Về siêu mặt hyperbolic p ADIC trong không gian xạ ảnh p3 (cp)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THẢO VỀ SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P 3(Cp) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THẢO VỀ SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P 3(Cp) Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS MAI VĂN TƯ Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Trường số phức p-adic 1.2 Hàm nguyên p-adic 1.3 Đường cong chỉnh hình p-adic 10 1.4 Các định lí lý thuyết Nevalinna p-adic 11 SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P (Cp ) 14 2.1 Độ cao hàm chỉnh hình p–adic 14 2.2 Tính suy biến đường cong hàm chỉnh hình 17 2.3 Siêu mặt hyperbolic không gian xạ ảnh P (Cp ) 25 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Trong thập niên qua, lý thuyết phân phối giá trị R.Nevanlinna xây dựng có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực nghiên cứu toán học Đã có nhiều kết đặc sắc gắn liền với tên tuổi nhà toán học giới Năm 1979, M.Green Ph.Griffiths đoán đường cong chỉnh hình bậc đủ lớn đa tạp xạ ảnh suy biến Đến đoán dường chưa chứng minh số bước tiến thực Sử dụng kết suy biến đường cong chỉnh hình A.M.Nadel xây dựng số ví dụ siêu mặt hyperbolic P Đối với trường hợp p-adic, suy biến đường cong chỉnh hình đa tạp Fermat bậc đủ lớn xây dựng Hà Huy Khoái Mai Văn Tư Nội dung luận văn dựa vào tài liệu tham khảo báo [4] Hà Huy Khoái số tài liệu khác để trình bày siêu mặt hyperbolic p-adic không gian xạ ảnh P (Cp ) Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương Kiến thức sở Chương Siêu mặt hyperbolic p-adic không gian xạ ảnh P (Cp ) Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo Tiến sỹ Mai Văn Tư Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người dành nhiều thời gian công sức để giúp đỡ cho hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số lý thuyết số, khoa sư phạm Toán học, phòng đào tạo Sau Đại Học, trường đại học Vinh, người tận tình giảng dạy tổ chức thành công cho khóa học Mặc dù cố gắng song luận văn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn học viên Vinh, tháng 10 năm 2015 Tác giả Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Trường số phức p-adic 1.1.1 Sự phân loại giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ 1.1.1.1 Định nghĩa Giả sử K trường, giá trị tuyệt đối v K ánh xạ từ K vào R (ký hiệu v(x) = |x|v ,∀x ∈ K ), thỏa mãn đồng thời điều kiện sau đây: a |x|v ≥ 0, với x ∈ K |x|v = x = b |xy|v = |x|v |y|v với x, y ∈ K c |x + y|v ≤ |x|v + |y|v với x, y ∈ K Một hàm giá trị tuyệt đối trường K gọi hàm giá trị tuyệt đối phi Acsimet thỏa mãn điều kiện: |x + y|v ≤ max{|x|v , |y|v } với x, y ∈ K 1.1.1.2 Ví dụ Cho p số nguyên tố, ∀x ∈ Q, x = 0, ta có: ∝k ∝2 x = ±p∝ p2 pk với pi số nguyên tố, ∝i số nguyên, i = 1, 2, k Kí hiệu ordpi (x) =∝i , i = 1, 2, , k , ordp (x) = p = pi Với x ∈ Q, kí hiệu |x|p = pordp (x) x = |0|p = Khi |.|p thỏa mãn định nghĩa giá trị tuyệt đối phi Acsimet gọi giá trị tuyệt đối p-adic x = x = gọi giá trị tuyệt đối tầm thường ∀x ∈ K , đặt |x| = giá trị tuyệt đối phi Acsimet, 1.1.1.3 Định lí Ostrowski Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường Q tương đương với giá trị tuyệt đối p–adic |.|p , p số nguyên tố bất kỳ, p = ∞ Định lí Ostrowski cho hướng mở rộng trường Q thành trường đóng đại số Thứ theo cách mở rộng thông thường Q mở rộng thành C Thứ hai cách mở rộng giá trị tuyệt đối p-adic sau: 1.1.2 Trường số hữu tỉ p-adic Gọi X tập hợp dãy số hữu tỉ theo giá trị tuyệt đối p-adic |.|p Trên X ta xác định quan hệ tương đương sau: a = aj ∈ X ; b = b j ∈ X a ∼ b ↔ lim |aj − bj | = j→∞ Kí hiệu Qp = X/ ∼= {¯ a = {a¯j }}, a ¯ = {{¯bj } ∈ X : lim |aj − bj | = 0} j→∞ Ta có định lý sau: Định lý Qp với hai phép toán xây dựng lập thành trường gọi trường số hữu tỉ p-adic Qp trường mở rộng trường số hữu tỷ Q 1.1.3 Mở rộng đóng đại số đầy đủ Cp trường số Qp ¯ p bao đóng đại số Qp Kí hiệu Q ¯ p , α nghiệm đa thức bất khả quy f (x) ∈ Qp [x]: Nếu α ∈ Q f (x) = xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an ¯ p xác định hệ thức: Khi đó, giá trị tuyệt đối α Q |α|p = |an |p Rõ ràng hàm mở rộng hàm giá trị tuyệt đối Qp ¯ p trường không đầy đủ 1.1.3.1 Định lý Q Như vậy, bao đóng đại số trường số p-adic không gian đầy đủ Để có không gian đầy đủ, ta cần làm đầy theo cách thông thường sau ¯ p , dãy {xn } Giả sử X tập hợp dãy gồm phần tử Q gọi dãy không lim |xn |p = n→∞ Hai dãy {xn }, {yn } gọi tương đương {xn −yn } dãy không Đặt Cp = X/ ∼, rõ ràng Cp với hai phép toán +, dãy thông thường (cộng, nhân thành phần) lập thành trường 1.1.3.2 Định lý Cp trường đóng đại số ¯ p Mỗi phần tử Cp giới hạn dãy phần tử Q Nếu α = lim xn , giá trị tuyệt đối Cp định nghĩa sau: n→∞ |α|p = lim |xn |p n→∞ Ngoài hàm ordp (x) Qp mở rộng thành hàm số cho công thức v(z) = −log|z|, z ∈ Cp 1.1.3.3 Định lý i Cp trường đóng đại số đầy đủ ii Cp Qp - không gian véc tơ vô hạn chiều iii Cp không compac địa phương iv Cp tách v Trường lớp thặng dư Cp bao đóng đại số trường có p phần tử vi Nhóm giá trị Cp compac 1.1.3.4 Một số kí hiệu Với r ∈ R, ta đặt: Dr (a) = {z ∈ Cp : |z − a|p < R} ¯ r (a) = {z ∈ Cp : |z − a|p ≤ R} D Dr = Dr (0) = {z ∈ Cp : |z|p < R} ¯r = D ¯ r (0) = {z ∈ Cp : |z|p ≤ R} D −logp |z|p z = v(z) = ∞ z = 1.2 Hàm nguyên p-adic 1.2.1 Chuỗi lũy thừa p-adic Chuỗi lũy thừa p-adic chuỗi hàm có dạng: ∞ n=0 an z n = a0 + a1 z + + an z n + (1) ∈ Cp (i = 0, 1, ) 1.2.2 Định nghĩa Một chuỗi lũy thừa p-adic hội tụ Cp gọi hàm chỉnh hình hay hàm nguyên p-adic Cp ∞ Kí hiệu: f (z) = an z n (an ∈ Cp ) n=0 Giả sử f (z), g(z) hàm chỉnh hình điểm chung đĩa Dr Khi ϕ(z) = f (z)/g(z) gọi hàm phân hình đĩa Dr 1.2.3 Bán kính hội tụ Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (1) xác định hệ thức r = ( lim |an |pn )−1 n→∞ Đặt Dr = Dr (0) = {z ∈ Cp : |z|p < r} 1.2.4 Định lí i Chuỗi (1) hội tụ lim |an zn |p = n→∞ ii Chuỗi (1) hội tụ Dr phân kỳ {z ∈ Cp : |z|p > r} iii Nếu chuỗi (1) hội tụ miền Dr hội tụ tuyệt đối, hội tụ Dr iv Nếu chuỗi (1) hội tụ S(z) miền Dr S(z) hàm liên tục Dr , r = ( lim |an |pn )−1 bán kính hội tụ chuỗi (1) n→∞ 1.2.5 Định nghĩa Độ cao chuỗi lũy thừa (1) xác định hệ thức: h( , t) = {v(an ) + nt} 0≤n v(z0 )} Chứng minh Ta có chuỗi lũy thừa (1) hội tụ lim |an z n |p n→∞ = ⇔ lim p−{v(an )+nt} = n→∞ ⇔ lim {v(an ) + nt} = ∞ n→∞ Theo mệnh đề 1, chuỗi (1) hội tụ z0 nên lim {v(an ) + nt} = ∞ n→∞ Khi lim {[v(an ) + nv(z)] − [v(an ) + nv(z0 )]} = lim n[v(z) − v(z0 )] = ∞ n→∞ n→∞ với v(z) > v(z0 ), lim {v(an ) + nv(z)} = ∞ n→∞ Chứng tỏ chuỗi hội tụ điểm thuộc miền {z ∈ Cp : v(z) > v(z0 )} 1.2.8 Định lý Chuỗi lũy thừa (1) hội tụ đĩa Dr đường thẳng t0 = −logp r đường tiệm cận đường đa giác h( , t) 1.3 Đường cong chỉnh hình p-adic 1.3.1 Định nghĩa Một đường cong chỉnh hình không gian xạ ảnh phức n chiều P n (Cp ) định nghĩa ánh xạ f = (f1 , , f(n+1) ) : Cp → P n (Cp ) z → (f1 (z), , f(n+1) (z)) Trong fi , ≤ i ≤ n + hàm nguyên điểm chung Cp (nghĩa không tồn a ∈ Cp để fi (a) = 0, ∀i = 1, , n + 1) 20 Từ (1)(2) giả thiết quy nạp với k , kết thúc chứng minh với k + 1, theo nguyên lí quy nạp, bổ đề chứng minh Chú ý rằng, kết bổ đề không phụ thuộc bậc d 2.2.8 Mệnh đề Giả sử X biến dạng siêu mặt Fermat bậc d trong P n (Cp ) f đường cong chỉnh hình X Giả sử d≥ (n + 1)(s − 1)(s − 2) Nếu {Mj ◦ f, j = 1, , s − 1} độc lập tuyến tính, f ánh xạ Chứng minh Để đơn giản, ta đặt: gj (z) = cj Mj ◦ f (z)/cs Ms ◦ f, j = 1, , s = Khi đó, hàm phân hình {g1 , , gs−1 } thỏa mãn hệ thức {g1 , , gs−1 } ≡ −1 Chúng ta thấy {g1 , , gs−1 } phụ thuộc tuyến tính Bây ta xác định Wronskian logarit sau: 1 g1 g1 g2 g2 gs−1 gs−1 gs−1 gs−1 Ls (g) = (s−2) g1 g1 (s−2) (s−2) g2 g2 Và Wronskian logarit Ls = Li (g1 , , gs−1 ): 1 g2 g2 g2 g2 Ls (g) = L1 {g1 , , gs−1 } gs−1 gs−1 gs−1 gs−1 (s−2) (s−2) Hoàn toàn tương tự, xác định Li với i = 2, , s − 1, cột {1, 0, , 0} cột thứ i 21 Nếu {g1 , , gs−1 } độc lập tuyến tính, ánh xạ xạ ảnh (M1 ◦ f, , Ms ◦ f ) L = (L1 , L2 , , Ls ) trùng Sử dụng Bổ đề 2.2.7 cho định thức, chẳng hạn với định thức L1 , số hạng có dạng: R Q1 Qs−2 = (s−2)(s−1) ϕ ϕs−2 ϕ Trong ϕ (s−2)(s−1) mẫu số chung số hạng biểu thức khai triển định thức Li(g) Vì vậy, có ánh xạ xạ ảnh nhau: (M1 ◦ f, , Ms ◦ f ) = (L1 , , Ls ) = (R, , Rs ) Chú ý theo cách xây dựng, Rj hàm chỉnh hình thỏa mãn điều kiện sau (với t đủ bé): s−2 h(Rj , t) = h(Qk , t) k=1 s−2 ≥ (h(ϕ, t) − t) k k=1 = (s−1)(s−2) h(ϕ, t) ≥ (n+1)(s−1)(s−2) h(f, t) − (s−1)(s−2) t − (s−1)(s−2) t Từ M1 ◦ f, , Ms ◦ f không điểm chung, theo Mệnh đề 2.1.6 ta có: h(M1 ◦ f, t) ≥ h(Rj , t) + 0(1) 1≤j≤s ≥ j (n+1)(s−1)(s−2) h(f, t) − (s−1)(s−2) t + 0(1) Vì X biến dạng siêu mặt Fermat bậc d nên: h(Mj ◦ f.t) = d h(fj , t) ≥ dh(f, t) 1≤j≤n+1 1≤j≤n+1 (3) 22 Với đơn thức khác ta có: ∞ h(Mj ◦ f, t) = ajk h(fj , t) = dh(f, t) k=1 Vì vậy: dh(f, t) ≥ Nếu d = Nếu d ≥ (n + 1)(s − 1)(s − 2) (s − 1)(s − 2) h(f, t) − t + 0(1) 2 (n+1)(s−1)(s−2) (n+1)(s−1)(s−2) , từ (4) bất đẳng thức không t → −∞ bất đẳng thức (4), ta có: h(f, t) ≥ −N t + 0(1) với N số nguyên dương Theo Mệnh đề 2.1.5, f ánh xạ Mệnh đề 2.2.8 chứng minh Chứng minh Định lí 2.2.6 Dễ thấy, theo Mệnh đề 2.2.8, ảnh f chứa tập đại số thực X xác định phương trình: d a1 z1d + a2 z2d + + an+1 zn+1 + an+1 Mn+2 + + as−1 Ms−1 = với aj = 2.3 Siêu mặt hyperbolic không gian xạ ảnh P (Cp ) 2.3.1 Định nghĩa Một đa tạp đại số xạ ảnh Y không gian xạ ảnh P n (Cp ) hyperbolic Brody p-adic đường cong chỉnh hình f : Cp −→ Y ⊂ P n (Cp ) ánh xạ 2.3.2 Định lý Giả sử X siêu mặt P (Cp ), bậc d, xác định phương trình: X : z1d + z2d + z3d + z4d + cz1α1 z2α2 z3α3 z4α4 = (5) 23 Trong c = 0, αi = d, có nhiều số mũ αi = i=1 Nếu d ≥ 24 X siêu mặt hyperbolic 2.3.3 Mệnh đề Giả sử X siêu mặt Fermat bậc d P n (Cp ) f = (f1 , , fn+1 ) đường cong chỉnh hình X cho fj ≡ 0, ∀j = 1, , n + Nếu d ≥ n2 − 1, f ánh xạ hằng, tồn phân hoạch tập hợp số {1, , n + 1} = ∪Iξ , cho: Iξ ≥ 2, ∀ξ ∀i, j ∈ Iξ , tỷ số fi /fj số (nếu n = tồn lớp) Chứng minh Định lý 2.3.2 Giả sử X siêu mặt hyperbolic thỏa mãn giả thiết Định lý 2.3.2 f đường cong chỉnh hình X Giả sử số i, fi ≡ 0, chẳng hạn, f4 ≡ Nếu α4 = 0, ánh xạ (f1 , f2 , f3 ) từ Cp vào P (Cp ) có ảnh chứa đường cong, giống Theo định lý Berkovich (f1 , f2 , f3 ) ánh xạ Từ (5) ta suy f ánh xạ Giả sử fj ≡ Từ chứng minh Định lý 2.2.6 ta suy {f1d , , f4d } phụ thuộc tuyến tính a1 f1d + + a4 f4d ≡ 0, ∃ai = Chúng ta xét khả xảy ra: i) Mọi = 0, i = 1, , 4; theo Mệnh đề 2.3.3, f ánh xạ hằng, ta giả thiết f1 = c1 f2 , f3 = c2 f4 , thay hệ thức vào (5) suy f ánh xạ ii) Chỉ có aj = 0, chẳng hạn, a4 = 0, (f1 , f2 , f3 ) ánh xạ từ phương trình (5) suy f ánh xạ 24 iii) Hai hệ số, chẳng hạn, a1 = a2 = 0, ta có f3 = c3 f4 , thay hệ thức vào (5) ta được: f1d f2d ε1 f3d ε2 f1α1 f2α2 f3α3 ≡ với ε2 = Nếu ε1 = ảnh ánh xạ (f1 , f2 , f3 ) từ Cp vào P (Cp ) chứa đường cong P (Cp ), giống đường cong 1, (f1 , f2 , f3 ) ánh xạ hằng, f ánh xạ (định lý Berkovich) Nếu ε1 = 0, ảnh ánh xạ (f1 , f2 , f3 ) chứa đường cong P (Cp ): X : z1d + z2d + ε2 z1α1 z2α2 z3α3 +α4 = Ta chứng tỏ từ giả thiết Định lý 2.3.2, giống đường cong Y 1, Định lý 2.3.2 suy từ định lý Berkovich Giống đường cong Y P (Cp ) số số điểm nguyên thuộc miền tam giác tạo thành từ điểm (d, 0), (0, d), (α1 α2 ) Điều đủ để xét trường hợp α1 + α2 < d dễ thấy tam giác có chứa điểm nguyên, trừ trường hợp α1 + α2 < d − 1, trường hợp bác bỏ giả thiết Định lý 2.3.2 Chứng minh hoàn thành 2.3.4 Nhận xét Sử dụng Định lý 2.2.2 thuật toán K Masuda - J Noguchi, xây dựng số ví dụ siêu mặt hyperbolic p-adic P (Cp ): Ví dụ 1: X : z14d + + z44d + t(z1 z2 z3 z4 )d = 0, d ≥ 6, (degX = 4d ≥ 24), t ∈ C∗p Ví dụ 2: X : z13d + + z43d + t(z1 z2 z3 )d = 0, (degX = 3d ≥ 15), t = Ví dụ 3: X : z14d + + z44d + t(z12 z2 z3 )d = 0, d ≥ 4, t = 25 Sử dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic thông qua tính suy biến đường cong chỉnh hình, chứng tỏ siêu mặt sau hyperbolic Brody p-adic 2.3.5 Định lý Nếu d số nguyên chẵn d ≥ 48 t số hữu hạn, khác không Xt không gian hyperbolic p-adic, Xt siêu phẳng P (Cp ) xác định phương trình d d X : z1d + z2d + z3d + z4d + t(z1 z2 ) + t(z3 z4 ) = Chứng minh Giả sử f = (f1 , f2 , f3 , f4 ) : Cp −→ Xt ánh xạ chỉnh hình, chứng tỏ f số Phép chứng minh tiến hành qua trường hợp sau đây: Trường hợp Giả sử có fi = 0, f ánh xạ vào đường cong chứa theo tập {xi = 0} phương trình xác định Xt Với t = hữu hạn, đường cong không suy biến có giống ≥ 2, theo định lý Berkovich, ánh xạ f số Trường hợp Giả sử fj = 0, ∀j Đặt g0 = f02 , g1 = f12 , g2 = f22 , g3 = f32 , g4 = tf0 f1 , g5 = tf0 f2 Khi g = (g0 , g1 , g2 , g3 , g4 , g5 ) : Cp −→ P (Cp ) ánh xạ chỉnh hình vào siêu mặt Fermat bậc Vì d d không gian xạ ảnh P (Cp ) ≥ 52 − nên từ Định lý 2.2.1, tồn phân hoạch tập số {0, 1, 2, 3, 4, 5} cho lớp tương đương S có d gi2 = i∈S Vì không fi đồng không lớp tương đương có không hai phần tử Vì xét khả sau a Giả sử f2 /f1 f3 /f1 số Từ phương trình xác định Xt có: af1d + f4d = 0, với a số Do f4 /f1 số Vì f ánh xạ 26 b Giả sử f3 /f1 số f2 /f1 số Chứng tỏ {0, 2, 4} không lớp tương đương, {0, 1, 5} thuộc lớp tương đương Điều xảy c Nếu f2 /f1 số f3 /f1 không số Lập luận trường hợp b ta thấy điều xảy d Giả sử f2 /f1 f3 /f1 không số Khi 0, thuộc lớp tương đương khác Ngoài thuộc lớp tương đương Do ≈ hai khả xảy ra: (1) ≈ 3, ≈ 2, ≈ (2) ≈ 3, ≈ 5, ≈ Nếu khả (2) xảy ra, f1 f3 /f22 f1 f3 /f32 số Chứng tỏ f33 /f23 số ≈ Điều xảy Vậy khả (1) Lúc đó, tồn số a, b cho f4 = af1 , f3 = bf2 (ab = 0) Từ phương trình xác định Xt , suy d d d (1 + ad )f1d + (1 + bd )f2d + t (1 + b )(f1 f2 ) = d Dễ thấy hệ số (1 + bd ) (1 + b ) triệt tiêu đồng thời Từ phương trình trên, có f2 /f1 số Điều mâu thuẫn kết thúc phép chứng minh 2.3.6 Định lý Giả sử X siêu mặt P (Cp ), bậc d xác định phương trình X : z1d + z2d + z3d + z4d + cz1α1 z2α2 z3α3 = 0, (10) c = 0, α1 + α2 + α3 = d, αj ∈ Z, αj > Nếu d ≥ 15 X siêu mặt hyperbolic Chứng minh Giả sử f = (f1 , f2 , f3 , f4 ) : Cp −→ Xt đường cong chỉnh hình Theo Định lý 2.2.5, f suy biến Chúng ta xét trường hợp xảy sau : 27 Tồn i, i = 1, 2, : fi ≡ f ánh xạ theo Hệ 2.2.4 fi ≡ 0, ảnh (f1 , f2 , f3 ) chứa đường cong Y xác định phương trình Y : z1d + z2d + z3d + z4d + cz1α1 z2α2 z3α3 = Từ phép chứng minh Định lý 2.2.5 suy có hai hàm (f1 , f2 , f3 ) chẳng hạn f1 f2 có tỷ số Thay f2 = af1 vào phương trình (10), ta có : (1 + ad )f1d + f3d + caf1d−α3 f3α3 = Và từ phương trình này, chứng tỏ f3 /f1 số Do fi điểm chung nên f = (f1 , f2 , f3 , f4 ) ánh xạ Giả sử fi ≡ 0, i = 1, 2, 3, Từ phép chứng minh định lý suy {f1d , f2d , f3d , f4d } phụ thuộc tuyến tính, nên ∃ai = : a1 f1d + a2 f2d + a3 f3d + a4 f4d = Chúng ta xét khả xảy a Mọi = 0, theo Định lý 2.2.1, f ánh xạ giả thiết f2 = b1 f1 , f4 = b2 f3 Thay hệ thức vào (10), có: (1 + bd )f1d + (1 + bd2 )f3d + cbα1 f1d−α3 f3α3 = Từ phương trình suy f1 /f3 số, f ánh xạ b Chỉ có aj = 0, chẳng hạn a4 = (f1 , f2 , f3 ) ánh xạ từ phương trình (10) suy f ánh xạ c Nếu a4 = hai hệ số, chẳng hạn a1 = a2 = Khi f4 = b3 f3 Thay hệ thức vào (10), có: f1d f2d (1 + bd3 )f3d + cf1α1 f2α2 f3α3 = (11) c = trở lại trường hợp d Nếu a4 = hệ số a1 , a2 , a3 , chẳng hạn a1 = Khi f1 /f3 số Chúng ta có: f1d + af2d + f4d + bf1d f2d = 0, b = 28 Nếu a = cho phép chứng minh Định lý 2.2.5, ta có hệ {f1d , f2d , f4d } phụ thuộc tuyến tính chúng trở lại trường hợp Nếu a = 0, ảnh ánh xạ (f1 , f2 , f4 ) chứa đường cong P (Cp ) với hệ tọa độ (z1 , z2 , z3 ) Y : z1d + z4d + bz1α1 z4d−α1 = Chúng ta chứng tỏ từ giả thiết Định lý 2.3.5, giống đường cong Y Và Định lý 2.3.6 suy từ định lý Berkovich Giống đường cong Y P (Cp ) số điểm nguyên thuộc miền tam giác tạo thành từ điểm (d, 0); (0, d) (α1 , 0) Vì αj > α1 + α2 + α3 = d, nên tam giác có điểm nguyên, (d − 2, 1) Định lý 2.3.6 chứng minh 2.3.7 Nhận xét Có thể khẳng định rằng, Định lý 2.3.6 α thay cz1α1 z2α2 z3α3 czj j zkαk ziαi , (zj , zk , zi ) chọn tùy ý {z1 , z2 , z3 , z4 } Giả thiết αj > cần thiết, ngược lại αj = siêu mặt bậc d ≥ 15 z1d + z2d + z3d + z4d + cz1α1 z2α2 = 0, αj > 0, α1 + α2 = d, chứa ánh xạ chỉnh hình khác số f = (f1 , af1 , z, εz) : Cp −→ X εd = −1 a nghiệm phương trình ad + caα2 + = 0, c = 0, f1 (0) = 2.3.8 Định lý Mọi siêu mặt bậc d ≥ 15 P (Cp ) xác định phương trình z1d + z2d + z3d + z4d + cz1α1 z2α2 z3α3 = (12) αj = d, c = có nhiều siêu mặt hyperbolic p-adic, j=1 αj = 29 Chứng minh Giả sử f = (f1 , f2 , f3 , f4 ) : Cp −→ X ánh xạ chỉnh hình, fj điểm chung Chúng ta xét trường hợp sau : Tồn j cho fj ≡ αj = f ánh xạ (theo Định lý 2.3.6 Hệ 2.3.7) fj ≡ 0, αj > 0, j = 1, 2, 3, Từ phép chứng minh Định lý 2.2.5, {f1d , f2d , f3d , f4d } phụ thuộc tuyến tính, b1 f1d + b2 f2d + b3 f3d + b4 f4d = Các khả xảy ra: a bj = 0, j = 1, 2, 3, Theo Định lý 2.2.1, f ánh xạ f2 = c1 f1 , f4 = c2 f3 Thay hệ thức vào phương trình (12), thu (1 + cd1 )f1d + (1 + cd2 )f3d + c3 f1α1 +α2 f3α3 +α4 = 0, c3 = Phương trình chứng tỏ f3 /f1 số, f ánh xạ b Chỉ hệ số bj = Không tính tổng quát, ta giả sử b4 = Khi (f1 , f2 , f3 ) ánh xạ (theo Hệ 2.2.4), f ánh xạ c Có hai hệ số, ví dụ b1 = b2 = 0, f4 = c3 f3 Thay hệ thức vào (12), có : f1d + af2d + ε1 f3d + ε2 f1α1 f2α2 f3α3 = 0, ε2 = Nếu ε1 = trở trường hợp Nếu ε1 = 0, ảnh (f1 , f2 , f3 ) chứa đường cong P (Cp ) z1d + z2d + ε2 z1α1 z2α2 z3α3 +α4 = Theo định lý Berkovich, chứng tỏ giống đường cong Thật vậy, giống Y số điểm nguyên thuộc miền 30 tam giác tạo thành đỉnh (d, 0); (0, d) và(α1 , α2 ) Trong tam giác có điểm nguyên: M (α1 ; α2 + 1), N (α1 + 1; α2 ) ≤ αj ≤ d − 3, j = 1, d ≥ 15 Định lý 2.3.8 chứng minh 2.3.9 Nhận xét Ví dụ sau cho thấy số số mũ αi , hai số 1, X không hyperbolic Siêu mặt X : z125 + z225 + z325 + z425 + z1 z224 = chứa đường cong chỉnh hình (−1 − z 25 , 1, + z 25 , z) 2.3.10 Nhận xét Ánh xạ (f1 , f2 , f3 ) : Cp −→ Y ánh xạ hằng, Y không hyperbolic Bây ta sử dụng chứng minh Định lý 2.3.2 để đưa ví dụ siêu mặt hyperbolic P (Cp ) với phần bù hyperbolic 2.3.11 Định lý Giả sử X siêu mặt P (Cp ) có bậc d ≥ 50 xác định phương trình sau: (6) : X : z1d + + z4d + cz1α1 z2α2 z3α3 z4α4 = 0, c = 0, có nhiều αi = 0, số mũ khác ≥ X hyperbolic phần bù X P (Cp ) hyperbolic Chứng minh Định lý 2.3.2 dùng để chứng minh phần bù X hyperbol Giả sử f = (f1 , , f4 ) đường cong mà ảnh nằm phần bù X Lúc đó, tồn số a = cho ánh xạ f = (f1 , f2 , f3 , f4 , 1) có ảnh chứa siêu mặt Y bậc d P (Cp ) xác định phương trình: (7) : z1d + z2d + z3d + z4d + az5d + cz1α1 z2α2 z3α3 z4α4 = Từ chứng minh Định lý 2.2.6 suy d≥ (4 + 1)(6 − 1)(6 − 2) = 50 31 {f1d f2d f3d f4d , 1} phụ thuộc tuyến tính Ta có: εi fid + ε5 ≡ 0, i=1 ∃εi = Nếu ε5 = ta sử dụng chứng minh Định lý 2.3.2, suy f ánh xạ (chú ý giả thiết Định lý 2.3.2 thỏa mãn) Nếu ε5 = 0, từ Bổ đề 2.3.3 suy f ánh xạ hằng, tồn fi số, chẳng hạn f4 số Thay f4 = const vào (7), ta có ảnh ánh xạ (f1 , f2 , f3 , f4 , 1) chứa siêu mặt xác định phương trình sau: Z : z1d + z2d + z3d + a, z4d + c, z1α1 z1α2 z2α3 z3α4 = với a, , c, = 0, β4 = d − (α1 + α2 + α3 ) Theo Định lí 2.2.6, (f1 , f2 , f3 , f4 , 1) phụ thuộc tuyến tính, ta có δ1 f1d + δ2 f2d + δ3 f3d + δ4 ≡ Nếu δ4 = 0, f ánh xạ Sử dụng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.3.2, cho thấy cần giả thiết ∝1 = 0, số mũ khác phải ≥ Nếu δ4 = 0, từ Bổ đề 2.2.7 suy f ánh xạ hằng, tồn fi , chẳng hạn f3 số Thay f3 = const, f4 = const vào phương trình (6), ta f1 = εf2 với ε số Vì ánh xạ (f1 , f2 , f3 , f4 , 1) có ảnh chứa Y, từ ta có: Af2d + Bf2α1 +α2 + C ≡ 0, A, B, C số, B = Từ giả thiết Định lí 2.3.10, α1 + α2 = 0, d, f2 = const, Định lý 2.3.11 chứng minh 32 2.3.12 Nhận xét Ví dụ sau cho thấy tổng hai số mũ {αi } d, phần bù siêu mặt X không hyperbol Thực vậy, ta xét siêu mặt X xác định phương trình: X : z151 + z251 + z351 + z451 + z325 z426 = Theo Định lý 2.3.2 X hyperbol, phần bù X P (Cp ) chứa đường cong chỉnh hình f = (z, −z, 1, 1) 33 KẾT LUẬN Nội dung luận văn dựa vào báo [4] Hà Huy Khoái để tìm hiểu trình bày chi tiết siêu mặt hyperbolic p-adic không gian xạ ảnh P (Cp ) Cụ thể, luận văn trình bày nội dung sau: Một số kiến thức sở (chương 1) Các tính chất độ cao hàm chỉnh hình p-adic Tính suy biến đường cong chỉnh hình Siêu mặt hyperbolic p-adic P (Cp ) 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Mai Văn Tư (2013), Lý thuyết hàm trường phi Ácsimét NXB Đại học Vinh (sách chuyên khảo) Tiếng Anh [2] V.Berkovich (1990), Spectral Theory and Analytic Geometry over NonArchimedean Fields, AMS Surveys and Monographs 33 [3] M Green and Ph Griffths (1980), Two applications of algebraic geometry to entire holomorphic mappings, in: “The Chern Symposium 1979 (Proc Internat Sym-pos., Berkeley, Calif., 1979," Springer-Verlag, New York, pp 41-74 [4] Ha Huy Khoai (1997), p – adic hyperbolic surfaces, Acta Math Vietnamica, Vol 22, pp: 501 – 514 [5] Ha Huy khoai (1993), Heights for p – adic holomorphic functions and value applications RIMS Lecture Notes 819 [6] Ha Huy Khoai anh My Vinh Quang p-adic Nevanlinna Theory Lecture Not-es in Math 1351 [7] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995) p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat J Math, Vol.6, No.5, 719-731 [8] K Masuda and J Noguchi (1996), A construction of hyperbolic hypersurfaces of P n (C),Math Ann 304, 339-362 [9] A Nadel (1989), Hyperbolic surfaces in P , Duke Math J 58, 749-771 [...]... Cartan p – adic) Giả sử H1 , H2 , , Hq là các siêu phẳng của P n (Cp ), ở vị trí tổng quát Nếu đường cong chỉnh hình f = (f1 , , fn+1 ) : Cp −→ P n (Cp ) là không suy biến Khi đó: q + (q − n + 1)h (f, t) ≤ Nn (f ◦ Hj , t) + n(n + 1)/2 + 0(1)(1) j=1 Trong đó 0(1) là đại lượng bị chặn khi t → −∞ 12 Chương 2 SIÊU MẶT HYPERBOLIC P- ADIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P 3(Cp) 2.1 Độ cao của hàm chỉnh hình p adic. .. ánh xạ hằng Mệnh đề 2.2.8 được chứng minh Chứng minh Định lí 2.2.6 Dễ thấy, theo Mệnh đề 2.2.8, ảnh của f được chứa trong một t p con đại số thực sự của X xác định bởi phương trình: d a1 z1d + a2 z2d + + an+1 zn+1 + an+1 Mn+2 + + as−1 Ms−1 = 0 với aj = 0 2.3 Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh P 3 (Cp ) 2.3.1 Định nghĩa Một đa t p đại số xạ ảnh Y của không gian xạ ảnh P n (Cp ) là hyperbolic. .. siêu mặt sau là hyperbolic Brody p- adic 2.3.5 Định lý Nếu d là số nguyên chẵn d ≥ 48 và t là số hữu hạn, khác không thì Xt là không gian hyperbolic p- adic, trong đó Xt là siêu phẳng trong P 3 (Cp ) được xác định bởi phương trình d d X : z1d + z2d + z3d + z4d + t(z1 z2 ) 2 + t(z3 z4 ) 2 = 0 Chứng minh Giả sử f = (f1 , f2 , f3 , f4 ) : Cp −→ Xt là ánh xạ chỉnh hình, chúng ta chứng tỏ rằng f là hằng số Ph p. .. , g1 , g2 , g3 , g4 , g5 ) : Cp −→ P 5 (Cp ) là ánh xạ chỉnh hình vào siêu mặt Fermat bậc Vì d 2 d 2 trong không gian xạ ảnh P 5 (Cp ) ≥ 52 − 1 nên từ Định lý 2.2.1, tồn tại một phân hoạch của t p các chỉ số {0, 1, 2, 3, 4, 5} sao cho trong mỗi l p tương đương S chúng ta có d gi2 = 0 i∈S Vì không một fi nào đồng nhất bằng không và mỗi l p tương đương có không ít hơn hai phần tử Vì vậy chúng ta xét các... Brody p- adic nếu mỗi đường cong chỉnh hình f : Cp −→ Y ⊂ P n (Cp ) đều là ánh xạ hằng 2.3.2 Định lý Giả sử X là một siêu mặt trong P 3 (Cp ), bậc d, được xác định bởi phương trình: X : z1d + z2d + z3d + z4d + cz1α1 z2α2 z3α3 z4α4 = 0 (5) 23 4 Trong đó c = 0, αi = d, và có nhiều nhất một số mũ αi = 0 i=1 Nếu d ≥ 24 thì X là siêu mặt hyperbolic 2.3.3 Mệnh đề Giả sử X là một siêu mặt Fermat bậc d trong P. .. nếu trong các số số mũ αi , hai trong số đó là 0 hoặc 1, thì X có thể không là hyperbolic Siêu mặt X : z125 + z225 + z325 + z425 + z1 z224 = 0 chứa đường cong chỉnh hình (−1 − z 25 , 1, 1 + z 25 , z) 2.3.10 Nhận xét Ánh xạ (f1 , f2 , f3 ) : Cp −→ Y là ánh xạ hằng, mặc dù Y có thể không hyperbolic Bây giờ ta sử dụng chứng minh của Định lý 2.3.2 để đưa ra các ví dụ về siêu mặt hyperbolic trong P 3 (Cp... (Cp ) với phần bù là hyperbolic 2.3.11 Định lý Giả sử X là một siêu mặt trong P 3 (Cp ) có bậc d ≥ 50 được xác định bởi phương trình sau: (6) : X : z1d + + z4d + cz1α1 z2α2 z3α3 z4α4 = 0, trong đó c = 0, và có nhiều nhất một αi = 0, các số mũ khác ≥ 2 thì X là hyperbolic và phần bù của X trong P 3 (Cp ) cũng là hyperbolic Chứng minh Định lý 2.3.2 còn dùng để chứng minh rằng phần bù của X là hyperbol... không là hyperbol Thực vậy, ta xét siêu mặt X được xác định bởi phương trình: X : z151 + z251 + z351 + z451 + z325 z426 = 0 Theo Định lý 2.3.2 X là hyperbol, nhưng phần bù của X trong P 3 (Cp ) chứa đường cong chỉnh hình f = (z, −z, 1, 1) 33 KẾT LUẬN Nội dung chính của luận văn là dựa vào bài báo [4] của Hà Huy Khoái để tìm hiểu và trình bày khá chi tiết về siêu mặt hyperbolic p- adic trong không gian. .. nguyên không âm Giả sử X là một siêu mặt bậc d của không gian xạ ảnh P n (Cp ), được xác định bởi phương trình X : c1 M1 + + cs Ms = 0 trong đó cj ∈ C p là các số khác không Chúng ta gọi X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d nếu s ≥ n + 1 và Mj = zjd , j = 1, , n + 1 2.2.5 Định lý Giả sử X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d và d ≥ s(s − 2), khi đó mỗi đường cong chỉnh hình f : Cp −→... 1.4.4 Định lý Nevanlinna – Cartan p- adic Giả sử (z1 , z2 , , zn+1 ) là hệ tọa độ thuần nhất của không gian xạ ảnh P n (Cp ) Phương trình tổng quát của siêu phẳng Hj có dạng: Hj : aij zi = 0 Các siêu phẳng Hj được gọi là độc l p tuyến tính nếu hệ véc tơ (a1j , a2j , , a(n+1)j ), j = 1, , s ≤ n + 1 là độc l p tuyến tính Nếu Fj (z) = 0 là phương trình xác định siêu phẳng Hj (j = 1, 2, , q) Đặt: ... phức p-adic 1.2 Hàm nguyên p-adic 1.3 Đường cong chỉnh hình p-adic 10 1.4 Các định lí lý thuyết Nevalinna p-adic 11 SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH. .. bày siêu mặt hyperbolic p-adic không gian xạ ảnh P (Cp ) Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương Kiến thức sở Chương Siêu mặt hyperbolic p-adic. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THẢO VỀ SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P 3(Cp) Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN