Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh phức (C)

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐẠI HẢI SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC P3(C) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐẠI HẢI SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC P3(C) Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: Người hướng dẫn khoa học TS MAI VĂN TƯ Nghệ An – 2015 MỤC LỤC MỤC LỤC .2 MỞ ĐẦU .4 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ .6 1.1 Hàm nguyên phức 1.1.1 Hàm - khả vi 1.1.2 Hàm chỉnh hình 1.3 Các định lý lý thuyết Nevalinna trường số phức 13 1.3.1 Hàm đếm 13 1.3.2 Hàm xấp xỉ 14 1.3.3 Hàm đặc trưng Nevallinna 14 1.3.4 Định lý thứ Nevalinna .14 1.3.5 Nhận xét 14 1.3.6 Định lý thứ hai Nevalinna .14 1.3.10 Định nghĩa .16 1.3.11 Định lý Nochka- giả thiết Cartan 17 CHƯƠNG II SIÊU MẶT HYPEBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 18 2.1 Tính suy biến đường cong chỉnh hình phức 18 2.2 Siêu mặt hypebolic không gian xạ ảnh 21 2.2.1 Không gian hypebolic phức 21 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Trong thập niên qua, lý thuyết phân phối giá trị R Nevalinna xây dựng có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực nghiên cứu toán học Nhiều kết đặc sắc gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học giới nước Vào năm 1979, M Green Ph Griffiths đoán đường cong chỉnh hình bậc đủ lớn đa tạp xạ ảnh phức dạng tổng quát suy biến Cho đến nay, đoán dường chưa chứng minh đầy đủ, có số bước tiến thực M Green chứng minh tính suy biến đường cong chỉnh hình đa tạp Fermat có bậc đủ lớn Sau A M Nadel đưa lớp siêu mặt xạ ảnh mà đoán có hiệu lực Sử dụng kết tính suy biến đường cong chỉnh hình, Nadel xây dựng số ví dụ minh họa siêu mặt hyperbolic P3 Dựa vào báo “Hyperbolic surfaces in P ( C ) ” giáo sư Hà Huy Khoái số tài liệu tham khảo khác, tìm hiểu đề tài “Siêu mặt Hyperbolic không gian xạ ảnh phức P ( £ ) ” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức sở Chương Siêu mặt hyperbolic không gian xạ ảnh P ( £ ) Luận văn hoàn thành trường Đại Học Vinh với hướng dẫn tận tình, chu đáo Tiến sĩ Mai Văn Tư Tác giả bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người dành nhiều thời gian công sức tạo điều kiện để giúp đỡ hoàn thành luận văn Xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô giáo môn Đại số lý thuyết số, khoa Sư phạm toán học, phòng đào tạo Sau đại học thuộc trường Đại học Vinh tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập thực đề tài Mặc dù cố gắng song luận văn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô bạn học viên TÁC GIẢ CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hàm nguyên phức 1.1.1 Hàm £ - khả vi Giả sử D miền mặt phẳng phức £ f hàm biến phức z = x + iy xác định D Ta có định nghĩa quan trọng sau đây: 1.1.1.1 Định nghĩa Hàm f gọi £ − khả vi điểm z0 ∈ D tồn giới hạn lim h →0 h≠0 f ( z0 + h ) − f ( z0 ) h ta nói hàm f có đạo hàm theo biến phức điểm z0 ký hiệu f ' ( z0 ) hay df ( z0 ) : dz f ' ( z0 ) = df ( z0 ) f ( z0 + h ) − f ( z ) = lim h → dz h h≠0 1.1.2 Hàm chỉnh hình Từ tính £ - khả vi định nghĩa ta chưa thể rút kết luận mà mong muốn nói đến tầm quan trọng khái niệm Để thu kết đó, đòi hỏi hàm f phải £ - khả vi lân cận điểm z0 Vì ta có: 1.1.2.1 Định nghĩa 1) Hàm f gọi hàm chỉnh hình điểm z0 £ - khả vi lân cận điểm z0 Hàm f gọi chỉnh hình miền D chỉnh hình điểm miền Tập hợp hàm chỉnh hình miền D ký hiệu Η ( D ) 1 2) Hàm f ( z ) chỉnh hình điểm vô ϕ ( z ) = f  ÷ chỉnh hình z điểm z = Phần 2) định nghĩa 1.1.2.1 cho phép ta xét hàm chỉnh hình tập hợp £ 1.1.2.2 Định lý Giả sử miền D ⊂ £ H ( D ) tập hợp hàm chỉnh hình miền D Khi đó: 1) H ( D ) vành; 2) Nếu f ∈ H ( D ) f ( z ) ≠ ∀z ∈ D f ∈ H ( D ) ; 3) Nếu f ∈ H ( D ) f nhận giá trị thực f số Chứng minh Bằng cách tính toán trực tiếp ta thu ∂ ∂f ∂g ( f + g) = + ∂z ∂z ∂z ∂ ∂f ∂g ( f g ) = g + f ∂z ∂z ∂z Từ suy 1) 2) ∂f ∂f Để chứng minh 3) ta nhận xét ∂x , ∂y nhận giá trị thực Nhưng mặt khác: ∂f ∂f = i ∂x ∂y ∂f ∂f Nên suy ∂x ≡ ∂y ≡ Vậy f số 1.1.2.3 Định lý (về hàm hợp) Nếu f ( ω ) hàm chỉnh hình D* g : D → D* hàm chỉnh hình D hàm hợp f  g ( z )  chỉnh hình D Chứng minh Thật vậy, dễ thấy ∂  f ( g )  ∂f ∂g ∂f ∂ g = + ∂ω ∂ z ∂ω ∂ z ∂z Theo giả thiết ∂f ∂g = 0, = nên suy f  g ( z )  hàm chỉnh hình D ∂ω ∂z Tiếp theo, giả sử ω = f ( z ) , z ∈ D hàm chỉnh hình ánh xạ đơn trị mộtmột miền D lên miền D* Điều có nghĩa theo hàm cho z ∈ D tương ứng với giá trị ω ∈ D* đồng thời theo quy luật ω ∈ D* tương ứng với giá trị z ∈ D Từ xác định hàm đơn trị z = ϕ ( ω ) , ω ∈ D* có tính chất f ϕ ( ω )  = ω , ω ∈ D* Như ta biết hàm z = ϕ ( ω ) gọi hàm ngược hàm ω = f ( z ) , z ∈ D ' Ta chứng minh f ( z ) ≠ 0, z ∈ D hàm z = ϕ ( ω ) hàm chỉnh hình D* Thật vậy, giả sử ω , ω + ∆ω ∈ D* Nhờ hàm ngược, điểm tương ứng với điểm z, z+∆z Theo giả thiết hàm f có đạo hàm điểm z nên f ( z ) liên tục điểm đó: ∆ω → ∆z → Do tính đơn trị một- ta có điều khẳng định ngược lại: ∆z → ∆ω → Nhưng lim ∆ω → ∆z 1 = lim = ' , ∆ z → ∆ ω ∆ω f ( z) ∆z ( f ( z ) ≠ 0) ' Điều chứng tỏ đạo hàm hàm ngược z = ϕ ( ω ) tồn tại điểm ω ϕ' ( ω) = f ' ( z) , ω ∈ D* ' ' Vì ω điểm tuỳ ý D* , f ( z ) liên tục f ( z ) ≠ nên hàm ϕ ( ω ) chỉnh hình D* 1.1.2.4 Định lý Giả sử cho chuỗi luỹ thừa ∑a z n≥0 n n (2.1) Nếu bán kính hội tụ chuỗi (2.1) khác tổng S ( z ) hàm chỉnh hình hình tròn hội tụ { z < R, R > 0} nó, tức z < R ta có S ( z + h) − S ( z ) h →0 h S ' ( z ) = lim (2.2) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh bán kính hội tụ chuỗi cho (2.1) R bán kính hội tụ R* chuỗi đạo hàm S0 ( z ) = ∑ nan z n −1 (2.3) n ≥1 R Thật vậy, hiển nhiên bán kính R* bán kính hội tụ chuỗi ∑ na z n≥0 Nhưng n n lim n n an = lim n n n an = lim n an x →∞ x →∞ x →∞ Và ( R* = lim n n an x →∞ ) = ( lim −1 x →∞ n an ) −1 =R 10 Giả sử z điểm cố định tuỳ ý nằm hình tròn z < R Khi số R1 ( < R1 < R ) cho z < R1 < R Giả sử ∆z số gia tuỳ ý z mà z + ∆z < R1 < R Vì ( z + ∆z ) n − zn ∆z = ( z + ∆z ) n −1 + z ( z + ∆z ) n −2 + + z n −1 S ( z + ∆z ) − S ( z ) − S0 ( z ) ≤ ∆z + ∞ ∑ a ( z + ∆z ) n = m +1 + ∞ ∑ na z n = m +1 n −1 n m ∑ a ( z + ∆z ) n =1 + z ( z + ∆z ) n −1 n n −2 + z ( z + ∆z ) n −2 + + z n −1 − nz n −1   + + z n −1   n −1 (2.4) n Xét điểm z * = R1 Vì điểm nằm hình tròn hội tụ z < R chuỗi (2.3) nên từ hội tụ tuyệt đối chuỗi (2.3) hình tròn z < R suy ∀ε > 0, ∃M=M ( ε ) cho ∀m > M phần dư ∞ ∑ na n = m +1 n R1n −1 < ε (2.5) Do với m > M , từ (2.5) thu ∞ ∑ n = m +1 nan z n −1 < ∞ ∑ na n = m +1 n R1n −1 < ε (2.6) Và ∞ ∑ a ( z + ∆z ) n = m +1 ∞ ∑ na n = m +1 Tiếp theo từ hệ thức n −1 n n R1n −1 < ε + z ( z + ∆z ) n− + + z n −1  ≤  (2.7) 16 N k ( r , H j ) hàm đếm mức k hàm Fjο f , nghĩa vế phải tổng lấy với không điểm λs hàm Fjο f , tính bội bội nhỏ k k trường hợp lại 1.3.8 Định nghĩa n Các siêu phẳng H1 , , H q không gian xạ ảnh P ( C ) gọi vị trí tổng quát chúng độc lập tuyến tính q < n + ( n + 1) siêu phẳng chúng độc lập tuyến tính q ≥ n + 1.3.9 Định lý Cartan n Giả sử f = ( f1 , , f n +1 ) : C → P ( C ) đường cong chỉnh hình không suy biến với hàm chỉnh hình f j điểm chung Giả thiết thêm H1 , , H q siêu phẳng vị trí tổng quát f ( C ) ⊄ H j , j=1, ,q Chúng ta nhận ( q − n − 1) T (  q f , r ) ≤ ∑ Nn ( Hi , r ) + S ( r ) i =1  ÷÷  R − r   Trong S ( r ) < ( log T ( f , r ) ) +  log   H Cartan tin kết với đường cong k − không suy biến, ≤ k ≤ n 1.3.10 Định nghĩa Một đường cong chỉnh hình f : C → Pn gọi k − không suy biến ảnh f chứa không gian tuyến tính k - chiều f ( C ) không nằm không gian tuyến tính với chiều nhỏ k 17 1.3.11 Định lý Nochka- giả thiết Cartan Giả sử f : C → P n đường cong chỉnh hình k- không suy biến, H1 , , H q siêu phẳng vị trí tổng quát Giả thiết thêm f ( C ) ⊄ H j , j = 1, , q , có ( q − 2n + k − 1) T ( q f , r ) ≤ ∑ Nk ( Hi , r ) + S ( r ) i =1 Trong S ( r ) = ( log  r.T ( f , r )  ) Rõ ràng k = n , ta có định lý Cartan ứng với n = k = , ta thu định lý thứ hai Nevalinna 18 CHƯƠNG II SIÊU MẶT HYPEBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P ( C ) 2.1 Tính suy biến đường cong chỉnh hình phức Đặt a ,1 a ,n +1 M j = z1 j zn +j , 1≤ j ≤ s đơn thức phân biệt có bậc d với số mũ không âm Giả sử X siêu mặt có bậc d P n (£ ) định nghĩa X : c1M1 + cs M s = , c j ∈£ * số khác Chúng ta nhắc lại X biến dạng siêu mặt Fermat bậc d s ≥ n + M j = z dj , j = 1, , n + 2.1.1 Định lý Giả sử tồn số nguyên k ≥ cho X thỏa mãn điều kiện sau đây: i) Với j ≥ n + 2, m = 1, , n + , số mũ α j ,m 0, α j ,m ≥ d − k ii) d > k+s(s-2) Khi đó, với đường cong chỉnh hình X suy biến Để chứng minh Định lý 2.1.1, nhắc lại hệ thức sai số Cartan cho đường cong chỉnh hình Giả sử f đường cong chỉnh hình H siêu phẳng P n (£ ) mà không chứa ảnh f Chúng ta ký hiệu deg z f * H bậc ước f * H z ∈ £ Chúng ta nói f phân nhánh d (>0) H 19 deg z f * H ≥ d với z ∈ f −1H Trong trường hợp f −1H = , đặt d = ∞ 2.1.2 Bổ đề (H Cartan [C]) Giả sử f không suy biến tuyến tính phân nhánh d H j ,1 ≤ j ≤ q , siêu phẳng H j thuộc vị trí tổng quát Khi đó: q n ∑ (1 − d j =1 ) ≤ n +1 j Bây giả sử X siêu mặt thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1.1, giả sử f = ( f1, , f n +1) : £ → X đường cong chỉnh hình Chúng ta chứng tỏ { f1d , , f n +1d , M n +1 o f , M s o f } phụ thuộc tuyến tính Giả sử trường hợp không xảy Xem xét đường cong chỉnh hình g thuộc P s− (£ ) xác định g : z ∈ £ a { f1d ( z ), , f n +1d ( z ), M n+ o f ( z ), M s −1 o f ( z )} ∈ P s − (£ ) Cho siêu phẳng sau vị trí tổng quát: H1 = {z1 = 0}, , H s −1 = {z s −1 = 0}, H s = {c1z1 + + cs −1z s −1 = 0} Từ giả thiết Định lý 2.1.1, thấy g phân nhánh d − k H j với ≤ j ≤ s Suy từ Bổ đề 2.1.2 s (1) s−2 ∑ (1 − d − k ) ≤ s − j =1 Vì d ≤ k + s ( s − 2) , ta gặp mâu thuẫn Khi đó, ảnh f chứa tập đại số thực X xác định phương trình sau 20 a1z1d + + an +1znd+1 + an + M n+ + + as −1M s −1 = Trong a j không đồng Định lý 2.1.1 chứng minh 2.1.3 Hệ ([7]) Giả sử X siêu mặt Fermat X : z1d + + zn +1d = , Và giả sử f = ( f1, , f n +1 ) đường cong chỉnh hình X Nếu d > n − , tồn phân hoạch số { 1,…, n + 1} = ∪Iξ cho: i) Nếu i, j ∈∪ Iξ , ii) fi fj = const , ∑ fid = với ξ i∈Iξ Chứng minh Ta cần cho P3 (£ ) Định lý 2.1.1, áp dụng Định lý 2.1.1 nhiều lần Hệ chứng minh theo quy nạp Chú ý giả thiết Định lý 2.1.1 thỏa mãn sau bước quy nạp Dạng rõ ràng sau Định lý 2.1.1 hữu dụng ứng dụng cho mặt P3 (£ ) 2.1.4 Định lý Giả sử X siêu mặt thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1.1, bất đẳng thức ii) thay bất đẳng thức yếu hơn: (n + 1)( s − 2) ( s − 2)( s − n − 1) + d − Ở đây, giả thiết có a1 = d − (a2 + a3 ) ≤ d − 14 Chứng minh hoàn thành Chú ý K Masuda J Noguchi chứng tỏ với n, tồn số d ( n ) cho với d ≥ d (n) , tồn siêu mặt hyperbolic bậc d thuộc P n (£ ) Chúng chứng tỏ d (3) ≤ 54 M Nadel đưa ví dụ minh họa mặt hyperbolic thuộc P (£ ) có bậc d=3e, e ≥ , từ định lý 2.1.1, ta suy d (3) ≤ 22 Kết hợp Định lý 2.2.2 với kết Nadel ([9]) có d (3) ≤ 21 Chú ý Rõ ràng rằng, đẳng thức (3), cho α cziα i z j j zl αl thay cz1α1 z2α z3α , với ba ( zi , z j , zl ) từ ( z1, z2 , z3 , z4 ) Chú ý Từ chứng minh Định lý 2.2.2, ta suy mặt sau hyperbolic: 27 (5) X : z1d + z2 d + z3d + z4 d + cz1α1 z2α z3α z4α = c ≠ Thực tế, ta cần cho ∑αi = d ,αi ≥ 6, d > 24 i =1 lặp lại chứng minh Định lý 2.2.2 2.2.3 Định lý Giả sử X đường cong thuộc P (£ ) định nghĩa đẳng thức X : z1d + z2 d + z3d + z4 d + cz1α1 z2α z3α z4α = , c ≠ Nếu α i ≥ , d ≥ 19 P (£ ) \ X hyperbolic Chứng minh Giả sử f = ( f1, f , f3 ) đường cong Xem xét mặt Y xác định đẳng thức sau đây: Giả sử ϕ : Y \ {z =0} → P (£ ) \ X phép chiếu ba vị trí Khi ϕ hợp không phân nhánh, f nâng lên f% = ( f1, f , f3 , f ) : £ → Y \ {z4 = 0} Bây chứng minh từ giả thiết Định lý 2.2.3, f% suy biến Y Thực vậy, điều không xảy ra, cho k = d − lặp lại chứng minh Định lý 2.1.4 Chú ý f ≠ , sử dụng Bổ đề 2.1.2, cho d = ∞ Từ đó, thay bất đẳng thức (2) thu (1 − 5−3 5−2 ) + + (1 − ) ≤ −1 d Điều d ≥ 19 28 Vì vậy, theo chứng minh Định lý 2.2.2, Y hyperbolic, f% hằng, f Định lý chứng minh Chú ý M G Zaidenberg chứng minh với d ≥ , tồn đường cong hyperbolic bậc d cho phần bù chúng hyperbolic đầy đủ nhúng hyperbolic vào P (£ ) K Masuda J Noguchi đưa cấu trúc đường cong với d ≥ 48 Ở có ví dụ với d ≥ 19 29 KẾT LUẬN Nội dung luận văn dựa vào báo [ 8] để tìm hiểu trình bày chi tiết siêu mặt Hypebolic phức không gian xạ ảnh P ( £ ) Cụ thể luận văn trình bày nội dung sau: Một số kiến thức sở (chương 1) Tính suy biến đường cong chỉnh hình phức Siêu mặt Hypebolic P ( £) 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [ 1] Nguyễn Thành Quang (1998), suy biến đường cong chỉnh hình tính Hyperbolic Body p-adic, luận án tiến sĩ toán học, Đại học sư phạm Vinh [ 2] Lý Anh Tiến, (2008) Lý thuyết Nevalinna ứng dụng nghiên cứu phương trình hàm, luận văn thạc sĩ toán học Đại học sư phạm Thái nguyên [ 3] Mai Văn Tư (1995), Lý thuyết Nevanlinna- Cartan không gian Hyperbolic Brody p- adic, luận án phó tiến sĩ, Đại học sư phạm Vinh [ 4] Mai Văn Tư Lý thuyết hàm trường phi Ácsimét NXB Đại học Vinh (Sách chuyên khảo) Tiếng anh [5] R.Brody (1978), compact manifolds and hyperbolicity, Trans Amer Math Soc 235, 213-209 [6] R Brody and M Green (1977), A family of smooth hyperbolic hypersurfaces in P3 , Duke Math J 44, 874-874 [ 7] M.Green (1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to algebraic varieties, Amer J Math 97, 43-75 [8] Ha Huy Khoai (1997) Hyperbolic surfaces in P ( £ ) , Proc Amer Math Soc Vol 125, pp 3527-3532 [ 9] A.Nadel (1989), Hyperbolic surfaces in P , Duke Math J 58, 749-771 [...]... đều có tính chất trên 2.2.1.7 Hệ quả Mọi không gian hyperbolic Kobayashi đều là không gian hyperbolic Brody 2.2.1.8 Định lý Giả sử không gian con của không gian Y hoặc f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình và đơn ánh Khi đó nếu X là không gian hyperbolic thì Y cũng vậy 2.2.1.9 Định lý Giả sử X và Y là các không gian phức và f là ánh xạ chỉnh hình từ X vào không gian hyperbolic Y thoả mãn hai điều kiện: ( i... =1 s ∑ (1 − j =n+ 2 ( s − 2) ) ≤ s −1 d −k 2.2 Siêu mặt hypebolic trong không gian xạ ảnh P ( C ) Trong mục này chúng tôi tìm hiểu, trình bày chi tiết các ví dụ minh họa 3 về các mặt hyperbolic trên P3 (£ ) và các đường cong trên P 2 (£ ) với phần bù hyperbolic 2.2.1 Không gian hypebolic phức 2.2.1.1 Định nghĩa Giả sử D là đĩa đơn vị trong £ , khoảng cách hyperbolic giữa hai điểm a, b ∈ D được xác định... cho f ( U ) là hyperbolic Khi đó X là không gian hyperbolic Kobayashi 2.2.1.10 Định lý Giả sử X là k hông gian phức compact, khi đó X là không gian hyperbolic Brody khi và chỉ khi X là không gian hyperbolic Kobayashi 2.2.1.11 Nhận xét 24 Vì £ p là không gian compact địa phương nên theo chúng tôi, khó có thể chỉ ra sự tương đương giữa hai khái niệm này Định lý 2.2.2 Giả sử X là một siêu mặt trên P3 (£... và trình 3 bày khá chi tiết về siêu mặt Hypebolic phức trong không gian xạ ảnh P ( £ ) Cụ thể luận văn đã trình bày những nội dung sau: 1 Một số kiến thức cơ sở (chương 1) 2 Tính suy biến của đường cong chỉnh hình phức 3 Siêu mặt Hypebolic trong P 3 ( £) 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [ 1] Nguyễn Thành Quang (1998), sự suy biến của các đường cong chỉnh hình và tính Hyperbolic Body p-adic, luận án... Một đường cong chỉnh hình f : C → Pn được gọi là k − không suy biến nếu ảnh của f được chứa trong một không gian con tuyến tính k - chiều và f ( C ) không nằm trong bất kỳ của một không gian con tuyến tính với chiều nhỏ hơn k 17 1.3.11 Định lý Nochka- giả thiết Cartan Giả sử f : C → P n là đường cong chỉnh hình k- không suy biến, H1 , , H q là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Giả thiết thêm rằng f... Trong đó S ( r ) = 0 ( log  r.T ( f , r )  ) Rõ ràng khi k = n , ta có định lý Cartan và ứng với n = k = 1 , ta thu được định lý cơ bản thứ hai của Nevalinna 18 CHƯƠNG II SIÊU MẶT HYPEBOLIC TRONG KHÔNG 3 GIAN XẠ ẢNH P ( C ) 2.1 Tính suy biến của đường cong chỉnh hình phức Đặt a ,1 a ,n +1 M j = z1 j zn +j 1 , 1≤ j ≤ s là các đơn thức phân biệt có bậc d với các số mũ không âm Giả sử X là một siêu. .. trong ' hình tròn hội tụ z − z0 < R của chuỗi đó và đạo hàm f ( z ) được tìm theo công thức f ' ( z ) = ∑ nan ( z − z0 ) n ≥1 1.2 Đường cong chỉnh hình phức 1.2.1 Định nghĩa n −1 12 Một đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức n chiều P n ( £ ) được định nghĩa là ánh xạ f = ( f1 , , f n+1 ) : £ → P n ( £ ) za ( f ( z ) , , f ( z ) ) 1 n +1 Trong đó f i , 1 ≤ i ≤ n + 1 là các hàm nguyên không. .. là không tồn tại a ∈ £ để f i ( a ) = 0, ∀ i = 1, n + 1 ) Đặc biệt, nếu f i , 1 ≤ i ≤ n+1 là các hàm đa thức thì f được gọi là đường cong đa thức n Đường cong f = ( f1 , , f n+1 ) : £ → P ( £ ) được gọi là không suy biến nếu ảnh của nó không được chứa trong một không gian con tuyến tính của P n ( £ ) với số chiều nhỏ hơn n Ta biết rằng đường cong f không suy biến khi và chỉ khi Wronskian W ( f ) không. .. P ( C ) là đường cong chỉnh hình, trong đó f j là các hàm chỉnh hình không có không điểm chung Hàm đặc trưng của Cartan được xác định bởi hệ thức T ( f ,r) = 1 2π ∫ 2π 0 max log f j ( reiθ ) dθ j n Nếu các siêu phẳng H j của không gian xạ ảnh P ( C ) được xác định bởi phương trình Fj ( z1 , , zn +1 ) = 0 , khi đó chúng ta đặt N k ( r , H j ) = ∑ log + s r λs , 16 trong đó N k ( r , H j ) là hàm đếm... hàm Fjο f , nghĩa là vế phải của tổng trên được lấy với mọi không điểm λs của hàm Fjο f , tính cả bội nếu bội của nó nhỏ hơn k và bằng k trong trường hợp còn lại 1.3.8 Định nghĩa n Các siêu phẳng H1 , , H q của không gian xạ ảnh P ( C ) được gọi là ở vị trí tổng quát nếu chúng độc lập tuyến tính khi q < n + 1 hoặc ( n + 1) siêu phẳng bất kỳ trong chúng là độc lập tuyến tính khi q ≥ n + 1 1.3.9 Định ... CHƯƠNG II SIÊU MẶT HYPEBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 18 2.1 Tính suy biến đường cong chỉnh hình phức 18 2.2 Siêu mặt hypebolic không gian xạ ảnh 21 2.2.1 Không gian hypebolic phức ... Siêu mặt hypebolic không gian xạ ảnh P ( C ) Trong mục tìm hiểu, trình bày chi tiết ví dụ minh họa mặt hyperbolic P3 (£ ) đường cong P (£ ) với phần bù hyperbolic 2.2.1 Không gian hypebolic phức. .. tài Siêu mặt Hyperbolic không gian xạ ảnh phức P ( £ ) ” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức sở Chương Siêu mặt hyperbolic không