Về một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ

1 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Phan trọng hồng Về tính chất ổn định tiƯm cËn cđa hƯ sai ph©n cã thêi gian trƠ Chuyên ngành: giải tích Mà số: 60.46.01 luận văn thạc sÜ to¸n häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS Phan lª na Vinh - 2009 Mơc lơc Trang lêi nói đầu Ch-ơng I Một số kiến thức lý thuyết ổn định .5 1.1 Tính ổn định ph-ơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov 1.2 Tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân phi tuyến ..15 1.4 Ma trËn Hermite .17 1.5 Phổ hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 19 Ch-ơng II Về tính chất ổn định tiệm cận hệ sai ph©n cã thêi gian trƠ…………………………………………………………………………………………… …… ……… 20 2.1.TÝnh ổn định hệ sai phân 20 2.2 Các kí hiệu bổ đề .22 2.3 Điều kiện đủ tính ổn ®Þnh tiƯm cËn 24 kÕt luËn 32 tµi liƯu tham kh¶o 33 Lêi nói đầu Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan träng nhiỊu øng dơng thùc tiƠn, víi lÝ lý thuyết ổn định đà đ-ợc quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ đ-ợc áp dụng nhiều lĩnh vực khác nhau, lĩnh vực kinh tÕ vµ khoa häc kü thuËt, lÜnh vùc sinh thái học môi tr-ờng Nói cách hình t-ợng, hệ thống đ-ợc gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ kiện cấu trúc ban đầu hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với hệ thống cân Bài toán ổn định hệ thống đ-ợc nhiều nhà toán học nghiên cứu, ng-ời đặt móng cho lĩnh vực V.lyapunov đến đà trở thành h-ớng nghiên cứu lý thuyết ph-ơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống ứng dụng Đặc biệt từ năm 60 kỷ XX, ng-ời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định, ổn định hóa cđa hƯ ®iỊu khiĨn Trong thực tế, hệ động lực phần lớn mơ tả phương trình toán học phi tuyến Để giải toán ổn định hệ phi tuyến Lyapunov đưa hai phương pháp: - Phương pháp thứ nhất: nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov dựa hệ xấp xỉ tuyến tính Nếu vế phải đủ tốt, để xấp xỉ hệ cho hệ tuyến tính tương ứng, tính ổn định rút từ tính ổn định hệ xấp xỉ tuyến tính - Phương pháp thứ hai (phương pháp trực tiếp): dựa vào tồn lớp hàm trơn đặc biệt gọi hàm Lyanpunov mà tính ổn định hệ thử trực tiếp qua dấu đạo hàm theo hàm vế phải hệ cho Nội dung đề tài dựa vào báo hai tác giả Sreten B.Stojanovic, Dragutin Lj Debeljkovic (2004) ổn định tiệm cận xét ph-ơng trình sai ph©n cã thêi gian trƠ n x(n  1)  A0 x(k )   Aj x(k  h j ) j để tìm hiểu nghiên cứu số điều kiện đủ tính ổn định tiệm cËn cđa hƯ sai ph©n cã thêi gian trƠ Luận văn gồm hai ch-ơng: Ch-ơng Trình bày Một số kiến thức lý thuyết ổn định ph-ơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov, gồm nội dung sau: 1.1 Tính ổn định ph-ơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov 1.2 Tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 1.3 tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân phi tuyến 1.4 Ma trận Hermite 1.5 Phổ hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính Ch-ơng Về tính chất ổn định tiệm cận hệ sai phân có thời gian trễ Đây nội dung luận văn gồm nội dung sau: 2.1 Các kí hiệu bổ đề 2.2 Tính ổn định hệ sai phân 2.3 Điều kiện đủ tính ổn định tiệm cận Luận văn đ-ợc hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn tận tình cô giáo TS Phan Lê Na Tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo đà dành cho tác giả quan tâm giúp đỡ tận tình trình hoàn thành luận văn Qua tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo khoa Toán khoa Sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh, đặc biệt Thầy cô giáo tổ Giải tích bạn học viên cao học 15 Toán, ng-ời đà quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập thực luận văn Rất mong đ-ợc góp ý bảo thầy cô giáo bạn bè Vinh, tháng 11 năm 2009 Tác giả CHNG MT SỐ KIẾN THỨC CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH PHƢƠNG tr×nh vi ph©n theo nghÜa liapunov Chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định VÝ dơ khái niệm tính ổn định, ổn định tiệm cận, ma trận Hermite, phỉ cđa hƯ ph-¬ng trình vi phân tuyến tính v tớnh cht c bn hệ vi phân (xem [1],[2],[3][4]) 1.1 Tính ổn định hệ phƣơng trình vi phân theo nghĩa Liapunov Xét hệ thống mơ tả phương trình vi phân x = f(t, x) , t  (1.1) x(t)  Rn vectơ trạng thái hệ, f: R+  Rn  Rn hàm vectơ cho trước Giả thiết f(t,x) hàm thoả mãn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0  ln có nghiệm Khi nghiệm cho công thức t x(t) = x0 +  f (s, x(s))ds t0 1.1.1 Định nghĩa ([3]) Nghiệm x(t) hệ (1.1) gọi ổn định với số e  ,t0  tồn   (phụ thuộc vào   , t0) cho nghiệm y(t), y(t0) = y0 hệ thoả mãn y0  x0 <  nghiệm bất đẳng thức y(t )  x(t ) <  , t  t0 Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định nghiÖm khác hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu x(t) đủ gần suốt thời gian t  t0 1.1.2 Định nghĩa ([3]) Nghiệm x(t) hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định có số   cho với y0  x0 <  lim y(t )  x(t )  t  Nghĩa là, nghiệm x(t) ổn định tiệm cận ổn định nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 tiến tới gần x(t) t   Khi đó: - Hệ (1.1) ổn định với   , t0  R+ tồn số   (phụ thuộc vào  , t0) cho nghiệm x(t): x(t0) = x0 thoả mãn x0 <  xt <  với t  t0 - Hệ (1.1) ổn định tiệm cận hệ ổn định có số   cho x0 <  th× lim x(t )  t  Nếu số   định nghĩa không phụ thuộc vào thời gian ban đầu từ t0, tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) gọi ổn định (hay ổn định tiệm cận đều) 1.1.3 Định nghĩa Hệ (1.1) ổn định mũ tồn số M > 0,  > cho nghiệm hệ (1.1) với x(t0) = x0 thoả mãn x(t )  Me ( t t0 ) , t  t0 tức nghiệm hệ kh«ng ổn định tiệm cận mà nghiệm nã tiến tới nhanh với tốc độ theo hàm số mũ 1.1.4 Ví dụ Xét phương trình vi phân x (t) = a(t)x, t  a(t): R+  R hàm liên tục, nghiệm x(t) hệ với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 cho t  a ( ) d x(t) = x0 e Do kiểm tra hệ ổn định t0 t  a( )d   (t0) < + , t0 Vµ ổn định nÕu số  (t ) số không phụ thuộc vào t0; t lim a( )d   hệ phương trình cho ổn định tiệm cận t   t0 1.2 Tính ổn định hệ phƣơng trình vi phân tun tÝnh XÐt hệ tuyến tính t  0, x (t) = Ax(t) (1.3) ma trận A cì (n  n) Nghiệm hệ (1.3) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t0) cho x(t) =e A(t t ) x0 t  t0 1.2.1 Định lý ([4]) (Sylvester conditions) Ma trận A cì (n  n) xác định dương det(Di) > 0, i = 1, … n xác định âm (-1)i det(Di) > 0, i = 1, 2,… n Trong  a11 a12   a11 a12  , D3   a 21 a 22 D1  a11 , D2    a 21 a 22  a  31 a32 a13   a 23 , , Dn  A a33  Bổ để ([4]) Giả sử A, B ma trận vng cì (n  n) Khi I + AB khả nghịch I + BA khả nghịch, (I + BA) -1 = I - B (I + AB) -1A Điều ngược lại Bổ đề ([4]) Giả sử A, B, C ma trận vng cì (n  n) , B khả nghịch Khi ta có khẳng định sau: i) B + AC không suy biến I + CB -1A không suy biến ii) Nếu B + AC khơng suy biến (B + AC) -1 = B-1 - B-1 A(I + CB-1 A)-1CB-1 Bổ đề ([4]) Giả sử F, G hai ma trận có số chiều, với  số dương ta ln có bất đẳng thức sau (F + G)' (F + G)  (1 + ) F'F + (1 + -1) G'G Định lý cho tiêu chuẩn tính ổn định hệ (1.3) thường gọi tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov 1.2.2 Định lý Hệ (1.3) ổn định tiÖm cËn phần thực tất giá trị riêng A âm, tức Re   0, với    (A) Chứng minh Từ lý thuyết ma trận theo công thức Sylvester (Định lý 1.2.1) áp dụng cho f ( )  e  , ta có e At  q  ( zk1  zk   zkk t k 1 )e k , t k 1 đó:  k giá trị riêng A,  k số mũ bội  k phương trình đa thức đặc trưng A, Zki ma trận số Do ta có đánh giá sau k q e At   t e k 1 i  i 1 Re k t q k Z ki   t i 1e Re k t Z ki k 1 i  Vì Re k  nên xt  t  +  Ngược lại hệ ổn định mũ, nghiệm x(t), x(t0) = x0 hệ (1.3) thoả mãn điều kiện x(t )   x0 e ( t t0 ) , t  t0 (1.4) với   0,   Bây ta giả sử phản chứng có 0   ( A) cho Re 0  Khi với vectơ riêng x0 ứng với 0 ta có Ax0 = 0 x0 nghim ca h vi điều kiện đầu x(0) = x0 x0(t) = x0 e0t lúc x0 (t )  x0 eRe 0t Do ®ã nghiệm x0(t) tiến tới +  t+, vô lý với điều kiện (1.4) Định lý chứng minh  1.2.3 Ví dụ Xét tính ổn định hệ  x1  2 x1  x2  x  25 x1  x2 1  2   A 4   25   ta thấy Vậy giá trị riêng A  1,2 =   2i , hệ ổn định tiệm cận Như để xét hệ tuyến tính dừng có ổn định hay khơng, ta cần tìm nghiệm phương trình đa thức đặc trưng hay giá trị riêng ma trận A Đơi việc tìm giá trị riêng A Víi số chiều lớn khó (khi đa thức đặc trưng có bậc cao) nên việc tìm nghiệm đa thức đặc trưng gặp khó khăn.Định lý cho ta phương pháp khác để xác định tính ổn định hệ 1.2.4 Định lý Giả sử đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân (1.4) cho f(z) = zn + a1zn-1 + … + an , định thức tất ma trận Dk, k = 1,2, …, n dương phần thực tất nghiệm f(z) âm, tức là, hệ cho ổn định tiệm cận, a det D2 = det  1 det D1 = a1,  a1  1 det Dk = det    0  ar = 0, r > n a3 a2 a1 a k 1   a k   a k 3 ,   a k  a5 a4 a3 a3  a2  k = 2,3, , n, 10 1.2.5 Vớ d Xét tính ổn định ph-ơng trình vi phân x(4) + x(3) + 3x(2) + 2x + = 0, ta có phương trình đặc trưng f(  ) =  +  +  +  + Dễ kiểm tra được: det D1 = 1, det D2 = =1>0 2 det D3 = = > 0; det D4 = 1 0 0 0 = > Vậy hệ cho ổn định tiệm cận Tính ổn định hệ tuyến tính dừng (1.3) có quan hệ tương đương với tồn nghiệm phương trình ma trận, thường gọi phương trình Lyapunov hay phương trình Sylvester dạng: A' X +XA=- Y (LE) X, Y ma trận (n  n) gọi cặp nghiệm (LE) Xét hệ (1.3), từ ta nói ma trận A ổn định phần thực tất giá trị riêng A âm Theo Định lý 1.2.2, điều tương đương hệ (1.3) ổn định tiệm cận Định lý sau cho phép tìm điều kiện để hệ (1.3) ổn định tiệm cận 1.2.6 Định lý Ma trận A ổn định với ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm ma trận đối xứng, xác định dương X Chứng minh Giả sử (LE) có nghiệm ma trận X > với Y > Với x(t) 20 Ch-¬ng vỊ mét tÝnh chÊt ỉn định tiệm cận hệ sai phân có thời gian trễ Trong ch-ơng đ-a điều kiện đủ để hệ sai phân có thời gian trễ ổn định thiết lập mối quan hệ, so sánh điều kiện 2.1 Tớnh n nh ca hệ sai phân theo nghĩa Liapunov Xét hệ phương trình x(k+1) = f(k,x(k)), k  Z+ (2.1) f: Z+  X  X hàm cho trước 2.1.1 Định nghĩa Hệ rời rạc (2.1) gọi ổn định với e > 0, k0  Z+, tồn số d > (phụ thuộc vào k0, e) cho nghiệm x(k) hệ với x(0) < d x(k ) < e, k  k0 2.1.2 Định nghĩa Hệ rời rạc (2.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định có số d > cho lim x( k )  k  với nghiệm x(k) với x(0) < d xÐt hƯ (2.1) d¹ng: x(k  1)  Ax (k ), k  Z  (2.2) với x(0)  x0 nghiệm (2.2) cho x(k )  Ak x0 Vậy để x(k )  k   , theo định nghĩa ổn định tiệm cận, A  q 1 , k A  , tất giá trị riêng ma trận A có giá trị tuyệt đối nhỏ Sau ta có định lý tương tự Định lý 1.2.2 21 XÐt hÖ : Z (t )  AZ (t )  Z (t ) A,  Z (t )  Y  t  t0 (2.3) Khi ®ã ta cã ®Þnh lý sau 2.1.3 Định lý([4]) Hệ rời rạc (2.3) ổn định tiệm cận hai điều kiện sau thoả mãn: i) tồn  q  , cho A  q  ii)   ,với   (A) 2.1.4 Thí dụ 3.5 Xét tính ổn định hệ  x ( k  )  x1 (k ), k  Z  ,     x (k  1)  x (k )  x (k ) 2   Ta có: 1  A 1  4  0 , 1  3 1 nhỏ Các giá trị riêng A   , Vậy hệ ổn định tiệm cận 2.1.5 Định lý ([3]) Xét hệ rời rạc x(k  1)  A(k ) x(k ), k  Z  i) Hệ ổn định tiệm cận tồn q  (0,1) cho A' (k )  q, k  Z  ii) Nếu A(k )  A  C(k ) A ma trận ổn định C (k )  a hệ ổn định tiệm cận với số a  đủ nhỏ 2.1.6 Định lý ([3]) Xét hệ (2.1) f (k , x)  A(k ) x  g (k , x) 22 Giả sử i) q  (0,1) : A(k )  q, k  Z  ii) g (k , x)  L(k ) x , k  Z  với lim sup L(k )  h Khi hệ (2.3) ổn định tiệm cận 2.2 Các Bæ ®Ị vµ kÝ hiƯu Cho x (.) lµ chn cđa vectơ x ( (.)=1,2, ) (.) chuẩn ma trận sinh vectơ này.ở chóng ta sư dơng x  (x x) vµ (.)   T max (A*A) Dấu * T ma trận liên hợp ma trận chuyển vị Giá trị tuyệt ®èi cđa ma trËn A ký hiƯu A ;  ( A) det(A) đ-ợc hiểu bán kính phổ định thức ma trận A M lớp ma trận vuông, thực với phần tử không thuộc đ-ờng chéo không d-ơng định thức chÝnh d-¬ng XÐt hƯ tun tÝnh cã thêi gian trÔ sau: N x(k  1)  A0 x(k )   A j x(k  h j ), j 1 (2.4) ®ã x  R n , A j  R nn vµ  h  h1  h   h N lµ số tự nhiên biểu hệ thống có thời gian trƠ HƯ (2.4) cã thĨ viÕt d-íi d¹ng : x(k  1)  Aeq x(k) ®ã: xˆ(k )  [ x(k ) x(k 1) x( k  2) x( k  hN )]T  R n( hN 1) 23   A0  In Aeq         A1 AhN 1 In 0 In   AhN   n ( hN 1) T   x(k )  [ x(k ) x(k  1) x(k  hN )]  R     A j , i  h j , j  0,1, , N Aˆ i   , i  0,1, , hN , i  h , j  , , , N j Điều kiện cần đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ (2.4) là: det(ZI n(h N 1)  Aeq )  0, Z  2.2.1 Bổ đề ([5]).Với ma trận vuông X R n x n vectơ v R n /{0}, ta có bất đẳng thức: v*Xv  (X)  *   max (X) , vv cận d-ới cận bất đẳng thức đạt đ-ợc véc tơ riêng v t-ơng ứng với giá trị riêng min(X) max(X) 2.2.2 Bỉ ®Ị ([5]) Víi bÊt kú ma trËn vuông X R nxn v R n \ {0}, miền giá trị của: v*Xv , v* v nằm hình chữ nhật thuộc mặt phẳng phức với đỉnh là: i (H), jk (K),i,k  "min","max", ®ã : 1 H  (X  X T ),K  (X  X T ), j2  1 2j Hµm ma trËn: d ( X ) ˆ max i2 ( H ( x))  2k ( K ( X ))   ( H )   ( K ) , i ,k (2.5) 24 biểu diễn khoảng cách gốc toạ độ đỉnh đ-ợc định nghĩa (2.5) 2.3 điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận Xét hệ phương trình có trễ: N x(k  1)  A0 x(k )   A j x(k  h j ), j 2.3.1 Định lý([5]) Hệ (2.4) ổn định tiệm cận nếu: N A j0 j  (2.6) Chøng minh Ta chøng minh b»ng ph¶n chứng Giả sử hệ đ-ợc xét không ổn định tiệm cận, điều t-ơng đ-ơng với N h det  zI n  A   A jz j   0, z  1, j1   N  h  hc v  R :  zIn  A0   A jz j  v  0, z  1, j1   n N  h  A0 v   zIn   A jz j  v, z  1, j1   Ta cã A0 N  h  v  A v   zI n   A jz j  v  z v  j1   N  z v  z h j j1 N Z j1 h j A jv N   A j v  v 1   A j  , z  j1   Vậy hệ (2.4) không ổn định N j Ai Mâu thuẫn chứng tỏ hệ đ-ợc xét ổn định tiệm cận Vậy định lý đ-ợc chứng minh 25 2.3.2 Định lý([5]) Hệ (2.4) ổn định tiệm cận thoả mÃn điều kiện sau: N  d ( A )  (2.7) j j 0 Chøng minh Ta chøng minh b»ng ph¶n chứng Giả sử hệ đ-ợc xét không ổn định tiệm cận, điều t-ơng đ-ơng với: N h  det  zI n  A   A jz j   0, z  1, j1   N  h  th×  zIn  A0   A jz j  v  0, z  1, j1   VËy nÕu v  R n N  h  A0 v   zIn   A jz j  v, z  1, j1   N  h  v A v  v  zI n   A jz j  v, z  1, j1   * * N  h  v*A0 v  v*  zI n   A jz j  v  v*zv  j1   N  v zv   v A jz * * h j vz vv z * h j j1 N v A z * j j1 h j v N vAv * j1 j N       * Aj , Z  , * j 1 N VËy  j 0 v Aj v v v  Theo Bỉ ®Ị (2.2.2) ta cã: N v*A jv j0 v*v 1  N   d(A j ) j0 Mâu thuẫn chứng tỏ hệ đ-ợc xét ổn định tiệm cận Vậy định lý đ-ợc chứng minh Vậy điều kiện (2.7) đ-ợc thoả mÃn hệ đ-ợc xét ổn định tiệm cận 26 2.3.3 Định lý([5]) Nếu ma trận đ-ợc định nghĩa là: N D ˆ I n   Aj , j 0 N  d   a iij   ij j0  d ik ˆ  N d   a j  ik  ik j0 thc líp c¸c ma trận M, hệ (2.4) ổn định tiệm cận Chứng minh Ma trận đặc tr-ng F(z) hệ (2.4) đ-ợc định nghĩa là: N F ( z ) zI n   A j z j 1 h j { f ik } Các phần tử F(z) tho¶ m·n: N f ii  z   aiij z h j j 0 N f ik    aikj z j 0 h j N  z   aiij z h j j 0 N   aikj z j 0 h j N    aiij  d ii , z  1, j 0 N   aikj  dik  0, z  j 0 Tõ D thuéc líp ma trËn M ( dik  0,det D  0), ta cã: det F(z)  det D, det F(z)  0, z  1, z  BiĨu thøc trªn chứng tỏ không tồn nghiệm ph-ơng trình đặc tr-ng hệ đ-ợc xét nằm nửa phải mặt phẳng phức Vì hệ ổn định tiệm cận 2.3.4 Bỉ ®Ị([5]) Ma trËn D  R nxn thc lớp ma trận M nếu: C  R nn  0, r   (C ) : D  rIn  C, r  R 27 2.3.5 Định lý([5]) Hệ (2.4) ổn định tiệm cận hai điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn: N  (H )  1, (2.8) j j0 N H j0 j  1, (2.9) ®ã ma trận H j đ-ợc định nghĩa là: Hj A j  ATj , j  0,1, , N Chøng minh Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng Gi¶ sư hệ đ-ợc xét không ổn định tiệm cận Theo chứng minh Định lý 2.3.2 ta có: N v*A jv j0 v*v   (2.10) Ta cã mäi ma trận vuông X biểu diễn đ-ợc d-ới d¹ng sau:  X  X   j  X  X   H  jK X T T 2j (2.11) Nếu X ma trận vuông thực H K ma trận đối xøng vµ Hermite, chóng ta cã: v*Hv v*Xv   H   *  *   max (H), vv vv v*Kv  v*v Ta cã: 28 v*Xv v*v  max    H  ,  max (H)   max i (H)  (H) áp dụng bất đẳng thức cho (2.10) ta cã: N v*A jv j0 v*v 1  N  (H j ) j1 Mâu thuẫn với điều kiện định lý Vậy (2.8) đ-ợc thoả mÃn hệ xét ổn định tiệm cận Định lý đ-ợc chøng minh Chó ý: i) §iỊu kiƯn (2.9) suy trùc tiếp từ (2.11), H j ma trận đối xứng nªn cã thĨ (H j )  H j , j  0,1, , N viÕt d-íi d¹ng: ii) Chóng ta cã ®iỊu kiƯn sau: (A)  (H  jK)  max i (H  jK)  max i (H)  ji (K) i i  max i (H)  max ji (K)  (H)  (K)  H  K , i  (H )  H i  A  AT 2  ( A  AT )  A 2 (2.12) Ta cã min (H)  Re (A)   max (H), min (K)  Im (A)   max (K) Ta cã: (A)   2H   K2  H  max   (H) ,  max (H)   ma x i (H)  (H) i  K  max   (K) ,  max (K)   ma x i (K)  (K), i vµ max i ( A)   ( A)  i Tõ (2.12) vµ (2.13) chóng ta cã  (H )   (K )  ˆ d ( A) (2.13) 29 (H)  H  d(A), (H)  H  A (2.14) iii) Chøng minh biÓu thøc (2.14) đơn giản biểu thức sau ®óng: hN hN j 0 j 0   ( H )   d ( Aj )  hN  j 0 hN Hj   A j j Sau giới thiệu bổ đề để áp dụng chứng minh tính ổn định tiệm cận cuả hệ (2.4) 2.3.6 Bổ đề th× Cho G( z ) ˆ ( zI n  A)1 , G(z)z h    G(k) ˆ L, z 1, (2.15) k G(k) d·y cđa ma trËn G(z) vµ G(0) = 2.3.7 Bổ đề Với ma trận vuông X cỡ ( n n ), mệnh đề sau ( X )   det(I n  X )  2.3.8 Bỉ ®Ị Víi mäi ma trËn vuông X R nn Y R nn , mệnh đề sau X Y ( X )   ( X )   (Y ) 2.3.9 Định lý([5]) Hệ (2.4) ổn định tiệm cận, điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn ( A0 )  1, N (L A j )  1, j1 L đ-ợc định nghĩa nh- (2.15) G(k) biểu diễn dạng: G(k) A0k 1, k  1, 2, , ,G(0)  Chøng minh Giả sử hệ (2.4) ổn định tiệm cận Ta có điều kiện sau t-ơng đ-ơng với ®iỊu kiƯn tr-íc: 30 N det(zIn  A   A jz h j )  0, z  1, j1 det(( zI n  A0 )[ I n  ( zI n  A0 ) 1 N A z i 1 N det(zIn  A0 )det(I n  G(z) A jz h j j h j ])  0, z  1, )  0, z  1, j1 ®ã G( z)  ( zI n  A0 ) 1 Tõ A lµ ma trËn ổn định ta có: det(zI n A0 ) 0, z Vì điều kiện t-ơng ®-¬ng víi ®iỊu kiƯn: N det(I n  G( z ) A j z h j )  0, z  i 1 Sư dơng Bỉ ®Ị 2.3 chóng ta cã thĨ ®-a vỊ N  (G( z ) A j z h j )  1, z 1, i Từ Bổ đề (2.3 6) bỉ ®Ị (2.3.8) chóng ta cã: N N   h j  h   G(z) A jz     G(z) A jz j  j1 j1    N  ( G(z)  A j z j1 h j    N )  (L A j ) j1 Nếu điều kiện sau tho¶ m·n N  ( L A j )  1, j điều kiện (2.16) đ-ợc thoả mÃn.Vậy hệ xét ổn định tiệm cận 2.3.10 Ví dụ XÐt hƯ rêi r¹c cã thêi gian trƠ x(k + 1) = A0x(k)+A1x(k-1) + A2x(k-2) (2.16) 31 ®ã 0,3   0,1 0,2  0,3  0,2 , A2   A0   , A1       0,15 0,1 0,2 0,1  0,1 0,15 tham số áp dụng tất định lý điều kiện ổn định tiệm cận có bảng sau: Định lý 2.3.1 N j0 Aj Định lý 2.3.2 Định lý 2.3.3 N N  d(A )  j0 D ˆ In A j j0 Định lý 2.3.5 N  (H )  j0 j j N lµ M - ma trận Định lý 2.3.9 j0 Hj 1 N (L A j )  1, j0 (.) :   0,5 (.) :   0,9673 (.) :   0,6667   1,1704   1,1055   1,2719   1.2440 32 kết luận Luận văn thu đ-ợc kết sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm số tính chất quan trọng lí thuyết ổn định ph-ơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov, nhằm tiếp cận báo thuộc lĩnh vực Trình bày chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ sai phân có thời gian trễ (Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3, Định lý 2.3.5, Định lý 2.3.9) 33 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Ngọc Bội (2000), Bi ging Lý thuyết ổn định Lyapunov, NXB Đại học Huế [2] Võ Công Đông (2006), Một số tính chất ổn định tiệm cận ph-ơng trình sai phân có trễ, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [3] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Vũ Ngọc Phát, Hy Đức Mạnh (2005), Bài toán ổn định hệ rời rạc có trệ qua bất đảng thức ma trận tuyến tính, Tuyển tập kỷ yếu Hội nghị Khoa học Học viện Quân Sù, Hµ Néi [5] Sreten B Stojanovic, Dragutin Lj Debeljkovic (2004), On the Asymtopic stability of linear discrete time delay systems, Mechanical Engineering Vol N0 pp 35 – 48 34 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng ®¹i häc vinh Phan träng hång VỊ mét tÝnh chÊt ổn định tiệm cận hệ sai phân có thời gian trễ luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 ... chất ổn định tiệm cận hệ sai phân có thời gian trễ Trong ch-ơng đ-a điều kiện đủ để hệ sai phân có thời gian trễ ổn định thiết lập mối quan hệ, so sánh điều kiện 2.1 Tớnh n định hệ sai phân theo... Hệ (1.1) ổn định tiệm cận hệ ổn định có số   cho x0 <  th× lim x(t )  t  Nếu số   định nghĩa không phụ thuộc vào thời gian ban đầu từ t0, tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) gọi ổn định. .. (2004) ổn định tiệm cận xét ph-ơng trình sai phân có thời gian trễ n x(n  1)  A0 x(k )   Aj x(k  h j ) j 1 ®Ĩ tìm hiểu nghiên cứu số điều kiện đủ tính ổn định tiệm cận hệ sai phân có thời gian