tục

Nên g liên tục tại x.

Vì vậy, g liên tục trên X theo hệ quả 2.2.3 thì g là mở rộng liên tục duy nhấtcủa f

Hiển nhiên sin 1

(2.3)

Vì (0, 2)

= φ

nên không có điểm L nào chung

(ii) Ta biết lim sin x

x ≠ 0 có một mở rộng liên tục g được xác định như

2 2

 2

 2

Thật vậy, lấy ε = 1 và δ > 0 là tùy ý.Chọn x=

⇒ inf d(x,y) ≤ d(x,z)+ inf d(z,y).

y∈A y∈A

⇒ d(x,A) –d(z,A) ≤ d(x,z) với ∀ x, z ∈X

Đổi vai trò x và z với chú ý d(x,z)=d(z,x) ta

có: d(z,A)- d(x,A) ≤ d(x,z) với ∀ x,

Đảo lại,giả sử x∈ A Nếu x∈A thì d(x,A)=0

Nếu x là điểm giới hạn của A thì d(x,A)=0 Vì theo định nghĩa của

điểm giới hạn, mọi S(x, ε ) chứa y ∈A ⇒ d(x,A)<

d(x,A)+d(x,B)>0 với ∀ x∈X.( Vì nếu d(x,A)+d(x,B)=0 với

Nếu f và g là hai ánh xạ liên tục lần lượt từ các không gian metric(X,dX) vào (Y,dY) và (Y,dY) vào (Z,dZ) thì g 0 f là ánh xạ liên tục đều từ (X,dX)vào (Z,dZ).

Chứng minh:

Vì g liên tục đều nên với ∀ε > 0,

∃δ > 0

sao cho dY(f(x),f(y))<δ

⇒ dZ((g 0 f)(x), (g 0 f)(y))< ε với ∀ f(x), f(y) ∈Y

Vì f liên tục đều nên

là dãy Cauchy trong X Nhưng dãy

không là dãy Cauchy trong Y Tuy nhiên, ánh xạ liên tục

đều biến dãy Cauchy thành dãy Cauchy

Vì f liên tục đều nên với mọi

ε > 0 , ∃δ > 0 sao cho dY(f(x),f(y))< ε

với dX(x,y)<δ với ∀ x, y∈X (2.4)

Vì {xn} n≥ 1 là dãy Cauchy nên với δ ở trên, ∃ số n0 sao cho với ∀ n,

m≥ n0

⇒ dX(xn,xm) < δ

Định lý 2.4.9:

Cho f là ánh xạ liên tục đều của tập A trù mật trong không gianmetric (X,dX) vào không gian metric đầy (Y,dY) Khi đó tồn tại duy nhấtánh xạ liên tục g: X→Y sao cho g(x)=f(x) với mọi x∈A Hơn nữa,

2.2.4 để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của ánh xạ liên tục

g: X→Y trước hết, ta chỉ ra với mọi x∈X\A tồn tại giới

hạn của f(y) khi y→x

Lấy x∈X tùy ý, vì A trù mật trong X nên ∃ dãy

{xn} n≥1

lim d X (x n , x) = 0

n→∞

Vì {xn} n≥1 hội tụ nên nó là dãy Cauchy, theo định lý 2.4.8

trong A sao cho

⇒ {f(xn)} n≥1 cũng là dãy Cauchy trong không gian metric đầy (Y,dY) nên nó

hội tụ tới một giới hạn là b Xét dãy {x’n} n≥1 trong A với x’n ≠ x và lim x

'n = x

n→∞

Vì f liên tục đều nên với ∀ ε > 0 , ∃ số

δ > 0 sao cho: dY(f(z),f(y))< ε với dX(z,y)< δ

lim x ' n = x Theo mệnh đề 2.1.5 thì lim f (

n→∞

của f trên X là tồn tại duy nhất

y→x

Để chứng minh g liên tục đều, lấy x, x’ ∈X sao cho dX(x,x’)< δ

Lấy

Điều kiện (Y,dY) là không gian metric đầy không thể thiếu được

Thật vậy, cho X=  với metric tự nhiên và Y=  ; tập số hữu tỷ với

metric cảm sinh từ  Lấy A=  , hiển nhiên A là tập trù mật trên X

Hàm f: A →Y; f(x)=x; liên tục đều nhưng nó không là mở rộng liên tục tới X vì chỉ có một hàm hữu tỷ liên tục trên X=  là hàm hằng

§5: Phép đồng phôi, hai metric tương đương và phép

đẳng cự.

Định nghĩa 2.5.1:

Cho (X,dX) và (Y,dY) là hai không gian metric và song ánh f:

X→Y được gọi là phép đồng phôi khi và chỉ khi f và f-1 lần lượt liêntục trên X và Y

Hai không gian metric X và Y gọi là đồng phôi với nhau khi và chỉ khitồn tại một phép đồng phôi giữa chúng Y được gọi là đồng phôi lên ảnh củaX

Nếu X và Y là đồng phôi với nhau thì phép đồng phôi giữa chúng biến tập mởthành tập mở Viết X ~Y tức là X và Y là đồng phôi với nhau Dễ dàng kiểmtra được mối quan hệ giữa chúng là phản xạ, đối xứng, bắc cầu

Ví dụ 2.5.2:

(i) Hai không gian metric [0;1] và [0;2] với metric tự nhiên là đồng

phôi

Thật vậy, ánh xạ f(x)=2x là phép đồng phôi

(ii) Hàm f(x)=lnx là phép đồng phôi giữa (0; ∞ ) và  lần lượt với

2 metric là metric tự nhiên cảm sinh từ  và metric tự nhiên

là phép đồng phôi của X lên Y Hiển nhiên X là tập

con đóng của  và vì  là không gian đầy nên X là không gian đầy Mặtkhác, { 1

}

n

n≥ 1

là dãy

Cauchy

tro

ng Y không hội tụ nên Y không là không gian

đầy Bên cạnh đó, X không bị chặn còn Y lại bị chặn

Định nghĩa 2.5.4:

Ánh xạ f: X→Y là một phép đẳng cự nếu

mọi x, y ∈X

Hiển nhiên phép đẳng cự là song ánh và liên tục đều Ta nói X và Y là đẳng

cự với nhau nếu tồn tại một phép đẳng cự giữa chúng Phép đẳng cự là phépđồng phôi nhưng ngược lại không đúng Hai không gian đẳng cự có cùng tínhchất metric Viết X ~Y tức là X và Y là đẳng cự với nhau Dễ dàng kiểm trađược mối quan hệ giữa chúng là phản xạ, đối xứng, bắc cầu

Định nghĩa 2.5.5:

Cho d1 và d2 là hai metric trên tập

(i) Các metric d1 , d2 và d∞ được định

§6: Sự hội tụ đều của dãy hàm.

Nếu với số n0 tồn tại ở trên ta có fn(x)< 1

với

0

≤ x

≤ 1 Như

ng với x=

n

0

2 3

n

0

ta

có điềumâuthuẫn

X=Y=[0;1]

với metric cảm sinh từ R

và fn(x)=xn với 0 ≤ x

≤ 1 Thế thì {fn} n≥1 hội tụ từng điểm tới

hội tụ đều trên [α ; ∞ )

là dãy hàm xác định trên không gian metric (X,dX) với giá

trị trong không gian metric đầy (Y,dY) Khi đó tồn tại hàm f: X →Ysao cho fn

hội tụ đều trên X khi và chỉ khi với mọi ε > 0 , ∃ một số nguyên n0 sao

cho vớimọi m, n ≥ n0 ⇒ dY(fm(x),fn( x))< ε với mọi x ∈X

Chứng minh:

Giả sử fn →f đều trên X thì với ε cho trước, ∃ n0

sao cho với

Khi đó với mỗi x ∈X dãy

đầy Y do đó nó hội tụ Lấy f(x)= lim f n

Nếu ε > 0 cho trước, ta có thể chọn n0 sao cho với mọi n ≥ n0 ta có:

Định nghĩa 2.6.7:

Cho f1, f2,…là dãy hàm thực xác định trên X Ta nói ∞

∑ f n hội tụ trên X

hội tụ đều tới f trên X , Sn=f1+f2+…+fn.Vì mỗi Sn là

một tổng riêng của các hàm liên tục trên X nên nó liên tục trên X Theo định

lý 2.6.5 thì f liên tục trên X

Ví dụ 2.6.10:

0 nếu x = 0Cho dãy ∞

Vì thế hàm f không liên tục, hội tụ không đều theo hệ quả 2.6.9.

Cho (X,dX) là không gian metric và Y là tập con đóng khác φ

của (X,dX) Cho f là hàm thực bị chặn xác định trên Y, tồn tại số M>0 sao cho:

Hiển nhiên A và B khác φ , rời nhau và đóng trong Y ( Nếu

x∈Y là điểm giới hạn của A và {xn}n ≥ 1 là một dãy trong A hội tụ tới x, f liên tục nên

f(x)=f( lim x )= lim f (x ) ≤ −M tức là x∈A)

n→∞ n→∞ n

3

Vì Y là tập đóng trong X nên A, B cũng đóng trong X

Định nghĩa g trên X bởi:

g thỏa mãn m<g(x)<M với ∀ x∈X\Y

Cho n →∞ trong (3.14) suy ra

f(x)=g(x) với x∈Y Với x∈X\Y, ta có:

được hàm liên tục mở rộng H của tan-1 f , với H xác định trên toàn X.

Hiển nhiên, H không đúng với giá trị ± π

Định nghĩa g trên Y bởi:

2

g=tan 0 H thì g liên tục trên X và g(x)=f(x); x∈Y

0

0