1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Các đường bậc hai trong mặt phẳng

35 353 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 35
Dung lượng 802,01 KB

Nội dung

* Chú ý: Trong trường hợp elip có tâm Iα, β hai trục cùng phương với hai trụctoạ độ thì phương trình có dạng: để suy ra dễ dàng toạ độ các đỉnh và tiêu điểm.. a Tìm đỉnh, tiêu điểm, tâm

Trang 1

F1, F2 là hai điểm: F1F2 = 2c gọi là tiêu cự.

II Phương trình chính tắc và các yếu tố của (H).

* Chú ý: Trong trường hợp elip có tâm I(α, β) hai trục cùng phương với hai trụctoạ độ thì phương trình có dạng:

để suy ra dễ dàng toạ độ các đỉnh và tiêu điểm

Khi giải các bài toán về elip cần chú ý các công thức sau đây:

Trang 2

Elip (E) có tiêu điểm trên x0x Elip (E) có tiêu điểm trên y0y

Tiêu điểm F1(ưc, 0); F2(c, 0) F1(0, ưc); F2(0, c)

Đỉnh trục lớn A1(ưa, 0); A2(a, 0) A1(0, ưb); A2(0, b)

Đỉnh trục nhỏ B1(0, ưb); B2(0, b) B1(ưa, 0); B2(a, 0)

cb

* Tiếp tuyến với elip (E): x

và lưu ý trường hợp (∆)⊥x0x tức là (∆) : x + c = 0

Ví dụ 1. Cho họ (Em) : (m ư 2)x2 ư my2 = m2 ư 2m

Tìm điều kiện của m để (Em) là elip, tìm toạ độ tiêu điểm

Trang 3

b) Tìm quỹ tích đỉnh, quỹ tích tiêu điểm.

HD giải. Viết lại

Trang 4

a) Tìm đỉnh, tiêu điểm, tâm sai.

b) Chứng minh mọi đường thẳng qua M đều cắt (E) tại hai điểm phân biệt.c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt elip tại hai điểm A, B sao

Tương giao và tiếp tuyến với elip

Ví dụ 4.Cho elip (E) : x

b) M có tổng hai toạ độ lớn nhất, nhỏ nhất.

c) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

Trang 5

HD giải.

a) M (x0, y0) ∈ (E) =⇒ x

2 0

y0/√

√2

√8

√10

5 ,

4√105



M ư

√10

5 , ư

4√10

Từ đây suy ra có bốn điểm cần tìm

Ví dụ 5.Cho (E) : x

2

a2 + y

2

b2 = 1 Từ A ∈ (E) có hoành độ dương, dựng hình chữ nhật nội tiếp trong (E) có các cạnh song song với các trục toạ độ Xác định A để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

b2 = 1

xA

yAb

a) (d) cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B Tính AB

Trang 6

b) Tìm C ∈ (E) sao cho ∆ABC cân tại A.

5)

√229

b) C(x0, y0) ∈ (E) =⇒ x

2 0

a) Chứng minh (d) cắt (E) tại A, B Tính AB

b) Tìm C ∈ (E) sao cho diện tích ∆ABC lớn nhất.

2 CH với CH = d(C, (d)) = |x0 ư√2y0 + 2|

√3

CH =

8 ã √x0

8 + (ư2

√2) ã y0

2 + 2

q

x 2

a 4 + yb24

=

x o c2

a 4 − 1

x 2

a 4(1 − ab22) + b12

HD Gi¶i: Gi¶ sö (d) lµ tiÕp tuyÕn víi elip t¹i ®iÓm M (xo, yo) trªn elip:

Trang 11

a2(a2 − x2

o) = 0 =⇒ p2 = a2.Vậy các điểm M, N trên tiếp tuyến (d) có hoành độ ±a

Bài 8.- Cho elip (E) : x

HD Giải: Giả sử (d) là tiếp tuyến với elip tại điểm M (xo, yo) trên elip:

Trang 12

HD Giải: Đường thẳng (∆) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với elip khi và chỉ khi

C2 = 6A2 + 3B2 (1)

Giả sử (∆) là đường thẳng chứa một cạnh của hình vuông ngoại tiếp elip (E).Tức là có hệ thức (1) Đường thẳng (∆0) chứa cạnh đối của hình vuông có phươngtrình Ax + By + C0 = 0, vậy C02 = 6A2 + 3B2 =⇒ C02 = C2 mà C0 6= C nên

Chọn A = 1, thì B = ±1, C = ±3, D = ±3 Vậy ta được các phương trình củabốn cạnh hình vuông:

b) Gọi A là một giao điểm của đường thẳng y = kx với elip (E) Tính OA theo

a, b, k

c) Gọi AB là hai điểm thuộc elip sao cho OA⊥OB Chứng minh rằng 1

OA2 +1

2b2

b2 + k2a2.Suy ra:

OA2 = x2o + yo2 = x2o(1 + k2) = a

2b2(1 + k2)

b2 + k2a2

Trang 13

c) Nếu đường thẳng OA có phương trình y = kx vớik 6= 0, thì đường thẳng OB

Bài 11.- Cho elip (E) : x

2

y2

4 = 1 Xem các điểm A(ư3, 0); M (ư3, a);

B(3, 0); N (3, b) trong đó a, b là hai số thay đổi

a) Xác định toạ độ giao điểm I của các đường thẳng AN và BM

b) Chứng tỏ rằng để đường thẳng M N tiếp xúc với elip (E), điều kiện cần và

đủ là a, b thoả mãn điều kiện ab = 4

c) Với a, b thay đổi nhưng sao cho M N luôn luôn tiếp xúc với (E), hãy tìm quĩtích điểm I

HD Giải:

a) Nếu a + b = 0, các đường thẳng AN, BM không cắt nhau

Nếu a + b 6= 0, giao điểm I có toạ độ:

a + b

Dùng điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với elip, ta được: ab = 4

c) Vì ab = 4 nên a 6= 0, b 6= 0, và a, b cùng dấu, vậy a + b 6= 0, như vậy toạ độgiao điểm I :

y ư 4y3y

Suy ra quĩ tích của I là elip (E0) bỏ đi hai đỉnh trên trục lớn

Bài 10.- Trong mặt phẳng toạ độ cho elip (E) : x

2

y2

4 = 1 và hai đường thẳng(D) : ax + by = 0, (D0) : bx + ay = 0, (a2 + b2 > 0)

Trang 14

a) Tính theo a, b diện tích tứ giác M P N Q.

b) Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích ấy lớn nhất

c) Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích ấy nhỏ nhất

Trang 15

F1, F2 lµ hai tiªu ®iÓm: F1F2 = 2c gäi lµ tiªu cù.

II Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c vµ c¸c yÕu tè c¬ b¶n. Khi gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ hyperbolcÇn chó ý c¸c c«ng thøc sau ®©y:

Trang 16

để suy ra dễ dàng toạ độ các đỉnh và tiêu điểm.

2

a2 ư y

2

b2 = 1 ⇐⇒ a2A2 ư b2B2 = ưC2.Trong trường hợp muốn viết phương trình tiếp tuyến với hyperbol mà không biếttiếp điểm (tức là không dùng công thức phương trình tiếp tuyến nêu trên được) thìdùng các điều kiện tiếp xúc trên đây Và thông thường ta viết phương trình tiếptuyến (D) theo hệ số góc ở dạng kx ư y ư C = 0 với lưu ý trường hợp (D)⊥x0xtức là (D) : x + C = 0

Ví dụ 1. Cho đường cong (Hm) có phương trình (m2 ư 4)x2 ư 4y2 = 4(m2 ư 4)

a) Tuỳ theo m, h y chỉ rõ bản chất của (Hm) và cho biết tâm, đỉnh, tiêu điểm , tiệm cận nếu có.

Ví dụ 2. Lập phương trình hypebol (H) có một đỉnh trên trục thực A(1, ư1)

đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của(H)(C) : x2+y2ư3xư2y ư7 = 0

HD giải (C) : (x ư 1)2 + (y ư 1)2 = 9 =⇒

(tâm I(1, 1)bán kính R = 3

(C) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) nên I cũng là tâm của(H) Tịnh tiến

Trang 17

Vậy có hai điểm A(ư4, 0); B(4, 0).

b) M F1 ⊥ M F2 =⇒ M thuộc đường tròn (C) đường kính F1F2 = 10 có phươngtrình x2 + y2 = 25 Vậy toạ độ của M là nghiệm của hệ:

9

5; M2 ư 4

√34

9

5; M4 ư 4

√34

a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (H) tại A, B Tính độ dài AB

b) Tìm C ∈ (H) sao cho SABC = 30

√37

Trang 18

b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña C lªn AB Suy ra SABC = 1

√37

CH = d C, (d) = |x0√+ 6y0|

"

x0 = −6y0 + 30x0 = −6y0 − 30

• x0 = −6y0 + 30 =⇒ −6y0 + 30)2

2 0

HD gi¶i (d) : x−y +C = 0, (d)tiÕp xóc víi(H) ⇐⇒ 8·1−4·1 = C2 ⇐⇒ C = ±2.VËy hai tiÕp tuyÕn lµ x − y ± 2 = 0

C¸ch kh¸c:

• TÞnh tiÕn =⇒ ph−¬ng tr×nh elip

• Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua M : A(X + 3) + B(Y − 8) = 0

• Sö dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc: B = 0 ∨ B = 3A

5 . Suy ra hai tiÕp tuyÕn.

VÝ dô 7. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña (H) : x

Trang 19

HD giải (d) : Ax + By + C = 0. Điều kiện tiếp xúc:

bài giải nâng cao (tham khảo)

Bài 1.- Cho họ đường cong (Cm) : x

2

2

m2 ư 25 = 1; m 6= 0; m 6= ±5a) Tuỳ theo m hãy xác định khi nào (Cm) là elip, khi nào hyperbol

b) Giả sử A ∈ (d) : x = 1; A /∈ Ox chứng minh với mỗi A có 4 đường của họ(Cm) đi qua; trong số đó có bao nhiêu elip? bao nhiêu hyperbol?

b) Cho hyperbol (H) có trục thực trùng với Ox, trục ảo trùng với Oy và tiếp xúcvới các đường thẳng 5x ư 6y ư 16 = 0 và 13x ư 10y ư 48 = 0 Viết phương trìnhcủa (H)

Bài 3.- Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của hyperbol

d1,2 =

(bxo + ayo)(bxo ư ayo) ... Một đường thẳng (d) qua tiêu điểm elip song song với trục Oy, cắtelip hai điểm M, N Tính độ dài đoạn thẳng M N

c) Tìm k để đường thẳng y = x + k cắt elip cho

Bài 3.- Trong mặt phẳng. .. (E0) bỏ hai đỉnh trục lớn

Bài 10.- Trong mặt phẳng toạ độ cho elip (E) : x

2

y2

4 = 1 và hai đường thẳng(D)... tiếp tuyến, suy haitiếp tuyến vng góc

Bài 4.- Trong mặt phẳng toạ độ parabol (P ) : y2 = x Gọi (C) đường trịn tâmC(2, 0), bán kính R

a) Xác định R để đường tròn (C)

Ngày đăng: 07/06/2015, 11:55

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TRÍCH ĐOẠN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w