Độ đo trong không gian Metric

Khoá luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***** TRẦN THỊ PHƯƠNG ĐỘ ĐO TRONG KHƠNG GIAN METRIC KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học GVC.Th.S Phùng Đức Thắng HÀ NỘI - 2012 Trần Thị Phương K34B - Sư phạm Toán LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội dẫn, dạy dỗ tận tình thầy giáo, em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tồn thể thầy khoa Tốn, người ln chăm lo, dìu dắt giúp đỡ chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phùng Đức Thắng – người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khoá luận Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hồng Vân LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Phùng Đức Thắng Trong q trình nghiên cứu hồn thành khố luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần Tài liệu tham khảo Vì em xin khẳng định kết đề tài “Ứng dụng phép tính tích phân tốn sơ cấp” thành riêng cá nhân em, không trùng lặp với đề tài công bố Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hồng Vân MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa tích phân 1.2 Một số tính chất định lý tích phân Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ 2.1 Ứng dụng phép tính tích phân để chứng minh đẳng thức 10 2.1.1 Cơ sở lý thuyết .10 2.1.2 Một số ví dụ 10 2.1.3 Bài tập áp dụng 12 2.2 Ứng dụng phép tính tích phân để chứng minh bất đẳng thức 13 2.2.1 Cơ sở lý thuyết .13 2.2.2 Một số ví dụ 13 2.2.3 Bài tập áp dụng 17 2.3 Ứng dụng phép tính tích phân tốn cực trị 18 2.3.1 Cơ sở lý thuyết .18 2.3.2 Một số ví dụ 18 2.3.3 Bài tập áp dụng 21 2.4 Ứng dụng phép tính tích phân để chứng minh tồn nghiệm .23 2.4.1 Cơ sở lý thuyết .23 2.4.2 Một số ví dụ 23 2.4.2 Bài tập áp dụng 26 2.5 Ứng dụng phép tính tích phân giải phương trình .26 2.5.1 Cơ sở lý thuyết 26 2.5.2 Một số ví dụ 26 2.5.3 Bài tập áp dụng 29 2.6 Ứng dụng phép tính tích phân để tính giới hạn dãy 29 2.6.1 Cơ sở lý thuyết .29 2.6.2 Một số ví dụ 30 2.6.3 Bài tập áp dụng 34 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 3.1 Ứng dụng phép tính tích phân để tính diện tích miền hai đường cong 35 3.1.1 Cơ sở lý thuyết 35 3.1.2 Một số ví dụ .36 3.1.3 Bài tập áp dụng 39 3.2 Ứng dụng phép tính tích phân để tính thể tích khối tròn xoay 40 3.2.1 Cơ sở lý thuyết 40 3.2.2 Một số ví dụ .42 3.2.3 Bài tập áp dụng 43 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 LỜI NÓI ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích tốn học mơn học chương trình khoa Tốn Nó đóng vai trò quan trọng việc học tập ngành Tốn Giải tích Tốn học có nhiều ứng dụng nghiên cứu Toán học ngành khoa học khác Bởi việc nắm vững môn học yêu cầu cần thiết phải đạt sinh viên khoa Tốn Trong q trình học mơn Giải tích tốn học trường Đại học, lý thuyết độ đo quan tâm Khi nghiên cứu độ đo ta nghiên cứu độ đo không gian trừu tượng ( W, □), W tập □ σ _trường gồm tập W Trong chương ta nghiên cứu tính chất độ đo lấy W= X không gian metric (hoặc không gian tôpô) □ =□( X ) σ _trường Borel X (tức σ _trường bé chứa tập mở) Vậy không gian metric độ đo có tính chất gì? Đề tài giúp nghiên cứu tìm hiểu lý thuyết độ đo không gian metric II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, cung cấp cho sinh viên kiến thức mơn giải tích mà nội dung chủ yếu lý thuyết độ đo khơng gian metric Từ nâng cao lực tư logic đặc thù môn III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Đưa kiến thức không gian metric, độ đo kiến thức liên quan đến độ đo Nghiên cứu kiến thức độ đo không gian metric IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: độ đo không gian metric - Phạm vi nghiên cứu: kiến thức đô đo không gian metric V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận đánh giá tổng hợp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Không gian metric Định nghĩa Ta gọi không gian metric mt hp X ặ cựng vi mt ỏnh xạ d từ tích Descartes X ´ X vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) " x, y Ỵ 2) " x, y Î X ,d(x, y) ³ 0;d(x, y) = Û X ,d(x, y) = d(y, x ) ; 3) " x, y, z X ,d(x, y) Ỵ £ x = y; d(x, z ) + d(z, y) ; Ánh xạ d gọi metric X , số d(x, y gọi khoảng cách hai ) phần tử x y Khơng gian metric kí hiệu M = (X ,d) Ví dụ: a) Với hai phần tử x, y Ỵ ¡ ta đặt: d(x, y ) = x - y (1) Dễ dàng kiểm tra hệ thức (1) xác định metric ¡ Không gian tương ứng khơng gian metric kí hiệu ¡ b) Với hai vecto x = (x , , ), y x = vecto thực k chiều ¡ k ta đặt: k (y , , y thuộc không gian ) k d(x, y)= å (x j - y j ) k (2) j=1 Dễ dàng thấy hệ thức (2) thỏa mãn tiên đề metric Vì hệ thức (2) xác định metric khơng gian kí hiệu ¡ k k ¡ Không gian metric tương ứng thường gọi không gian Eukleides Định nghĩa Cho không gian metric M = (X ,d) Dãy điểm (x ) Ì X gọi n dãy M : " e > 0, $n * Ỵ ¥ , " m , n n ,d(x , ³ x n )< e m Hay lim d(x n , n ,m đ Ơ )= D dng thấy dãy điểm (x ) Ì X hội tụ M dãy n Định nghĩa Không gian metric M = (X ,d) gọi không gian đủ, dãy không gian hội tụ Ví dụ: a) Khơng gian metric ¡ b) Không gian ¡ k không gian đủ không gian đủ Định nghĩa Một không gian metric X gọi khả ly có tập hữu hạn đếm trù mật X Không gian tôpô 2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa Cho X tập hợp tùy ý Ta gọi tôpô X lớp tập hợp t X thỏa mãn tiờn : 1) ặ, X ẻ t 2) G Î a t , " Î L a UG aẻL a ẻ t ; Ta t m( ầ A) = □(A) " A Ỵ □ C Bổ đề Để m độ đo xác suất C Ç A * cần đủ ◻ (C)=1 Chứng minh Cần Giả sử µ độ đo xác suất C Ç A Khi đó, □, P (A) = m( Ç A) C = m(C ) Do P *(C ) = = "A É C A Î Đủ Đầu tiên ta phải rằng, m xác định đắn, nghĩa là, C Ç A =C Ç A hợp ta có: C DA ) = 2 P (A ) Thật vậy, trường * Ç (A P (A , A , A Ỵ □ P (A ) = D A ) = Ỉ Từ suy rằng, P (C ) = hay P (A ) = P (A ) Tính khơng âm, chuẩn hóa σ _cộng tính µ hiển nhiên 6.3 Định lí Giả sử X khơng gian metric khả ly Khi đó, G Ỵ P (X ) thỏa mãn điều kiện (ε , K ) G compact tương đối yếu Chứng minh Ù Giả sử X = I Ơ t m (A m( ầ A X ) )= Dễ dàng thấy rằng, " Î B (Xˆ ) Aˆ mˆ Î P (Xˆ ) Để chứng minh G m Ỵ P (X ) compact tương đối yếu, ta phải rằng, lưới hội tụ yếu }Ì Thật vậy, lưới tương ứng a {mˆ ˆ ma Þ m Î P (X ) Theo giả ˆ¢ ˆ thiết, " n Ỵ N, $K Ỵ □ (K ) P (Xˆ {m }Ì a G có lưới khơng gian compact Giả sử G Ỵ P (X thỏa mãn điều kiện (e, K ) , nên ) Ì X ) cho sup m (K ) ³ - Vì K tập n n a a¢ n n n ¢ compact X nên K tập compact Xˆ , đặc n biệt Do 1n sup mˆa ( n ) ³ "n ẻ Ơ a K T nh lớ 5.3 rỳt mˆ (K ) ³ n lim ma ¢( n ) K a n n ," ẻ ¥ , K n Ì B (Xˆ ) Và Với E mˆ (E ) = ¥ = UK n=1 n Đặc biệt ta có * mˆ (X 1³ )³ mˆ (E ) = 1, * tức mˆ (X ) = Theo bổ đề (và để ý rằng, B (X ) = X Ç B (Xˆ )) m(A Ç Aˆ ) = mˆ (Aˆ Ỵ B (Xˆ ) ), Aˆ cho Bây giờ, giả sử F tập đóng X Khi đó, tồn tập đóng Fˆ cho F = P (X ) , tồn m Ỵ Xˆ Fˆ Ç Áp dụng định lí 5.3 ((a) ® (c) ) lần ta có X lim a ¢ma (F ) = lim a ¢mˆ (Fˆ ) mˆ (Fˆ m(F ∀ F Ỵ □ ) Ê )= a Vy ma ị m  6.4 iu kiện cần compact tương đối yếu Khác với điều kiện đủ, điều kiện cần compact tương đối yếu đòi hỏi thêm tính đủ X Định lí Giả sử X không gian khả ly đủ Khi đó, ) G Ỵ ◻(X compact tương đối yếu G thỏa mãn điều kiện (e, K ) Chứng minh Vì X khả ly nên hình cầu mở bỏn kớnh n " n ẻ Ơ cú th phủ X số đếm : ¥ X = US j=1 nj "n ẻ Ơ u tiên ta rằng, G Ì P (X ) "n ẻ Ơ ,"d > 0, $kn compact tng đối yếu kn Ỵ N cho: m( US nj ) > - d, " m Ỵ G j=1 Thật vậy, giả sử (ngược lại) điều khơng c thc hin, tc l $n ẻ Ơ , $d 0 > cho " k ẻ Ơ, $m Ỵ G thỏa mãn k k mk ( US n j ) < - d0 j=1 Vì Γ compact tương đối yếu, nên có dãy {m }Ì m k {m } k Þ m {m }Ì k m Ỵ P (X ) Từ đó, ta có kl US Ì US n j n j j=1 ,"m > l, km j=1 k )< mk ( U S l m j=1 kl m( US n j=1 j d0 , " m > l , n 0j ) £ lim m m k k (U S l m n 0j ) £ - d0 j=1 Cho l Z ¥ ta e Với d = ta có n = m(X ) £ - kn d0 < (vơ lí) G cho Đặt F = n kn éS ùK, ë û Uê nj ú m( US nj ) > - e j=1 Ỵ 2,n " n Ơ , " m ẻ G l úng hồn tồn ¥ = K F Dễ dàng thấy rằng, I n n=1 e e j=1 giới nội K Ỵ K (vì X đủ) Hơn nữa, e m(F ) > n e Ỵ 2,n " n Ơ,"mẻ G m(X Ơ \ K )Ê n= e m( \ F ) < e, " m Î G n X Định lý Prohorov 7.1 Định nghĩa Ta gọi không gian tôpô X không gian Prohorov, điều kiện (e, K cần đủ để G Ì P (X compact tương đối yếu ) ) 7.2 Định lý (Prohorov) Mỗi không gian metric khả ly đủ không gian Prohorov Hội tụ yếu hàm phân phối xác suất đường thẳng Bây ta xét hội tụ yếu độ đo xác suất không gian metric cụ thể: đường thẳng thực ¡ 8.1 Định nghĩa Hàm số F : ¡ ® ¡ gọi (hàm) phân phối xác suất, khơng giảm, liên tục bên trái F (- ¥ ) = 0, F (+ ) = ¥ Như nói, với F thế, độ đo Lebesgue-Stieltjes tương ứng m F độ o xỏc sut: F ô m ẻ P (Ă ) F m éa,b) = F (b) F (a) F Ta kí hiệu F tập tất hàm phân phối xác suất đường thẳng Định nghĩa Giả sử Ì F , {F } n F ,F Ỵ F Nói dãy {F } hội tụ đến n lim F (x ) = F (x ), " x ẻ nđ+Ơ C (F ) , n Trong C(F ) tập gồm tất điểm liên tục hàm F 8.2 Định lí Giả sử {F }Ì 1 F ,F Ỵ F m = m n n ,m= m Fn độ đo F Lebesgue-Stieltjes tương ứng Khi đó, hai điều kiện sau tương đương với (a) mm; Þ F (b) Fn hội tụ đến F Chứng minh (a) ® (b Ta xét tập A = ( ) ¥ điểm nhất: có: ∂( A) = Þ , x ) Rõ ràng, biên tập A gồm {x} Do đó, mn m với µ(∂A) = µ ({x}) = , ta lim Fn (x) = lim µ n ( A) = µ ( A) = F (x) , n→+∞ x ∈ C(F ) F tức là, Fn hội tụ tới (à ({x})) = n+ (b) đ (a) Ta kớ hiệu U lớp gồm tập rỗng tất khoảng hữu hạn [a,b) với a,b Ỵ C (F ) : □ = ëéêa,b) : a,b Ỵ { Để ý m ( n ) éë ) = êëa,b } C (F ) È Ỉ ( ) m éêa,b) = F (b) Do đó, Fn Fn (a) F n(a) , F (b) - hội tụ đến F lim m (U ) = m(U ) , " ẻ U U nđ+Ơ (1) n Mặt khác, U kín phép giao hữu hạn tập mở G ∈ G hợp đếm tập thuộc U (vì C (F ) trù mật khắp nơi ¡ ) ¥ UU , {U }Ì G = k=1 k k U Từ t (1) suy rng, vi mi m ẻ Ơ , ta cú ổỗm m m m m ữ= çUU÷ m (U ) m (U U ) m (U U U ) + -n i j k å nk n n k i ồ ỗk = k i,k = i, j ,k = k=1 1 ÷ è å k å å ÷ i j k i j ø ® m(U ) m(U U ) m(U U U ) + Và ∀ε > (2) $m ẻ Ơ cho m(G ) Kt hp (2) (3) ta æ m (3) e < m( U U k ) k=1 m ö m(G ) - e < lim m ỗUU ữ limm (G ) " G ẻ G hay m ị m , ữÊ n ç n èk = k ÷ n n ø Do định lí trên, từ sau ta nói dãy hàm phân phối xác suất yếu tới hàm phân phối xác suất F viết Fn Þ F Nếu {Fn } hội tụ tới F KẾT LUẬN {F } hội tụ n Trong khóa luận em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Độ đo xác suất Borel, hội tụ yếu độ đo, độ đo Radon, định lý Prohorov, Luận văn mang tính chất tổng quan em chứng minh số định lý, mệnh đề đưa ví dụ cụ thể để làm rõ số tính chất, giúp hiểu rõ vấn đề mà khóa luận đề cập Mong tài liệu bổ ích cho quan tâm đến vấn đề Do thời gian có hạn chưa có kinh nghiệm cơng tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn đọc Trước kết thúc khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Phùng Đức Thắng - người tận tình bảo, giúp đỡ em suốt thời gian qua để hồn thành khóa luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm (NXBĐHQG Hà Nội ) Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm (NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội) PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm (NXB khoa học kỹ thuật) Trần Thị Phương 70 K34B - Sư phạm Toán Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (1983), Cơ sở xác suất (NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội) Nguyễn Duy Tiến (2000), Bài giảng giải tích tập (NXBĐHQG Hà Nội) Nguyễn Duy Tiến, Trần Đức Long (2004), Bài giảng giải tích tập (NXBĐHQG Hà Nội) ... Định nghĩa Không gian metric M = (X ,d) gọi không gian đủ, dãy không gian hội tụ Ví dụ: a) Khơng gian metric ¡ b) Không gian ¡ k không gian đủ không gian đủ Định nghĩa Một không gian metric X gọi... kiến thức không gian metric, độ đo kiến thức liên quan đến độ đo Nghiên cứu kiến thức độ đo không gian metric IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: độ đo không gian metric. .. lân cận V y mà x ∉V Ví dụ: Không gian tô pô rời rạc T - không gian Không gian tôpô thô không T - không gian Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T - không gian hay không gian Hausdorff X thỏa mãn