Khoá luận tốt nghiệp đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

86 Chương 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO Chương 4 NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10 1.. Hơn nữa, cá

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2016

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH

PHẠM MINH TÂM TRẦN NGỌC THANH TRÚC

ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Tác giả luận văn

Trần Ngọc Thanh Trúc Phạm Minh Tâm

LỜI CẢM ƠN

Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Ái Quốc đã luôn giúp đỡ, hướng dẫn tận tâm, động viên tinh thần chúng con trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Nhóm thực hiện

Trần Ngọc Thanh Trúc Phạm Minh Tâm

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh mục các cụm từ viết tắt 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 1 Tóm tắt lý thuyết 8

1.1 Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng 8

1.1.1 Tọa độ điểm trong mặt phẳng 8

1.1.2 Tọa độ vectơ trong mặt phẳng 8

1.1.3 Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ 8

1.2 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng 9

1.2.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng 9

1.2.2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 9

1.2.3 Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến 9

1.3 Phương trình tham số của đường thẳng 10

1.4 Phương trình chính tắc của đường thẳng 10

1.5 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc 11

1.6 Phương trình tổng quát của đường thẳng 11

1.7 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 12

1.8 Khoảng cách và góc 13

1.8.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 13

1.8.2 Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng 13

1.8.3 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng 13

1.8.4 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau 13

1.8.5 Góc giữa hai đường thẳng 14

2 Một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ 14

2.1 Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng 14

2.2 Thiết lập phương trình đường thẳng 19

2.2.1 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước 20

2.2.2 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước 22

2.2.3 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước 23

2.2.4 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc khoảng cách 25

2.2.5 Phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một điều kiện về khoảng cách hoặc góc 32

2.2.6 Phương trình đường thẳng được thiết lập bằng phương pháp quỹ tích 33

2.2.7 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau 35

2.2.8 Các ví dụ tổng hợp 37

2.3 Vị trí tương đối 41

2.4 Xác định tọa độ điểm 45

2.5 Các bài toán cực trị 48

Chương 2 ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 1 Tóm tắt lý thuyết 51

1.1 Phương trình đường tròn 51

1.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn 51

1.3 Phương tích, vị trí tương đối của điểm và đường tròn 52

1.4 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 52

1.5 Vị trí tương đối của hai đường tròn 52

1.5.1 Trục đẳng phương của hai đường tròn 52

1.5.2 Vị trí tương đối của hai đường tròn 53

1.5.3 Tọa độ giao điểm của hai đường tròn 54

2 Một số bài toán về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ 55

2.1 Xác định tâm, bán kính và điều kiện của đường tròn 55

2.2 Lập phương trình đường tròn theo dạng x2y22ax2by c 0 56

2.2.1 Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm 56

2.2.2 Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn, lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác 57

2.3 Lập phương trình đường tròn theo dạng   2 2 2 0 0 xx  yy R 58

2.3.1 Lập phương trình đường tròn bằng cách xác định tâm và bán kính 58

2.3.2 Lập phương trình đường tròn bằng cách gọi tâm và bán kính 60

2.4 Vị trí tương đối 70

2.4.1 Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường tròn 70

2.4.2 Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng 74

2.5 Tiếp tuyến của đường tròn 75

2.5.1 Tiếp tuyến tại một điểm với đường tròn 75

2.5.2 Tiếp tuyến đi qua một điểm 76

2.5.3 Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương, hệ số góc 77

2.5.4 Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn 79

2.6 Đường tròn và tập hợp điểm 84

2.6.1 Tập hợp tâm đường tròn 84

2.6.2 Tập hợp điểm là đường tròn 86

Chương 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO Chương 4 NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10 1 Các quan niệm sai lầm 110

2 Thực nghiệm 112

TÀI LIỆU THAM KHẢO 117

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

VTCP : Véctơ chỉ phương VTPT : Véctơ pháp tuyến

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

“Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình hình học lớp 10 Kiến thức này cũng là một trong những vấn đề chính trong bài thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Các bài toán thường phải áp dụng tính chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là kĩ thuật tính toán đại số thông thường như trước kia Vì vậy để học tốt nội dung này, học sinh cần có sự nỗ lực phối hợp nhiều thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, Tuy nhiên, mỗi học sinh lại có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau Hơn nữa, các bài toán về “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” thường rất khó nên việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập đối với học sinh là khá khó khăn

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10” với mong muốn giúp đỡ các học sinh hiểu được và nắm chắc những kiến thức, đồng thời phát hiện và giúp các em khắc phục những sai lầm khi giải bài toán về đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh hiểu, sử dụng tri thức “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10” một cách đúng đắn, đồng thời nhận ra những sai lầm và cách giải quyết khắc phục những sai lầm đó

Giúp giáo viên mang lại hiệu quả dạy học hình học ở trường trung học phổ thông

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10 3.2 Đối tượng nghiên cứu Học sinh trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Thu thập, phân loại, tổng hợp các tài liệu có liên quan về phần đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10

4.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Chọn khối lớp 10, tiến hành khảo sát phát phiếu in sẵn những bài tập về đường thẳng

và đường tròn trong hình học tọa độ để học sinh làm bài Sau đó, kiểm tra kết quả và đúc kết những sai lầm của học sinh dễ mắc phải khi làm bài

4.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

Gặp mặt, trao đổi và xin ý kiến của các thầy cô khoa Toán - Ứng dụng trường đại học Sài Gòn về đề tài đang nghiên cứu để thu thập những thông tin cần thiết cho đề tài, thu lượm những ý kiến đánh giá từ các thầy cô trưởng Bộ môn về thực trạng và phương hướng giải quyết đối với các vấn đề nghiên cứu

4.4 Phương pháp ứng dụng toán học

Sử dụng phương pháp thống kê trong xử lý các số liệu cụ thể để đảm bảo tính khoa học của đề tài

5 Phạm vi nghiên cứu

5.1 Giới hạn về nội dung

Đề tài nghiên cứu đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10

5.2 Giới hạn về địa bàn

Thực nghiệm:

- Thời gian: Ngày 30/03/2016

- Địa điểm: Trường THPT Lương Thế Vinh, Quận 1, TPHCM

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể và đối

tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc khóa luận Phần nội dung: Gồm bốn chương

Chương 1: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Chương 2: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Chương 3: Một số bài toán tổng hợp

Chương 4: Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải các bài toán về đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Phần kết luận

- Trình bày những kết quả nghiên cứu đã đạt được

- Hướng mở rộng cho nghiên cứu

Để phát huy tính tư duy, mang lại niềm hứng thú học tập cho học sinh chúng tôi cố gắng thể hiện các vấn đề sau:

Ở mỗi chương đều có tóm tắt kiến thức cơ bản, khái niệm kiến thức được đề cập tới nhằm mục đích chỉ rõ mạch kiến thức hoặc mối liên quan giữa các vấn đề để người đọc tiện theo dõi, nắm được tính hệ thống của tài liệu nghiên cứu

Sau phần khái niệm, kiến thức cơ bản của mỗi chương có một số dạng bài toán cơ bản được phân tích, hướng dẫn, vận dụng giải từ các khái niệm đã nêu ở trước đó, nhằm giúp người đọc hiểu rõ hơn

Khi phân tích mỗi một khái niệm, đặc biệt là những khái niệm khó, hầu hết chúng tôi dẫn dắt từ các khía cạnh khác nhau bằng những ví dụ cụ thể, bằng những minh hoạ hình học để người đọc có thể dễ dàng nắm được khái niệm đó

Hệ thống các dạng toán được chúng tôi soạn thảo kĩ lưỡng, đảm bảo tính phong phú, đa dạng và mức độ từ dễ tới khó, hướng dẫn chi tiết từng bước giải, nêu ra nhiều cách làm nhằm giúp các em học sinh dễ hiểu, nắm được cách trình bày và phân tích bài toán

Chúng tôi có soạn thảo một chương cho những bài toán tổng hợp ở mức độ khó và hướng dẫn giải chi tiết với nhiều cách phân tích khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố những hiểu biết chưa thấu đáo cùng với cách nhìn nhận vấn đề để trả lời cho câu hỏi “Tại sao biết phải làm như vậy?” một cách thoả đáng

Trong chương cuối, chúng tôi dự kiến một số sai lầm của học sinh có thể mắc phải trong việc giải bài toán về đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng toạ độ, dự kiến những nguyên nhân dẫn đến sai lầm cùng với phần thực nghiệm trên học sinh

Cuối cùng, dù đã rất cố gắng tham khảo nhiều loại tài liệu để viết khoá luận này, nhưng việc thiếu sót là điều khó tránh khỏi do những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế

từ chúng tôi Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến, đóng góp quý báu từ các quý thầy cô và bạn đọc

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1 Tóm tắt lý thuyết

1.1 Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng

1.1.1 Tọa độ điểm trong mặt phẳng

Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ   Oxy , tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa

độ của điểm M

Vectơ OM được biểu diễn theo i và j bởi hệ thức có dạng: OM   xi y jvới

,

x y R  Cặp số   x y ; là duy nhất và được gọi là tọa độ của điểm M

Kí hiệu: M x y hoặc  ; M  x y; Số x được gọi là hoành độ của điểm M , số y được gọi là tung độ của điểm M

1.1.2 Tọa độ vectơ trong mặt phẳng

Định nghĩa Đối với hệ trục tọa độ O i j; , , nếu a   xi y j thì cặp số   x y ; được gọi là tọa độ của vectơ a , kí hiệu là a x y; hay a x y Số thứ nhất x gọi là hoành  ;

độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ a

1.1.3 Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho    ' '

f) I là trung điểm AB 2 ;

2

A B I

A B I

A B C G

1.2 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

1.2.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa Vectơ u khác 0 , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng   d

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng   d

iii Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ chỉ phương của nó

1.2.2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa Vectơ n khác 0, có giá vuông góc với đường thẳng   d gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng   d

Nhận xét

i Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng   d thì mọi vectơ k n khác

vectơ 0 đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng   d ;

ii Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ pháp tuyến của nó

1.2.3 Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

i Nếu đường thẳng   d có vectơ pháp tuyến n và vectơ chỉ phương u thì 0;

n u

ii Nếu n a b; là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng   d thì u   b a; 

hoặc u b;a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng   d ;

iii Nếu u a b; là một vectơ chỉ phương của đường thẳng   d thì n  b a; 

hoặc nb;a là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng   d ;

iv Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến;

v Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại

1.3 Phương trình tham số của đường thẳng

Định lý Trong mặt phẳng   Oxy , đường thẳng   d đi qua điểm M x y  0; 0 và nhận vectơ u a b; làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

  d là đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng x 0;

Nếu b0 và a0 thì phương trình tham số của   d là 0

Nhận xét Nếu a0 hoặc b0 thì đường thẳng   d không có phương trình chính tắc

1.5 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

Định nghĩa

Xét đường thẳng   d có phương trình tổng quát AxBy C 0 Nếu B0 thì

phương trình trên đưa được về dạng ykxm với k A

Từ phương trình  d :AxBy C 0 ta luôn suy ra được

1 Vectơ pháp tuyến của   d là nA B; ;

2 Vectơ chỉ phương của   d là u   B A;  hoặc u B;A;

3 M x y 0; 0   d  Ax0 By0  C 0

Mệnh đề   3 được hiểu là: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên một đường thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng

Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

Cho đường thẳng  d :AxBy C 0, với A2 B2 0

i Nếu A0 thì  d :By C 0 y C

B

     Khi đó đường thẳng   d vuông

góc với trục Oy tại điểm có tung độ C

B

 ;

ii Nếu B0 thì  d :Ax C 0 x C

A

     Khi đó đường thẳng   d vuông

góc với trục Ox tại điểm có hoành độ C

A

 ;

iii Nếu C 0 thì   d : Ax By   0 Đường thẳng   d đi qua gốc tọa độ;

iv Nếu A B C , , đồng thời khác 0 thì   d cắt Ox và Oy tại hai điểm

1.7 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng   Oxy cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình tổng quát

 d1 :A x1 B y C1  1 0 và  d2 :A x2 B y C2  2 0 Vì số điểm chung của hai đường

 , nên từ kết quả của đại số ta có

i Hệ   1 vô nghiệm    d1 song song   d2 ;

ii Hệ   1 có nghiệm duy nhất    d1 cắt   d2 ;

iii Hệ   1 vô số nghiệm    d1 trùng với   d2

Trong trường hợp A B C đều khác 0, ta có 2, 2, 2

M x y Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng   d , ký hiệu là d M , d ,

được tính bởi công thức     0 0

2 2, Ax By C

1.8.2 Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng

Cho điểm M x y  0; 0 và đường thẳng   d : Ax By C    0

i d M d ,   0 M d  Ax0 By0  C 0;

ii d M d ,   0 M  d  Ax0 By0 C 0

1.8.3 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng  d :AxBy C 0 và hai điểm M x M;y M ,N x N;y N không nằm trên   d Khi đó

i Hai điểm M N , nằm cùng phía đối với   d khi và chỉ khi

Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình   d1 : A x B y C1  1  1 0 và

  d2 : A x B y C2  2  2  0 Khi đó, phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai

2 Một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

2.1 Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng

Ví dụ 1 Cho đường thẳng   d : y  2 x  5

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng   d

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng   d

c) Viết phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng   d

u a b của đường thẳng  d Ngoài ra, ta có thể đưa phương trình   d về dạng phương

trình tham số bằng cách đặt x t , khi đó y   2 t 5, nghĩa là M  0; 5   và u 1; 2

c) Để đưa phương trình của   d về dạng phương trình theo đoạn chắn

cho 5

Các bước giải

a) Để đưa đường thẳng   d : y  2 x  5 về dạng phương tổng quát, ta cần chuyển y sang cùng một vế với 2x5 , ta được phương trình đúng dạng với dạng của phương trình tổng quát của đường thẳng

b) Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số

Bước 4 Từ vectơ chỉ phương và điểm M thuộc   d ta suy ra được phương trình tham số của đường thẳng   d

Cách 2

Tham số hóa x và y Đặt xt, thay xt vào phương trình y  2 x  5 ta được

2 5

y   t Vậy ta được phương trình tham số của đường thẳng   d

c) Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số Cách 1

Bước 1 Từ phương trình tổng quát   d : 2 x y    5 0, ta chuyển hệ số tự do 5 sang vế phải, ta được 2 x   y 5;

Bước 2 Vì phương trình theo đoạn chắn có dạng x y 1 a 0,b 0

Nên phương trình tham số của đường thẳng   d đi qua điểm M  0; 5   và có

Thay x t vào phương trình y  2 x  5, ta được y   2 t 5

Vậy PTTS của đường thẳng   d có dạng  

Bước 1 Từ phương trình đề ta tìm được một vectơ chỉ phương của đường thẳng

  d là u1; 2 ;

Bước 2 Tìm tọa độ một điểm thuộc   d là M   2;1 ;

Bước 3 Ta lập phương trình chính tắc của đường thẳng   d theo dạng

 d : x x0 y y0

  

Cách 2

Bước 1 Từ hai phương trình x 2 t , ta suy ra được t x 2;

Bước 2 Từ hai phương trình y 1 2t, ta suy ra được 1;

Từ phương trình tham số của   d ta tìm được vectơ chỉ phương của   d , từ vectơ chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến Đồng thời, ta tìm một điểm thuộc đường thẳng   d

, như vậy ta có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng   d

Ngoài ra, ta có thể lập phương trình tổng quát của đường thảng   d bằng cách khác Chọn một trong hai phương trình, ta tìm t theo biến x hoặc y rồi thế t vào

phương trình còn lại, ta được phương trình tổng quát của đường thẳng

Bước 1 Xác định một điểm thuộc đường thẳng   d ;

Bước 2 Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng   d , từ vectơ chỉ phương suy ra vectơ pháp tuyến của   d

Bước 3 Phương trình của đường thẳng   d đi qua điểm M x y  0; 0 và có vectơ pháp tuyến nA B;  có dạng   d :A xx0B y y00

Đường thẳng   d đi qua M   3;6  và có vtpt n d  2;1

Vậy phương trình tổng quát của   d là

   

2 x      3 y 6 0 2 x   y 0.

2.2 Thiết lập phương trình đường thẳng

2.2.1 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước

Ví dụ 1 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng   d biết   d đi qua điểm

 1; 2

n , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng

Các bước giải

Bước 1 Xác định điểm M  1; 2   thuộc đường thẳng   d ;

Bước 2 Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng   d ;

Bước 3 Phương trình của đường thẳng   d đi qua điểm M x y  0; 0 và có vectơ pháp tuyến nA B;  có dạng   d :A xx0B y y00

Đường thẳng   d đi qua điểm M x y  0; 0 và nhận vectơ u a b; làm vectơ chỉ

phương có phương trình tham số là   0  

 nên để lập được phương

trình tham số của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó Trong ví dụ này, đường thẳng   d qua N3;2 và có vectơ chỉ phương u 1; 2 , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tham số của đường thẳng

Các bước giải

Bước 1 Xác định điểm N   3; 2  thuộc đường thẳng   d ;

Bước 2 Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng   d ;

Bước 3 Phương trình của đường thẳng   d đi qua điểm M x y  0; 0 và nhận vectơ

Ví dụ 3 Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng   d

đi qua 2 điểm A   2;1 và B   4;5 

Phân tích

Để lập được phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng   d

ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng, một vectơ pháp tuyến, một vectơ chỉ phương của đường thẳng   d Trong ví dụ này, đường thẳng   d đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương là u d  AB, từ vectơ chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến n d của đường thẳng   d Như vậy ta đã có đủ các yếu tố để lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng   d

Các bước giải

Phương trình tổng quát

Bước 1 Xác định điểm A   2;1 hoặc B   4;5  thuộc đường thẳng   d ;

Bước 2 Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng   d , u d  AB  6; 4; Bước 3 Từ vectơ chỉ phương suy ra vectơ pháp tuyến n d  4;6 ;

Bước 4 Phương trình của đường thẳng   d đi qua điểm M x y  0; 0 và có vectơ pháp tuyến n a b; có dạng    d : a x x  0   b y  y0  0. Từ đó, ta viết phương trình tổng quát của đường thẳng   d

Phương trình tham số

Bước 1 Xác định điểm A   2;1 hoặc B   4;5  thuộc đường thẳng   d ;

Bước 2 Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng   d , u d  AB  6; 4; Bước 3 Phương trình của đường thẳng   d đi qua điểm M x y  0; 0 và nhận vectơ

Đường thẳng   d qua A   2;1 và có vectơ chỉ phương u d  AB  6; 4

Vậy phương trình tham số của đường thẳng   d là  : 2 6  

Ta có: vectơ chỉ phương u d  AB  6; 4vectơ pháp tuyến n d  4; 6

Đường thẳng   d qua A   2;1 và có vectơ pháp tuyến n d  4;6

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng   d là   d : 2 x  3 y   7 0

2.2.2 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước

Ví dụ Viết phương trình đường thẳng   d biết   d đi qua M   2;4 và có hệ số góc k 2

Vậy phương trình đường thẳng   d là 2 x    y 4 0

2.2.3 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông

góc với một đường thẳng cho trước

Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương và cùng vectơ pháp tuyến Hai đường thẳng vuông góc có vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại

Ví dụ 1 Viết phương trình đường thẳng   d biết   d đi qua A   1;2  và song song với đường thẳng    : 2 x  3 y   1 0

Phân tích

Đường thẳng   d song song với đường thẳng    nên hai đường thẳng có cùng vectơ pháp tuyến Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng   d kết hợp với giả thiết   d đi qua A   1;2  ta lập được phương trình đường thẳng   d

A  vào phương trình 2x3y m 0, ta tìm được m ;

Bước 3 So điều kiện m 1 với giá trị m vừa tìm được Nếu m 1, ta nhận giá

trị m và thay m vào phương trình 2 x3y m 0, ta tìm được phương trình đường thẳng

  d thỏa yêu cầu bài toán Nếu m 1, ta loại giá trị m này vì với m 1 ta tìm được phương trình đường thẳng  d : 2x3y 1 0 trùng với phương trình đường thẳng   

không thỏa yêu cầu bài toán

Bài giải

Vì   d song song với    nên   d có dạng 2 x  3 y m   0  m   1 

Ta có: A   1;2     d  2     1 3.2      m 0 m 4 (nhận)

Thay m 4 vào 2 x  3 y m   0, ta được 2 x  3 y   4 0.

Vậy phương trình đường thẳng   d : 2 x  3 y   4 0

Ví dụ 2 Viết phương trình đường thẳng   d biết   d đi qua B  3; 2   và vuông góc với đường thẳng    : x  2 y   3 0

Phân tích

Đường thẳng   d vuông góc với đường thẳng    nên vectơ chỉ phương của   

là vectơ pháp tuyến của   d Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng   d

kết hợp với giả thiết   d đi qua B3; 2  ta lập được phương trình đường thẳng   d

B  vào phương trình 2x  y m 0, ta tìm được m ;

Bước 3 Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình 2 x  y m 0, ta tìm được phương trình đường thẳng   d thỏa yêu cầu bài toán

Bài giải

Vì   d vuông góc với    nên   d có dạng 2 x    y m 0

Ta có: B  3; 2      d  2.3 2       m 0 m 4

Thay m 4 vào 2x  y m 0, ta được 2 x    y 4 0

Vậy phương trình đường thẳng 2 x    y 4 0

Ví dụ 3 Viết phương trình đường trung trực   d của đoạn thẳng MN biết

Các bước giải

Bước 1 Gọi I là trung điểm của MN, tìm tọa độ điểm I bằng công thức tính tọa

độ trung điểm;

Bước 2 Tìm vectơ chỉ phương MN Suy ra vectơ pháp tuyến n d MN;

Bước 3 Viết phương trình đường thẳng   d đi qua I và có vectơ pháp tuyến

 d

n MN

Bài giải

Gọi I x y  I; Ilà trung điểm của MN.

Tọa độ điểm I thỏa

M N I

Vì   d vuông góc với MN nên n d MN 2;10 

Phương trình đường thẳng   d đi qua I và có vectơ pháp tuyến n d là

2 x   0 10 y    4 0 2 x  10 y  40 0    x 5 y  20 0 

Vậy phương trình đường thẳng   d : x  5 y  20 0 

2.2.4 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc

khoảng cách Phương pháp

Đường thẳng   d đi qua M x y  0; 0 và có vectơ pháp tuyến nA B;  có dạng

Ví dụ 1 Cho hai điểm M1;2 và N 3;5 Viết phương trình đường thẳng   d

đi qua M biết rằng khoảng cách từ N đến đường thẳng   d bằng 3

  d Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng   d đi qua điểm M và có vectơ pháp

24

7 24 0

7

A A

Thay A0;B1 vào  d :AxBy A 2B0, ta được phương trình đường thẳng   d : y   2 0

A xx B yy  A B  Giả thiết đường thẳng   d cách đều hai điểm M

và N , điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng   d bằng với

khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng   d Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một

điểm đến một đường thẳng, tìm ra một phương trình hai ẩn là A và B , giải phương trình

tìm được vectơ pháp tuyến n d của đường thẳng   d Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng   d đi qua điểm P và có vectơ pháp tuyến n d

Trường hợp 2

2

B

A , vì A2 B2 0 nên chọn B   2 A 1 Thay A1;B2 vào  d :AxBy10A2B0, ta được phương trình đường thẳng   d : x  2 y   14 0

M và N cùng phía với đường thẳng   d mà hai điểm M N , cách đều đường thẳng

  d nên MN song song với đường thẳng   d Kết hợp với giả thiết đường thẳng   d đi qua điểm P, ta lập được phương trình đường thẳng   d đi qua điểm P và song song với

MN

Trường hợp 2

M và N khác phía với đường thẳng   d mà hai điểm M N , cách đều đường thẳng

  d nên   d đi qua trung điểm của MN Vậy đường thẳng   d đi qua điểm P và trung điểm của MN

Ví dụ 3 Cho hai đường thẳng   d1 : x    y 1 0 và   d2 : 2 x    y 2 0 Viết phương trình đường thẳng   d3 đối xứng với   d2 qua   d1

Bước 4 Tìm điểm M   0;1 thuộc đường thẳng   d1 ;

Bước 5 Vì đường thẳng   d3 đối xứng với đường thẳng   d2 qua đường thẳng

  d1 nên d M , d3 d M , d2  Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp tuyến

Vì   d3 đối xứng   d2 qua   d1 nên I     1;0  d3

Phương trình đường thẳng   d3 đi qua điểm I   1;0 và có vectơ pháp tuyến

 ; 

n A B có dạng   d :A x 1 B y 00  2 2 

0

A B   AxBy A 0 Gọi M   0;1  d1

0

A B  ) Trường hợp 2 A0 Chia hai vế phương trình   * cho A2

Từ giả thiết đường thẳng   d tạo với đường thẳng    : x  3 y   3 0 một góc 450,

ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng, tìm ra một phương trình hai ẩn, giải phương trình tìm được vectơ pháp tuyến n d của đường thẳng   d Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng   d đi qua điểm K2;0 và có vectơ pháp tuyến n d

d d

   Giải phương trình này ta tìm

được vectơ pháp tuyến nA B; ;

Bước 3 Viết phương trình đường thẳng   d

   

   

2

d d

Trường hợp 1 A  0 B 0 (không thỏa A2 B2 0)

Trường hợp 2.A0 Chia hai vế phương trình   * cho A2, ta có:

1

12

22

2.2.5 Phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một

điều kiện về khoảng cách hoặc góc Phương pháp

Nếu giả thiết cho vectơ pháp tuyến n a b; , ta gọi phương trình

  d : ax by c    0;

Nếu giả thiết cho hệ số góc k , ta gọi phương trình   d : y   kx m;

Từ điều kiện về khoảng cách hoặc góc, ta suy ra c hoặc m

Ví dụ Viết phương trình đường thẳng   d song song với đường thẳng

  :x  y 2 0 và cách    một khoảng bằng 3 2

Phân tích

Vì đường thẳng   d song song với đường thẳng    nên vectơ pháp tuyến của   

cũng là vectơ pháp tuyến của   d Phương trình đường thẳng   d có dạng

 d :x  y m 0 , m  2  Đường thẳng   d song song với đường thẳng    nên khoảng cách từ    đến   d bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng    đến đường thẳng   d Ta dễ dàng tìm được một điểm M thuộc đường thẳng    , khi đó

khoảng cách từ M đến   d bằng 3 2, sử dụng công thức tính khoảng cách, ta lập được

một phương trình có ẩn m , giải phương trình này ta tìm được m Như vậy, ta tìm được

phương trình đường thẳng   d thỏa yêu cầu bài toán

Bước 4 So sánh giá trị m vừa tìm được với điều kiện m2 Nếu m2, ta nhận

giá trị m và thay m vào phương trình x    y m 0, ta tìm được phương trình đường thẳng   d thỏa yêu cầu bài toán Nếu m2, ta loại giá trị m này vì với m2 ta tìm được phương trình đường thẳng  d :x  y 2 0 trùng với phương trình đường thẳng   

không thỏa yêu cầu bài toán

m

4

m m

Giả sử cần lập phương trình đường thẳng   d Gọi M x y là điểm bất kì thuộc  ;

đường thẳng   d Từ giả thiết bài toán đưa ra, ta tìm được phương trình với hai ẩn x và y

Đó chính là phương trình của đường thẳng   d

Ví dụ Cho hai đường thẳng   d1 : x  2 y   1 0 và   d2 : x  2 y   3 0 Viết

phương trình đường thẳng    cách đều   d1 và   d2

Phân tích

Đường thẳng    cách đều hai đường thẳng     d1 , d2 nên khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng    đến hai đường thẳng     d1 , d2 là bằng nhau Từ đó, sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta tìm được một

phương trình hai ẩn x và y Đó chính là phương trình đường thẳng    cần tìm

Các bước giải

Bước 1 Gọi điểm M bất kì thuộc    ;

Bước 2 d     , d1 d     , d2 d M d , 1 d M d , 2 , biến đổi ta được

một phương trình hai ẩn x và y Đây là phương trình đường thẳng    thỏa yêu cầu bài toán

Vậy phương trình đường thẳng    là x  2 y   2 0

Nhận xét

Bài toán trên có thể đưa về bài toán lập phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và một điều kiện về khoảng cách Dễ thấy   d1 song song   d2 ,    cách đều hai đường thẳng     d1 , d2 nên    có cùng vectơ pháp tuyến với     d1 , d2 Từ đó, lập phương trình đường thẳng    khi biết vectơ pháp tuyến    : x  2 y m   0

 m  1, m  3  , sử dụng giả thiết bài toán tìm m Như vậy, ta tìm được phương trình

đường thẳng    thỏa yêu cầu bài toán

2.2.7 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt

Hai đường thẳng     AB , AC cắt nhau có phương trình lần lượt là

 AB :A x1 B y C1  1 0 và  AC :A x2 B y C2  2 0 Khi đó, phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng     AB , AC có dạng

  Như vậy, để viết được phương trình đường phân giác

thỏa yêu cầu bài toán, ta cần tìm hai phương trình đường thẳng     AB , AC

Các bước giải

Bước 1 Viết phương trình đường thẳng   AB và phương trình đường thẳng   AC ; Bước 2 Lập phương trình các đường phân giác của góc A;

Bước 3 Xét vị trí tương đối của hai điểm B, C với hai đường phân giác, ta suy ra

phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc A

Bài giải

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng   AB là u AB   4; 3

Suy ra hai đường phân giác là   d1 : x  3 y   2 0 và   d2 : 3 x    y 4 0.

Xét hai điểm B    3; 2 ,    C 0;1 và đường thẳng   d1 : x  3 y   2 0.

đi qua hai điểm Như vậy ta tìm được phương trình đường phân giác trong Đồng thời ta sử dụng tính chất hai đường phân giác trong và ngoài vuông góc với nhau để lập phương trình đường phân giác ngoài