Hàm liên tục trên không gian metric

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== VI THỊ ÁNH HÀM LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN METRIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Giải tích HÀ NỘI – 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== VI THỊ ÁNH HÀM LIÊN TỤC TRÊN KHƠNG GIAN METRIC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Giải tích NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Văn Bằng HÀ NỘI 2019 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy giáo khoa Tốn giúp đỡ em trình học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng, người thầy truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thiện khóa luận Trong q trình nghiên cứu, trình độ có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo tồn thể bạn đọc để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Trần Văn Bằng khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong làm khóa luận này, em kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày /5/2019 Sinh viên Vi Thị Ánh i Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những kiến thức mở đầu không gian metric 1.1.1 Định nghĩa không gian metric 1.1.2 Ví dụ 1.2 Tập đóng tập mở 10 1.3 Tập compact 12 1.4 Tập liên thông 15 Hàm liên tục không gian metric 16 2.1 Hàm liên tục 16 2.2 Tính liên tục khơng gian tích 22 2.3 Tính liên tục khơng gian compact 24 2.4 Tính liên tục khơng gian liên thơng 29 Tài liệu tham khảo 32 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh BẢNG KÍ HIỆU R Tập số thực Rn Không gian Euclide thực n chiều int(A) Phần tập A x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử Rn B(a, r) Hình cầu mở tâm a bán kính r B(a, r) Hình cầu đóng tâm a bán kính r A Bao đóng tập A f |K f hạn chế K LỜI NĨI ĐẦU Giải tích tốn học môn học chương trình đào tạo cử nhân Sư phạm tốn học Nó cung cấp kiến thức phương thức tư thiết yếu cho việc học tập học phần khác Những tính chất giải tích hàm số như: tính liên tục, tính khả vi tính khả tích có vai trò đặc biệt quan trọng ứng dụng thực tiễn Tuy nhiên sinh viên Sư phạm Tốn học nói chung chưa có nhiều thời gian để khảo sát kĩ lưỡng, hệ thống tính chất hàm liên tục không gian metric số hướng ứng dụng tính chất Vì tơi chọn đề tài “Hàm liên tục khơng gian metric” làm khóa luận tốt nghiệp nhằm hệ thống hóa tính chất hàm liên tục khơng gian metric, phân tích kĩ mối liên hệ tính chất liên tục với tính chất khác, q trình khái quát khái niệm quan trọng Đề tài gồm có hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Hàm liên tục không gian metric 2.1 Hàm liên tục 2.2 Sự liên tục khơng gian tích Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh 2.3 Sự liên tục không gian compact 2.4 Sự liên tục khơng gian liên thơng Do trình độ có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi có thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thày bạn để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 6/5/2019 Sinh viên Vi Thị Ánh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Những kiến thức mở đầu không gian metric Định nghĩa không gian metric Ta gọi không gian metric tập hợp X= ∅ với ánh xạ d từ tích Descartes X×X vào tập hợp số thực R thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) (∀x, y ∈ X) d(x, y)≥ 0, d(x, y)=0 ⇔ x = y 2) (∀x, y ∈ X) d(x, y)=d(y, x) 3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Ánh xạ d gọi metric X, số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm; tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Không gian metric kí hiệu M = (X, d) 1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử x, y ∈ R ta đặt: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh d(x, y) = |x − y| Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối tập số thực R dễ dàng kiểm tra hệ thức xác định metric R Khơng gian tương ứng kí hiệu R1 gọi metric thơng thường R Ví dụ 1.1.2 Cho X tập hợp khác rỗng Với x, y ∈ X ta đặt: d(x, y) =   1 x = y (1.1)  0 x = y Thế d metric X khơng gian metric (X, d) gọi không gian metric rời rạc Hiển nhiên, hệ thức xác định ánh xạ từ tích Descartes X×X vào tập hợp số thực R Ta kiểm tra tiên đề metric Với hai phần tử x, y ∈ X, hiển nhiên, d(x, y) ≥ Nếu x = y d(x, y) = x = y d(x, y) = 1, điều trái với giả thiết, nên d(x, y) = ⇒ x = y Do đó, tiên đề 1) thoản mãn Với hai phần tử x, y ∈ X, x = y y = x, d(x, y) = d(y, x) = 0; x = y y = x, d(x, y) = d(y, x) = 1.Vì ∀x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x) Do đó, tiên đề 2) thỏa mãn Để kiểm tra 3), với phần tử x, y, z ∈ X, ta xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu z hai phần tử x y, không tính tổng qt giả sử x = z, mệnh đề 1) ta có: d(x, y) = d(z, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh mãn: dY (|f (x)|, |f (x0 |)) = ||f (x)| − |f (x0 )|| < ε Vậy |f (x)| liên tục X Ví dụ 2.1.3 Chứng minh hàm:   | sinx | x = x f (x) =  1 x = (2.1) sinx |sinx| |= x |x| Ta có sin x x hàm liên tục nên |sinx| |x| liên tục Với x0 = ⇒ f (x) = | x0 = Vậy f (x) = | sinx |sinx| |= liên tục x0 = x |x| Với x0 = 0, Ta có: || sinx sinx | − 1| ≤ | − 1| ∀x = x x sinx = x→0 x Mặt khác, lim ⇒ lim || x→0 sinx | − 1| = x Tức lim | x→0 sinx | = = f (0) Hay f (x) liên tục x = x Vậy f (x) liên tục R Định lý 2.2 (Tính liên tục bảo tồn hội tụ.) Cho (X, dX ) (Y, dY ) không gian metric f : X → Y hàm, x0 ∈ X điểm X Khi mệnh đề tương đương: 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh 1)f liên tục điểm x0 2) Với (x(n) )∞ n=1 dãy X hội tụ tới x0 metric dX , dãy (f (xn ))∞ n=1 hội tụ tới f (x0 ) metric dY 3) Với tập mở V ⊂ Y chứa f (x0 ), tồn tập mở U ⊂ X chứa x0 cho f (U ) ⊆ V Chứng minh Bây ta chứng 1) ⇔ 2) 1) ⇒ 2) Hiển nhiên, hàm f liên tục x0 theo 1) hàm f liên tục điểm x0 theo 2) Giả sử hàm f liên tục điểm x0 ∈ X theo 2) hàm f không liên tục điểm x0 theo 1), nghĩa là: (∃ε0 > 0)(∀n ∈ N∗ )(∃xn ∈ X : dX (xn , x0 ) < ) n dY (f (xn ), f (x0 )) ≥ ε0 Ta nhận dãy điểm (xn ) ⊂ X mà lim xn = x0 (X, dX ) n→∞ dãy điểm f (xn ) không hội tụ tới f (x0 ) (Y, dY ), điều mâu thuẫn với giả thiết Mâu thuẫn chứng tỏ hàm f liên tục x0 ∈ X theo 2) hàm f liên tục x0 theo 1) Bây chứng minh ⇒ 1) Lấy điểm x0 ∈ X V lân cận điểm f (x0 ) (Y, dY ) Vì V tập mở (Y, dY ) nên int(V ) = V Theo giả thiết: intf −1 (V ) ⊂ f −1 (V ) = f −1 (V ) ⊂ intf −1 (V ) Do f −1 (V ) = intf −1 (V ) Suy ra: f −1 (V ) tâp mở (X, dX ) x0 ∈ f −1 (V ) Do 20 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh tồn lân cận U điểm x0 (X, dX ) cho: x0 ∈ U ⊆ f −1 (V ) ⇒ f (U ) ⊆ V Vì hàm f liên tục điểm x0 Định lý 2.3 Cho (X, dX ), (Y, dY )là không gian metric hàm f : X → Y Khi bốn mệnh đề tương đương: 1) f liên tục ∞ 2) Với dãy (x(n) )n=1 X hội tụ tới x0 ∈ X metric dX ta có dãy (f (xn ))∞ n=1 hội tụ tới f (x0 ) metric dY 3) Nếu F tập đóng Y tập f −1 (F ) := {x ∈ X : f (x) ∈ F } tập đóng X 4) Nếu V tập mở Y tập f −1 (V ) := {x ∈ X : f (x) ∈ V } tập mở X Chứng minh Hiển nhiên 1) 2) tương đương Chúng ta chứng minh 1) ⇒ 3) F tập đóng Y , f −1 (F ) nghịch ảnh f Nếu xn ∈ f −1 (F ), xn → x0 f (xn ) ∈ F , f (xn ) → f (x0 ) giả thiết f liên tục Nhưng F tập đóng Y nên f (x0 ) ∈ F , x0 ∈ f −1 (F ) chứng tỏ f −1 (F ) đóng X Chứng minh 3) ⇒ 4) V tập mở Y , f −1 (V ) nghịch ảnh f Vì V tập mở nên Y \ V đóng Y Vậy có 3) f −1 (Y \ V ) đóng X Mà f −1 (Y \ V ) = X \ f −1 (V ) nên f −1 (V ) mở Chứng minh 4) ⇒ 1) Cho điểm x0 ∈ X Vì có 4) nên nghịch ảnh ε - lân cận f (x0 ) tập W mở X 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh Dĩ nhiên, x0 ∈ W nên theo tính chất tập mở phải có δ - lân cận x0 nằm trọn W Ảnh δ - lân cận nằm trọn ε - lân cận nói f (x0 ), với x ∈ X cho dX (x, x0 ) < δ thỏa mãn dY (f (x), f (x0 )) < ε Vì ε tùy ý nên f liên tục Chú ý: Ảnh tập đóng (trong X) qua ánh xạ liên tục khơng thiết phải đóng (trong Y ) ảnh tập mở (trong X) không thiết mở (trong Y ) Hệ 2.1 (Sự bảo tồn tính liên tục hàm hợp.) Cho (X, dX ), (Y, dY ) (Z, dZ ) không gian metric 1) Nếu f : X → Y hàm liên tục điểm x0 ∈ X g : Y → Z hàm liên tục f (x0 ) hàm hợp g o f : X → Z xác định g o f (x) = g(f (x)) liên tục điểm x0 2) Nếu f : X → Y hàm liên tục g : Y → Z hàm liên tục g o f : X → Z liên tục Ví dụ 2.1.4 Nếu f : X → R hàm liên tục hàm f : X → R xác định f (x) := f (x)2 liên tục Vì ta có f = g o f , g : R → R hàm liên tục g(x) := x2 2.2 Tính liên tục khơng gian tích Định nghĩa 2.2 Cho hai hàm f : X → Y g : X → Z Tổng trực tiếp chúng f ⊕ g : X → Y × Z xác định f ⊕ g(x) := (f (x), g(x)) lấy giá trị tích Cartesian Y × Z với f (x) tọa độ 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh thứ g(x) tọa độ thứ hai Bổ đề 2.1 Cho hàm f : X → R, g : X → R f ⊕ g : X → R2 tổng trực tiếp chúng R2 không gian metric Euclidean a) Nếu x0 ∈ X, f g hai hàm liên tục x0 f ⊕ g liên tục x0 b) f g hai hàm liên tục f ⊕ g liên tục Bổ đề 2.2 Hàm tổng (x, y) → x+y, hàm hiệu (x, y) → x−y, hàm tích (x, y) → xy, hàm giá trị lớn (x, y) → max(x, y) hàm giá trị nhỏ (x, y) → min(x, y) hàm liên tục từ R2 tới R Hàm thương (x, y) → x/y hàm liên tục từ R × (R\{0}) = {(x, y) ∈ R2 : y = 0} vào R Cho số thực c, hàm x → cx hàm liên tục từ R vào R Hệ 2.2 Cho (X, d) không gian metric, cho hàm f : X → R , g : X → R c số thực a) Nếu x0 ∈ X, f g liên tục x0 , hàm f +g : X → R, f − g : X → R, f g : X → R, max(f, g) : X → R, min(f, g) : X → R cf : X → R liên tục điểm x0 Nếu g(x) = với x ∈ X, f /g : X → R liên tục x0 b) Nếu f g liên tục hàm f + g : X → R, f − g : X → R, f g : X → R, max(f, g) : X → R, min(f, g) : X → R cf : X → R liên tục Nếu g(x) = với x ∈ X, f /g : X → R liên tục Chứng minh Đầu tiên chứng minh a) Vì f g liên tục x0 theo Bổ đề 2.1 ta có: f ⊕ g : X → R2 liên tục x0 Mặt khác từ Bổ đề 2.2 hàm (x, y) → x + y liên tục điểm R2 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh đặc biệt liên tục f ⊕ g(x0 ) Nếu kết hợp hai hàm sử dụng Hệ 2.1 hàm f + g : X → R liên tục Chứng minh tương tự ta có f − g, f g, max(f, g), min(f, g) cf liên tục 2.3 Tính liên tục khơng gian compact Định lý 2.4 (Tính compact bảo toàn qua ánh xạ liên tục) Cho f : X → Y ánh xạ liên tục từ không gian metric (X, dX ) tới không gian metric (Y, dY ) Cho K ⊆ X tập compact X Khi f (K) := {f (x) : x ∈ K} tập compact Chứng minh 2.3.1 Ta có K ⊂ X tập compact X giả sử (yn ) ⊂ f (K) dãy tùy ý Do (yn ) ⊂ f (K) nên với n ∈ N, ∃xn ∈ K : f (xn ) = yn Ta có K tập compact, xn ⊂ K nên ∃(xkn ) ⊂ (xn ), xkn → x ∈ K Vì f liên tục nên f liên tục x nên f (xkn ) → f (x) Do (f (xkn )) ⊂ (yn ), f (xkn ) → f (x) ∈ f (K) Vậy f (K) := {f (x) : x ∈ K} tập compact Mệnh đề 2.1 Cho (X, d) không gian metric compact, f : X → R hàm liên tục Khi f bị chặn f đạt giá trị lớn điểm xmax ∈ X đạt giá trị nhỏ điểm xmin ∈ X Chứng minh: Theo định lý 2.4, ta có f (X) tập compact R Suy f (X) tập đóng bị chặn R Đặt m= inf (f (x)), f (x) ≥ m ∀x ∈ X x∈X Theo tính chất cận tồn (xn ) ∈ X cho: lim f (xn ) = m Vì X tập compact nên tồn dãy (xkn ) ⊂ (xn ) : n→∞ 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh xkn → x ∈ X Mặt khác, f liên tục nên f (xkn ) → f (x) Hiển nhiên f (xkn ) → m Vì giới hạn nên m = f (x) Vậy f đạt giá trị nhỏ x Chứng minh tương tự ta có f đạt giá trị lớn xmax ∈ X Định nghĩa 2.3 (Liên tục đều) Cho f : X → Y ánh xạ từ không gian metric (X, dX ) đến (Y, dY ) f liên tục với ε > tồn δ > cho dY (f (x), f (x )) < ε với x, x ∈ X thỏa mãn dX (x, x ) < δ Nhận xét: Mọi hàm liên tục liên tục hàm liên tục chưa liên tục Nếu X khơng gian compact hai định nghĩa tương đương Liên tục liên tục: Giả sử f (x) liên tục X ta có: Với ε > 0, ∃δ (chỉ phụ thuộc ε) cho ∀x, x ∈ X thỏa mãn: dX (x, x ) = |x − x | < δ ta có dY (f (x), f (x )) = |f (x) − f (x )| < ε Suy ra, với x0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃σ > cho ∀x ∈ X thỏa mãn: dX (x, x0 ) = |x − x0 | < σ ta có dY (f (x), f (x0 )) = |f (x) − f (x0 )| < ε Vậy f (x) liên tục X Ví dụ liên tục chưa liên tục đều: Hàm f (x) =sinx2 hàm sơ cấp nên liên tục R √ Chọn x1 = n.π, x2 = nπ + π2 với (n = 1, 2, 3, ) Ta có: |f (x1 ) − f (x2 )| = | sinx21 − sinx22 | = | sin nπ− sin(nπ + π2 )| = Chọn ε0 = 21 (ε0 < 1), ∀δ > chọn n0 đủ lớn: √ |x1 − x2 | = | n0 π − π n0 π + | = √ n0 π + 25 π n0 π + π < δ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh Khi đó: |f (x1 ) − f (x2 )| = > ε0 ⇒ f (x) = sinx2 không liên tục R Chứng minh: Nếu X khơng gian compact liên tục liên tục , tức (∀ε > 0), (∃δ > 0)(∀x1 , x2 ∈ X, dX (x1 , x2 ) < δ), dY (f (x1 ), f (x2 ) < ε) Ta giả sử f không liên tục X Tức ∃ε0 > 0, ∀δ > 0, ∃x1 , x2 ∈ X : dX (x1 , x2 ) < δ : dY (f (x1 ), f (x2 )) > ε0 Với n ∈ N , ∃xn1 , xn2 ∈ X, dX (xn1 , xn2 ) < n : dY (f (xn1 ), f (xn2 )) > ε0 (∗) Do (xn1 ) ⊂ X mà X tập compact nên tồn (xk1n ) ⊂ (xn1 ) mà xk1n → x ∈ X n → ∞, tức d(xk1n , x) → n → ∞ Ta có: d(xk2n , x) ≤ d(xk2n , xk1n ) + d(xk1n , x) < n + d(xk1n , x) → n → ∞ Suy xk2n → x n → ∞ Do f liên tục X nên f liên tục x ⇒   f (xkn ) → f (x) (2.2)  f (xkn ) → f (x) ⇒ dY (f (xk1n ), f (xk2n )) → ( mâu thuẫn với (*) ) Vậy điều giả sử sai suy f liên tục Ví dụ 2.3.1 Cho (X, dX ), (Y, dY ), (Z, dZ ) không gian metric f : X → Y , g : Y → Z hai hàm liên tục g o f : X → Z liên tục Thật vậy: 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh Vì g liên tục nên với ∀ε > 0, ∃δ > cho dY (f (x), f (y)) < δ ⇒ dZ ((gof )(x), (gof )(y)) < ε với ∀f (x), f (y) ∈ Y Vì f liên tục với δ > trên, ∃ số η > cho dX (x, y) < η ⇒ dY (f (x), f (y)) < δ với ∀x, y ∈ X Vậy với ε > 0, ∃ số η > cho dX (x, y) < η thoả mãn: dZ ((gof )(x), (gof )(y)) < ε với ∀x, y ∈ X Vì gof liên tục X Ví dụ 2.3.2 Hàm f (x) = 2x + liên tục R Thật vậy: ε Ta có |f (x) − f (x)| = |2x + − 2x − 1| = 2|x − x | < ε ⇒ |x − x | < ε Khi đó: ∀ε > 0, ∃δ = > : ∀x, x ∈ R : |x − x | < ε thì: |f (x) − f (x )| < ε Vậy f (x) liên tục R Ví dụ 2.3.3 Hàm f (x) = 2.sinx − cosx R Thật vậy: ∀x1 , x2 ∈ R : |f (x1 ) − f (x2 )| = |2(sinx1 − sinx2 ) − (cosx1 − cosx2 )| = |4.cos x1 − x2 x1 + x2 x1 − x2 x1 + x2 sin + 2.sin sin | 2 2 = 2.|sin x1 − x2 x1 + x2 x1 + x2 |.|2.cos + sin | 2 ≤ 6.|sin x1 − x2 | ≤ 3.|x1 − x2 | 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Do với ε > 0, ∃δ = Vi Thị Ánh ε , ∀x1 , x2 ∈ R : |x1 − x2 | < δ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε Vậy f (x) = 2.sinx − cosx liên tục toàn trục số Định lý 2.5 Cho (X, dX ), (Y, dY ) không gian metric giả sử (X, dX ) khơng gian compact Khi f : X → Y hàm liên tục f liên tục Chứng mimh Nếu f liên tục f liên tục Bây giả sử f liên tục Cho ε > với x0 ∈ X, hàm f liên tục điểm x0 Do tồn số δ(x0 ) > phụ thuộc vào x0 cho dY (f (x), f (x0 )) < ε/2 dX (x, x0 ) < δ(x0 ) Đặc biệt theo bất đẳng thức tam giác ta có dY (f (x), f (x )) < ε, ∀x ∈ B(X,dX ) (x0 , δ(x0 )/2) dX (x, x ) < δ(x0 )/2 Bây xét hình cầu: {B(X,dX ) (x0 , δ(x0 )/2) : x0 ∈ X} Mỗi hình cầu tập mở, hợp tất hình cầu chứa X Vì điểm x0 thuộc X chứa hình cầu B(X,dX ) (x0 , δ(x0 )/2) Do tồn hữu hạn điểm x1 , , xn cho họ hình cầu B(X,dX ) (xj , δ(xj )/2) với j = 1, 2, , n chứa X: X ⊆ ∪nj=1 B(X,dX ) (xj , δ(xj )/2) Đặt δ := minnj=1 δ(xj )/2 Vì δ(xj ) dương có hữu hạn số j nên δ > Lấy x, x hai điểm thuộc X cho dX (x, x ) < δ Vì 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh họ hình cầu B(X,dX ) (x0 , δ(x0 )/2) chứa X nên tồn ≤ j ≤ n cho x ∈ B(X,dX ) (xj , δ(xj )/2) Ta thấy dX (x, x ) < δ, nên có dX (x, x ) < δ(xj )/2 dY (f (x), f (x )) < ε Và tìm số δ cho dY (f (x), f (x )) < ε với dX (x, x ) < δ Từ ta có điều phải chứng minh 2.4 Tính liên tục khơng gian liên thông Định nghĩa 2.4 (Không gian liên thông) Cho (X, d) khơng gian metric.Chúng ta nói X không liên thông tồn hai tập mở khác rỗng rời V W thuộc X cho V ∪ W = X.( Một cách tương đương, X liên thơng có tập thực khác rỗng vừa đóng vừa mở) Ta nói X khơng gian liên thơng khác rỗng không liên thông Quy ước tập ∅ tập đặc biệt vừa liên thơng khơng liên thơng Ví dụ: Xét tập X := [1, 2] ∪ [3, 4] với metric thơng thường Tập khơng gian liên thơng [1, 2]và [3, 4] hai tập mở X Một cách trực quan, tập không liên thông tập tách thành hai tập mở rời nhau, tập liên thông tập tách thành hai tập mở rời Định nghĩa 2.5 (Tập liên thông) Cho (X, d) không gian metric Y tập X Chúng ta nói Y liên thông không gian metric (Y, d|Y )là liên thơng 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh Tập Y không liên thông không gian metric (Y, d|Y ) không liên thông Nhận xét 2.2 Bản chất định nghĩa tập Y liên thông hay không phụ thuộc vào Y mà không phụ thuộc vào không gian X đặt Y X Định lý 2.6 Cho X tập đường thẳng thực R Khi mệnh đề tương đương: 1) X liên thông 2) Với x, y ∈ X x < y đoạn [x, y] liên thông X 3) Tập X đoạn Chứng minh Đầu tiên chứng minh 1) ⇒ 2) Cho X tập liên thông giả sử phản chứng x < y X cho đoạn [x, y] khơng chứa X Khi tồn số thực x < z < y cho z ∈ / X Thật tập (−∞, z) ∩ X (z, ∞) ∩ X chứa X Nhưng tập không rỗng tập mở tương đối X, X tập khơng liên thông nên mâu thuẫn với giả sử Bây chứng minh 2) ⇒ 1) Cho X tập thỏa mãn 2) giả sử phản chứng X tập khơng liên thơng Khi tồn tập khác rỗng V, W tập mở tương đối, rời X cho V ∪ W = X Vì V W tập khác rỗng nên ta chọn x ∈ V y ∈ W Vì V, W rời ta có x = y Khơng tính tổng qt ta giả sử x < y Từ 2) ta có [x, y] chứa X Bây ta xét tập [x, y] ∩ V , tập bị chặn khác rỗng (vì chứa x) Do 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh có giá trị lớn z := sup([x, y] ∩ V ) Dễ thấy z ∈ [x, y] z ∈ X nên z ∈ V z ∈ W Giả sử z ∈ V , z = y ( y ∈ W V, W hai tập rời nhau) Mà V tập mở tương đối X chứa [x, y] có hình cầu B([x,y],d) (z, r) chứa V Bây giả sử z ∈ W z = X ( X ∈ V V, W hai tập rời nhau) Mà W tập mở tương đối X chứa đoạn [x, y] hình cầu B([x,y],d) (z, r) chứa W Nhưng điều trái với giả thiết z lớn [x, y] ∩ V Thật điều mâu thuẫn với X tập khơng liên thông Từ điều 2), 3) tương đương Định lý 2.7 (Tính liên tục bảo tồn tính liên thơng) Cho ánh xạ f : X → R ánh xạ liên tục từ không gian metric (X, dX ) tới không gian metric (Y, dY ) Nếu E tập liên thơng X f (E) tập liên thơng Hệ 2.3 Cho f : X → R ánh xạ liên tục từ không gian metric (X, dX ) tới tập số thực R Cho E tập liên thơng X a, b hai phần tử E Cho y số thực nằm f (a) f (b) tức f (a) ≤ y ≤ f (b) f (a) ≥ y ≥ f (b) tồn số c ∈ E cho f (c) = y Chứng minh Xét trường hợp: f (a) ≤ y ≤ f (b) Chọn x1 = a y1 = b ta có: x1 ≤ y1 f (x1 ) ≤ y ≤ f (y1 ) Lấy m1 trung điểm [x1 , y1 ] Và có f (m1 ) ≤ y 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh f (m1 ) ≥ y Nếu f (m1 ) ≤ y đặt x2 = m1 y2 = y1 Nếuf (m1 ) ≥ y đặt x2 = x1 y2 = m1 Cả hai trường hợp thu kết quả: x1 ≤ x2 ≤ y2 ≤ y1 , y2 − x2 = 1/2(y1 − x1 ), f (x1 ) ≤ y ≤ f (y1 ) f (x2 ) ≤ y ≤ f (y2 ) 32 Tài liệu tham khảo [1] Tarence Tao (2015), Analysis II, Third Edition, Springer [2] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giáo trình giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Bài tập giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật [4] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Topo đại cương độ đo tích phân, NXB Giáo dục [5] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia 33 ... Tập liên thông 15 Hàm liên tục không gian metric 16 2.1 Hàm liên tục 16 2.2 Tính liên tục khơng gian tích 22 2.3 Tính liên tục không gian. .. chất hàm liên tục không gian metric số hướng ứng dụng tính chất Vì chọn đề tài Hàm liên tục không gian metric làm khóa luận tốt nghiệp nhằm hệ thống hóa tính chất hàm liên tục khơng gian metric, ... ) không gian metric 1) Nếu f : X → Y hàm liên tục điểm x0 ∈ X g : Y → Z hàm liên tục f (x0 ) hàm hợp g o f : X → Z xác định g o f (x) = g(f (x)) liên tục điểm x0 2) Nếu f : X → Y hàm liên tục