II. Ph−ơng trình chính tắc và các yếu tố cơ bản.
bài giải nâng cao (tham khảo)
Bài 1.- M là một điểm thuộc parabol y2 = 64x, N là một điểm thuộc đ−ờng thẳng
4x+ 3y + 46 = 0.
b) Với kết quả đã tìm đ−ợc ở a) chứng tỏ rằng khi đó đ−ờng thẳng M N vuông góc với tiếp tuyến tại M của parabol.
HD Giải:
a) Chú ý parabol và đ−ờng thẳng không cắt nhau. Tiếp tuyến (∆) với (P) tại Mo(xo, yo) có ph−ơng trình:
32x−yoy + 32xo = 0. Ràng buộc điều kiện (∆)//(P) suy ra Mo(−24,9).
Khoảng cách từ một điểm của (P) đến d) ngắn nhất chính là khoảng cách từ Mo đến (d) và đó cũng là độ dài ngắn nhất của đoạn M N với M ∈ (P) và N ∈ (d). Vậy hai điểm phải tìm là: M(−24,9); N(37
5 ,
−120 5 ).
b) M N vuông góc với (d) tại N mà (d) song song với tiếp tuyến nên M N vuông góc với tiếp tuyến.
Bài 2.- Cho parabol (P) : y2 = 2px và đ−ờng thẳng (∆) : 2mx−2y −mp = 0. Gọi M0, M00 là các giao điểm của (P) và (D). Chứng tỏ rằng đ−ờng tròn đ−ờng kính M0M00 tiếp xúc với đ−ờng chuẩn của parabol (P).
HD Giải: Lập ph−ơng trình tung độ giao điểm của (∆) với (P). Từ đó suy ra toạ độ trung điểm I của đoạn nối hai giao điểm M0, M00 là:
x1 = (m 2 + 2)p 2m2 y1 = p m Đ−ờng tròn tâm I đ−ờng kính M0M00 có bán kính: R2 = 1 4 (x00 −x0)2 + (yn−y0)2 = 1 4 (y00 +y0)2 −4y00y0(y 00+ y0)2 4p2 + 1 Suy ra R = p 1 m2 + 1 = d(I,(d)).
Bài 3.- Trong mặt phẳng toạ độ cho parabol (P) : y = 1 2x
2 và đ−ờng thẳng
(d) : 2mx −2y+ 1 = 0.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị m,(d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quĩ tích trung điểm I của M N khi m thay đổi.
b) Tính góc tạo bởi các tiếp tuyến tại M và N của parabol (P).
HD Giải:
a) Lập ph−ơng trình hoành độ giao điểm, suy ra ph−ơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi I là trung điểm của M N, ta có:
xi = xM +xN 2 y1 = mx1 + 1 2 (I ∈ (d))
Khử tham số suy ra ph−ơng trình quĩ tích y = x2 + 1 2.
b) Viết ph−ơng trình tiếp tuyến tại M, N suy ra hệ số góc tiếp tuyến, suy ra hai tiếp tuyến vuông góc.
Bài 4.- Trong mặt phẳng toạ độ parabol (P) : y2 = x. Gọi (C) là đ−ờng tròn tâm C(2,0), bán kính R.
a) Xác định R để đ−ờng tròn (C) tiếp xúc parabol (P). Xác định toạ độ các tiếp điểm T, T0.
b) Viết ph−ơng trình các tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại T và T0.
HD Giải:
a) Lập ph−ơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (P), ràng buộc điều kiện tiếp xúc suy ra R =
√
6
2 . Suy ra toạ độ hai tiếp điểm 3 2,± √ 6 2 . b) Các tiếp tuyến: y = ±√x 6 ± √ 6 4 .
Bài 5.- Tìm điều kiện đối với a, b, p để tại mỗi giao điểm của chúng, elip (E) :
x2 a2 + y
2
b2 = 1 và parabol (P) : y = px2 là trực giao với nhau.
HD Giải: Viết ph−ơng trình tiếp tuyến tại giao điểm Mo(xo, yo) với parabol và elip, suy ra hệ số góc của chúng. Ràng buộc điều kiện để các tiếp tuyến vuông góc suy ra a2 = 2b2.
Bài 6.- Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm F(1,0) và một điểm thay đổi M(−1, m)
với m ∈ R.
a) Với mỗi giá trị của m , hãy viết ph−ơng trình trung trực (∆) của đoạn M F. b) Tìm những điểm trên mặt phẳng mà không thuộc một đ−ờng thẳng ∆ nào. c) Chứng minh rằng đ−ờng thẳng ∆ luôn luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
HD Giải: a) 4x−2my+m2 = 0. b) yo2 < 4xo. c) x = 1 4(2my−m2) = y 2 4 − (y −m) 2 4
Suy ra (∆) luôn luôn tiếp xúc parabol cố định ph−ơng trình x= y 2