Các đường bậc hai trong mặt phẳng

trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 1 Các đờng bậc hai elíp I. Định nghĩa. Trong mặt phẳng cho hai điểm F 1 , F 2 cố định (F 1 F 2 = 2c) và số 2a không đổi (2a < 2c). Một elip (E) là một đờng trong mặt phẳng đợc định nghĩa bởi: M (E) F 1 M + F 2 M = 2a. F 1 , F 2 là hai điểm: F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự. II. Phơng trình chính tắc và các yếu tố của (H). * Chú ý: Trong trờng hợp elip có tâm I(, ) hai trục cùng phơng với hai trục toạ độ thì phơng trình có dạng: (x ) a 2 + (y ) 2 b 2 = 1 Ta dời hệ trục tọa độ xOy đến XIY bằng phép tịnh tiến theo OI để đợc phơng trình dạng chính tắc của elip là: X 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 với X = x Y = y để suy ra dễ dàng toạ độ các đỉnh và tiêu điểm. Khi giải các bài toán về elip cần chú ý các công thức sau đây: Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh 2 trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 Elip (E) có tiêu điểm trên x x Elip (E) có tiêu điểm trên y y Phơng trình x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 chính tắc a 2 > b 2 và a 2 b 2 = c 2 a 2 < b 2 và b 2 a 2 = c 2 Tiêu cự 2c 2c Tiêu điểm F 1 (c, 0); F 2 (c, 0) F 1 (0, c); F 2 (0, c) Trục lớn trên Ox, dài 2a trên Oy, dài 2b Trục nhỏ trên Oy, dài 2b trên Ox, dài 2a Đỉnh trục lớn A 1 (a, 0); A 2 (a, 0) A 1 (0, b); A 2 (0, b) Đỉnh trục nhỏ B 1 (0, b); B 2 (0, b) B 1 (a, 0); B 2 (a, 0) Tâm sai e = c a e = c b Bb qua tđ r 1 = F 1 M = a + ex M r 2 = F 2 M = a ex M r 1 = F 1 M = b + ey M r 2 = F 2 M = b ey M Đờng chuẩn 1,2 : x = a e 1,2 : x = b e * Tiếp tuyến với elip (E): x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 tại tiếp điểm M o (x o , y o ) có phơng trình x o x a 2 + y o y b 2 = 1. * Điều kiện tiếp xúc: Trong trờng hợp không biết tiếp điểm ta áp dụng điều kiện tiếp xúc sau đây: () : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E) : x 2 b 2 + y 2 b 2 = 1 a 2 A 2 + b 2 B 2 = C 2 . Thông thờng ta viết phơng trình của () theo hệ số góc ở dạng kxy+c = 0 và lu ý trờng hợp ()x x tức là () : x + c = 0. Ví dụ 1. Cho họ (E m ) : (m 2)x 2 my 2 = m 2 2m. Tìm điều kiện của m để (E m ) là elip, tìm toạ độ tiêu điểm. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 3 HD giải. Ta có (E m ) : x 2 m + y 2 2 m = 1 (1) (E m ) là elip m > 0 2 m > 0 m = 2 m 0 < m = 1 < 2. (i) 0 m 1 : F 1 (0, 2 2m); F 2 (0, 2 2m). (ii) m > 1 : F 1 ( 2m 2, 0); F 2 ( 2m 2, 0). Ví dụ 2. Cho Elip có phơng trình (E m ) : y 2 = 2x x 2 m 0 < m < 1. a) Viết (E m ) dới dạng chính tắc và xác định toạ độ tâm, tiêu điểm, các đỉnh của Elip. b) Tìm quỹ tích đỉnh, quỹ tích tiêu điểm. HD giải. Viết lại (E m ) : (x m) 2 m 2 + y 2 m = 1. Từ đây suy ra (E m ) có trục lớn trên Oy. Đặt X = x m Y = y , (E m ) trở thành X 2 m 2 + Y 2 m = 1. Suy ra Tâm I(0, 0). Hai tiêu điểm: F 1 ( m m 2 , 0); F 2 ( m m 2 , 0). Hai đỉnh: A 1 (0, m); A 2 (0, m). Vậy (E m ) có Tâm I(m, 0). Hai tiêu điểm; F 1 (m, m m 2 ); F 2 (m, m m 2 ). Hai đỉnh: A 1 (m, m); A 2 (m, m). Quỹ tích đỉnh: x = m y = m 0 < x < 1 y 2 = x ; y < 0. Quỹ tích tiêu điểm: x = m y = m m 2 0 < x < 1 y 2 = x x 2 ; y < 0. Ví dụ 3. Cho M(1, 1) và (E) : 4x 2 + 9y 2 = 36. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh 4 trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 a) Tìm đỉnh, tiêu điểm, tâm sai. b) Chứng minh mọi đờng thẳng qua M đều cắt (E) tại hai điểm phân biệt. c) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua M và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB. HD giải. b) (d) : y = kx k + 1. Xét hệ 4x 2 + 9y 2 = 36 y = kx k + 1 = (9k 2 + 4)x 2 18k(k 1)x + 9k 2 18k 27 = 0. (*) Ta có = 36(8k 2 + 2k + 3) > 0 k R. Vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt thoả x A + x B = 18k(k 1) 9k 2 + 4 x A ã x B = 9k 2 18k 27 9k 2 + 4 . c) MA = MB x A + x B = 2x M 18k(k 1) 9k 2 + 4 = 2 k = 4 3 . Vậy (d) : 4x + 9y 13 = 0. bài tập 1. Lập phơng trình chính tắc của elip (E) có tiêu cự 6 và qua A( 20 41 , 20 41 từ đó xác định phơng trình tham số của nó. 2. Viết phơng trình elip biết hai tiêu điểm F 1 (1, 0); F 2 (5, 0) và tâm sai e = 3 5 . 3. Cho hai elip (E 1 ) : x 2 4 + y 2 1 = 1; x 2 1 + y 2 4 = 1. a) Chứng minh (E 1 ) (E 2 ) = {A, B, C, D} và ABCD là hình chữ nhật. b) Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật BACD. Tơng giao và tiếp tuyến với elip Ví dụ 4.Cho elip (E) : x 2 2 + y 2 8 = 1. Tìm M (E) sao cho a) M có toạ độ nguyên. b) M có tổng hai toạ độ lớn nhất, nhỏ nhất. c) M nhìn hai tiêu điểm dới một góc vuông. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 5 HD giải. a) M(x 0 , y 0 ) (E) = x 2 0 2 + y 2 0 8 = 1. () Chỉ cần xác định M với x 0 Z + rồi dùng tính đối xứng để suy ra các điểm còn lại. () = y 2 0 = 8 4x 2 0 = 0 < x 2 0 2 = x 0 = 1. Vậy các điểm có toạ độ nguyên là: (1, 2), (1, 2), (1, 2), (1, 2). b) (x 0 + y 0 ) 2 = 2 ã x 0 2 + 8 ã y 0 8 2 (2 + 8) x 2 0 2 + y 2 0 8 10 x 0 + y 0 10. Dấu bằng xảy ra khi: x 0 / 2 y 0 / 8 = 2 8 x 2 0 2 + y 2 0 8 = 1 = M 10 5 , 4 10 5 M 10 5 , 4 10 5 . c) M thuộc đờng tròn đờng kính F 1 F 2 : F 1 (0, 6); F 2 (0, 6) = x 2 M + y 2 M = 6. Giải hệ x 2 M + y 2 M = 6 x 2 M 2 + y 2 M 8 = 1 y 2 M = 8 4x 2 M x 2 M + 8 4x 2 M = 6 x 2 M = 2 3 y 2 M = 22 3 . Từ đây suy ra có bốn điểm cần tìm. Ví dụ 5.Cho (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Từ A (E) có hoành độ dơng, dựng hình chữ nhật nội tiếp trong (E) có các cạnh song song với các trục toạ độ. Xác định A để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. HD giải. Giả sử (x A , y A ), x A > 0. Ta có S = 4S OAMN = 4x A y A = 2ab ã x A a ã y B b ã 2 2ab x 2 A a 2 + y 2 A b 2 = 2ab. Vậy S max = 2ab, đạt đợc khi x 2 A a 2 + y 2 A b 2 = 1 x A a = y A b = A a 2 , b 2 . Ví dụ 6.Cho elip (E) : x 2 25 + y 2 4 = 1 và đờng thẳng (d) : 2x + 15y 10 = 0. Chứng minh rằng a) (d) cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính AB. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh 6 trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 b) Tìm C (E) sao cho ABC cân tại A. HD giải. a) x 2 25 + y 2 4 = 1 2x + 15y 10 = 0 A(5, 0) B(4, 6 5 ) = AB = 3 229 5 . b) C(x 0 , y 0 ) (E) = x 2 0 25 + y 2 0 4 = 1. ABC cân tại A AB = AC AB 2 = AC 2 = C? Ví dụ 7.Cho (E) : x 2 8 + y 2 4 = 1 và (d) : x y 2 + 2 = 0. a) Chứng minh (d) cắt (E) tại A, B. Tính AB. b) Tìm C (E) sao cho diện tích ABC lớn nhất. HD giải. a) A 3 1, 2 + 6 2 ; B 3 1, 2 6 2 ; AB = 3 2. b) C(x 0 , y 0 ) (E) = x 2 0 8 + y 2 0 4 = 1. Gọi H là hình chiếu của C lên AB, ta có S ABC = 1 2 AB ã CH = 3 2 2 CH với CH = d(C, (d)) = |x 0 2y 0 + 2| 3 CH = 8 ã x 0 8 + (2 2) ã y 0 2 + 2 3 (8 + 8) x 2 0 8 + y 2 0 4 + 2 3 = 2 3. Dấu bằng xảy ra khi x 2 0 8 + y 2 0 4 = 1 x 0 8 y 0 2 = 8 2 2 = C(2, 2). Có thể dùng phơng trình tham số của elip: x = 2 2 sin t y = 2 cos t , t [0, 2). Ví dụ 8.Cho M(3, 4) và (E) : x 2 9 + y 2 4 = 1. a) Chứng minh rằng qua M có thể kẻ đến (E) hai tiếp tuyến. b) Xác định phơng trình hai tiếp tuyến và lập phơng trình đờng thẳng qua hai tiếp điểm. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 7 HD giải. a) PM/ (E) = 9 9 + 16 4 > 1 M nằm ngoài elip. Vậy qua M có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (E). b) Gọi M(x 0 , y 0 ) là tiếp điểm. M (E) x 2 0 9 + y 2 0 4 = 1. (1) Phơng trình tiếp tuyến tại M: (d) : x 0 x 9 + y 0 y 4 = 1, M (d) x 0 3 y 0 = 1. (2) Giải hệ (1) và (2) ta suy ra M 1 (3, 0); M 2 9 5 , 8 5 . = (d 1 ) : x 3 = 0; (d 2 ) : x + 2y + 5 = 0. Chú ý: hai tiếp điểm thoả (2) nên x 3 y = 1 x 3y 3 = 0 là phơng trình đờng thẳng qua hai tiếp điểm. Ví dụ 9. Cho đờng thẳng () : 2x + y + 2004 = 0 và elip (E) : (x 3) 2 + y 2 21 = 1. Lập phơng trình tiếp tuyến của (E) song song với (). Tìm toạ độ tiếp điểm. HD giải. M(x 0 , y 0 ) (E) (x 0 3) 2 + y 2 0 21 = 1. (1) Phơng trình tiếp tuyến tại M : (d) : (x 3)(x 0 3) + yy 0 21 = 1. (d) () x 0 3 2 = y 0 21 x 0 3 = 2y 0 21 (2) Giải (1) và (2) ta đợc: M 1 x 0 = 13 5 y 0 = 21 5 ; M 2 x 0 = 17 5 y 0 = 21 5 . Với M 1 ta đợc (d 1 ) : 2x + y 1 = 0. Với M 2 ta đợc (d 2 ) : 2x + y 11 = 0. Ví dụ 10. Lập phơng trình tiếp tuyến chung của elip (E) : x 2 4 + y 2 9 = 1 và đờng tròn (C) : x 2 + y 2 = 5. Tính độ dài đoạn tiếp tuyến chung. HD giải. (d) : Ax + By + C = 0; A 2 + B 2 > 0 (d) tiếp xúc với (E) 4A 2 + 9B 2 = C 2 . (1) (d) tiếp xúc với (C) d O, (d) = R C 2 = 5(A 2 + B 2 ) (2) Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh 8 trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 (1) và (2) A = 2B C = 5B. Vậy có 4 tiếp tuyến chung là: 2x + y 5 = 0; 2x y 5 = 0. bài giải nâng cao (tham khảo) Bài 1 Cho elip (E); 4x 2 + 9y 2 36 = 0 a) Xác định tiêu điểm, tâm sai, đờng chuẩn. b) Biện luận theo m số giao điểm của (E) và đờng thẳng (d) mx 2y + 5 = 0. c) Tìm điểm M o (E) sao cho tiếp tuyến với (E) tại M o song song với đờng thẳng ()3x + 4y 1 = 0. Bài 2 Cho elip (E) : x 2 + 4y 2 = 4 a) Tìm các đỉnh, tiêu điểm và tâm sai của (E). b) Một đờng thẳng (d) qua một tiêu điểm của elip và song song với trục Oy, cắt elip tại hai điểm M, N. Tính độ dài đoạn thẳng MN. c) Tìm k để đờng thẳng y = x + k cắt elip đã cho. Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ cho elip (E) : x 2 + 4y 2 = 4 và hai điểm (M(2, m); N(2, n). a) Gọi A 1 , A 2 là các đỉnh trên trục lớn của (E). Hãy viết phơng trình các đờng thẳng A 1 N; A 2 M và xác định toạ độ giao điểm I của chúng. b) Cho MN thay đổi sao cho nó luôn luôn tiếp xúc với (E). Tìm quĩ tích của I. HD Giải: a) Viết phơng trình elip dới dạng chính tắc, suy ra A 1 (2, 0); A 2 (2, 0). Dùng công thức phơng trình đờng thẳng qua hai điểm, ta đợc: A 1 N : nx 4y + 2n = 0; A 2 M : mx + 4y 2m = 0. Suy ra toạ độ giao điểm I của hai đờng thẳng này: I x = 2(m n) m + n y = mn m + n b) Phơng trình của MN : (n m)x 4y + 2(m + n) = 0 Dùng điều kiện tiếp xúc ta đợc: mn = 1. Khử hai tham số m, n trong toạ độ của I (với chú ý mn = 1) ta đợc: x 2 = 4 16m (m + n) 2 = 4 16y 2 x 2 4 + y 2 = 1. Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 9 Kết luận quĩ tích của I là elip có phơng trình: x 2 4 + y 2 = 1. Bài 4 Cho elip (E): x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Gọi AA là trục lớn của elip, dựng các tiếp tuyến At và A t . Một tiếp tuyến qua điểm M (E) cắt At và A t tại T và T . a) Chứng minh rằng tích AT, A T không phụ thuộc M. b) Tìm quĩ tích giao điểm N của AT và A T khi M chạy trên (E). HD Giải: a) Phơng trình tiếp tuyến với elip tại M o (x o , y o ) là: (1) () : x o x a 2 + y o y b 2 = 1. T () có hoành độ x = a = AT = b 2 y o 1 x o a . Tơng tự T () có hoành độ x = a nên: A T = b 2 y o 1 + x o a Suy ra: AT .A T = b 2 y 2 o 1 x o a . Dùng điều kiện x o a 2 + y o b 2 = 1 (2) (do M o (E)) ta đợc: AT .A T = b 2 = hằng số. b) AT : b 2 (a x o )(a + x) = 2a 2 y o y, A T : b 2 (a + x o )(x a) = 2a 2 y o y. Suy ra giao điểm N x N = x o y N = y o 2 , dùng điều kiện (1) khử x o , y o ta đợc phơng trình quĩ tích: x 2 N a 2 + y 2 N b 2 = 1. Bài 5 a) Một đờng kính bất kỳ của elip (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 cắt elip tại M và N. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của elip ở M và N song song với nhau. b) Tìm quan hệ giữa a, b, k, m để (E) tiếp xúc với đờng thẳng y = kx + m. HD Giải: a) Do tính chất đối xứng của elip nên nếu M(x o , y o ) thì N(x o , y o ). Do đó các tiếp tuyến tại M và N tơng ứng là: x o x a 2 + y o y b 2 = 1 và x o x a 2 + y o y b 2 = 1 Hai đờng này rõ ràng là song song với nhau. b) Xét hệ x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 y = kx + m Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh 10 trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 thay y từ phơng trình thứ hai vào phơng trình thứ nhất, đợc phơng trình bậc hai theo x, ràng buộc điều kiện sao cho phơng trình này có nghiệm kép, ta đợc: m 2 = a 2 k 2 + b 2 . Bài 6 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kỳ của một elip bằng bình phơng độ dài nửa trục nhỏ của elip. HD Giải: Giả sử elip có phơng trình x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, với b < a. Khi đó tiếp tuyến tại M o (x o , y o ) có phơng trình là: x o a 2 x + y o b 2 y 1 = 0 Khoảng cách từ các tiêu điểm F 1 (c, 0), F 2 (c, 0) đến tiếp tuyến tơng ứng là: x o c a 2 1 x 2 o a 4 + y 2 o b 4 và x o c a 2 1 x 2 o a 4 + y 2 o b 4 Do đó tích các khoảng cách đó sẽ bằng: x o c 2 a 4 1 x 2 o a 4 + y 2 o b 4 = x o c 2 a 4 1 x 2 o a 4 (1 a 2 b 2 ) + 1 b 2 = b 2 . Bài 7 M, N là hai điểm trên một tiếp tuyến của elip (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 sao cho mỗi tiêu điểm F.F của elip nhìn đoạn MN dới góc vuông. Hãy xác định vị trí của M và N trên tiếp tuyến ấy. HD Giải: Giả sử (d) là tiếp tuyến với elip tại điểm M(x o , y o ) trên elip: (d) : xx o a 2 + yy o b 2 = 1 x o a 2 + y o b 2 = 1 . Gọi F(c, 0); F (c, 0) là các tiêu điểm (c 2 = a 2 b 2 ). Gọi (x M , y M ) và (x M , y M ) là toạ độ điểm M, M . Ta có: F M ã F N = 0; F M ã F N = 0. Suy ra: x M + x N = 0; y M .y N = x M .x N c 2 . Đặt t = x M = x N . Vì M, N là những điểm nằm trên (d) nên: y M = b 2 y o . a 2 px o a 2 ; y N = b 2 y o . a 2 + px o a 2 . và ta đợc: p 2 c 2 = b 2 y o . a 4 p 2 x 2 o a 4 = (a 4 p 2 x 2 o ) a 2 (a 2 x 2 o ) Biên soạn: GVC - Th.S Phan Văn Danh [...]... trình đó có nghiệm kép 5.- Trong mặt phẳng toạ độ cho hai đờng elip có phơng trình: x2 y 2 + =1 16 1 x2 y 2 và + 9 4 a) Viết phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của hai elip b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai elip HD Giải: 90 a) x2 + y 2 = 11 b) Dùng điều kiện tiếp xúc, có bốn tiếp tuyến chung: 3 x 20 7 y + 1 = 0 55 x2 với m là tham số và 6.- Trong mặt phẳng toạ độ cho họ elip (Em... toạ độ của tâm và các đỉnh A, A trên trục lớn của (Em ) trong hệ toạ độ xuất phát b) Tìm quĩ tích của các đỉnh A, A khi m thay đổi c) Tìm các toạ độ của các tiêu điểm của (Em ) và xác định quĩ tích của các tiêu điểm đó Giải: (x m)2 y 2 + = 1 m2 m b) Quĩ tích là hai cung parabol y 2 = x, gồm các điểm có hoành độ x (0, 1) 1 1 c) Quĩ tích là đờng tròn tâm I( , 0), bán kính R = , bỏ hai điểm (0, 0); (1,... (D ) trùng với các trục toạ độ) 1 c) Chú ý 2|ab| a2 + b2 = 1, suy ra a2 b2 , dấu đẳng thức xảy ra khi |a| = |b| 4 Vậy 72 72 36 S= = 13 36 + 25a2 b2 36 + 25 4 15 trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 HYPERBOL I Định nghĩa Trong mặt phẳng cho hai điểm F1 , F2 cố định (F1 F2 = 2c) và số 2a không đổi (2a < 2c) một hyperbol (H) là một đờng trong mặt phẳng đợc định... (1 )(2 ) k1 , k2 = 1 b2 + d2 = a2 c2 Nhớ sử dụng (1) x2 y 2 Bài 5.- Trong mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ trực chuẩn xem hyperbol: 2 2 = 1 a b a) Tính độ dài của phần tiệm cận chắn bởi hai đờng chuẩn b) Tìm khoảng cách từ tiêu điểm của hyperbol tới các tiệm cận c) Chứng minh rằng chân đờng vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các tiệm cận nằm trên đờng chuẩn ứng với tiêu điểm đó HD Giải: a) Gọi I... tuyến: x + 2y + 16 = 0 trích đề thi các năm 1.- (CĐKTĐN-97) Trong mặt phẳng (xOy) cho elip (E) có phơng trình: 4x2 + y 2 = 36 32 trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 1) Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, các tiêu điểm và phơng trình các đờng chuẩn 2) Lập phơng trình tiếp tuyến với (E) song song với đờng phân giác góc phần t thứ hai của hệ trục toạ độ 3) Lập phơng... nhau Chứng minh hai đờng cong sau đây trực giao tại giao điểm của chúng: x2 y 2 = a; y= b x b thành y = 0, x = 0, thay vào đờng x2 y 2 = a đợc x x2 = a, x = 0; nếu a 0 thì hai đờng không cắt nhau, nếu a > 0 hai đờng cắt nhau tại hai điểm ( a, 0) tiếp tuyến với hyperbol tại hai điểm này song song với Oy nh vậy vuông góc với đờng kia a + a2 + 4b2 * b = 0 : Hai đờng cắt nhau tại hai điểm hoành độ:... thực trùng với Ox, trục ảo trùng với Oy và tiếp xúc với các đờng thẳng 5x 6y 16 = 0 và 13x 10y 48 = 0 Viết phơng trình của (H) Bài 3.- Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của hyperbol x2 y 2 = 1 đến các tiệm cận của nó là không đổi a2 b 2 HD Giải: M (xo , yo ) là một điểm bất kỳ của hyperbol, ta có khoảng cách từ M đến các tiệm cận là: bxo ayo d1,2 = a2 + b 2 Suy ra: d1,2... x2 + 2 b) Viết phơng trình tiếp tuyến tại M, N suy ra hệ số góc tiếp tuyến, suy ra hai tiếp tuyến vuông góc Bài 4.- Trong mặt phẳng toạ độ parabol (P ) : y 2 = x Gọi (C) là đờng tròn tâm C(2, 0), bán kính R a) Xác định R để đờng tròn (C) tiếp xúc parabol (P ) Xác định toạ độ các tiếp điểm T, T b) Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của (P ) và (C) tại T và T HD Giải: a) Lập phơng trình hoành độ... góc tiếp tuyến với từng đờng tại hai giao điểm này rồi kiểm tra tích bằng 1 * b = 0: đờng y = 10.- (ĐHKTQD-99) Cho parabol y 2 = 4x Một đờng thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm trung tâm luyện thi đại học: 6A & 9 trơng định - ĐT: 054.828636 - 054848315 35 cắt parabol tại hai điểm A, B Chứng minh tích các khoảng cách từ hai điểm này đến trục của parabol bằng hằng Hớng dẫn: Xét hai trờng hợp: * AB//Oy : AH.BK... nhận các đờng thẳng 3x 2y 20 = 0 và a b x + 6y 20 = 0 làm tiếp tuyến, hãy xác định a2 và b2 HD Giải: Dùng điều kiện tiếp xúc giữa đờng thẳng và elip, giải ra: a2 = 40; b2 = 10 2.a) Viết phơng trình của elip (E) có tiêu cự 2c = 8, tâm sai e = nằm trên Ox, đối xứng nhau qua Oy 4 và các tiêu điểm 5 15 ) 4 c) Tính diện tích hình phẳng chắn bởi elip (E) và hai tiếp tuyến trên b) Viết phơng trình các . 054848315 1 Các đờng bậc hai elíp I. Định nghĩa. Trong mặt phẳng cho hai điểm F 1 , F 2 cố định (F 1 F 2 = 2c) và số 2a không đổi (2a < 2c). Một elip (E) là một đờng trong mặt phẳng đợc định. 054848315 15 HYPERBOL I. Định nghĩa. Trong mặt phẳng cho hai điểm F 1 , F 2 cố định (F 1 F 2 = 2c) và số 2a không đổi (2a < 2c) một hyperbol (H) là một đờng trong mặt phẳng đợc định nghĩa bởi: M . elip đã cho. Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ cho elip (E) : x 2 + 4y 2 = 4 và hai điểm (M(2, m); N(2, n). a) Gọi A 1 , A 2 là các đỉnh trên trục lớn của (E). Hãy viết phơng trình các đờng thẳng A 1 N;