BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HOC VINH
LÊ HOÀI THANH
ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI
VỚI BỌI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XA ANH
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HOC VINH
LÊ HOÀI THANH
ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI
VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYÉT SO
MA SO: 60 46 05
Người hướng dẫn khoa học TS: MAI VĂN TƯ
Trang 3MỤC LỤC
Trang
DANH MỤC KÍ HIỆU
8981962710117 1 Chung 1 :M6t s6 kién thite co DAI csssssssssssessessecstssscssssscsscssceseesscssees 5 1.1 Một số khai niém vé duéng cong chinh hinh ceecceessseeesssseessseeessseeees 5
1.2 Cac ham co ban cua ly thuyét Nevanlinna- Cartan - 6 Chương 2: Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh
Hình JD ỨC 5 < << 2 9 TH TH 00 12
Trang 4DANH MỤC KÍ HIỆU
là trường đóng đại số với đặc số 0
P“(W) là không gian xạ ảnh n chiều trên trường W T,() là hàm đặc trưng f là hàm phân hình N,ứ,D) hàm đếm kể cả bội N"(r,D) ham dém béi cat cut , trong dé M là chỉ số bội cắt cụt m,(r,D) ham xấp xỉ của ƒ
n,ữ.D) là số không điểm của Qof trong đĩa |z|<r, kể cả bội
n}'(r,D) la sỐ các không điểm của Qof trong dia |z|<r, bội cắt cụt bởi một số
nguyên dương M ổ,(Ð)_ là số khuyết
ổ/'(Ð) là sỐ khuyết cắt cụt của dirong cong f két hợp với siêu mặt D, trong do
Trang 5LOI NOI DAU
Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna được đánh giá như là một trong những
thành tựu sâu sắc và dep dé của toán học trong thế kỷ XX Được hình thành từ
những năm đầu của thế kỷ XX, lý thuyết Nevanlinna bắt đầu bằng những công
trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khác nhau của toán học Lý thuyết phân bồ giá trị và sự tổng quát hoá Định lý cơ bản của đại số, chính xác hơn đó lý thuyết nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình trên C Trung tâm lý thuyết là hai định lý co bản Dinh lý cơ bản thứ
nhất, một cách viết khác của công thức Poisson-Jensen, cho thấy quan hệ giữa hàm đặc trưng 7,() của hàm phân hình / với hàm đặc trưng 7,(r,a) cua ham
Định lý cơ bản thứ hai thể hiện những kết quả đẹp và sâu sắc nhất của lý
—=q
thuyết, được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau: Quan hệ giữa hàm đặc trưng
với các hàm đếm, các hàm đếm bội cắt cụt, các hàm xấp XỈ,
Kí hiệu K là một trường đóng đại số, có đặc số 0, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, # là C hoặc K, P”(W) là không gian xạ ảnh n chiều trên trường J Một van đề tự nhiên được các nhà toán học đặt ra là: Nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna chiều cao, tức là xét phân bó giá trị cho ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp trên W Đầu tiên phải kế tới những công trình của H.Cartan công bố vào năm 1933 Về sau, việc tiếp tục phát triển lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ
chỉnh hình và nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết đó trong các lĩnh vực khác
nhau của toán học phát triển mạnh mẽ và thu hút được sự quan tâm của nhiều
Trang 6Về đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính /ƒ:C-› P”“(C) và „siêu
minh: Với mỗi z >0, với mỗi z>0 đủ lớn năm ngoài một tập có độ đo Lebesgue
hữu hạn
(@-n-1-£}Ƒ,(r)< » Nr(Œr,H,)+0() i
Két qua trén cua H Cartan là một dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt
cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào P”(C) không suy biến tuyến tính kết hợp với các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Công trình này của ông được đánh giá hết sức quan trọng, nó mở ra một hướng nghiên cứu mới trong việc phát triển lý
thuyết phân bố giá trị là nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình mà
ngày nay gọi là “ Lý thuyết Nevanlinna- Cartan” Các kết quả nghiên cứu của các nhà toán học về lý thuyết này trong thời gian gần đây tập trung vào hai vấn
đề:
1 Xây dựng các dạng Định lý cơ bản thứ hai với mục tiêu là các siêu mặt cố định hoặc đi động, bằng các thiết lập quan hệ giữa các hàm đặc trưng Nevanlinna- Cartan với các hàm xấp xỉ, hàm đếm được hay hàm đếm bội cắt cụt Từ đó suy ra các kết quả về quan hệ sỐ khuyết
2 Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna- Cartan trong các van dé khác nhau của toán học, chắng hạn, nghiên cứu sự suy biến của các
đường cong đại số, xây dựng các tập xác định duy nhất cho ánh xạ phân hình, Một ứng dụng quan trọng của Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt trong lý
Trang 7Smiley, H H Khoai, G Dethloff, D D Thai, C C Yang, A Boutabaa, W Cherry, M Ru va nhiều nhà toán học khác Năm 1926, R Nevanlinna chứng
minh: Hai ham phan hình phức khác hằng /, ø thỏa mãn ƒ`@)=g '(4)3 Ì=12, 5
thi f = g Nam 1975 H Fujimoto mo rong két qua nay cua Nevanlinna cho
ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức, cho thấy tồn tại các tập xác định duy nhất kể cả bội gồm 3ø+2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát cho họ các ánh xạ phân hình phức không suy biến tuyến tính Năm1983, L.Smeley chứng minh một
kết quả về sự xác định duy nhất của ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính bởi ảnh ngược của một họ hữu hạn các siêu phẳng, vân đề đó được H Fujjmoto
nghiên cứu lại năm 1998 Năm 2006, G Dethloff và T V Tan xem xét vấn dé tương tự cho trường hợp siêu phẳng di động Năm 2002 và 2003, V H An và Ð
Q Manh đưa ra một số điều kiện đại số của tập hợp xác định điều kiện duy nhất không kế bội cho các ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức và không Acsimet trong trường hợp siêu phẳng có định Năm 2008, bằng việc sử dụng định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình của An-
Phuong, Dulock và Ru đã chứng minh định lý duy nhất cho đường cong chỉnh hình trong trường hợp siêu mặt Thời gian gần đây các nhà toán học tập trung
vào việc nghiên cứu các vân đề: Tìm các đặc trưng của tập xác định duy nhất và
các dạng tập xác định duy nhất với số phần tử ít nhất có thê Chú ý rằng, hầu hết
những chứng minh của các kết quả về tập xác định duy nhất đều dựa vào dạng
Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt
Sự lựa chọn đề tài: “Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong
Trang 8Luận văn trình bày một số dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho
đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức và không Acsimet Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương:
Chương I1: Trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến hàm chỉnh
hình trong lý thuyết phân bó giá trị Nevanlinna- Cartan
Chương 2: Tìm hiểu Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường
cong chỉnh hình phức Đặc biệt, Định lý 2.1.6 là một dạng định lý cơ bản thứ hai
với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào P“(C) kết hợp với các siêu mặt cô định ở vị trí tổng quát trong P“(C), cho thấy một quan hệ giữa hàm đặc
trưng 7/0) của đường cong chỉnh hình ƒ:C—› P”(C) với các hàm đếm bội cắt cụt N7 ,D), trong đó chúng tôi chỉ ra một cách tường minh chỉ số bội cắt cụt
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, đưới sự hướng dẫn của
TS Mai Văn Tư Nhân địp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Văn
Tư đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập nghiên cứu
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này
Mặc dù đã có gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn
đọc đề luận văn được hoàn thiện hơn
vinh, tháng 9 năm 2012
Trang 9CHƯƠNG 1
MOT SO KIEN THỨC CƠ BẢN
Cho hàm chỉnh hình /:C->C, điểm z„eC được gọi là không điểm bội k
cua f néu ton tại một ham chỉnh hình A(z) kh6ng triét tiéu trong mét lan can U của z, sao cho trong lan can U dé ham f duoc biểu diễn dưới dạng
ƒ(z) =(z~zu)` (2)
Nghia la f(z,) = f/(Z)) =.= fo '(z)) = 0 va f(z) #0 VOI ze C, ta ki hiéu:
k nếu z là không điểm bội # của /,
đ, = ,
ord ,(2) § nếu f(z)#0
Giả sử ƒ là một hàm phân hình, khiđó / = z , trong đó ƒ/¡./; là các hàm chỉnh hình không có không điểm chung Số phức z,„ gọi là không điểm
bội ¿ của / nếu z, là không điểm bội k của ƒ, z, gọi là cực điểm bội £của / nếu z„ là không điểm bội # của /,
1.1 Một số khái niệm về đường cong chính hình
1.1.1 Định nghĩa
Một ánh xạ chỉnh hình từ C vào P“(C) hay còn gọi là đường cong chỉnh
hình trong không gian xạ anh P"(C) được định nghĩa là ánh xạ:
f=(f,3 " :/,):C Pˆ(€) Z>(/,(): /
Trang 10Trong đó, /,,0 < j < m, là các hàm nguyên trên C Nếu đ,,j=o, n, là các đa thức thì ƒ được gọi là đường cong đại số
1.1.2 Định nghĩa
Đường cong chỉnh hình /:C-›P“(C) được gọi là sưy biến tuyến tính nêu ảnh của / chứa trong một da tạp tuyến tính thực sự nào đó của không gian xạ ảnh P”(C) Đường cong / được gọi là sy biến đại số nêu ảnh của / chứa trong
một đa tạp con đại số thực sự nào đó của P”(C) 1.1.3 Định nghĩa
Cho đường cong chỉnh hình ƒ =( /,):C->P”(Q_ trong đó /¿ /, là các
hàm nguyên, không có không điểm chung trên C Ta gọi ánh xạ
ý =Œn /,):C—>C”"\{0} là một biểu diễn tối giản của ƒ
Mệnh đề sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa, chúng tôi sử dụng để chứng minh hai đường cong chỉnh hình đồng nhất bằng nhau
1.1.4 Mệnh đề
Cho ƒ,g:C->P'(C), là hai đường cong chỉnh hình khác hằng và (forest, )s (Soon) lần lượt là các biểu diễn tối giản của ƒ,g.Khi đó ƒ = g nếu và chỉ nếu ⁄2g,= ƒ,g, với mọi cặp chỉ số phân biệt ¡, j e (0,1 ,n)
Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng, hàm xấp xỉ, hàm đếm được của đường cong kết hợp với các siêu mặt có định Cho đường cong chỉnh hình
ƒ:C->P"(C) và các biểu diễn tối giản (7 /,) của /
1.2 Các hám cơ bản của lý thuyết Nevanlinna - Cartan
1.2.1 Định nghĩa Hàm 7, => fi f(re”)|| dO
Trang 11Được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna- Cartan ( hay hàm độ cao Cartan) của /, trongđó |ƒ/(z)|= max | /2(2)|, cà Jf)
Giả sử D là một siêu mặt (có định) bậc Z trong P”(C), xác định bởi đa thức
thuần nhất 9
1.2.2 Định 2 inh nghia Ham m ,(r,D) =m (r,Q) = 5 flog jown(re" nghĩa Hà _ 11/0
0
Được gọi là hàm xáp xỉ của / kết hợp với siêu mặt D
Ki hiéu n,(r,D) là số không điểm cia Qof trong dia |z|<r, kể cả bội, n(r,D) là số các không điểm của Øoƒ trong dia |z| <r, bội cắt cụt bởi một số nguyên dương 1⁄ Nghĩa là n,(r,D) = Yordy,, (z) zeC,|z<r ny (r,D)= Ð_min{ M,ord,,„„ (z)} zeC,lz|<r Ta kí hiệu n,(0,D) = ordu„„ (0), n™ (0,D) = min{ M,ordg,, (0)} 1.2.3 Dinh nghia Ham
N,(r,D) = N,(r,Q) = "n,(t,D)—n,(0,D POP arn (0,D)lo8r 0 Được gọi là hàm đếm kể cả bội và hàm ny (t,D)—n; (0,D) NM (r,D)= Ni (r,0) = f dt +n" (0,D)logr 0
Được gọi là hàm đếm bội cắt cụt bởi M của đường cong ƒ kết hợp với siêu
Trang 12đặc biệt, nếu M =I, ta viết Nạ(r,D) thay cho N}(r,D) va goi la ham dém không
kể bội
Với mỗi số nguyên dương #, kí hiệu a,(z,D,<£) là số các không điểm có
bội nhỏ hơn hay bằng # của Qo/ trong đĩa |z|<r và n„ứ,D,>k)là số không điểm có bội ít nhất bằng ¿+1 của @o/ trong đĩa |z|<r Các ham đếm được định nghĩa như sau: n,(t,D,< k)-n ,(0,D,< k) N yap (,D) = [OO nannnn 0 dt + n (0,D,< k) log r; "n(t,D,>k)-n (0,D,> k) N py (0D) = [22 et 0 t+n, (0, D,> k)logr; t
Trong đó 1n,(0,D,<k) =ordy,,(0) néu ordy,(0) Sk, bang 0 trong truong hop ngược lại, n,(0,D,> k) = ordg, (0) néu ord,„(0)>k, bằng 0 trong trường hợp ngược lại Với các sỐ nguyên dương A,k Ta kí hiệu: nˆ(r,D,<k)= S min{ord,,(z),A} zi<r,ordosr< nˆ(,D,>k)= Ð min{ord,,„(2),A} z|<r,ordosr~¿ Các hàm đếm bội cắt cụt được định nghĩa như sau: =nˆ(t,D,<k)— n}(0,D,<k Nog = — ——=_ k)log r; 0 ".n)(t,D,>k)—n'(0, D,>k Ni = [re DOP? Da 4 0X, D,> k)logr; , t 0
Trang 13trong trường hợp ngược lại Bổ dé sau sẽ cho một số tính chất của các hàm đếm và hàm đếm bội cắt cụt 1.2 4 Bồ đề Với các giả thiết và các kí hiệu như trên, ta có: 1) N,(Œứ,D)=N,.,(r,D)+N,.,(r,D); 2) Nˆ Œứ',D)= Ni g(t, D)+ Nig (r, D); 3) N7(r,D)< N,(r,D); 4) N\(r,D)< N3(r,D) < AN} (r,D); 5) MỊ „ứ,D)< N?.„ứ,DÐ) S$ AN 2x (r,D); /,<K 6) Nisx(",D) < Nie (r,D) < AN' ox (r,D); 1 A 7) ——N* (r,D)+ N° ) pes D) + Np (r,D) < —N,(r.D):; (r,D) bal /(r,D)
Trang 1410
Giá sử ƒ =(f /,):C—>P”(O là đường cong chỉnh hình khác hang, khi
dé N, (7,0) <T,(r) +00) Voi mdi j=04, n trong db N, (r.0) la ham dém
được tại các không điểm của hàm -
Giả sử /:C->P”(C) là đường cong chỉnh hình và D là một siêu mặt bậc d trong P"(C) xác định bởi các đa thức thuần nhất 9 1.2.6 Định nghĩa Số 8;(Ð)=ä,(@)=I-limsup 79 ⁄ ⁄ me aT,(r) ? Được gọi /à số khuyết va sé Nứ,O 6" (D)=6"(Q)=1-limsup——,, ; (D)=ở, (Ø=1~lim P Trụ) ©
Được gọi /à số khuyết bội cắt cụt của đường cong ƒ kết hợp với siêu mặt
#:C—>P"(C), trong đó A⁄ là một số nguyên dương
Dễ thấy rằng, với mỗi đường cong chỉnh hình /:C —› P”(C), ta luôn có 0<6,(D)< 6" (D)<1
Với mọi số nguyên đương và siêu mặt D
1.2.7 Định lý.( Định lý cơ bản thứ nhất với lý thuyết Nevanlinna)
Gia sit f:C>P"(C), là một đường cong chỉnh hình và là một siêu mặt bậc d trong P'(C) Nếu ƒ(C) d D thì với mỗi số thực đương r, fq có
m,(r,D)+N,(r,D) =dT,(r) +00),
trong đó 0() là một hằng số độc lập với z
Trang 1511
D = {Q, D} trong P"(C) Trong dé D, xac định bởi đa thức thuần nhất Ø,trong C[zụ, z,], j = 1,2 4 Với số nguyên dương X >+, ta định nghĩa khái niệm họ các siêu mặt ở vị trí tổng quát như sau:
1.2.8 Định nghĩa
Họ D các siêu mặt trong P“(C) được gọi là ở vị /rí N- tổng quát đối với
da tap X nêu ạ> N +1và với mọi cách chọn w +1 siêu mặt D,,, D,„,, trong họ D, ta luôn có
{xe X| (3) = = đ„,.¡(x) = 0} # ó
Trang 1612
CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THƯ HAI VỚI BỘI CÁT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH PHỨC
Trước khi phát biểu và chứng mỉnh kết quả chính, chúng tôi trình bày một số bổ đề cần thiết cho việc chứng minh Cho z là một số nguyên đương, kí hiệu Ƒ„ là không gian các đa thức thuần nhất, bậc ø trong C[z„ z,]
2.1 Các bố đề và khái niệm
2.1.1 Bố đề
Giá sử g, g, là các đa thức thuần nhất trong C[z, z,], xác định một da tap con trong Pˆ(C) có số chiều bằng 0 Khi đó, với mỗi n V a=) degg,, dim——————“————— =deggi deg g„ È (8¡: 8„) © Ứ„ Ị Ta gọi mỗi bộ ø số tự nhiên („ ¡„) là một m - bộ các số tự nhiên m 2.1.2 Dinh nghia
Cho hai ø - bộ các số tự nhiên ( 7i» Jims Ci ses i, ) „ ta nội
(7 Fim) > Ci sees „) nếu và chỉ nếu tồn tại øe {I »} sao cho jy, =i, VOI moi/<b va j, >i,
Với định nghĩa trên, chúng ta xây dựng được một quan hệ thứ tự trong N”, thứ tự đó gọi là thứ tự từ điển của các mø- bộ các 86 tự nhiên Với một z- bộ
(Œ)=(/ i„) các số tự nhiên ta kí hiệu oi) =i
j=l
Gia sit g,, g,€C[z, z,], la các đa thức thuần nhất bậc Z, định nghĩa
một đa tạp con trong P”(C) các số chiều 0, ta xây dựng một lọc của ƒ„,(ø > nđ)
Trang 1713
1„„={G)=( i,)<N"|ơ0)<ø/d) Nó đã được sắp xếp thứ tự theo từ
điển Với mỗi (@)e 7„„, 8ỌI S,= S„„ a,(i) là không gian con của V„ được định nghĩa boi
Su = Y si sete BV adore)
(JET aa cere)
một lọc của V, Bé dé sau đây sẽ cho một tính chất của không gian thương của
hai không gian liên tiếp trong lọc 2.1.3 Bồ đề Giá sử () >(¡) là hai phan tử liên tiếp theo thứ tự từ điển trong 12„ Khi SW V-aotiy do ton tai dang cay 2S = — #0, $Œ) (g8i 8,)©Ƒ2 „so xẻ = a ~ » Si s2  3 ở
Ngoài ra, ta có thê chọn được một cơ sở của Sứ từ tập hợp tất cả các Si’)
lop tong duong co dang g} g;n modulo S„ trong đó nạ là một đơn thức
bậc ø - dơ() của các biên zụ, z
Chứng minh Trước tiên, ta xây dựng đồng cấu ø giữa các không gian véctơ S @) > @) OV 4» ~Ỳ
Trang 1814
Từ cấu trúc của đồng cấu ó, ta có thể chọn được một cơ sở của Sự) từ tập 1
hợp tất cả các lớp tương đương có dạng g¡ g“;; modulo %„, trong đó z; là một
đơn thức của các biến Z„, Z„ VỚI bậc tổng cộng bằng œ-dơ() Vì tập hợp tat
cả các đơn thức của các biến z,, z, voi bac tong céng bang a —do(i) tao nén một cơ sở của /„_,„.„ nên ta có điều cần ching minh Oo
Như một hệ quả trực tiếp của các bổ dé 2.1.1 và 2.1.3, ta cd bé dé sau đây
đưa ra đánh giá về số chiều của các không gian thương của hai không gian liên tiếp trong lọc 2.1.4 Bồ đề Giả sử g, g, là các đa thức thuần nhất bậc d trong C[z, z„] Nếu ` S ơ()<ơId—n thì A,:= dim—°> =4" Si )
Khi xem xét bội của không điểm của đường cong, người ta thường xem xét hàm Wronskian của nó Đề tiện theo dỏi chúng tôi nhắc lại một số tính chất
quen thuộc của hàm này Cho đường cong chỉnh hình /ƒ:C—› P”“(C) và một biểu
diễn tối giản (7 /,) của /, Wronskian của đường cong / là hàm
W(ƒ) = W (fos „):=
2.1.5 Bồ đề
Cho n+1 dang tuyến tính độc lập tuyến tính Lạ, L, trong Pˆ(C) Với mỗi
Trang 1915
Trong đó C #0 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào các hệ số của
L,,j =1, ,n, không phụ thuộc vào Jl f„ Kí hiệu fo! fo tn! Sn NM M S01 foe Sn? lS, L=L(f) = L( foes fi) = : đó M Khi đó L(f)=—2""" 0 É› -s.fn
Sau đây chúng tôi phát biêu và chứng minh một dạng định lý cơ bản thứ hai đối với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào P“(C) kết hợp với các siêu mặt ở vị trí tổng quát
2.1.6 Dinh ly
Cho một đường cong chỉnh hình không suy biến đại số #:C—>P'(C) và một họ các siêu mặt D,.l< j<qạ trong P'(C) có bậc d, tương ứng ở vị trí tổng quát Goid la bội số chung nhỏ nhất của các đ,
Voi 0<e <1 vaM > 24[2"(¡+1)n(d+1)£ `]', ta có
(4~(w+1)~£)T, Œ)<Ẻ4;'NƑ⁄ứ,D,) , (2.1)
j=l
Trong đó bat đăng thức trên đúng với mọi z>0 đủ lớn nằm ngoài một tập thích hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn
Đề chứng minh Định lý 2.1.6 ta cần các bé đề sau
2.1.7 Bố đề
Gia sit f :C > P"(C) là một đường cong chỉnh hình không suy biến đại số
Trang 2016
Q,.j=1 q, là các đa thức thuần nhất bậc d xác định siêu mặt D, tương ứng Khi đó
| f@e’)||_ do
(0.0) ị max wlio u22) o flee”) | 2a +0(1), (2.2) Trong dé maximum duge lay trén moi cach chon bé n chi sé {i,, ,i,} trong tập {1 4} Chứng mình Lẫy tùy ý zeC, khi đó tồn tại một hoán vị {, ,} của các chỉ số {1 4} sao cho Q, of 2) (2.3) Q, of 2) <|O, of(2|< S
Do Ø,,1< j<n, ở vị trí tổng quát theo Hilberts Nullstelensatz ta có với mỗi
số nguyên *,0<<», tồn tại số nguyên m, > d sao cho
n+l
là
0 = Deby Zor +Z„)Ó, (Zạs Z„)
Trong đó ø„I< /<»+1.0<k<n, là các đa thức thuần nhất bậc m, -ở với
các hệ số lấy trên C Suy ra n+l |/@)Ï*< 2 Dp So(2o Sn) | -1Q,, Foon) |- (2.4) Do 5, là các đa thức thuần nhat bac m, —dnén JMI, — |S) m- 1 lb„ (2) /2(2)|<c„max |[/2©)”"” 4, -d geese AO ee) =Œy (max {A
Trong đó c„ là tổng môđun các hệ số trong bạ Hiển nhiên c„ chỉ phụ thuộc vào ø„ mà không phụ thuộc vào /¿ /„ Mặt khác, với mỗi & =0,1, „
Trang 2117
n+l
>I9) = S, (2) is (2 + Imax {| Ở, o./(2)| | Ở,.„ ö./(2) |}: Đặt ¢, =(n+ 1) max{cy : f=1, 2+ 12k =0, ,n}
Bat đẳng thức 2.4 kéo theo
IACI" Sel SEI" max {|Ø, o /(2)| |Ó,., o/(2)|}- (2.5) Trong d6 c, 1a m6t hang sé duong chi phụ thuộc vào các hệ số của các đơn
thức trong b,,1< j<n+10<k<n, tic la phy thudc vào các hệ số của các đa
thức thuần nhất O,„¡ = 1 4 Chú ý rằng 2.5 đúng với mọi #, nên
WAI" Se | FU" max {| Ø, o/(2)| |Ø, 6ƒ) |}
Hay || /,(z) lÍ< c max {|@, o ƒ)| |Ø,„ o/(2)|}- (2.6) Kết hợp (2.3) và (2.6) suy ra
/Œ) fe) /Œ) apy Wel
tly [I “ty L/œ] | rg voy’ 5J 2] felt Q,of(| \t1|2, of (2) |lea 9 +|Q, of (2) Từ định nghĩa hàm xấp xỉ ta có 4 _ |Zưe°[“_ a0 } 9)= jie *[] 6 ore") oƒ0)|2z „ ¡Ø < jel (q-n)loge, 3z „ io
< | max log] ] [fee | de +(q-n)loge,,
Trong đó maximum được lấy trên mọi cách chon nchi sé {i,, ,i,} trong
Trang 2218
Giả sử¿, z„ là các đa thức thuần nhất bậc Z xác định một đa tạp con có
số chiều bằng 0 trong P“(C) Với một số nguyên đương z > »đ, theo lập luận ở
trên, ta xây dựng được một lọc các không gian con S,, của V„ dựa trên các da thức z, z„ Theo bổ đề 2.1.4, ta có A,= dim 50 =d" @) Với mỗi cặp n-bộ các số tự nhiên (7),(/) liên tiếp nhau sao cho ()>() và ơ(),ø()<œld—n Dat M=dimV, va A= A, i, Cha y rằng A không phụ thuộc vào j với () l<j<n 2.1.8 Bố đề
Với đường cong chỉnh hình ƒ vàe trong Định lý 2.1 6, nếu œ =d(@(n+I)(nd + n\(2" —Ne")+3nd, thi
““<dn+D+ST,09, (2.7)
Chứng minh Ta biết số các bộ m số nguyên không âm mà tổng < S e Z
bằng với số các bộ ø +1 số nguyên không âm mà tổng đúng bằng s và bằng
Trang 2319
Trong đó Xo được lấy trên tat cả các bộ (+ 1) số nguyên không âm với tổng chính xác bằng a@/d—n Mat khac M= (**") (2.8) A Ma (a+1) (a+ n)d(n +1) ain)" Nên A Ế (œ - 4) (œ — nd) <a(n+{ "| , (2.9) Nếu ta chọn @ =d(2(n +1)(nd + n)(2" — Ne") + 3nd, thi a chia hét cho d va n " n+l (S22) = (re ety = Sf) (22): œ -nd œ -nd “Vr )\a-nd nd+n £ <1 ` —m 27-1 ¬— (2.10) 2.10
Kết hợp các bất đăng thức 2.9 và 2.10 ta có kết luận của bê đê oO
Định lý sau là một dang Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ C vào không gian xạ ảnh kết hợp phức với các siêu phẳng Định lý này
được chứng minh bởi M Ru vào năm 1997, cần thiết cho việc chứng minh
Định lý 2.1.6 2.1.9 Định lý
Cho đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính # =Œ: /„):C—>P”(O
và q siêu phẳng phân biệt H, H,„ trong P'(C) Goj L,.1< j<q, là các dạng
tuyến tính xác định siêu phẳng H ¡ tương ứng Kí hiệu W là Wronskian của ƒ Khi đó
Trang 2420
Trong đó maximum được lấy trên tất cả các tập con K của {1,2 ,.q} sao cho các dạng tuyến tính L,,jeK, là độc lập tuyến tính và |L,| la gia tri lon nhất của môđun các hệ số trong Lý
2.2 Chứng minh định lý 2.1.6
Dinh ly Cho một đường cong chỉnh hình không suy biến đại số
#:C->P'(C) và một họ các siêu mặt D,I< j<q trong P"(C) có bậc d, tương
ứng ở vị trí tổng quát Gọi d là bội số chung nhỏ nhất của các d, Voi O<e<l va M > 2d[2"(n+ nd +e)", ta cd
(q~(»+1)~£)T,()<3)4;'N⁄(,D,), (2.1)
j=l
Trong đó bất đẳng thức trên đúng với mọi >0 đủ lớn nằm ngoài một tập
thích hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn
Chứng mình Giả sử (7„ /) là một biểu diễn tối giản của / và
O,1< j<q là các đa thức thuần nhất bậc d, trongC[z,, ,z,] dinh nghiaD, Do
D,l< j<q,@vitri tổng quát nên g>n+1
Trước hết ta khẳng định rằng: Chỉ cần chứng minh Định lý trong trường
hợp d, = =d, =d Thật vậy, nếu định lý đúng trong trường hợp này thì với c>0và M nhv trong Dinh ly 2.1.6 ta cd
4
(q-(n+))-8)T,(r)< Yd NM (7,08)
j=l
Trong đó ¿ là bội số chung nhỏ nhất cua d,, vì khi đó Ø@7'““,/=1, 4, là
các đa thức thuần nhất bậc ¿ Thấy răng, nếu zeC là một không điểm của
Ø,o/ với bội a thì z cũng là không điểm của 2“ o7 với bội ¬
Trang 2521 d a d Suy ra WŒ,Ø/ˆ)< TM (r,Q,) J
Điều đó kéo theo
(q~(i+l)~£)T,()< Yan ứŒ,@”)< Sane (r,Q,)
Như vậy, không mat tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng các đa thức Q,, Q, cùng có bậc bang d Theo bồ đề 2.1.7, ta có 4 2z 0 ¥m,(7.Q;) < J max ste [fre u25) j=l in} k=l HỆ) 0, oftre™ 2x +0(1), (2.11) Trong đó maximun được lấy trên mọi cách chọn bộ »ø chỉ số (¡, /,) trong tập (I }
Ta lấy tùy ý ø đa thức phân biệt ;¡, 7„ c {Ó, O,} Từ giả thiết ở vị trí tổng quát của họ các siêu mặt D, ,D,„ suy ra 7,, z„ xác định một đa tạp con có số chiều bằng 0 trong P’(C) Goi a@ =>nd là một số nguyên dương có định (ta sé chon sau) va V, là không gian các đa thức thuần nhất bậc z trong C[z„ z„] Theo lập luận ở trên, ta xây dựng được một lọc các không gian con
Š„ của V„ dựa trên các đa thức 7,, ,7,,
Đặt M/=dimV, Bây giờ ta sẽ chọn một cơ sở thích hợp {y, y,,} cua ⁄„ bằng quy nạp như sau : Ta bắt đầu với một không gian con khác hằng đầu
tién S,, trong lọc và chọn một cơ sở bất kỳ của nó Giả sử (/)>() là hai nbộ liên tiếp theo thứ tự từ điển sao cho dơ(),đơ()<ø và ta đã xây dựng được cơ
Trang 2622
chúng ta có thể lấy được các biểu diễn trong s,,cua các phan tử trong không
gian thương 5q; Si) có dạng z⁄¡ tenes vie ?? trong đó 7€V,_j.4) Va goi B;, la
tập các biểu diễn như thế Khi đó ø,„ = 6, v ø¿, sẽ là một cơ sở của không
gianS„ Qúa trình quy nạp được tiếp tục cho đến khi Si) =V, thì dừng lại
Bằng con đường như vậy ta sẽ thu được một cơ sở {ự, ,„„} của Ƒ„
Giả sử {2, ó„}là một cơ sở cố định của V„, khi đó các đa thức ự, „ sẽ được biểu diễn bởi các dang tuyén tính 7„ "„„ của các phần tử
ó, Ó„ Tức là ự,=L(6, ,ó„),£=1, M kéo theo y,(f)=L,(F) Trong đó
Ƒ=(ø() Øu(ƒ)):C — P”“'(C)
Do {4 ó„} và fự,„ v„} là các cơ sở của V„ nên các đạng tuyến tính L, L„ độc lập tuyến tính
Tiếp theo ta chứng minh không suy biến tuyến tính Thật vậy, nếu
ngược lại thì sẽ tỒn tại một siêu phẳng H trong P*“'(C) xác định bởi dạng
tuyến tính
Ly = Sa, sao cho F(C) c7, tức là 1ø(ƒ)+ +!„ó„(/#)=0
j=l
Chú ý rằng các Ø,,/=I M, là các đa thức bậc @ déi voi các biến
zạ Z„ Như vậy / chứa trong một đa tạp đại sỐ bậc ø trong P”(C), suy ra ƒ
suy biến đại số, mâu thuẫn với giả thiết của /
~ M M
Với mỗi zeC, chúng ta ước lượng log] ]/Z,(F\(2) - bg] Iv No|
£=l t=1
Giả sử (i) =(iy, ,i,) €1,,4Va Vv, € Bi, la một phần tử trong cơ sở đã xây
Trang 2723 lự, ö/Œ) XI, o/Œ)" |z„ư /Œ)l*|o /Œ)| <€|zo/Œ)l* |z„o/()1*lI/Œ)lf 9®, Trong đó c, là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào y,, khong phụ thuộc Vào z Suy ra
log|ự, ö ƒ(2) |<¡ log |7¡ ö/(2)| + + i, log|z„ ö /(2)| +(ø = dơ())log || /(2) || +e, Si,(log | 7, of (z)|—log|| Z(z) |) + + „dog |7„ of (2) | —log || £2) Il? +@ log || F(Z) Il +e;
I/(2lỨ -_IIZŒ)lff
ly ofA ly, of(2)| Ty of Ol + alog || f(z) || +e I %
Trong d6 c, 14 mét hang sé khong phy thudc vao / va z Chí ý rằng, có <-i, log dung A, ham ự, như vậy trong cơ sở {y, y,,} Nhu vay M M log [TIL FbsT iz, of@| (2.12) t=1 tl "1 ^¬ ›( log +i, log) + Marlog | f(z) || +Me Đ In of(2)| lv, of (2)| ; If@I
S-(Q) Aji) Xu log——— lz,o/()I — + Ma log || f(z) || +Mc, “
Trong đó Ð' „ được lấy trên tất cả các ø-bộ @el,4 Chú ý rằng A=>_„^„¡i, không phụ thuộc vào 7/1 < 7 < ø, nên 2.12 trở thành
đ
woe Tit (F(z) |S -A |) 2970) + Mø log || ƒ(z)||+Mc; Điều đó kéo theo
I/@I“ „1# Ƒ@|L_M Ma
od Fale 5 sel yore 2A loglF)|l+ˆ, logl/Œ)+«„ - (2 13)
Trong đó ‹, là một hằng số dương không phụ thuộc vào /và z Chú ý
Trang 2824
{O O,}, nên cũng chỉ có một họ hữu hạn các dạng tuyến tính Z,, ,L, Nhắc lại
là các đạng 7„ 1„„ e {, 1„} độc lập tuyến tính, nên 2.13 kéo theo 1 max lo —————- J/we“)|f_ 4ø 2.14 J Ute lig’ o/02)|2z 1 | Fre) || L || do M 1 <— 6g] TT TS =
sa Ime wok |1Œ)0e”)| 2z A run EOE
Trong do max, duoc lay trên tất cả các tập con K của({l, z} sao cho các dạng tuyến tính L,,/eK, độc lập tuyến tính, c, là một hằng 86 độc lập với
r Ap dung Dinh ly 2.1.9 cho đường cong chỉnh hình #:C->P*”'C) và các siêu phẳng xác định bởi các dạng tuyến tính 7 "5A u? || Fi 0 L gs og eel ae | (2.15) l |1,0)0e®)| 2zˆ <—Nyạ(r,0) + MT;.(r) + 0(T,(r)) Trong đó W là Wronskian của các hàm Z ”„ Kết hợp 2.11, 2.14 và 2.15 ta được Sài, (7,Q,) <=2 Ny(z0) + “er, (r) + 0(7,(r)) Theo định ly cơ bản thứ nhất, ta có T,(r) < đT; (r) + 00),
Suy ra Ym, (7,0,)< _ Ny(r,0)+ a T,(r) + O(T,(r)) (2.16) Céng ¥N, (r,Q,) vao hai về của 2 16 và áp dụng Định lý cơ bản thứ nhất,
j=l
ta duoc
Trang 2925 Bây giờ ta ước lượng về trái của 2.17 Theo bồ đề 2.1.8 nếu chọn a= d(2(n+l)(nd +n)(2" —le") + 3nd thi <d(n+l)+ 21, (r) „ Ma £ Do dé (qd- re (r)>d(q-n-1- 2# (r)
Chú ý rằng, khi r đủ lớn 07,(Œ))< 21 (r) Nhu vay
(ad — Myr (7) OF, (9) 2 dq —n-1~ eT (0 (2.18)
Khi z đủ lớn Bây giờ ta ước lượng ⁄ Theo 1.8 và với 0< z < Ithì
(a+n)" _ (dl2(n+ Iind + n)2” —Ne"]+ 4nd)" n n M< <24[2'(n+w(4+1)e”†" Tiếp theo ta ước lượng » ,ứ,Ø,)— 1M) trong về phải của bất đẳng thức j=l 2.17 Ta sẻ chứng minh q 1 q ư x, Œ.Ø,)~+ N„ứ0)< DN; (r,0,) (2.19)
That vay, voi moiceC , không mắt tính tổng quát, ta giả thiết rằng Q,of triệt tiêu tai ¢ voi l< <q, va Q,of không triệt tiêu tại ¿ với j>, Từ giả thiết các siêu mặt D,.j=1, g, Ở VỊ trí tổng quát , taco q, <n Nhu vay sẽ tồn tại các số nguyên*,>0 và các hàm zg, không triệt tiêu trong lân cận U của z, sao cho
Q,o/()=(z—e)” g,(z) với mỗi j =I ,
Trong đó k, =0 nếu g,<j<q.Voi mdi cách chọn các đa thức
Trang 3026 W= ỰƯ( Fu) = CW(L(F), Ly (F)) Ự, Oƒ Ư„oƒ =C (vy, Of) (Wy of) MM
(y, of oP (Wy of on?
Chú ý rằng, với (¡) = (¿, i,)< /„„ và ự, = /j›, ta có thể biểu diễn
y =0' 0'"7, trong d6 7 €V,_ 44; - Khi đó
y of =(Q,0f)" Q, of)" (of)
Trong dd (@, of)’ (2)=(2-9)'"' g' (2), j=1 n Ta cling gid thiét rằng
k, >Mnéu I< j<q, Val<k,<M néu WS IS% - Ta biét rang cac A, phan tử
ự như vậy trong cơ sở {w, „} Như vậy W triệt tiêu tạic với bậc ít nhất là đo q, q LVI MV = Di Ayal, MI alk, - mM} (i) j=l j=l j=l oe A + 1 ct M Bởi vậy Ð`N,ứ.Ø,)~— AMu0)< YN (9) j=l j=l
Bat dang thtre 2.19 dwoc ching minh
Kết hợp các bất đẳng thức 2.18 va 2.19 vao bat đẳng thức 2.17 với các giả thiết như trong Định lý 2.1.6, ta có
(q-n-1-e)T, (DANN)
Dung voi moi số thực z đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu
Trang 3127
KÉT LUẬN CÚA LUẬN VĂN
Trong luận văn chúng tôi hệ thống lại được các kết quả sau:
Chương 1: Chúng tôi hệ thống lại được một số khái niệm về đường cong
chỉnh hình và các hàm cơ bản của lý thuyết Nevanlinna- Cartan
Chuong 2: Tim hiéu Dinh lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường
Trang 3228
TAI LIEU THAM KHAO
Tiéng Viét
[1] Ta Thi Hoai An (2000) Vé tap xdc dinh duy nhat va da thirc duy nhat
cho các hàm phân hình, Luận án Tiến sĩ Toán học - ĐHSP Vinh
[2] Đoàn Quang Mạnh (2003) Các định lý kiểu Picard và tập xác định duy
nhất cho ánh xạ chỉnh hình p-adic nhiéu bién, Luan an Tién sĩ Toán học, Viện
Toan Hoc
[3] Ha Tran Phương (2009) Định lý cơ bản thứ 2 với bội cắt cụt và tập xác định duy nhát, Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học
Tiếng Anh
[4] T T H An (2007) A defect relation for non-Archimedean analytic curves
in arbitrary projective varieties, Proc Amer Math Soc 135, no 5, 1255-1261 [5] T T H An and J T Y Wang (2007) Unique range sets and uniqueness