Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HOC VINH LÊ HOÀI THANH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HOC VINH LÊ HOÀI THANH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học TS: MAI VĂN TƯ NGHỆ AN - 2012 MỤC LỤC Trang DANH MỤC KÍ HIỆU LỜI NĨI ĐẦU .1 Chương :Một số kiến thức 1.1 Một số khái niệm đường cong chỉnh hình 1.2 Các hàm lý thuyết Nevanlinna- Cartan Chương 2: Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình phức 12 2.1 Các bổ đề khái niệm 12 2.2Chứng minh định lý 2.1.6 20 KẾTLUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO .28 DANH MỤC KÍ HIỆU W trường đóng đại số với đặc số Pn ( W) không gian xạ ảnh n chiều trường W T f (r ) hàm đặc trưng f hàm phân hình N f (r , D) hàm đếm kể bội N Mf (r , D) hàm đếm bội cắt cụt , M số bội cắt cụt m f (r , D) hàm xấp xỉ f n f (r , D) số không điểm Q  f đĩa n Mf (r , D) số không điểm z < r , kể bội Q  f đĩa z < r , bội cắt cụt số nguyên dương M δ f (D) số khuyết δ fM (D) số khuyết cắt cụt đừơng cong f kết hợp với siêu mặt D , M số nguyên dương LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna đánh thành tựu sâu sắc đẹp đẽ toán học kỷ XX Được hình thành từ năm đầu kỷ XX, lý thuyết Nevanlinna bắt đầu cơng trình Hadamard, Borel ngày có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học Lý thuyết phân bố giá trị tổng quát hoá Định lý đại số, xác lý thuyết nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình C Trung tâm lý thuyết hai định lý Định lý thứ nhất, cách viết khác công thức Poisson-Jensen, cho thấy quan hệ hàm đặc trưng T f (r ) hàm phân hình f với hàm đặc trưng Tr (r , a) hàm Định lý thứ hai thể kết đẹp sâu sắc lý f −a thuyết, phát biểu nhiều dạng khác nhau: Quan hệ hàm đặc trưng với hàm đếm, hàm đếm bội cắt cụt, hàm xấp xỉ,… Kí hiệu K trường đóng đại số, có đặc số 0, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, W C K , Pn ( W) không gian xạ ảnh n chiều trường W Một vấn đề tự nhiên nhà toán học đặt là: Nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna chiều cao, tức xét phân bố giá trị cho ánh xạ chỉnh hình đa tạp W Đầu tiên phải kể tới cơng trình H.Cartan cơng bố vào năm 1933 Về sau, việc tiếp tục phát triển lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ chỉnh hình nghiên cứu ứng dụng lý thuyết lĩnh vực khác toán học phát triển mạnh mẽ thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Về đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f : C → Pn (C) q siêu phẳng H , , H q vị trí tổng quát Pn (C) Năm 1933 H Cartan chứng minh: Với ε ≥ , với r > đủ lớn nằm ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn q ( q −n −1 −ε)T f (r ) ≤∑N nf (r , H j ) +0(1) j =1 Kết H Cartan dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) khơng suy biến tuyến tính kết hợp với siêu phẳng vị trí tổng qt Cơng trình ơng đánh giá quan trọng, mở hướng nghiên cứu việc phát triển lý thuyết phân bố giá trị nghiên cứu phân bố giá trị ánh xạ phân hình mà ngày gọi “ Lý thuyết Nevanlinna- Cartan” Các kết nghiên cứu nhà toán học lý thuyết thời gian gần tập trung vào hai vấn đề: Xây dựng dạng Định lý thứ hai với mục tiêu siêu mặt cố định di động, thiết lập quan hệ hàm đặc trưng Nevanlinna- Cartan với hàm xấp xỉ, hàm đếm hay hàm đếm bội cắt cụt Từ suy kết quan hệ số khuyết Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna- Cartan vấn đề khác toán học, chẳng hạn, nghiên cứu suy biến đường cong đại số, xây dựng tập xác định cho ánh xạ phân hình,… Một ứng dụng quan trọng Định lý thứ hai với bội cắt cụt lý thuyết Nevanlinna -Cartan nghiên cứu xác định ánh xạ phân hình thơng qua ảnh ngược hay nhiều tập hữu hạn phần tử Vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học: R Nevanlinna, H Fujimoto, L Smiley, H H Khoai, G Dethloff, D D Thai, C C Yang, A Boutabaa, W Cherry, M Ru nhiều nhà toán học khác Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh: Hai hàm phân hình phức khác f , g thỏa mãn f f ≡g −1 −1 (ai ) = g (ai ) , i = 1,2, ,5 Năm 1975 H Fujimoto mở rộng kết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức, cho thấy tồn tập xác định kể bội gồm 3n + siêu phẳng vị trí tổng quát cho họ ánh xạ phân hình phức khơng suy biến tuyến tính Năm1983, L.Smeley chứng minh kết xác định ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính ảnh ngược họ hữu hạn siêu phẳng, vấn đề H Fujjmoto nghiên cứu lại năm 1998 Năm 2006, G Dethloff T V Tan xem xét vấn đề tương tự cho trường hợp siêu phẳng di động Năm 2002 2003, V H An Đ Q Manh đưa số điều kiện đại số tập hợp xác định điều kiện không kể bội cho ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức khơng Acsimet trường hợp siêu phẳng cố định Năm 2008, việc sử dụng định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình AnPhuong, Dulock Ru chứng minh định lý cho đường cong chỉnh hình trường hợp siêu mặt Thời gian gần nhà toán học tập trung vào việc nghiên cứu vấn đề: Tìm đặc trưng tập xác định dạng tập xác định với số phần tử Chú ý rằng, hầu hết chứng minh kết tập xác định dựa vào dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt Sự lựa chọn đề tài: “Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh” tác giả luận văn nhằm tiếp tục tìm hiểu lý thuyết Nevanlinna-Cartan Luận văn trình bày số dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức khơng Acsimet Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức liên quan đến hàm chỉnh hình lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna- Cartan Chương 2: Tìm hiểu Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình phức Đặc biệt, Định lý 2.1.6 dạng định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) kết hợp với siêu mặt cố định vị trí tổng quát Pn (C) , cho thấy quan hệ hàm đặc trưng T f (r ) đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) với hàm đếm bội cắt cụt N Mf (r , D) , chúng tơi cách tường minh số bội cắt cụt Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn TS Mai Văn Tư Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Văn Tư định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Trường Đại học Vinh động viên suốt trình học tập, nghiên cứu trình viết chỉnh sửa luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện vinh, tháng năm 2012 tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho hàm chỉnh hình f : C → C , điểm z0 ∈C gọi không điểm bội k f tồn hàm chỉnh hình h(z ) khơng triệt tiêu lân cận U z0 cho lân cận U hàm f biểu diễn dạng f ( z ) = ( z − z ) k h( z ) Nghĩa f ( z0 ) = f / ( z0 ) = = f ( k −1) ( z0 ) = f ( k ) ( z0 ) ≠ Với z ∈ C , ta kí hiệu: k z không điểm bội k f , ord f ( z ) =  0 f ( z ) ≠ Giả sử f hàm phân hình, f = f1 , f1 , f f2 hàm chỉnh hình khơng có khơng điểm chung Số phức z0 gọi khơng điểm bội k f z0 không điểm bội k f1 , z0 gọi cực điểm bội k f z0 không điểm bội k f 1.1 Một số khái niệm đường cong chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa Một ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn (C) hay cịn gọi đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh Pn (C) định nghĩa ánh xạ: f = (f ; ; f ) : C →P ( C) Z →( f ( z ) : f n n n ( z) ) Trong đó, f j ,0 ≤ j ≤ n , hàm nguyên C Nếu f j , j = o, , n , đa thức f gọi đường cong đại số 1.1.2 Định nghĩa Đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) gọi suy biến tuyến tính ảnh f chứa đa tạp tuyến tính thực khơng gian xạ ảnh Pn (C) Đường cong f gọi suy biến đại số ảnh f chứa đa tạp đại số thực Pn (C) 1.1.3 Định nghĩa n Cho đường cong chỉnh hình f = ( f , , f n ) : C → P (C) f , , f n hàm ngun, khơng có khơng điểm chung C Ta gọi ánh xạ f = ( f , f n ) : C → Cn +1 \ { 0} biểu diễn tối giản f Mệnh đề sau suy trực tiếp từ định nghĩa, sử dụng để chứng minh hai đường cong chỉnh hình đồng 1.1.4 Mệnh đề Cho f , g : C → Pn (C) , hai đường cong chỉnh hình khác ( f , , f n ), ( g , , g n ) biểu diễn tối giản f , g Khi f ≡g f i g j ≡ f j g i với cặp số phân biệt i, j ∈ ( 0,1, , n ) Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng, hàm xấp xỉ, hàm đếm đường cong kết hợp với siêu mặt cố định Cho đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) biểu diễn tối giản ( f , , f n ) f 1.2 Các hám lý thuyết Nevanlinna - Cartan 1.2.1 Định nghĩa Hàm T f (r ) = 2π 2π ∫ || f (re iθ ) || dθ 15 Trong C ≠ số phụ thuộc vào hệ số L j , j = 1, , n , không phụ thuộc vào f , , f n Kí hiệu / f / f f n/ / f n   L = L( f ) = L( f , , f n ) = f 0( n ) / f f n( n ) / f n Khi L( f ) = W ( f , , f n ) f , , f n Sau phát biểu chứng minh dạng định lý thứ hai bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) kết hợp với siêu mặt vị trí tổng quát 2.1.6 Định lý Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số f : C → Pn (C) họ siêu mặt D j ,1 ≤ j ≤ q Pn (C) có bậc d j tương ứng vị trí tổng quát Gọi d bội số chung nhỏ d j Với < ε < M ≥ 2d [2n (n + 1)n(d + 1)ε −1 ]n , ta có q (q − (n + 1) − ε )T f (r ) ≤ ∑ d −j N Mf (r , D j ) j =1 , (2.1) Trong bất đẳng thức với r > đủ lớn nằm tập thích hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn Để chứng minh Định lý 2.1.6 ta cần bổ đề sau 2.1.7 Bổ đề Giả sử f : C → Pn (C) đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số D j ,1 ≤ j ≤ q , siêu mặt bậc d vị trí tổng quat Pn (C) Gọi 16 Q j , j = 1, , q , đa thức bậc d xác định siêu mặt D j tương ứng Khi q 2π j =1 ∑ m f (r , Q j ) ≤ ∫ || f (re iθ ) || dθ + 0(1), iθ k =1 | Qi k  f ( re ) | 2π n max log ∏ {i1 , , i n } (2.2) Trong maximum lấy cách chọn n số {i1 , , in } tập {1, , q} Chứng minh Lấy tùy ý z ∈ C , tồn hoán vị {i1 , , iq } số {1, , q} cho Qi1  f ( z ) ≤ Qi2  f ( z ) ≤ ≤ Qiq  f ( z ) (2.3) Do Qi ,1 ≤ j ≤ n , vị trí tổng quát theo Hilberts Nullstelensatz ta có với j số nguyên k ,0 ≤ k ≤ n , tồn số nguyên m k ≥ d cho n +1 z kmk = ∑ b jk ( z , , z n )Qi j ( z , , z n ), j =1 Trong b jk ,1 ≤ j ≤ n + 1,0 ≤ k ≤ n , đa thức bậc mk − d với hệ số lấy C Suy n +1 | f k ( z ) |m k ≤ ∑ | b jk ( f ( z ), , f n ( z )) | | Qi j ( f ( z ), , f n ( z )) | j =1 (2.4) Do b jk đa thức bậc mk − d nên { b jk ( f ( z ), , f n ( z )) ≤ c jk max f ( z ) ( = c jk max { f ( z ) , , f n ( z ) } ) mk − d mk − d , , f n ( z ) = c jk f ( z ) mk − d mk − d } , Trong c jk tổng mơđun hệ số b jk Hiển nhiên c jk phụ thuộc vào b jk mà không phụ thuộc vào f , , f n Mặt khác, với k = 0,1, , n , ta có 17 n +1 ∑| Q ( f j =1 ( z ), , f n ( z )) |≤ ( n + 1) max{| Qi1  f ( z ) |, , | Qi n +  f ( z ) |} c1 = (n + 1) max{c jk : j = 1, , n + : k = 0, , n} Đặt Bất đẳng thức 2.4 kéo theo | f k ( z ) |m k ≤ c1 || f ( z ) ||m k − d max {| Qi1  f ( z ) |, , | Qi n +1  f ( z ) |} (2.5) Trong c1 số dương phụ thuộc vào hệ số đơn thức b jk ,1 ≤ j ≤ n + 1,0 ≤ k ≤ n , tức phụ thuộc vào hệ số đa thức Qi , i = 1, q Chú ý 2.5 với k , nên || f k ( z ) ||m k ≤ c1 || f ( z ) ||m k − d max {| Qi1  f ( z ) |, , | Qi n +1  f ( z ) |} Hay || f k ( z ) ||d ≤ c1 max {| Qi  f ( z ) |, , | Qi  f ( z ) |} n +1 (2.6) Kết hợp (2.3) (2.6) suy q ∏ j =1 d  n f ( z) = ∏ Q j o f ( z )  k =1 Qik o f ( z )  f ( z) d  n f ( z) ÷ ∏ ÷ k =n +1 Qi o f ( z ) k  d d n  f ( z) q −1 ÷ ≤ c1 ∏ ÷ k =1 Qi o f ( z ) k  Từ định nghĩa hàm xấp xỉ ta có q ∑m j =1 f (r , Q j ) = 2π q ∫ log ∏ Q j =1 ≤ ≤ 2π n k =1 ∫ log ∏ Q 2π dθ 2π j o f ( re ) iθ f (reiθ ) ik n i1 , ,in d dθ + (q − n) log c1 o f ( reiθ ) 2π ∫ {max} log ∏ Q d f (reiθ ) k =1 f (reiθ ) ik d dθ + (q − n) log c1 , o f (re ) 2π iθ Trong maximum lấy cách chọn n số {i1 , , in } tập {1, , q} Bổ đề chứng minh  Giả sử γ , ., γ n đa thức bậc d xác định đa tạp có số chiều Pn (C) Với số nguyên dương α ≥ nd , theo lập luận 18 trên, ta xây dựng lọc không gian S (i ) Vα dựa đa thức γ , ., γ n Theo bổ đề 2.1.4, ta có ∆ i := dim S(i ) = d n S (i / ) Với cặp n-bộ số tự nhiên (i / ), (i) liên tiếp cho (i / ) > (i ) σ (i ),σ (i / ) ≤ α / d − n ∆ (i )i j Đặt M = dim Vα ∆ := ∑ Chú ý ∆ không phụ thuộc vào j với (i ) 1≤ j ≤ n 2.1.8 Bổ đề Với đường cong chỉnh hình f ε Định lý 2.1.6, α = d (2( n + 1)(nd + n)(2 n − 1)ε −1 ) + 3nd , Mα ε ≤ d (n + 1) + T f ( r ) , ∆ (2.7) Chứng minh Ta biết số m số nguyên không âm mà tổng ≤ S ∈ Z với số m + số nguyên không âm mà tổng S  S + m  ÷ Giả sử α chia hết cho d , từ bổ đề 2.1.4 ta có m   ∆ := ∑i ∆ j σ ( i ) ≤α / d (i ) ≥ ∑i ∆ j σ ( i ) ≤α / d −n (i ) n +1 dn = ∑∑ n +1 ∧ j =1 i j (i ) α / d  α(α − d ) (α − nd ) (α / d − n ) = = d ∑(α / d − n ) = d  , n  n +1 n +1 d (n +1)! n n (i ) ∧ Trong ∑ ∧ (i)   lấy tất (n + 1) số nguyên khơng âm với tổng xác α / d − n Mặt khác 19 α + n  M =  ÷  n  (2.8) Mα ( a + 1) ( a + n ) d ( n + 1)  α +n  ≤ ≤ d ( n + 1)   (α − d ) (α − nd ) ∆  α − nd  n Nên (2.9) Nếu ta chọn α = d (2(n + 1)(nd + n)(2n − 1)ε −1 ) + 3nd , α chia hết cho d n + `1 n    nd + n  r n +nd   α +n   = + = + ∑  ÷ ÷  ÷  ÷ α −nd  r =1  r   α − nd  α −nd   n ≤1 +( n −1) n nd + n ε ≤1 + α − nd 2d ( n +1) Kết hợp bất đẳng thức 2.9 2.10 ta có kết luận bổ đê (2.10)  Định lý sau dạng Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ C vào khơng gian xạ ảnh kết hợp phức với siêu phẳng Định lý chứng minh M Ru vào năm 1997, cần thiết cho việc chứng minh Định lý 2.1.6 2.1.9 Định lý Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f = ( f , , f n ) : C → Pn (C) q siêu phẳng phân biệt H1 , , H q P n (C ) Goị L j ,1 ≤ j ≤ q , dạng tuyến tính xác định siêu phẳng H j tương ứng Kí hiệu W Wronskian f Khi 2π ∫ max log ∏ K j∈K || f (re iθ ) || || L j || dθ | L j ( f )(re iθ ) | 2π + N W (r ,0) ≤ (n + 1)T f (r ) + 0(T f ( r )), 20 Trong maximum lấy tất tập K {1,2, , q} cho dạng tuyến tính L j , j ∈ K , độc lập tuyến tính | L j | giá trị lớn môđun hệ số L j 2.2 Chứng minh định lý 2.1.6 Định lý Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số f : C → Pn (C) họ siêu mặt D j ,1 ≤ j ≤ q Pn (C) có bậc d j tương ứng vị trí tổng quát Gọi d bội số chung nhỏ d j Với < ε < M ≥ 2d [ n (n + 1)n(d + 1)ε −1 ]n , ta có q (q − (n + 1) − ε )T f (r ) ≤ ∑ d −j N Mf (r , D j ) j =1 , (2.1) Trong bất đẳng thức với r > đủ lớn nằm ngồi tập thích hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn Chứng minh Giả sử ( f , , f n ) biểu diển tối giản f Q j ,1 ≤ j ≤ q đa thức bậc d j C[ z0 , , z n ] định nghĩa D j Do D j ,1 ≤ j ≤ q , vị trí tổng quát nên q ≥ n + Trước hết ta khẳng định rằng: Chỉ cần chứng minh Định lý trường hợp d1 = = d q = d Thật vậy, định lý trường hợp với ε > M Định lý 2.1.6 ta có q (q − (n + 1) − ε )T f (r ) ≤ ∑ d −1 N Mf (r , Q j d /d j ) j =1 d /d Trong d bội số chung nhỏ d j , Q j , j = 1, , q , j đa thức bậc d Thấy rằng, z ∈ C không điểm d Q j  f với bội α z khơng điểm D dj / d j  f với bội α dj 21 d dj j Suy N (r , Q ) ≤ M f d M N f (r , Q j ) dj Điều kéo theo q (q − (n + 1) − ε )T f (r ) ≤ ∑ d −1 N Mf (r , Q j d /d j j =1 q ) ≤ ∑ d −j N Mf (r , Q j ) j =1 Như vậy, khơng tính tổng quát ta giả thiết đa thức Q1 , , Qq có bậc d Theo bổ đề 2.1.7, ta có q ∑m j =1 f (r, Q j ) ≤ 2π n ∫ {max} log ∏ Q i1 , ,in k =1 f (reiθ ) ik d dθ + 0(1) , o f (re ) 2π iθ (2.11) Trong maximun lấy cách chọn n số (i1 , , in ) tập {1, , q} Ta lấy tùy ý n đa thức phân biệt γ , , γ n ∈ {Q1 , , Qq } Từ giả thiết vị trí tổng quát họ siêu mặt D1 , , Dq suy γ , , γ n xác định đa tạp có số chiều Pn (C) Gọi α ≥ nd số nguyên dương cố định (ta chọn sau) Vα không gian đa thức bậc α C[ z0 , , z n ] Theo lập luận trên, ta xây dựng lọc không gian S (i ) Vα dựa đa thức γ , , γ n Đặt M = dim Vα Bây ta chọn sở thích hợp {ψ , ,ψ M } Vα quy nạp sau : Ta bắt đầu với không gian khác S (i ) lọc chọn sở Giả sử (i / ) > (i ) hai n liên thứ tự từ điển cho dσ (i ), dσ (i / ) ≤ α ta xây dựng sở β (i / ) S (i ) Từ định nghĩa không gian thương khơng gian liên tiếp, 22 lấy biểu diễn S (i ) phần tử không gian thương S ( i ) / S ( i / ) có dạng γ1i .γ ni η n tập biểu diễn Khi β( i ) ∗ η ∈ Vα − dσ (i ) gọi β (i ) = β( i / ) ∪β(∗i ) sở không gian S (i ) Qúa trình quy nạp tiếp tục S( i ) = Vα dừng lại Bằng đường ta thu sở {ψ , ,ψ M } Vα Giả sử {φ1 , , φ M } sở cố định Vα , đa thức ψ , ,ψ M biểu diễn dạng tuyến tính L1 , , LM phần tử Tức ψ t = Lt (φ1 , , φM ), t = 1, , M kéo theo ψ f ( f ) = Lt ( F ) φ1 , , φM Trong F := (ϕ1 ( f ), , ϕ M ( f )) : C → PM −1 (C) Do {φ1 , , φM } {ψ , ,ψ M } sở Vα nên dạng tuyến tính L1 , , LM độc lập tuyến tính Tiếp theo ta chứng minh F không suy biến tuyến tính Thật vậy, ngược lại tồn siêu phẳng H PM −1 (C) xác định dạng tuyến tính m LH = ∑ l j ω j cho F (C) ⊂ H , tức l1φ1 ( f ) + + lM φM ( f ) = j =1 Chú ý Q j , j = 1, , M , đa thức bậc α biến z0 , , z n Như f chứa đa tạp đại số bậc α Pn (C) , suy f suy biến đại số, mâu thuẫn với giả thiết f M M t =1 t =1 Với z ∈ C , ước lượng log ∏ | Lt ( F )( z ) |= log ∏ | ψ t ( f )( z ) | ∗ Giả sử (i) = (i0 , , in ) ∈ Iα , d ψ t ∈ β (i ) phần tử sở xây i i dựng Khi ψ t = γ γ n η , đóη ∈ Vα − dσ (i ) kéo theo n n 23 | ψ t  f ( z ) |≤| γ  f ( z ) |i1 | γ n  f ( z ) |i n | η  f ( z ) | ≤ c2 | γ  f ( z ) |i1 | γ n  f ( z ) |i n || f ( z ) ||α − dσ ( i ) Trong c2 số dương phụ thuộc vào ψ t , không phụ thuộc vào z Suy log | ψ t  f ( z ) |≤ i1 log | γ  f ( z ) | + + in log | γ n  f ( z ) | +(α − dσ (i )) log || f ( z ) || +c3 ≤ i1 (log | γ  f ( z ) | − log || f ( z ) ||d ) + + in (log | γ n  f ( z ) | − log || f ( z ) ||d +α log || f ( z ) || +c3 ≤ −i1 log || f ( z ) ||d || f ( z ) ||d − − in + α log || f ( z ) || +c3 , | γ  f ( z) | | γ n  f ( z) | Trong c3 số khơng phụ thuộc vào f z Chí ý rằng, có ∆ (i ) hàm ψ t sở {ψ , ,ψ M } Như M M t =1 t =1 log ∏ | Lt ( F )( z ) |= log ∏ | γ t  f ( z ) | ≤ −∑ ∆ ( i ) (i1 log (i ) || f ( z ) ||d || f ( z ) ||d + + in log ) + Mα log || f ( z ) || + Mc3 | γ  f ( z) | | γ n  f ( z) | n ≤ −(∑ ∆ ( i ) i j )∑ log (i ) Trong j =1 ∑ (2.12) (i ) || f ( z ) ||d + Mα log || f ( z ) || + Mc3 | γ j  f ( z) | lấy tất n -bộ (i ) ∈ Iα , d Chú ý ∆ := ∑ ( i ) ∆ ( i ) i j không phụ thuộc vào j ,1 ≤ j ≤ n , nên 2.12 trở thành M || f ( z ) ||d + Mα log || f ( z ) || + Mc3 j =1 | γ j  f ( z ) | n log ∏ | Lt ( F )( z ) |≤ −∆ log ∏ t =1 Điều kéo theo M || f ( z ) ||d || F ( z ) || M Mα ≤ log ∏ − log || F ( z ) || + log || f ( z ) + c4 ∆ ∆ ∆ j =1 | γ j  f ( z) | t = | Lt  F ( z ) | n log ∏ (2 13) 24 Trong c4 số dương không phụ thuộc vào f z Chú ý rằng, ta có số hữu hạn cách chọn đa thức γ , .,γ tập n {Q1 , , Qq } , nên có họ hữu hạn dạng tuyến tính L1 , , Lu Nhắc lại dạng L1 , , LM ∈ {L1 , , Lu } độc lập tuyến tính, nên 2.13 kéo theo 2π || f (re iθ ) ||d dθ iθ k =1 | Qi k  f ( re ) | 2π n max log ∏ ∫ {i1 , , i n } (2 14) || F (re iθ ) |||| L j || dθ M 2π Mα ≤ ∫ max log ∏ − TF (r ) + T f (r ) + c5 , i θ ∆ K ∆ ∆ j ∈ K | L j ( F )(re ) | 2π Trong đo max K lấy tất tập K {1, , u} cho dạng tuyến tính L j , j ∈ K , độc lập tuyến tính, c5 số độc lập với r Áp dụng Định lý 2.1.9 cho đường cong chỉnh hình F : C → PM −1 (C) siêu phẳng xác định dạng tuyến tính L1 , , Lu , ta có || F (re iθ ) |||| L j || dθ log ∏ iθ ∫0 max K j ∈ K | L j ( F )(re ) | 2π 2π (2.15) ≤ − NW (r ,0) + MTF (r ) + 0(TF ( r )) Trong W Wronskian hàm F1 , , FM Kết hợp 2.11, 2.14 2.15 ta q ∑m i =1 f (r , Qi ) ≤ − Mα NW (r ,0) + T f (r ) + 0(TF (r )) ∆ ∆ Theo định lý thứ nhất, ta có TF ( r ) ≤ αT f (r ) + 0(1), q Suy ∑m i =1 f (r , Qi ) ≤ − Mα NW (r ,0) + T f ( r ) + 0(T f (r )) ∆ ∆ (2.16) 25 q Cộng ∑N j =1 f (r , Q j ) vào hai vế 16 áp dụng Định lý thứ nhất, ta (qd − q Mα )T f (r ) ≤ ∑ N f (r , Q j ) − NW (r ,0) + 0(T f (r )) ∆ ∆ j =1 (2.17) Bây ta ước lượng vế trái 2.17 Theo bổ đề 2.1.8 chọn α = d (2(n + 1)(nd + n)(2 n − 1)ε −1 ) + 3nd Do (qd − Mα ε ≤ d (n + 1) + T f (r ) ∆ Mα ε )T f (r ) ≥ d (q − n − − )T f (r ) ∆ ε Chú ý rằng, r đủ lớn 0(T f (r )) ≤ T f (r ) Như (qd − Mα )T f (r ) − 0(T f (r )) ≥ d (q − n − − ε )T f (r ) ∆ (2.18 ) Khi r đủ lớn Bây ta ước lượng M Theo 1.8 với < ε < M≤ (α + n) n (d [2(n + 1)(nd + n)(2 n − 1)ε − ] + 4nd ) n ≤ ≤ 2d [2 n (n + 1)n(d + 1)ε − ]n n! n! q Tiếp theo ta ước lượng ∑N j =1 f (r , Q j ) − NW (r ,0) vế phải bất đẳng thức ∆ 2.17 Ta sẻ chứng minh q ∑ N f (r , Q j ) − j =1 q NW (r ,0) ≤ ∑ N Mf (r , Q j ) ∆ j =1 (2.19) Thật vậy, với ς ∈ C , khơng tính tổng qt, ta giả thiết Q j  f triệt tiêu ς với ≤ j ≤ q1 Q j  f không triệt tiêu ς với j > q1 Từ giả thiết siêu mặt D j , j = 1, , q , vị trí tổng quát , ta có q1 ≤ n Như tồn số nguyên k j ≥ hàm g j không triệt tiêu lân cận U z0 cho 26 k Q j  f ( z ) = ( z − ς ) j g j ( z ) với j = 1, , q, Trong k j = q1 ≤ j ≤ q Với cách chọn đa thức {φ1 , , φ n } ∈ {φ1 , , φ q } , ta thu sở {ψ , ,ψ M } Vα dạng tuyến tính độc lập tuyến tính L1 , , LM cho ψ t = f = Lt (F ) Theo bổ đề 2.1.5 ta có W = W ( F1 , , FM ) = CW ( L1 ( F ), , LM ( F )) ψ1  f ψ M  f (ψ1  f ) / (ψ M  f ) / =C   (ψ1  f ) ( M −1) (ψ M  f ) ( M −1) ∗ Chú ý rằng, với (i) = (i0 , , in ) ∈ Iα , d ψ t = β (i ) , ta biểu diễn ψ = Q1i1 Qni n η , η ∈ Vα − dσ (i ) Khi ψ  f = (Q1  f ) i1 (Qn  f ) i n (η  f ) i i Trong (Q j  f ) ( z ) = ( z − ς ) j j k j i g j j ( z ), j = 1, , n Ta giả thiết k j ≥ M ≤ j ≤ q0 ≤ k j < M q0 ≤ j ≤ q1 Ta biết ∆(i ) phần tử ψ sở {ψ , ,ψ M } Như W triệt tiêu ς với bậc q0 q0 ∑ (∑ i ( k (i ) j =1 q Bởi j j − M ))∆ ( i ) = ∑ i j ∆ ( i ) ∑ ∑ N f (r , Q j ) − j =1 (i) j =1 (k j ) q0 − M = ∆∑ j =1 (k j ) −M q NW (r ,0) ≤ ∑ N Mf (r , Q j ) ∆ j =1 Bất đẳng thức 2.19 chứng minh Kết hợp bất đẳng thức 2.18 2.19 vào bất đẳng thức 2.17 với giả thiết Định lý 2.1.6, ta có 27 q (q − n − − ε )T f (r ) ≤ ∑ N Mf (r , Q j ) j =1 d Đúng với số thực r đủ lớn nằm ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Định lý chứng minh  KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Trong luận văn hệ thống lại kết sau: Chương 1: Chúng hệ thống lại số khái niệm đường cong chỉnh hình hàm lý thuyết Nevanlinna- Cartan Chương 2: Tìm hiểu Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình phức 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Tạ Thị Hoài An (2000) Về tập xác định đa thức cho hàm phân hình, Luận án Tiến sĩ Tốn học - ĐHSP Vinh [2] Đồn Quang Mạnh (2003) Các định lý kiểu Picard tập xác định cho ánh xạ chỉnh hình p-adic nhiều biến, Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán Học [3] Hà Trần Phương (2009) Định lý thứ với bội cắt cụt tập xác định nhất, Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học Tiếng Anh [4] T T H An (2007) A defect relation for non-Archimedean analytic curves in arbitrary projective varieties, Proc Amer Math Soc 135, no 5, 1255-1261 [5] T T H An and J T Y Wang (2007) Unique range sets and uniqueness polynomials for algebraic curves, Trans Amer Math Soc 359, no 3, 937-964 ... lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình phức Đặc biệt, Định lý 2.1.6 dạng định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) kết hợp với siêu mặt cố định vị... xác định với số phần tử Chú ý rằng, hầu hết chứng minh kết tập xác định dựa vào dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt Sự lựa chọn đề tài: ? ?Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình. .. xác định điều kiện không kể bội cho ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức không Acsimet trường hợp siêu phẳng cố định Năm 2008, việc sử dụng định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong