Phép chiếu xuyên tâm

3.2.1. Định nghĩa. S S’ a b c a’ b’ c’

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 27

 Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi là phép chiếu xuyên

tâm (hay phép phối cảnh) nếu đường thẳng nối các điểm tương ứng luôn

đi qua một điểm O cố định. Ta gọi O là tâm của phép chiếu (H.3).

Hình 3

 Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng gọi là phép chiếu

xuyên trục nếu giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng luôn nằm

trên một đường thẳng t cố định. Ta gọi t là trục của phép chiếu (H.4).

Hình 4

3.2.2. Định lí. Điều kiện cần và đủ để phép ánh xạ xạ ảnh

f:{m} →{m’} giữa hai hàng điểm trở thành phép chiếu xuyên tâm là giao điểm O của hai giá tự ứng nghĩa là f(O) = O.

3.2.3. Định lí đối ngẫu. Điều kiện cần và đủ để ánh xạ xạ ảnh f giữa

hai chùm đường thẳng trở thành phép chiếu xuyên trục là đường thẳng nối hai tâm tự ứng (H.5).

S S’ t a b c a’ b’ c’ C A B A’ B’ C’ m m’ O

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 28

f: {S} → { } là phép chiếu xuyên tâm ⇔ f( ) =

Hình 5 3.3 Định lí Steiner.

3.3.1. Định lí thuận: Nếu ánh xạ xạ ảnh f: {A1} → {A2} giữa hai chùm tâm A1 và A2 không phải là một phép chiếu xuyên trục thì giao điểm của các đường thẳng tương ứng nằm trên một đường conic.

Chứng minh:

Xét ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm tâm A1 và A2. Gọi đường thẳng g3 = A1A2. Vì f không phải là phép chiếu xuyên trục nên ta có f(g3) = g1, f(g2) = g3. Ta có g1, g2, g3 là ba đường thẳng phân biệt.

Gọi A3 = g1⋂ g2. Lấy một đường thẳng e thuộc chùm tâm A1 mà không trùng với g2 và g3. Ta có thuộc chùm tâm A2. Khi đó một đường thẳng m bất kì thuộc chùm tâm A1 sẽ biến thành đường thẳng m’ thuộc chùm tâm A2. Vì f là ánh xạ xạ ảnh nên ta có:

Gọi: E = e ⋂ e’, M = m ⋂ m’, S S’ a a’ b b’ c c’

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 29 E1 = g2⋂ e’, E2 = g1⋂ e, M1 = g2⋂ m’, M2 = g1⋂ m. Ta suy ra (A2A3E2M2) = (A3A1E1M1).

Chọn {A1, A2, A3, E} làm mục tiêu xạ ảnh và gọi (x1, x2, x3) là tọa độ xạ ảnh của điểm M đối với mục tiêu vừa chọn ta có:

(A2A3E2M2) = và (A3A1E1M1) = nên suy ra = hay .

Hình 6

Đây là phương trình của một đường conic. Conic này đi qua điểm E (vì điểm E có tọa độ thỏa mãn phương trình của conic) đồng thời tiếp xúc với các đường thẳng g2 và g1 tại các điểm A1 và A2.

3.3.2. Định lí đảo. Nếu A1, A2 là các điểm cố định của một đường conic (S) và M là một điểm thay đổi trên (S) thì ánh xạ f: {A1} → {A2} giữa hai chùm sao cho f(A1M) = A2M là một ánh xạ xạ ảnh nhưng không phải là phép chiếu xuyên trục.

A1 M1 E1 M A3 M2 E E2 A2 g3 m’ e’ g1 g2 m e

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 30

Định lí thuận đối ngẫu. Nếu f: {m1} → {m2} là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm có giá là các đường thẳng m1, m2 nhưng không phải là phép chiếu xuyên tâm thì các đường thẳng nối các cặp điểm tương ứng sẽ tiếp xúc với một đường conic.

Định lí đảo đối ngẫu. Nếu m1 và m2 là hai tiếp tuyến khác nhau của một đường conic và m là một tiếp tuyến thay đổi của nó thì phép ánh xạ f: {m1} → {m2} sao cho các giao điểm của m1 và m biến thành giao điểm của m2 và m thì f là một ánh xạ xạ ảnh nhưng không phải là phép chiếu xuyên tâm.

3.4 Vấn đề xác định một conic.

3.4.1. Định lí. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm

nào thẳng hàng, bao giờ cũng có một đường conic duy nhất đi qua 5 điểm đó.

Chứng minh:

Ta xét hai chùm tâm A và B và ánh xạ xạ ảnh f: {A} → {B} sao cho f(AC) = BC, f(AD) = BD, f(AE) = BE. Ánh xạ như vậy được hoàn toàn xác định và không phải là phép đối xứng tâm. (H. 7)

Hình 7

Do đó theo định lí Steiner thuận, giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng là một conic (S). Đường conic này đi qua 5 điểm A, B,

A

B

E

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 31

C, D, E đã cho. Sự duy nhất của (S) được suy ra từ sự duy nhất của ánh xạ f.

3.4.2. Định lí đối ngẫu. Cho 5 đường thẳng a, b, c, d, e trong đó

không có ba đường thẳng nào đồng quy, bao giờ cũng có một đường conic duy nhất tiếp xúc với 5 đường thẳng đó.

3.4.3. Các trường hợp đặc biệt.

Nếu ta hay điều kiện đường conic đi qua một điểm bằng điều kiện conic đó tiếp xúc với một đường thẳng ta có các trường hợp đặc biệt sau đây:

 Cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và một đường thẳng a đi qua điểm A nhưng không đi qua các điểm còn lại. Khi đó có một conic duy nhất đi qua A, B, C, D và tiếp xúc với a tại A.

 Cho 4 đường thẳng a, b, c, d trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy và một điểm A thuộc a nhưng không thuộc các đường thẳng còn lại. Khi đó có một conic duy nhất tiếp xúc với a, b, c, d và đi qua A.

 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, đường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua B và C, đường thẳng b đi qua B nhưng không đi qua A và C. Khi đó có một conic duy nhất đi qua C tiếp xúc với a tại A và tiếp xúc với b tại B.

 Cho ba đường thẳng a, b, c không đồng quy, điểm A thuộc đường thẳng a nhưng không thuộc b và c, điểm B thuộc đường thẳng b nhưng không thuộc a và c. Khi đó có một đường conic duy nhất tiếp xúc với c, tiếp xúc với a tại A và tiếp xúc với b tại B.

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 32

3.5 Định lí Pascal.

3.5.1. Định nghĩa. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, tập hợp 6 điểm và 6 đường thẳng sao cho mỗi điểm là giao của hai đường thẳng, mỗi đường

thẳng đi qua hai và chỉ hai điểm, gọi là một hình lục giác. Các điểm đã cho gọi là đỉnh và các đường thẳng đã cho gọi là cạnh của hình lục giác.

(H.8).

Hình 8

Ta có thể sắp xếp các đỉnh và các cạnh của lục giác theo một thứ tự nhất định nào đó bằng cách đánh số thứ tự. Thí dụ A1, a1, A2, a2, A3, a3, A4, a4, A5, a5, A6, a6 (Ai là đỉnh và ai là cạnh) sao cho cạnh ai đi qua hai đỉnh Ai và Ai + 1 (xem đỉnh A6 + 1 là A1) và do đó cạnh ai và ai + đi qua đỉnh Ai + 1 (xem a6 + 1 là a1).

Khi đó các cặp đỉnh A1 và A4, A2 và A5, A3 và A6 gọi là các cặp đỉnh đối diện, các cặp cạnh a1 và a4, a2 và a5, a3 và a6 gọi là các cặp cạnh đối diện.

3.5.2. Định lí Pascal.

Điều kiện cần và đủ để một lục giác nội tiếp trong một conic (các đỉnh của nó thuộc conic) là giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng (đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal).

A1 A2 A3 A4 A5 A6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 A1 A3 A5 A4 A6 A2 a2 a1 a3 a4 a5 a6

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 33

CHÚ Ý: Nếu đường bậc hai suy

biến thành hai đường thẳng phân biệt ta có định lí Pappus. Vậy định lí này là một trường hợp đặc biệt của định lí Pascal (H.9).

Hình 9

3.5.3.Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal.

Ta có thể xem ngũ giác, tứ giác, tam giác nội tiếp một conic là các trường hợp đặc biệt của lục giác khi một cặp đỉnh, hai cặp đỉnh hay ba cặp đỉnh trùng nhau. Khi đó ta xem cạnh của lục giác chứa cặp đỉnh trùng nhau là tiếp tuyến của conic tại điểm đó. Người ta chứng minh được định lí Pascal vẫn đúng trong các trường hợp đặc biệt đó. Cụ thể: Đối với ngũ giác A1A2A3A4A5 nội tiếp đường conic (S). Ta xem ngũ giác này như một trường hợp đặc biệt của lục giác khi hai đỉnh liên tiếp nào đó trùng nhau, chẳng hạn đó là lục giác A1A2A3A4A5A5. Khi đó lập luận trong chứng minh của định lí Pascal vẫn đúng nếu cạnh A5A6 được thay bằng tiếp tuyến của conic tại đỉnh A5. Vậy ta có kết quả sau đây:

Định lí. Nếu ngũ giác A1A2A3A4A5 nội tiếp đường conic (S) thì ba giao điểm của: cạnh A1A2 với cạnh A4A5, cạnh A2A3 với tiếp tuyến của (S) tại A5, cạnh A3A4 với cạnh A5A1 thẳng hàng. (H.10) R A1 A4 A2 A3 A5 ≡A6 Q P

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 34

Hình 10

Đối với tứ giác ABCD nội tiếp conic (S), nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của lục giác AABBCD thì sẽ có ba điểm sau đây thẳng hàng: giao điểm của tiếp tuyến tại A với cạnh BC, giao điểm của hai cạnh AB và CD, giao điểm của tiếp tuyến tại B với cạnh AD.(H.11)

Hình 11

Cũng với tứ giác ABCD nói trên, nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của lục giác AABCCD hoặc ABBCDD thì sẽ được kết quả:

Định lí. Nếu một tứ giác ABCD nội tiếp một đường conic thì giao

điểm các cặp cạnh đối diện và giao điểmcác tiếp tuyến tại các cặp đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng.

(Các cặp cạnh đối diện là: AB và CD, AD và BC, các cặp đỉnh đối diện là A và C, B và D).(H.12). A D C B B A C D

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 35

Hình 12

Đối với tam giác ABC nội tiếp một đường conic, nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của lục giác AABBCC thì được kết quả sau đây:

Định lí. Nếu một tam giác nội tiếp một đường conic thì giao điểm

của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng. (H.13).

Hình 13 3.6 Định lí Brianchon.

3.6.1. Định lí. Điều kiện cần và đủ để một lục giác ngoại tiếp một

đường conic (có cạnh tiếp xúc với conic) là các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy tại một điểm (gọi là điểm Brianchon) (H.14)

A1 A6 A5 A4 A3 A2 B

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 36

Hình 14

CHÚ Ý: Định lí Brianchon là định lí đối ngẫu của định lí Pascal trong

P2.

3.6.2. Các trường hợp đặc biệt của định lí Brianchon.

Tương tự như đối với định lí Pascal, ta có thể xem ngũ giác, tứ giác, tam giác ngoại tiếp conic là những trường hợp đặc biệt của lục giác khi có một cặp cạnh, hai cặp cạnh, ba cặp cạnh trùng nhau. Khi đó ta xem đỉnh của cặp cạnh trùng nhau là tiếp điểm của conic với cặp cạnh đó. Các trường hợp suy biến của lục giác ngoại tiếp conic được minh họa bằng các hình vẽ sau đây (H.15 a, b, c).

a) b) c) Hình 15

CHÚ Ý: Định lí Pascal và định lí Brianchon có thể được áp dụng đối với

các đường bậc hai trong mặt phẳng afin (như elip, hypebol, parabol) và trong mặt phẳng Ơclit (như đường tròn).

A1 A6 A5 A4 A2 A3 A3 A4 A5 A6 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A1 A2

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 37

3.7 Định lí Frêgiê (Frégier).

Một biến đổi xạ ảnh f: (S) → (S) của conic (S) được gọi là phép

đối hợp của (S) nếu f2 = Id(S), tức là f = f-1.

3.7.1.Định lí Frêgiê. Nếu f: (S) → (S) là phép đối hợp của đường

conic (S), khác với phép đồng nhất, thì đường thẳng nối hai điểm tương ứng bất kì luôn luôn đi qua một điểm cố định, gọi là điểm Frêgiê của f.

Chứng minh:

Vì f là biến đổi xạ ảnh của (S) nên với hai điểm bất kì M, N của (S) và ảnh M’, N’ của chúng, ta có giao điểm M’N ⋂ MN’ luôn nằm trên đường thẳng d cố định. Vì f là phép đối hợp nên nếu M’ = f(M) thì M = f(M’), cho nên đối với cặp điểm M, M’ ta có ảnh của chúng là cặp điểm M’, M. Bởi vậy, giao điểm hai tiếp tuyến của (S) tại M và M’ nằm trên d, tức là d đi qua điểm đối cực của MM’. Từ đó suy ra đường thẳng MM’ đi qua điểm F là điểm đối cực của đường thẳng d.

3.7.2. Định lí đảo. Cho một điểm F cố định không nằm trên conic (S).

Với mỗi điểm M ∈ (S) ta lấy điểm M’ ∈(S) sao cho F, M, M’ thẳng hàng. Khi đó, ánh xạ f: (S) → (S) mà f(M) = M’ là một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của (S).

Chứng minh:

Gọi M, N là hai điểm của (S) và M’ = f(M), N’ = f(N). Khi đó có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f’ sao cho f’(M) = M’, f’(N) = N’, f’(M’) = M. Dễ thấy rằng, f’ là phép đối hợp với điểm Frêgiê là F, và hiển nhiên f’ trùng với f.

3.7.3. Đối ngẫu của định lí Frêgiê.

Định lí thuận. Nếu ánh xạ xạ ảnh F: (S*) → (S*) là đối hợp (nghĩa là F2 = Id(S*)) thì giao điểm của các đường thẳng tương ứng nằm trên một đường thẳng cố định (gọi là đường thẳng Frêgiê cỉa F).

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 38

Định lí đảo. Cho một đường thẳng cố định d không thuộc (S*). Với mỗi đường thẳng a tiếp với (S) cho tương ứng đường thẳng F(a) tiếp với (S) sao cho a và F(a) cắt nhau trên d thì ta được ánh xạ F: (S*) → (S*) là phép xạ ảnh đối hợp.

3.8 Định lí Đờdác thứ hai.

Trong P2 cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm nào

thẳng hàng. Tập hợp các đường bậc hai đi qua 4 điểm đó được gọi là một

chùm đường bậc hai, kí hiệu là S(A, B, C, D). Bốn điểm A, B, C, D

được gọi là cơ sở của chùm.

3.8.1. Định lí Đờdác thứ hai. Trong P2 cho một chùm đường bậc hai S(A, B, C, D) và đường thẳng s không đi quaA, B, C, D. Khi đó mỗi đường bậc hai của chùm sẽ cắt s theo một cặp điểm tương ứng với nhau trong một phép đối hợp xác định của s.

Chứng minh:

Hình 16

Giả sử (S) là một đường bậc hai nào đó của chùm, tức là (S) đi qua A, B, C, D. Ta gọi M và M’ là hai giao điểm của (S) và s thì ta có lục giác ABCDMM’ nội tiếp (S). Theo định lí Pascal, ba điểm P = AB ⋂ DM, Q = BC ⋂ MM’, R = CD ⋂ M’A thẳng hàng. B A P M D M’ Q C R (S) s

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 39

Gọi: f1: s → AB là phép chiếu xuyên tâm, với tâm D. f2;: AB → CD là phép chiếu xuyên tâm, với tâm Q. f3: CD → s là phép chiếu xuyên tâm, với tâm A.

Khi đó tích f = f3◦f2 ◦ f1: s → s là phép biến đổi xạ ảnh của s biến M thành M’.

Nếu (S) là đường bậc hai của chùm, nhưng không phải là đường conic, chẳng hạn (S) là cặp đường thẳng AB và CD và (S) cắt s tại N và N’. Ngoài ra, hiển nhiên f là phép đối hợp.

3.8.2. Đối ngẫu của định lí Đơdác thứ hai.

Định lí. Xét tập hợp các đường bậc hai tiếp xúc với bốn đường

thẳng cho trước a, b, c, d trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy. Gọi I là một điểm không nằm trên a, b, c, d. Khi đó hai tiếp tuyến từ điểm I của mỗi đường bậc hai nói trên sẽ tương ứng với nhau trong cùng một phép đối hợp xác định của chùm {I}.

CHÚ Ý: Bốn đường thẳng a, b, c, d làm thành một hình bốn cạnh

toàn phần. Các cặp đường thẳng nối điểm I với hai đỉnh đối diện của hình bốn đỉnh toàn phần đó cũng tương ứng với nhau qua phép đối hợp nói trên.

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ MY_ K35G SƯ PHẠM TOÁN Page 40

PHẦN II: BÀI TẬP

Chương I: Siêu mặt bậc hai trong Pn.

Bài 1: Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2 cho mục tiêu {S0, S1, S2, E}. Viết phương trình các đường bậc hai trong mỗi trường hợp sau đây:

a. Đi qua 3 điểm S0, S1, S2. b. Đi qua 4 điểm S0, S1, S2, E.

c. Đi qua 5 điểm S0, S1, S2, E và D = (1 : 1 : -1). d. Đi qua 5 điểm A(0 : 0 : 1), B(0 : 1 : 1), C(1 : 0

: 1), D(2 : -5 : 1), H(-5 : 2 : 1).

Phương trình của đường bậc hai (G) có dạng:

a. Thay tọa độ của S0, S1, S2 vào ta được a00 = a11 = a22 = 0. Vậy (G)