Không gian xạ ảnh Pn

A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bộ mơn Hình học xạ ảnh học phần nối tiếp sau học phần Hình học Afin hình học Ơclit Mơn học chủ yếu đề cập đến tính chất xạ ảnh, tính chất bất biến qua phép biến đổi xạ ảnh với mục đích giúp cho sinh viên có nhìn tổng qt tốn hình học phẳng liên quan đến tính đồng quy, thẳng hàng Đồng thời, Hình học xạ ảnh giúp có phương pháp suy luận, phương pháp giải sáng tạo số tốn thuộc chương trình phổ thơng n Khơng gian xạ ảnh P nằm Hình học xạ ảnh học vào học vào học kỳ năm thứ ba Sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội Trong phần đưa khái niệm bản: Định nghĩa không gian xạ ảnh mơ hình nó, phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình m – phẳng, tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép chùm bốn siêu phẳng nguyên tắc đối ngẫu không gian xạ ảnh Đây nội dung quan trọng, mở đầu cho việc hình thành khái niệm hình học xạ ảnh sở cho việc giải tốn hình học xạ ảnh sau Với mong muốn tìm hiểu kĩ không gian xạ ảnh khái niệm liên quan, gợi ý thầy hướng dẫn Đinh Văn Thủy, định nghiên cứu đề tài: n “Khơng gian xạ ảnh P ” Mục đích nghiên cứu - Định nghĩa khơng gian xạ ảnh tính chất không gian xạ ảnh - Khái niệm phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình m – phẳng, tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng chùm bốn siêu phẳng Nguyên tắc đối ngẫu không gian xạ ảnh - Các dạng tập liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống kiến thức không gian xạ ảnh việc xây dựng khái niệm liên quan - Nghiên cứu tập liên quan đến định nghĩa không gian xạ ảnh, tính chất khơng gian xạ ảnh Các dạng tập tọa độ xạ ảnh, phẳng, tỉ số kép phát biểu đối ngẫu Đối tượng phạm vi nghiên cứu n - Đối tượng: tốn liên quan đến khơng gian xạ ảnh P , phẳng, hệ điểm độc lập, tọa độ xạ ảnh, xây dựng mơ hình khơng gian xạ ảnh tính chất chúng Các dạng tốn tỉ số kép, hàng điểm điều hòa, chùm siêu phẳng điều hòa - Phạm vi nghiên cứu: số lớp tốn hình học xạ ảnh Ý nghĩa khoa học thực tiễn Giúp cho sinh viên có tài liệu tham khảo việc xây dựng ví dụ khơng gian xạ ảnh số tính chất nó, giúp cho việc học tập mơn hình học xạ ảnh tốt B NỘI DUNG Chương 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 1.1 Khơng gian xạ ảnh phẳng 1.1.1 Định nghĩa Cho V khơng gian vectơ có dim V > trường Ta kí hiệu Vˆ tập hợp không gian chiều V Cho P tập hợp tùy ý Nếu có song ánh: : Vˆ → P 〈x⃗〉  (〈x⃗〉)= M ba (P,V, )được gọi khơng gian xạ ảnh V:Không gian vectơ liên kết với không gian xạ ảnh Mỗi phần tử P gọi điểm (xạ ảnh) Vectơ x⃗ ≠ mà (〈 x⃗〉 )= M gọi vectơ đại diện M, thường kí hiệu M¯⃗ Do đó, ∀y⃗ = kx⃗(k ≠ 0)cũng vectơ đại diện M Nếu dim V = n + ba (P,V, ) gọi khơng gian xạ ảnh n chiều Kí hiệu P n Không gian xạ ảnh trường số thực R gọi không gian xạ ảnh thực Kí hiệu: P n (R) Khơng gian xạ ảnh trường số phức C gọi không gian xạ ảnh phức Kí hiệu: P n (C) 1.1.2 hẳng 1.1.2.1 Định nghĩa Cho (P,V, )là không gian xạ ảnh Gọi W khơng gian vectơ V có dim W > Khi α = (Wˆ ) gọi phẳng xạ ảnh α = {M\M¯⃗ ∈ W} Nếu dim W = m + α gọi m − phẳng Như vậy, điểm Pn − phẳng − phẳng đường thẳng − phẳng mặt phẳng (n − 1)− phẳng P n gọi siêu phẳng 1.1.2.2 Phẳng tổng, phẳng giao Cho α1 ,α2 phẳng xạ ảnh, αi = (Wˆ i ) (i = 1,2) Khi α1 ∩ α2 = ∅  W1 ∩ W2 = {0¯⃗} Do α1 ∩ α2 ≠ ∅ α1 ∩ α2 = (W1ˆ∩ W2 ) phẳng Nó gọi phẳng giao α1 α2 α = (W1ˆ+ W2 ) phẳng có số chiều bé chứa α1 ,α2 gọi phẳng tổng α1 α2 Kí hiệu α = α1 + α2 Tương tự xây dựng khái niệm: + Phẳng giao họ phẳng phẳng lớn nằm phẳng họ + Phẳng tổng họ phẳng phẳng bé chứa tất phẳng họ 1.1.2.3 Định lý số chiều Định lý: a) ỵ dim( + ỵ)= dim + dimỵ dim( ỵ) b) ỵ = dim( + ỵ)= dim + dimỵ + Chng minh: + ỵ l phng cú không gian liên kết W +Z α = (W ), ỵ = (Z ) dim( + ỵ )= dim(W + Z )+ a) ỵ ≠ ∅ dim(W + Z ) = dim W + dim Z − dim(W ∩ Z )  dim (α + ỵ)+ = (dim + 1)+(dimỵ + 1) [dim( ỵ )+ 1] dim ( + ỵ ) = dim + dimỵ dim( ỵ ) b) ỵ = dim(W + Z ) = dim W + dim Z  dim (α + þ )+ = dimα + + dimþ + dim ( + ỵ ) = dim + + dimỵ + Phn chng cú iu ngược lại a), b) 1.1.3 điểm độc lập 1.1.3.1 Định nghĩa    Cho m điểm A , A ,, A P n Nếu A , A ,, A độc lập tuyến m   m tính hệ điểm cho gọi hệ điểm độc lập Ví dụ: Hệ hai điểm phân biệt độc lập     độc lập tuyến tính A  B  A  k B ,k  A, B   Hệ ba điểm không thẳng hàng (cùng thuộc đường thẳng) độc lập       độc lập tuyến tính C  AB  C  A, B  C , A, B   1.1.3.2 Định lý Định lý 1: Qua m  điểm độc lập có m  phẳng Chứng minh: Thật vậy, cho hệ {AO ,… ,Am } độc lập   W = Ai (i = 0¯¯,¯m¯ ) không gian vectơ m + chiều α= (Wˆ ) (i = 0¯¯,¯m¯ ) m − phẳng qua Ai v Ai W Nu ỵ = (Z) cng m − phẳng qua AO ,A1 ,… ,Am   Ai ∈ Z,i = 0¯¯,¯m¯   W = Ai ⊂ Z (1) dim W = m + = dim Z (2) Từ (1) (2) suy W = Z Định lý chứng minh Định lý 2: Hệ r điểm (r ≥ 2) độc lập chúng không thuộc (r – 2) – phẳng Chứng minh: Giả sử M1 ,M2 ,… Mr r điểm không gian xạ ảnh P n , có đại diện r vectơ ¯1⃗, ¯2⃗,… ¯r⃗của V n+ (r ≥ 2)  , m độc lập tuyến tính nên Hệ điểm Mi độc lập vectơ mi không thuộc không gian vectơ r – chiều V n+ 1, tức hệ điểm Mi không nằm (r – 2) – phẳng Định lý chứng minh 1.1.4 Định lý Đờ-dác Định lý: Trong không gian xạ ảnh cho điểm A,B,C,A’,B’,C’trong khơng có ba điểm thẳng hàng Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương: a Ba đường thẳng AA’,BB’,CC’đồng quy b Giao điểm cặp đường thẳng AB A’B,’BC B’C,’CA C’A’là ba điểm thẳng hàng Chứng minh: (a ⇒ b) Gọi S = AAr ∩ BB r ∩ CCr S ∈ AAr ⇒ S¯⃗= λ1 A¯⃗+ μ1 B¯⃗ Do vectơ đại diện sai khác thừa số khác Có thể coi rằng: S¯⃗= A¯⃗+ A¯⃗′ Tương tự: S¯⃗= B¯⃗+ B¯⃗′= C¯⃗+ C¯⃗′ B A’ Suy ra: A¯⃗+ A¯⃗′= B¯⃗+ B¯⃗′ ⇒ A¯⃗− B¯⃗= B ¯′⃗− A¯⃗′= M¯⃗ M ⇒ M¯⃗là vectơ đại diện P C M = AB ∩ AB′ N B Và B¯⃗+ B¯⃗′= C¯⃗+ C¯⃗′ A C’ ⇒ B¯⃗− C¯⃗= C ¯ ⃗ ¯⃗ ′− B ′= N¯⃗ S ⇒ N¯⃗là vectơ đại diện N = BC ∩ B′C′ ⇒ C¯⃗+ C¯⃗′= A¯⃗+ A¯⃗′ ⇒ C¯⃗− A¯⃗= ¯′⃗− C¯⃗′= P¯⃗ ⇒ P¯⃗ vectơ đại diện P = CA ∩ C′A.′Ta có: M¯⃗+ N¯⃗ + P¯⃗= 0¯⃗ ⇒ M ,N ,P thẳng hàng (b ⇒ a) Xét hệ điểm {B,B r,M ,C,Cr,P} Với M = AB ∩ AB r,P = AC ∩ A′C′ Do BC,B’C,’MP đồng quy N nên theo chứng minh phần ta suy ra: BC ∩ B′C,′B rM ∩ CrP,MB ∩ PC thẳng hàng  AA’,BB’,CC’đồng quy Định lý chứng minh 1.2 Mơ hình khơng gian xạ ảnh 1.2.1 nh tắc (mơ hình vectơ): Cho V khơng gian vectơ n + chiều P = Vˆ phép đồng Vˆ Do song ánh nên: (Vˆ ,V,idVˆ )là không gian xạ ảnh n chiều 1.2.2 nh bó Giả sử A n+ khơng gian afin n + chiều có V n+ Lấy ∈ A n+ Tập hợp đường thẳng qua gọi bó đường thẳng tâm , kí hiệu BO Xét ánh xạ :Vˆ n+ → B O 〈x⃗〉  Đường thẳng qua có phương 〈x⃗〉 d = (0 ,〈x⃗〉) song ánh nên (B O ,V n+ , )là không gian xạ ảnh n chiều 1.2.3 nh afin Lấy siêu phẳng A n ⊂ A n+ 1, có V n Gọi A˜n = A n ∪ Vˆ n Gọi B O bó đường thẳng tâm với ∉ A n Xét ánh xạ j:B O → A˜n d ∩ A n d ∦ A d { d⃗ d ∥ A n n jlà song ánh song ánh: r = j với mơ hình bó 1.2.2 ′là :Vˆ n → A˜n r Suy ra: D ≡ G Bài 25: Trong P2 cho hai đường thẳng phân biệt d d′cắt điểm A,ba điểm phân biệt B ,C,D d, ba điểm phân biệt B′,C′,D ′ d′ Chứng minh cần đủ để B B r,CC r,DD ′ đồng quy (ABCD ) = (ArB rC rD r) Giải: Đặt = BB ′∩ CC′ Giả sử 0D cắt d′tại D ′′thì (ABCD ) = (ArB rC rD rr ) Cần đủ để B B r,CC r,DD ′đồng quy DD ′đi qua , tức D ≡ D ′,′hay (ABCD ) = (ArB rC rD r) D C d B A B’ C’ D’ d’ O Bài 26: Trong P2 cho bốn đường thẳng có phương trình: (α):xO − x1 + 2x2 = (ỵ):3x1 + x2 = (y):xO + 2x1 + 3x2 = (ð):3x1 + 7x2 = Chứng tỏ chúng thuộc chùm đường thẳng Tính tỉ số kép bốn đường thẳng theo thứ tự cho Giải : xO − x1 + 2x2 = Xét hệ: {3x1 + x2 = xO + 2x1 + 3x2 = xO = ⇔ {x1 = ⇒ I (7,1,− 3) x2 = − I thỏa mãn phương trình (ð)⇒ Bốn đường thẳng cho thuộc vào chùm đường thẳng có tâm I(7,1,− 3) Áp dụng cơng thức tính t s kộp cho: = (1, 1,2),ỵ = (0,3,1), y = (1,2,3),ð = (3,0,7) Ta được:    2 1 : 1  3 3 Bài 27: Xét mục tiêu {SO ,S1 ,S2 ,S3 ;U }của không gian P điểm M(aO ,a1 ,a2 ,a3 ) Tìm tỉ số kép bốn mặt phẳng: 〈SO ,S1 ,S2 〉, 〈SO ,S1 ,S3 〉, 〈SO ,S1 ,U 〉và 〈SO ,S1 ,M 〉 Giải: Xét mục tiêu xạ ảnh: {SO ,S1 ,S2 ,S3 ;U },ta có: SO = (1,0,0,0) S1 = (0,1,0,0), S2 = (0,0,1,0), S3 = (0,0,0,1), U = (1,1,1,1) Gi = SO ,S1 ,S2 ,ỵ = 〈SO ,S1 ,S3 〉,y = 〈SO ,S1 ,U 〉,ð = 〈SO ,S1 ,M 〉 Phương trình mặt phẳng α là: x0 x1 x2 0   x3  0 0 x3 0 Phng trỡnh ca mt phng ỵ là: x0 x1 x2 0   x2  0 0 0 x3 0 Phương trình mặt phẳng y là: x0 x1 x2 0   x2  x3  0 1 1 x3 0 Phương trình mặt phẳng ð là: x0 a0 x1 x2 0 a1 a2 x3   a3 x2  a2 x3  0 a3 Từ ta cú: (0,0,0,1),ỵ(0,0,1,0),y(0,0,1, 1),(0,0,a3 , a2 ) Ta cú: Bn mt phng ,ỵ,y v cựng cha ng thng SO S1 nên chúng thuộc chùm mặt phẳng có giá SO S1 Cú: y = ỵ , = a3 ỵ − a2 α a 1 a     :  a3 a3 Bài 28: Trong P cho hai đường thẳng phân biệt a,b đường điểm M không nằm chúng Một đường thẳng thay đổi qua M cắt a,b A,B Cho số k mà k ≠ 0,k ≠ Tìm quỹ tích điểm N cho (ABMN ) = k Giải: Đặt = a ∩ b,m đường thẳng 0M Qua dựng đường thẳng n cho (abmn)= k Nếu N ∈ n,N ≠ MN cắt a,b A,B a A (ABMN )= k Ngược lại, N điểm khác M m cho có (ABMN ) = k (trong O B A = a ∩ MN ,B = b ∩ MN ) b (0A ,0B ,0M ,0N ) = k Do N ∈ n N n Vậy quỹ tích N đường thẳng n trừ điểm Bài 29: Trong P cho ba điểm A,B ,C không thẳng hàng ba điểm P,Q ,R BC ,CA,AB mà không trùng với A,B ,C Gọi E điểm không thuộc AB ,BC ,CA Đặt Ar = AE ∩ BC ,B r = BE ∩ CA,C r = CE ∩ AB Chứng minh rằng: a Cần đủ để AP,BQ ,CR đồng quy là: (BCP Ar).(CAQ B r).(ABR C r) = b Cần đủ để P,Q ,R thẳng hàng là: (BCP Ar).(CAQ B r).(ABR C r) = − Giải: Chọn mục tiêu (A,B ,C,U )thì A(1,0,0),B (0,1,0), A C (0,0,1),U (1,1,1), P (0,a1 ,a2 ),Q (b2 ,0,b1 ), R (c1 ,c2 ,0),Ar(0,1,1) Q R Áp dụng cơng thức tính tỉ số kép ta được: a  BCPA'   , CAQB '  a1 b2 ,  ABRC '  b1 c2 C’ B’ C c1 A’ Ta lại có: AP = (0,− a2 ,a1 ), P BQ = (b1 ,0,− b2 ), CR = (− c2 ,c1 ,0) a Cần đủ để AP,BQ ,CR đồng quy là: b c2 a2 c1 a1  a1b1c1  a2b2c2   a1b1c1  a2b2c2 b2 a1 b1 = ⇔ (BCP Ar).(CAQ r).(ABR r)= ⇔ a c1 B C b2 c2 50 B b Cần đủ để P,Q ,R thẳng hàng là: a1 b c1 c2 a2 b ab c 1 1 ab c 0 a2 b2 c2  1 a b c 2 50 1 ⇔ (BCP Ar).(CAQ B r).(ABR C r) = − Bài 30: Trong P cho ba điểm độc lập A,B ,C ba điểmP,Q ,R BC ,CA,AB mà không trùng với A,B ,C Một đường thẳng d không qua A,B ,C cắt BC ,CA,AB Arr,B rr ,CC′ Chứng minh rằng: a Cần đủ để P,Q ,R thẳng hàng là: (BCP Arr).(CAQ B rr).(ABR C rr)= (Định lý Menelaus) b Cần đủ để AP,BQ ,CR đồng quy là: (BCP Arr).(CAQ B rr).(ARC rr)= − (Định lý Ceva) Giải: A Q R d C’’ E A’’ B A’’ ’ P C Đặt U = B B rr∩ CC rr,Arrr= AE ∩ BC Xét hình bốn đỉnh tồn phần ABCU ta (BC ArrArr)r = − Áp dụng Bài 29 suy ra: a Cần đủ để P,Q ,R thẳng hàng là: 51 (BCP Arr)r.(CAQ B rr).(ABR C rr)= − ⇔ (BCP Arr)r.(BC ArrArr)r.(CAQ B rr).(ABR C rr)= − (mà (BC ArrArr)r = − 1) ⇔ (BCP Arr).(CAQ B rr).(ABR C rr) = b Cần đủ để AP,BQ ,CR đồng quy là: (BCP Arr)r.(CAQ B rr).(ABR C rr)= ⇔ (BCP Arr).(BC ArrArr)r.(CAQ B rr).(ABR C rr)= (mà (BC ArrArr)r = − 1) ⇔ (BCP Arr).(CAQ B rr).(ARC rr) = − 2.6 Nguyên tắc đối ngẫu Bài 31: Phát biểu định lý đối ngẫu định lý Đờ-dác P3 Giải: Định lý: Trong P 3cho hai ba điểm (A,B ,C ),(Ar,B r,C r) khơng có ba điểm thẳng hàng Điều kiện cần đủ để ba đường thẳng AAr,B B r,CC r đồng quy ba cặp đường thẳng (AB ,ArB r),(BC ,B rC r), (CA,C′A′)giao ba điểm thẳng hàng  Đối ngẫu: Trong P cho hai b ba mt phng (,ỵ,y),(,ỵ,y ′) khơng có ba mặt phẳng chứa đường thẳng Điều kiện cần đủ để ba ng thng: d = ,d1 = ỵ ỵ r,d2 = y ycựng thuc mt mt phng l ba cp ng thng: ( ỵ, r ỵ r),(ỵ y,ỵ r yr), (y α,y′∩ α′)nằm ba mặt phẳng chứa đường thẳng chung Bài 32: Hãy phát biểu mệnh đề đối ngẫu mệnh đề sau: “Trong P2 cho bốn đường thẳng a,b,c,d qua điểm O Một đường thẳng m không qua O cắt a,b,c,d A,B ,C,D tỉ số kép (ABCD )khơng phụ thuộc vào m” Giải: “Trong P cho bốn điểm A,B ,C,D thuộc đường thẳng o Một điểm M ∉ o nối với A,B ,C,D tạo thành đường thẳng a,b,c,d tỉ số kép (abcd)khơng phụ thuộc vào điểm M” 2.7 Bài tập đề nghị hướng dẫn giải 2.7.1 Đề Bài 1: Trong P2 với mục tiêu cho trước a) Tìm x để ba điểm A(aO ,a1 ,x ),B (bO ,b1 ,b2 ),C (cO ,c1 ,c2 )thẳng hàng b) Tìm u để ba đường thẳng xO − x1 + x2 = 0,xO − x1 − x2 = 0, 2xO − ux1 + x2 = đồng quy Bài 2: Viết công thức đổi tọa độ P2 trường hợp sau đây: a) Từ mục tiêu {SO ,S1 ,S2 ,U } sang mục tiêu {S2 ,SO ,S1 ,U } b) Từ mục tiêu {SO ,S1 ,S2 ,U } sang mục tiêu {SO ,S1 ,S2 ,U ′} biết tọa độ điểm U ′đối với mục tiêu thứ U r = (aO ,a1 ,a2 ) c) Từ mục tiêu {SO ,S1 ,S2 ,U } sang mục tiêu {U ,SO ,S1 ,S2 } Bài 3: Trong P cho mục tiêu xạ ảnh {SO ,S1 ,S2 ,U }cho điểm: r r r r SO = (1,− 1,0,0);S1 = (0,1,1,1);S2 = (0,0,1,− 1);S3 = (1,0,0,− 1) Chứng minh rằng: {S′O ,S′1 ,S′2r,S3 ,U } mục tiêu xạ ảnh Tìm ma trận chuyển từ mục tiêu thứ sang mục tiêu thứ hai 2.7.2 ướng dẫn giải Bài 1: a) Để A,B ,C thẳng hàng cần đủ là: a0 a2 b2  c2 a1 b0 b1 b1 c0 b2 b0 b2 c1 Suy Còn b0 b1 c0 c1 b0 b1 c0 c1  x  0 c c2 b1 b0 c1 c0 a 0 c2 c0 b1 b0 c1 c0 a1 x thỏa mãn b) Để ba đường thẳng cho đồng quy cần đủ là: 1 1 u 1  hay u  1 Bài 2: a) kxO = x′1 {kx1 = x′2 kx2 = x′O kxO = aO x ′O b) {kx1 = a1 x′1 kx2 = a2 x′2 (k ≠ 0) (k ≠ 0) c) kxO = x′O − x ′1 {kx1 = x′O − x ′2 kx2 = x′O (k ≠ 0) Bài 3: Do e⃗= ¯O⃗+ ¯1⃗− ¯2⃗+ ¯3⃗ ⇒ {S′i ,U }i= O mục tiêu xạ ảnh  x0  x '0  2x '3 (  0)  x1  x '0  4x '3 Công thức đổi tọa độ là:  x  4x '  x '    x  4x '  x '  2x '  C KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm cho kiến thức không gian xạ ảnh, đồng thời thấy phong phú, lý thú tốn học Đặc biệt khóa luận nghiên cứu cách khái quát định nghĩa không gian xạ ảnh, xây dựng mô hình, tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng chùm bốn siêu phẳng Bên cạnh nguyên tắc đối ngẫu không gian xạ ảnh Hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn sinh viên quan tâm đến mơn hình học xạ ảnh nói riêng hình học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp q báu thầy cô bạn sinh viên Sinh viên Ngô Mạnh Hùng D TÀI LIỆU THAM KHẢO Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đơ, Tạ Mân (1984), Bài tập hình học cao cấp tập II, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Văn Như Cương (1999), Giáo trình hình học xạ ảnh, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Văn Như Cương, Kiều Huy Luân (1978), Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Phạm Bình Đơ (2002), Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Mộng Hy (2008), Bài tập Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Cảnh Tồn (1979), Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội ... (P,V, ) gọi không gian xạ ảnh n chiều Kí hiệu P n Khơng gian xạ ảnh trường số thực R gọi không gian xạ ảnh thực Kí hiệu: P n (R) Khơng gian xạ ảnh trường số phức C gọi không gian xạ ảnh phức Kí... (K ) 1.3 Tọa độ xạ ảnh 1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh Cho không gian xạ ảnh Pn liên kết K – không gian vectơ V n+ Một tập hợp có thứ tự n + điểm P n : {SO ,S1 ,… ,Sn ;U } gọi mục tiêu xạ ảnh n + n + điểm... ánh: : Vˆ → P 〈x⃗〉  (〈x⃗〉)= M ba (P,V, )được gọi không gian xạ ảnh V :Không gian vectơ liên kết với không gian xạ ảnh Mỗi phần tử P gọi điểm (xạ ảnh) Vectơ x⃗ ≠ mà (〈 x⃗〉 )= M gọi vectơ đại diện