* Chú ý: Trong trường hợp elip có tâm Iα, β hai trục cùng phương với hai trụctoạ độ thì phương trình có dạng: để suy ra dễ dàng toạ độ các đỉnh và tiêu điểm.. a Tìm đỉnh, tiêu điểm, tâm
Trang 1F1, F2 là hai điểm: F1F2 = 2c gọi là tiêu cự.
II Phương trình chính tắc và các yếu tố của (H).
* Chú ý: Trong trường hợp elip có tâm I(α, β) hai trục cùng phương với hai trụctoạ độ thì phương trình có dạng:
để suy ra dễ dàng toạ độ các đỉnh và tiêu điểm
Khi giải các bài toán về elip cần chú ý các công thức sau đây:
Trang 2Elip (E) có tiêu điểm trên x0x Elip (E) có tiêu điểm trên y0y
Tiêu điểm F1(ưc, 0); F2(c, 0) F1(0, ưc); F2(0, c)
Đỉnh trục lớn A1(ưa, 0); A2(a, 0) A1(0, ưb); A2(0, b)
Đỉnh trục nhỏ B1(0, ưb); B2(0, b) B1(ưa, 0); B2(a, 0)
cb
* Tiếp tuyến với elip (E): x
và lưu ý trường hợp (∆)⊥x0x tức là (∆) : x + c = 0
Ví dụ 1. Cho họ (Em) : (m ư 2)x2 ư my2 = m2 ư 2m
Tìm điều kiện của m để (Em) là elip, tìm toạ độ tiêu điểm
Trang 3b) Tìm quỹ tích đỉnh, quỹ tích tiêu điểm.
HD giải. Viết lại
Trang 4a) Tìm đỉnh, tiêu điểm, tâm sai.
b) Chứng minh mọi đường thẳng qua M đều cắt (E) tại hai điểm phân biệt.c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt elip tại hai điểm A, B sao
Tương giao và tiếp tuyến với elip
Ví dụ 4.Cho elip (E) : x
b) M có tổng hai toạ độ lớn nhất, nhỏ nhất.
c) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
Trang 5HD giải.
a) M (x0, y0) ∈ (E) =⇒ x
2 0
y0/√
√2
√8
√10
5 ,
4√105
M ư
√10
5 , ư
4√10
Từ đây suy ra có bốn điểm cần tìm
Ví dụ 5.Cho (E) : x
2
a2 + y
2
b2 = 1 Từ A ∈ (E) có hoành độ dương, dựng hình chữ nhật nội tiếp trong (E) có các cạnh song song với các trục toạ độ Xác định A để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
b2 = 1
xA
yAb
a) (d) cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B Tính AB
Trang 6b) Tìm C ∈ (E) sao cho ∆ABC cân tại A.
5)
√229
b) C(x0, y0) ∈ (E) =⇒ x
2 0
a) Chứng minh (d) cắt (E) tại A, B Tính AB
b) Tìm C ∈ (E) sao cho diện tích ∆ABC lớn nhất.
2 CH với CH = d(C, (d)) = |x0 ư√2y0 + 2|
√3
CH =
√
8 ã √x0
8 + (ư2
√2) ã y0
2 + 2
√
q
x 2
a 4 + yb24
=
x o c2
a 4 − 1
x 2
a 4(1 − ab22) + b12
HD Gi¶i: Gi¶ sö (d) lµ tiÕp tuyÕn víi elip t¹i ®iÓm M (xo, yo) trªn elip:
Trang 11a2(a2 − x2
o) = 0 =⇒ p2 = a2.Vậy các điểm M, N trên tiếp tuyến (d) có hoành độ ±a
Bài 8.- Cho elip (E) : x
HD Giải: Giả sử (d) là tiếp tuyến với elip tại điểm M (xo, yo) trên elip:
Trang 12HD Giải: Đường thẳng (∆) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với elip khi và chỉ khi
C2 = 6A2 + 3B2 (1)
Giả sử (∆) là đường thẳng chứa một cạnh của hình vuông ngoại tiếp elip (E).Tức là có hệ thức (1) Đường thẳng (∆0) chứa cạnh đối của hình vuông có phươngtrình Ax + By + C0 = 0, vậy C02 = 6A2 + 3B2 =⇒ C02 = C2 mà C0 6= C nên
Chọn A = 1, thì B = ±1, C = ±3, D = ±3 Vậy ta được các phương trình củabốn cạnh hình vuông:
b) Gọi A là một giao điểm của đường thẳng y = kx với elip (E) Tính OA theo
a, b, k
c) Gọi AB là hai điểm thuộc elip sao cho OA⊥OB Chứng minh rằng 1
OA2 +1
2b2
b2 + k2a2.Suy ra:
OA2 = x2o + yo2 = x2o(1 + k2) = a
2b2(1 + k2)
b2 + k2a2
Trang 13c) Nếu đường thẳng OA có phương trình y = kx vớik 6= 0, thì đường thẳng OB
Bài 11.- Cho elip (E) : x
2
y2
4 = 1 Xem các điểm A(ư3, 0); M (ư3, a);
B(3, 0); N (3, b) trong đó a, b là hai số thay đổi
a) Xác định toạ độ giao điểm I của các đường thẳng AN và BM
b) Chứng tỏ rằng để đường thẳng M N tiếp xúc với elip (E), điều kiện cần và
đủ là a, b thoả mãn điều kiện ab = 4
c) Với a, b thay đổi nhưng sao cho M N luôn luôn tiếp xúc với (E), hãy tìm quĩtích điểm I
HD Giải:
a) Nếu a + b = 0, các đường thẳng AN, BM không cắt nhau
Nếu a + b 6= 0, giao điểm I có toạ độ:
a + b
Dùng điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với elip, ta được: ab = 4
c) Vì ab = 4 nên a 6= 0, b 6= 0, và a, b cùng dấu, vậy a + b 6= 0, như vậy toạ độgiao điểm I :
y ư 4y3y
Suy ra quĩ tích của I là elip (E0) bỏ đi hai đỉnh trên trục lớn
Bài 10.- Trong mặt phẳng toạ độ cho elip (E) : x
2
y2
4 = 1 và hai đường thẳng(D) : ax + by = 0, (D0) : bx + ay = 0, (a2 + b2 > 0)
Trang 14a) Tính theo a, b diện tích tứ giác M P N Q.
b) Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích ấy lớn nhất
c) Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích ấy nhỏ nhất
Trang 15F1, F2 lµ hai tiªu ®iÓm: F1F2 = 2c gäi lµ tiªu cù.
II Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c vµ c¸c yÕu tè c¬ b¶n. Khi gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ hyperbolcÇn chó ý c¸c c«ng thøc sau ®©y:
Trang 16để suy ra dễ dàng toạ độ các đỉnh và tiêu điểm.
2
a2 ư y
2
b2 = 1 ⇐⇒ a2A2 ư b2B2 = ưC2.Trong trường hợp muốn viết phương trình tiếp tuyến với hyperbol mà không biếttiếp điểm (tức là không dùng công thức phương trình tiếp tuyến nêu trên được) thìdùng các điều kiện tiếp xúc trên đây Và thông thường ta viết phương trình tiếptuyến (D) theo hệ số góc ở dạng kx ư y ư C = 0 với lưu ý trường hợp (D)⊥x0xtức là (D) : x + C = 0
Ví dụ 1. Cho đường cong (Hm) có phương trình (m2 ư 4)x2 ư 4y2 = 4(m2 ư 4)
a) Tuỳ theo m, h y chỉ rõ bản chất của (Hm) và cho biết tâm, đỉnh, tiêu điểm , tiệm cận nếu có.
Ví dụ 2. Lập phương trình hypebol (H) có một đỉnh trên trục thực A(1, ư1) và
đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của(H)là(C) : x2+y2ư3xư2y ư7 = 0
HD giải (C) : (x ư 1)2 + (y ư 1)2 = 9 =⇒
(tâm I(1, 1)bán kính R = 3
(C) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) nên I cũng là tâm của(H) Tịnh tiến
Trang 17Vậy có hai điểm A(ư4, 0); B(4, 0).
b) M F1 ⊥ M F2 =⇒ M thuộc đường tròn (C) đường kính F1F2 = 10 có phươngtrình x2 + y2 = 25 Vậy toạ độ của M là nghiệm của hệ:
9
5; M2 ư 4
√34
9
5; M4 ư 4
√34
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (H) tại A, B Tính độ dài AB
b) Tìm C ∈ (H) sao cho SABC = 30
√37
Trang 18b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña C lªn AB Suy ra SABC = 1
√37
CH = d C, (d) = |x0√+ 6y0|
"
x0 = −6y0 + 30x0 = −6y0 − 30
• x0 = −6y0 + 30 =⇒ −6y0 + 30)2
2 0
HD gi¶i (d) : x−y +C = 0, (d)tiÕp xóc víi(H) ⇐⇒ 8·1−4·1 = C2 ⇐⇒ C = ±2.VËy hai tiÕp tuyÕn lµ x − y ± 2 = 0
C¸ch kh¸c:
• TÞnh tiÕn =⇒ ph−¬ng tr×nh elip
• Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua M : A(X + 3) + B(Y − 8) = 0
• Sö dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc: B = 0 ∨ B = 3A
5 . Suy ra hai tiÕp tuyÕn.
VÝ dô 7. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña (H) : x
Trang 19HD giải (d) : Ax + By + C = 0. Điều kiện tiếp xúc:
bài giải nâng cao (tham khảo)
Bài 1.- Cho họ đường cong (Cm) : x
2
2
m2 ư 25 = 1; m 6= 0; m 6= ±5a) Tuỳ theo m hãy xác định khi nào (Cm) là elip, khi nào hyperbol
b) Giả sử A ∈ (d) : x = 1; A /∈ Ox chứng minh với mỗi A có 4 đường của họ(Cm) đi qua; trong số đó có bao nhiêu elip? bao nhiêu hyperbol?
b) Cho hyperbol (H) có trục thực trùng với Ox, trục ảo trùng với Oy và tiếp xúcvới các đường thẳng 5x ư 6y ư 16 = 0 và 13x ư 10y ư 48 = 0 Viết phương trìnhcủa (H)
Bài 3.- Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của hyperbol
d1,2 =
(bxo + ayo)(bxo ư ayo) ... Một đường thẳng (d) qua tiêu điểm elip song song với trục Oy, cắtelip hai điểm M, N Tính độ dài đoạn thẳng M N
c) Tìm k để đường thẳng y = x + k cắt elip cho
Bài 3.- Trong mặt phẳng. .. (E0) bỏ hai đỉnh trục lớn
Bài 10.- Trong mặt phẳng toạ độ cho elip (E) : x
2
y2
4 = 1 và hai đường thẳng(D)... tiếp tuyến, suy haitiếp tuyến vng góc
Bài 4.- Trong mặt phẳng toạ độ parabol (P ) : y2 = x Gọi (C) đường trịn tâmC(2, 0), bán kính R
a) Xác định R để đường tròn (C)