Đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ

2 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Làm sáng tỏ một số vấn đề của đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ như: đặc điểm, tính chất… 3 Đối tượng nghiên cứu.. Mặt nón gồm hai bộ phận, mỗi bộ phận được

i

LỜI CẢM ƠN

Học tập và nghiên cứu khoa học luôn là nhiệm vụ quan trọng của mỗi sinh viên khi bước vào giảng đường đại học Và ai cũng biết rằng trên con đường nghiên cứu khoa học, nghiên cứu tri thức nhân loại có rất nhiều khó khăn, gian khổ Từ

đó mà mỗi sinh viên khi bắt đầu nghiên cứu rất cần đến sự giúp đỡ đắc lực của người thầy trong quá trình nghiên cứu khoa học, bản thân em đã nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo rất tận tình của thầy Bùi Văn Bình cùng các thầy cô giáo của trường ĐHSP Hà Nội 2

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Sinh viên

Nguyễn Thị Nhâm

ii

LỜI CAM ĐOAN

Đề tài này được thực hiện bắt đầu từ tháng 10 năm 2012 đến tháng 4 năm 2013, tại trường ĐHSP Hà Nội 2 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của mình, không sao chép, tùng lặp với kết quả của tác giả nào

Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Sinh viên

Nguyễn Thị Nhâm

Chương 1: Các đường cônic

Chương 2: Phương trình chính tắc của đường bậc hai Chương 3: Đường kính liên hợp

Chương 4: Tiếp tuyến của đường bậc hai

KẾT LUẬN

TÀI LIÊU THAM KHẢO

iv

Đường bậc hai(hay còn gọi là đường cong) xuất hiện rất nhiều trong chương trình toán học và đặc biệt là trong giai đoạn THPT Các bài toán được đưa ra với nhiều phương pháp lựa chọn và phương pháp giải khác nhau Tuy nhiên, tùy theo khả năng nhận thức và dữ kiện của đề bài mà ta có thể đưa ra được nhiều lời giải khác nhau Để từ đó học sinh có thể nhận biết được các tính chất, dấu hiệu cơ bản của các loại đường cong có trong mặt phẳng tọa độ Đồng thời, phát huy ở học sinh tính tư duy cao, sáng tạo trong khi làm việc

Bắt nguồn từ lòng hăng say toán học, cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy Bùi Văn Bình Em đã chọn và nghiên cứu đề tài: “đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Qua đề tài này, học sinh sẽ nắm chắc các kiến thức có liên quan đến đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ Lấy đó làm nền tảng để giải các bài tập một cách đơn giản nhất

2

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm sáng tỏ một số vấn đề của đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ như: đặc điểm, tính chất…

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số tính chất và các bài toán chứng minh, tìm quỹ tích trong hình học giải tích

5.2 Ý nghĩa thực tiễn

Cung cấp cho giáo viên và học sinh một số tài liệu tham khảo bổ ích, phục

vụ cho mục đích giảng dạy và học tập môn hình học, đặc biệt là phần nội dung

có liên quan đến phương trình bậc hai trong mặt phẳng tọa độ

3

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CÁC ĐƯỜNG CÔNIC

I LÍ THUYẾT CHUNG

Giả sử cho hai đường thẳng a và b không vuông góc với nhau và cắt nhau tại

S, quay đường thẳng b quanh đường thẳng a một góc 2π, ta nhận được một mặt nón tròn xoay Đường thẳng a, trục đối xứng của mặt nón gọi là trục của mặt nón S là đỉnh của mặt nón Mỗi đường thẳng nằm trên mặt nón gọi là đường sinh thẳng và mọi đường sinh thẳng của mặt nón đều đi qua đỉnh của nó

Mặt nón gồm hai bộ phận, mỗi bộ phận được gọi là tầng của mặt nón

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với trục và không đi qua đỉnh của nó thì ta được giao tuyến là một đường tròn

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bằng một mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh thẳng thì ta được giao tuyến là một đường elip

 Nếu cắt mặt phảng nón tròn xoay bằng một mặt phẳng song song với hai đường sinh thẳng thì ta được giao tuyến là một đường hypebol

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bằng một mặt phẳng song song với chỉ một đường sinh thẳng thì ta được giao tuyến là một đường parabol

Ax2+ By2+ 2Cx+ D = 0 (1) trong đó A, B không đồng thời bằng 0

6

b) Lập phương trình của parabol

Trong hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc với Oxy

,

gọi p là khoảng cách từ f tới :

Giả sử M(x,y) là một điểm của parabol thì:

7

Thật vậy ta có: r = mà =2px nên

Vậy M cách đều F và nên M nằm trên parabol

Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của parabol

c) Tính chất

 Parabol có một trục đối xứng

 O gọi là đỉnh cuả parabol

 e= 1 gọi là tâm sai của parabol

 x=p/2 phương trình cuả gọi là đường chuẩn

 Bán kính qua tiêu của điểm thuộc parabol là: MF =

d) Bài tập

Bài 1:

Cho parabol (P): y2 = 2px đường thẳng (d) qua điểm M cố định không thuộc (P)

và cắt (P) tại A,B.CMR trung điểm I của AB chạy trên một parabol cố định

Lời giải

8

Xét sự tương giao của (d) và (p)

Vì (d) (P) tại hai điểm A và B nên (1) có 2 nghiệm thỏa mãn

Vì I là trung điểm của AB nên:

Nhận xét rằng tọa độ I thỏa mãn (2) Vậy quỹ tích trung điểm I thuộc parabol ( ):

Tung độ các giao điểm của A và B là nghiệm của phương trình:

Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt là và

10

Rõ ràng k ≠ 0 (vì nếu k = 0 thì đường thẳng y = m không cắt các trục tại hai điểm

Theo giả thiết, phương trình : hay có nghiệm duy

Do đó Vậy tập hợp các điểm I là parabol: , đối xứng với parabol: qua trục Oy

Bài 4:

Qua một điểm M cố định trên trục của Parabol (P), ta vẽ một đường thẳng cắt (P) tại hai điểm A và B Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B tới trục đối xứng của (P) là hằng số

Lời giải:

Chọn tọa độ Oxy sao cho (P) có phương trình:

và điểm M(a; 0) cố định trên trục Ox của (P)

Khi đó trục đối xứng của (P) là Ox Đường thẳng đi qua M

Bài tập tham khảo:

Bài 1: Cho parabol (P)

a.Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn và vẽ đồ thị (P)

b.Gọi F’ là giao điểm của đường chuẩn với trục Ox Tìm trên (P) điểm M sao cho:

c.Tìm trên (P) hai điểm A,B sao cho OB AF

Bài 2 Lập phương trình chính tắc của (P), biết khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng x + y – 12 = 0 là 2

12

Bài 3: Cho đường tròn(O) có hai đường kính AB vàCD vuông góc với nhau,

là đường thẳng tiếp xúc với (O) tại A với mỗi điểm M trên O (M , kẻ MM’ vuông góc với CD ( Gọi N là giao điểm của các đường thẳng AM’ và OM

a Chứng minh rằng khoảng cách từ N đến O và đến bằng nhau

b Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên (O)

Bài 4: Cho (P) : và đường thẳng đi qua tiêu điểm F của (P)

và cắt (P) tại hai điểm M và N Gọi

a Tính FM và FN theo p và

b Chứng minh rằng khi quay quanh F thì không đổi

c Tìm giá trị nhỏ nhất của tích FM.FN khi thay đổi

II HYPEBOL

a, Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định, =2c (c ) tập hợp tất cả những điểm M của mặt phẳng đó sao cho (trong đó a là một

số dương không đổi,a<c) gọi là một đường hypebol

gọi là hai tiêu điểm, khoảng cách c gọi là tiêu cự của hypebol

13

y

O x

b, Lập phương trình:

2a

= bình phương hai vế và rút gọn ta được:

Tiếp tục bình phương 2 vế và rút gọn ta được:

(1)

 Hypebol có hai trục đối xứng:

 Hypebol có một tâm đối xứng: gốc tọa độ O và được gọi là tâm hypebol

 2a gọi là trục thực, a gọi là nửa trục thực của hypebol

 2b gọi là trục ảo, b gọi là nửa trục ảo của hypebol

 Nhận y= làm đường tiệm cận

 e= ,e gọi là tâm sai của hypebol

 x= là đường chuẩn của hypebol

 Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở:

 Bán kính qua tiêu của điểm thuộc hypebol:

16

d, Bài tập

Bài 1:

Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt một hypebol tại hai điểm A và B,

và cắt hai đường tiệm cận của nó tại hai điểm P,Q thì AP=BQ

17

Tọa độ của điểm B là:

Tọa độ P là nghiệm của hệ phương trình:

Tọa độ Q là nghiệm của hệ phương trình:

Trường hợp 2 :

Giả sử phương trình đường cắt(H) tại A,B là

Tọa độ A,B là nghiệm của hệ:

Áp dụng định lí viet ta có:

19

Bài 3:

Cho hai điểm A(-1; 0) và B(1; 0) và đường thẳng :

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB = 2MH, với H là hình chiếu vuông góc của M trên

b) Tìm tập hợp các điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN có tích các

20

Rõ ràng và (vì nếu không thì các đường thẳng AM, AN

không có hệ số góc), do đó các đường thẳng AM và BN lần lượt có hệ

Khi đó:

Vậy tập hợp các điểm N là hypebol có phương trình (2); bỏ đi 2 đỉnh: (-1; 0) và

(1; 0)

Bài tập tham khảo:

Bài 1: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết rằng (H) và đường

thẳng d: có điểm chung duy nhất là M(2; ) và d không

song song với các tiệm cận của (H)

Bài 2: Cho hypebol (H) : và đường thẳng : x – y + m = 0

a Chứng minh rằng: luôn cắt (H) tại hai điểm M , N thuộc hai nhánh khác

nhau của (H)(

b Gọi là tiêu điểm trái và là tiêu điểm phải của (H) Xác định m để

Bài 3: Cho hai điểm A(-1; 0) và B(1; 0) và đường thẳng :

gọi là hai tiêu điểm, khoảng cách c gọi là tiêu cự của elip

b, Lập phương trình elip trong hệ tọa độ đêcac vuông góc

Chọn trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng , còn trục Ox nằm trên đường thẳng đi qua và theo hướng từ đến khi đó

Giả sử M(x;y) thuộc elip thì

Hay

22

Bình phương hai vế và rút gọn ta được: , tiếp tục bình phương hai vế và rút gọn ta được:

Vì a>c nên là một số dương Đặt khi đó (2) sẽ có dạng:

Chia hai vế cho ta được:

Như vậy nếu M là một điểm trên elip thì tọa độ (x,y) của nó thỏa mãn phương trình (3)

Ngược lại ta chứng minh rằng bất kỳ điểm M nào mà có tọa độ(x;y) của nó thỏa mãn phương trình (3) cũng đều thuộc elip,tức:

Từ (3) ta có:

Do đó:

Ngoài ra từ (3) ta có hay mà nên

Từ đó ta có:

 Elip nhận trục hoành và trục tung làm trục đối xứng

 Elip nhận O làm tâm đối xứng và gọi là tâm elip

 Khoảng cách gọi là trục lớn, a gọi là nửa trục lớn

 Khoảng cách gọi là trục bé, b gọi là nửa trục bé

 gọi là tâm sai của elip, e<1

 Đường chuẩn của elip:

 Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở:

26

Trường hợp 2:

Giả sử phương trình đường thẳng OA là: , và phương trình (E):

Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ:

Đường phương trình đường OB có dạng:

tọa độ của B là nghiệm của hệ:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Vậy (E) có phương trình là :

b) Phương trình chính tắc của elip (E)có dạng

29

Gọi ( ) là đường thẳng ơle của tam giác ABC

Theo giả thiết (∆) BC

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( )

Do H thuộc đường ơle là trực tâm của tam giác ABC

Ta có:

30

Vậy quỹ tích những điểm A là một (E) có phương trình :

Bài tập tham khảo:

Bài 1: Cho elip (E): và đường thẳng d: x + y +3 = 0

a Chúng minh rằng d không có điểm chung với (E)

b Ta xét điểm thuộc (E) Tính khoảng cách từ M đến d Tìm tọa

độ của M để khoảng cách đó nhỏ nhất

Bài 2: Cho elip (E) là một đường thẳng qua tiêu điểm phải của (E) và cắt (E) tại hai điểm M, N Gọi là góc giữa tia và tia

a Chúng minh rằng:

b Tìm độ dài lớn nhất, nhỏ nhất của đoạn MN khi quay quanh

31

Chương 2

ĐƯỜNG BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC

I LÍ THUYẾT CHUNG

Trong một hệ trục tọa độ đecac vuông góc Oxy, ta xét một đường bậc

hai có phương trình tổng quát:

Các hệ số A,B,C không đồng thời bằng 0

Sau đây ta tìm tất cả các đường bậc hai dạng chính tắc cho bởi (1)

Dùng phép quay tọa độ Oxy một góc để thành hệ , theo công thức

đổi tọa độ:

Khi đó M(x;y) đối với hệ tọa độ cũ Oxy sẽ có tọa độ( ) đối với hệ tọa

độ mới O , ta thay (2) vào (1) được phương trình của đường bậc hai đã

cho trong hệ tọa độ mới nó có dạng:

Trong đó:

Nếu B≠0 ta có thể chọn để B’=0 bằng cách:

32

Vậy nếu trong phương trình (1), B≠0 thì bằng cách quy hệ tọa độ góc thỏa mãn điều kiện (4) ta đưa phương trình (4) về dạng:

Xét các trường hợp trong phương trình (5)

1) Nếu A’≠0, C’≠0 khi đó (5) được viết lại như sau:

33

c) Nếu A’>0, C’<0:

+ trường hợp F’<0 thì đặt : thì phương trình (7) trở thành : ta được một hypebol

+ trường hợp F’>0 thì đặt : thì phương trình (7) trở thành : ta được một hypebol

d) Nếu A’>0, C’>0, F’=0, thì phương trình (7) trở thành:

Phương trình này xác định cho ta một cặp đường thẳng:

và chúng cắt nhau tại gốc tọa độ

a) Nếu A’>0, C’>0, F’=0, thì phương trình (7) đươcj đưa về dạng:

chỉ cho một điểm thỏa mãn phưong trinhf này, đó là điểm gốc tọa độ

2) Nếu A’≠0, C’=0, E’≠0 khi đó (5) được viết lại như sau:

34

Hay

Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ:

Khi đó phương trinh (9) có dạng:

a) Nếu thì đặt: ta được là phương trình parabol b) Nếu thì đặt: ta được là phương trình parabol 3) Nếu A’≠0, C’=0, E’=0 khi đó (5) được viết lại như sau:

Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ:

Khi đó phương trình (10) có dạng:

Trong đó:

35

a) Nếu F’<0 thì đặt ta được phương trình này biểu thị một cặp đường thẳng song song X=a, X= -a

b) Nếu F’>0 thì không có điểm nào thỏa mãn (11)

c) Nếu F’=0 thì là phương trình của cặp đường thẳng trùng nhau X= 0

 Kết luận: phương trình (1) trong hệ trục tọa độ đecac vuông góc Oxy là phương trình của những đường bậc hai sau: elip, hypebol, parabol, cặp đường thẳng cắt nhau,cặp đường thẳng song song, cặp đường thẳng trùng nhau, một điểm hoặc một tập hợp rỗng

Đặt:

Phương trình trên là một parabol

Bài 2: Xác định dạng và viết phương trình chính tắc

a

38

b

Áp dụng công thức đổi tọa độ:

Thay vào phương trình ta có:

39

Đặt

Vậy phương trình trên là một hypebol

Bài 3: Trong hệ tọa độ afin, hãy đưa các đường bậc hai sau về dạng chính tắc:

1 x2 - 2xy + 2y2 - 4x - 6y + 3 = 0

(x y)2 y2 4x 6y 3 0

x X y Y

41

Đặt

3 ' 5 22 3( ' 2) 22

y X

x Y

13 3 5 3( ' ) =0 (2) 3

Vậy đường bậc hai đã cho là hai đường thẳng thực cắt nhau

Nhận xét : - Bài toán dạng này tuy không khó nhưng nó đòi hỏi người làm

phải biết nhóm các ẩn số một cách thích hợp để đưa phương trình về dạng đơn giản, sau đó dùng phép đổi mục tiêu để đưa

43

Bài tập tham khảo :

Bài 1 :Trong hệ toạ độ, hãy đưa các đường bậc hai sau về dạng

Đáp số : 1 X2 - Y2= 1 Đây là đường hypebol

2 X2 + Y2 = 1 Đây là đường elip

3 X2 - 2Y = 0 Đây là đường parabol

4 XY = 0 Đây là cặp đường thẳng cắt nhau

Bài 2 : Trong hệ toạ độ, hãy đưa các đường bậc hai sau về

dạng chính tắc:

1 x2 + 2xy + y2 + 2x +2y -4 = 0

2 -5x2 - 4xy + y2 + 12x - 6y + 9 = 0

Đáp số : 1 X2 - 1 = 0 Hai đường thẳng thực song song

2 X2 = 0 Hai đường thẳng thực trùng nhau

 giao với tại hai điểm phân biệt

 giao với tại hai điểm trùng nhau

 không cắt

Xét trường hợp cắt tại hai điểm M,N thì đoạn thẳng MN được gọi là dây cung của có phương ta đi tìm quỹ tích các trung điểm I của MN

Gọi tọa độ I là ( ) thì phương trình của là:

Ta có giao điểm M,N của và ( ) ứng với hai nghiệm của phương trình:

2 Tâm của đường bậc hai

Nếu đường cong bậc hai ( ) có tâm (một hay nhiều tâm) thì tọa độ tâm phải thỏa mãn hệ phương trình:

Ta nhân phương trình thứ nhất với và phương trình thứ hai với rồi cộng lại ta được:

Điều này chứng tỏ tâm của đường bậc hai nằm trên mọi đường kính của đường bậc hai đó

3 Đường kính liên hợp với phương của elip xác định bởi phương trình