Về tiêu chuẩn ổn định tiệm cận của phương trình vi phân đại số chuyển được có chỉ số 1

1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong khoa học ứng dụng thực tiễn nay, có nhiều vấn đề, nhiều tốn, chẳng hạn mô tả động lực, mô tả hệ thống mạng điện, vấn đề lý thuyết điều khiển, đòi hỏi phải quan tâm giải phương trình vi phân dạng: Ax ' Bx  , A, B ma trận với hệ số thực ma trận hàm liên tục cấp m với det A  , gọi phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân đại số f (x'(t), x(t),t)  0, với không gian không Jacobian f '( y, x,t) không tầm thường nghiệm số nghiên cứu nhiều năm qua [1-3] Các phương trình thường có ứng dụng lớn, chẳng hạn hệ thống điện, tốn điều khiển,… Do đó, phân tích tính ổn định quan tâm lớn lý thuyết lẫn thực tế, tính ổn định phương trình vi phân đại số nghiên cứu [2,4,5] Ngay từ cuối năm 70 kỉ XX có nhiều nhà tốn học giới quan tâm nghiên cứu phương trình vi phân đại số, số nhà tốn học thuộc Đại học Humbodt Berlin, nhà toán học Nga, Mỹ, Ba Lan,… Ở nước ta, vào năm 90 kỉ XX có số nhà tốn học thuộc Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Viện Tốn học quan tâm nghiên cứu phương trình vi phân đại số Đối với phương trình vi phân đại số, cách phân lớp khác cho phương trình vi phân đại số dựa vào khái niệm số chúng, phương trình vi phân thường ( det A  ) đặc trưng số Phương trình vi phân đại số đặc trưng số 1,2, Phương trình vi phân đại số “chuyển được” có số lớp phương trình vi phân đại số đơn giản Để nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số cao, ta dùng phương pháp hạ số để quy phương trình vi phân đại số có số thấp hơn, hướng nghiên cứu phương trình vi phân đại số chủ yếu nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số 2, dạng tuyến tính A(t ) x ' B(t ) x  , t t0 ;  (*) với ma trận hệ số A(t) suy biến với t t0 ;  Trong thời gian qua có nhiều kết thu phương trình vi phân đại số, chẳng hạn kết nghiệm, tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ phương trình vi phân đại số có số thấp (có số 1, 2), tính ổn định hệ có nhiễu nhỏ, tính nhị phân phương trình vi phân đại số,… Đối với phương trình vi phân đại số, với số điều kiện định ta chuyển hệ, gồm hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình đại số Điều đáng ý hệ phương trình vi phân đại số quy có số với điều kiện định hệ tính ổn định tiệm cận hay ổn định tiệm cận mũ nghiệm hệ lại hồn tồn tương ứng với tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận mũ hệ phương trình vi phân thường tương ứng hệ Đã có nhiều nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận mũ nghiệm phương trình vi phân đại số nói chung Tuy nhiên luận văn này, muốn tập trung nghiên cứu sâu thêm tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân đại số chuyển có số 1, chọn đề tài “ Về tiêu chuẩn ổn định tiệm cận phương trình vi phân đại số chuyển có số 1” Mục đích đề tài Nội dung nghiên cứu luận văn này, chủ yếu sâu nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số tiêu chuẩn ổn định tiệm cận phương trình vi phân đại số có số Phương pháp nghiên cứu - Sử du ̣ng phương pháp định tính thơng qua đọc nghiên cứu tài liệu chuyên khảo báo nhằm tổng hợp kết sở chứng minh kết lớp toán nghiên cứu luận văn Dự kiến kết đạt - Tổng hợp kiến thức sở - Nghiên cứu ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường phương trình vi phân đại số có số với hệ số - Chứng minh tiêu chuẩn điều kiện cần điều kiện đủ tính ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường phương trình vi phân đại số chuyển có số thông qua tham số   A, B  mơ tả đặc tính cặp ma trận  A, B có số Cấu trúc luận văn Luận văn cấu trúc sau: - Phần Mở đầu - Chương 1: Phương trình vi phân đại số - Chương 2: Tính ổn định phương trình vi phân đại số tuyến tính - Chương 3: Về tiêu chuẩn ổn định tiệm cận phương trình vi phân đại số chuyển có số - Kết luận - Tài liệu tham khảo Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Chỉ số ma trận Khái niệm số ma trận, cặp ma trận sử dụng nhiều việc nghiên cứu, phân lớp phương trình vi phân đại số phân giải lớp phương trình vi phân đại số Bởi vậy, ta đưa số khái niệm liên quan đến số ma trận Định nghĩa 1.1.1 [2] Phép chiếu P L(Rm , Rm ) (viết gọn P L(Rm ) ) m m - ma trận P cho P2  P Đối với phép chiếu P ta ln có hệ thức imP ker P  Rm Ngược lại, với phân tích R m thành tổng trực tiếp hai không gian Rm  U V tồn phép chiếu P cho  im  P   U   ker  P   V Khi phép chiếu P gọi phép chiếu lên U dọc V Q  I  P phép chiếu lên V dọc U - Với ma trận A L m  , ta có im A  ker  A  m Ngoài ra, im A  ker  A  0 im A  ker  A  im A  ker  A  m - Với số tự nhiên k ta ln có ker  Ak   ker  Ak 1  im Ak   im Ak 1  Ngoài ra, với k  N , ker  Ak 1   ker  Ak  ker  Al 1   ker  Al , l  N, l  k - Khi với k  : ker  Ak   ker  Ak1   dimker  Ak   dimker  Ak1  Ngược lại, im Ak  im Ak1  nên hệ thức ker  Ak   ker  Ak 1   im Ak   im Ak 1  Do A0  I , ta có hệ thức sau m  im  A0   im  A1   im  A2    im  Ak   im  Ak 1   0  ker  A   ker  A   ker  A    ker  A   ker  A   k k 1 Định nghĩa 1.1.2 [2] Với  m  m - ma trận A , số ma trận A số tự nhiên k  nhỏ cho ker  Ak   ker  Ak 1    Ký hiệu ind  A  k :ker  Ak   ker  Ak1  Ta có im Al   ker  Al   m , với  l  ind  A, l  im Ak   ker  Ak   im Ak   ker  Ak   m  , với k  indA Với cặp ma trận ( A, B) ta xét hàm   z  : det  zA  B Rõ ràng  đa thức z degdet  zA  B  rank  A Định nghĩa 1.1.3 [2] Cặp ma trận ( A, B) gọi quy tồn z cho det  zA  B  Trong trường hợp ngược lại ta gọi cặp ( A, B) suy biến Chú ý: Nếu cặp ma trận ( A, B) quy det  cA  B  0, với hầu hết giá trị c  Định nghĩa 1.1.4 [2] Nếu cặp ma trận ( A, B) quy det cA  B   ind  cA  B  A 1  gọi số cặp ma trận ( A, B)   Kí hiệu: ind  A, B  : ind  cA  B  A 1 Chú ý rằng, số cặp ma trận ( A, B) không phụ thuộc vào việc chọn c Bổ đề 1.1.5 im( Ak )  ker( Ak )  Rm với  k  indA im( Ak )  ker( Ak )  im( Ak )  ker  Ak   Rm với k  indA Các tính chất cặp ma trận ( A, B) quy số thể thơng qua định lí bảy mệnh đề tương đương sau Định lí 1.1.6 [2] Giả sử A ma trận suy biến, mệnh đề sau tương đương Cặp ma trận ( A, B) quy số  x  ker A   Bx  im  A  x  Cặp ma trận ( A, B) quy deg P  rank  A với P(z) : det(zA  B) Cặp ma trận ( A, B AW)chính quy ind  A, B  AW   1, với ma trận W  L m  Ma trận G: A BQ không suy biến với phép chiếu Q lên ker  A Với S  x : Bx imA ta có hệ thức S  ker A  Rm 7 Nhân vào bên trái với ma trận khơng suy biến thích hợp E  L m  cho B  A EA    ; EB    ; rankA  rankA1 0   B2   A1  ta ma trận không suy biến    L   B1  m  Định nghĩa 1.1.7 [2] Giả sử ma trận A, B  L m  có ind  A, B 1, S  x : Bx imA gọi không gian liên hợp Phép chiếu Q s lên N dọc S gọi phép chiếu tắc Mệnh đề 1.1.8 [2] Nếu cặp ma trận ( A, B) quy, ind  A, B  Q phép chiếu lên ker  A đẳng thức sau G 1 A  I  Q; G 1 BQ  Q; QG 1 B  Qs đó, G  A  BQ 1.2 Phương trình vi phân đại số Xét phương trình vi phân tuyến tính At  x ' B(t)x  q(t), t t0 ,  với ma trận hệ số A, BC   , L m ;qt C( (1.2.1)  , L( m )) Định nghĩa 1.2.1 [2] Phương trình vi phân (1.2.1) gọi phương trình vi phân đại số ma trận A(t) suy biến, với t  J , hay det A(t)  , với t  J Định nghĩa 1.2.2 [2] Phương trình vi phân (1.2.1) gọi quy  cặp ma trận ( A, B) quy, nghĩa  t   tồn  ( t )   cho det((t) A(t)  B(t))  Phương trình (1.2.1) gọi quy ngặt  khơng phụ thuộc vào t Phương trình vi phân (1.2.1) gọi mềm dim(ker A) hữu hạn Mars đưa khái niệm số mềm dựa việc xây dựng dãy xích ma trận sau: P0 (t ) : P(t ) , Q0 : Q(t ) A0 (t ) : A(t ) A1  t  : A0  t   B0  t  Q  t  B0 : B(t )  A(t ) P ' (t ) B1 : B0  t  P  t  A2  t  : A1  t   B1  t  Q1  t  Ai (t ) : Ai 1 (t )  Bi 1 (t )Qi 1 (t ); Bi (t ) : Bi 1 (t ) Pi 1 (t )  Ai (t )( PP1 , , Pi 1 ) ' (t )( PP1 , , Pi 1 )(t ), i  1, 2, Qi (t ) phép chiếu lên ker Ai (t ); Pi (t )  I  Qi (t ) Qj (t)Qi (t)  với t   , j  i Định nghĩa 1.2.3 [2] Phương trình vi phân đại số (1.2.1) gọi quy số cặp ma trận hệ số ( A, B) quy có số mềm Trong trường hợp, phương trình (1.2.1) có cặp ma trận ( A, B) quy ind  A, B  (1.2.1) gọi phương trình vi phân đại số có số cao Định nghĩa 1.2.4 [2] Giả sử N t   ker At  trơn, nghĩa tồn phép chiếu Qt  C1   , L m  lên N t ; P  I  Q Hàm xt  C gọi N nghiệm phương trình (1.2.1)  hệ thức At  Pt  xt ' P't  xt   Bt  x t   q t  , thỏa mãn với t   Định nghĩa 1.2.5 [2] Phương trình (1.2.1) gọi chuyển có số  N  t  trơn ma trận Gt   At   Bt Qt  ( A1  A  B0Q ) có nghịch đảo đoạn  0,T    , Qt  C1   , L m  phép chiếu lên N  t  Nhận xét: - Định nghĩa độc lập với lựa chọn ánh xạ chiếu Q, Q1 - Phương trình (1.2.1) chuyển tương đương với phương trình có số - Tính khả nghịch ma trận G(t ) (hoặc A 1 ) không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Q  I  P - Trường hợp ma trận G(t ) ( A 1 ) khả nghịch  , tính liên tục G(t ) , A(t), B(t) , ma trận G1 t  ( A 1 ) liên tục G1 t  (hoặc A 1 ) bị chặn đoạn 0,T   G1 t  ( A 1 ) nội Q(t )    , Tính bị chặn ma trận khơng phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu giới 10 Bổ đề 1.2.6 [2] Với dãy ma trận xích  Ai , Bi , Qi  xác định trên, hệ thức sau AQ  BjQj BQ  với i  j;i, j 1,2, , n i i j j Mệnh đề 1.2.7 Nếu (1.2.1) quy có số (1.2.1) tương đương với hệ u '  ( P ' PA11B0 )u  PA11q 1 1 v  QA B u  QA q, (1.2.2) u  Px, v =Qx, A1  A  B0Q, B0  B  AP ' Nếu u0  imP(t0 ) nghiệm u(t ) toán giá trị ban đầu u '  ( P ' PA11 B0 )u  PA11q u(t0 )  u0 thỏa mãn uimP(t), t 0; nghiệm (1.2.1) xác định hệ thức x(t)  Ps (t)u(t)  QA11q, Ps  I  Qs , Qs  QA11B0 phép chiếu tắc lên N  t  dọc theo S t  Để cho đơn giản ta thường lấy điều kiện ban đầu t0  , phương trình (1.2.1) có điều kiện đầu x (0)  x  N (0) điều kiện đầu phương trình (1.2.2) u(0)  P(0) x Nếu phương trình đại số tuyến tính A(t ) x ' B(t )x  0, t t0;   J 31  H   G*  t  FG  t  dt  Q*FQ Ta xét hàm giá trị ma trận, với t   Y  t    G*  s  FG  s  ds t Sử dụng tính chất biết ma trận Green G  t   G  t  P  PG  t  , G  t  Q  QG  t   G  t  s   G  t  G  s   G  s  G  t  , ta có  *  Y  t    G  s  FG  s  ds  G  t   G  s  FG  s  ds G t   G* t  HG t  t 0   * * Sau lấy vi phân ma trận Y t  , tính tốn bất đẳng thức  Hz, z  H F1  Fz, z  ta thu được, với vectơ z tùy ý, bất đẳng thức   d Y  t  z, z   G*  t   M * H  HM  G  t  z , z    G*  t  FG  t  z , z   dt  (G*  t  HG  t  z, z ) H F 1  Y  t  z , z  , H F 1 dẫn đến d  t / H e dt  Do đó, F 1  Y t z, z        32   G t  HGt  z, z  Y t  z, z   e *   t / H F 1 t / H  Y z, z    e  F 1  P*HPz, z   (3.3.4) Hơn nữa, sử dụng bất đẳng thức t M etM Pz  e (xem [6]) Pz ta có   HPz, Pz     Fe tM Pz, e Pz  dt  tM Pz  F 1 e 2 t M dt  Pz 2 M F 1 (3.3.5) Hơn nữa, kết hợp (3.3.4) (3.3.5), với z  x t   G t  x  0, ta thu x  t   G  t  x    M F 1  HG  t  x   , G  t  x     2 2 M F 1  t / H F 1 e  HPx , Px        t / H F 1  M F 1 H e  Px   Cuối cùng, dựa vào quan hệ M   PG 1B, P  G1A F  G*G1 kéo theo bất đẳng thức M F 1  A B G1 G  A B 2 G  đúng, ta thu bất đẳng thức yêu cầu:  t A B / G  A,B x t   G  A, Be  Px   Chú ý Chú ý bất đẳng thức (3.3.3) mở rộng bất đẳng thức cổ điển phương trình vi phân thường [6] 33 Thực tế, suy từ (3.3.3) nhờ   A, B    nghiệm tầm thường phương trình vi phân chuyển có số (3.1.1) ổn định tiệm cận Mặt khác, nghiệm tầm thường (3.1.1) ổn định tiệm cận tất giá trị riêng cặp ma trận  A, B có số có phần thực âm Trong trường hợp ma trận H xác định (3.3.1) có dạng hữu hạn, nghĩa   A, B    Như vậy, tham số   A, B  sử dụng tiêu chuẩn ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường phương trình vi phân đại số chuyển có số (3.1.1) Như vậy, ta biểu diễn tích phân ma trận H phép chiếu P theo nghĩa A B  1 P    iA  B  Ad  ,   (3.3.6)  H * * * 1 A  BQ i  A  B P FP i  A  B        A  BQ  d   Q*FQ  2  Phương trình thứ suy từ khai triển (3.1.2) (3.1.6) Trong công thức ta đưa giá trị tiêu chuẩn theo nghĩa Cauchy tích phân Để chứng minh phương trình thứ hai ta biến đổi ma trận H dạng  H   etM P*FPetM dt  Q* FQ  * *     etB1  T     0  * tB 0 *  e T FT    Nếu ma trận T * FT có dạng 0  0  *  0   1 dt    I T FT  I T 0      34 T T  T * FT   11 12  ,  T21 T22  (3.3.7) đó, ma trận T11 T22 rõ ràng ma trận Hermit xác định dương,   tB1* tB1  e T11e dt  1 H  1 *   *  H T  T  T  T T   22   T22   (3.3.8) Chú ý rằng, ma trận  H1   etB1 T11etB1 dt * thỏa mãn phương trình Lyapunov XB1  B1* X  T11 (3.3.9) với X ma trận chưa biết Theo định lý Lyapunov phương trình có lời giải ma trận T11 tất giá trị riêng ma trận B1 có phần thực âm (xem [6]) Hơn nữa, [7] nghiệm (3.3.9) biểu diễn sau  * 1 X  iI  B1  T11  iI  B1  d   2  Theo tính nghiệm ta kết luận  * 1 H1   iI  B1  T11 iI  B1  d   2  Do đó, (3.3.10) 35    * 1 i  I  B T i  I  B d        1 11  H  T *  2  T   T22   * 1    *   iI  B1  0     iI  B1   T    T FT d T 1  Q*FQ      0  0      2    * Cuối cùng, ta tính tốn P  iA  B  1  (iI  B1 )1  1  A  BQ   T  T , 0  ta thu biểu thức tích phân cần tìm ma trận H Phương trình ma trận Xét tốn việc kiểm tra số tất giá trị riêng hữu hạn cặp ma trận  A, B dọc theo nửa mặt phẳng phức âm Trong [6], [7] toán hoàn toàn nghiên cứu trường hợp A  I Đối với trường hợp tổng qt [7] đề nghị qui tốn phép lưỡng phân tuyến tính cặp ma trận  A, B toán lưỡng phân tương ứng với vòng tròn đơn vị cặp ma trận A  B, A  B Tuy nhiên, dễ thấy cặp ma trận qui số , số   giá trị riêng cặp ma trận A  B, A  B Trong phần ta nghiên cứu tính độc lập, tính hiệu sử dụng ý tưởng [7] Sử dụng khai triển (3.3.8) ma trận H ta thu hệ thức sau H P* H  T *   0 Q* H  T *  0 Khi  1 T  HP  P*HP,  0  1 T  HQ  Q*HQ  Q*FQ  T22  36 H  P*HP  Q*HQ (3.4.1) Mặt khác ta có B  A  BQ  P HP  A  BQ  * * * 1   B1* H1  1 AT  T , 0   * B*  A  BQ  Q* HQ  A  BQ  A  0, * 1   H B  1 * 1 A*  A  BQ  P* HP  A  BQ  B  T *  1 T ,   A*  A  BQ  Q*HQ  A  BQ  B  * 1 Do đó, từ (3.4.1) ta A*  A  BQ  H  A  BQ  B  B*  A  BQ  H  A  BQ  A  * 1 * 1   H1B1  B1* H1  1 T  T 0   * (3.4.2) Vì ma trận H cho (3.3.10) thỏa mãn phương trình Lyapunov (3.3.9)   T11 T12   I  1  T  1 *  I T *  11 T  T T  P*FP,        0  0   T21 T22   0  ta viết lại (3.4.2) sau A*  A  BQ  H  A  BQ  B  B*  A  BQ  H  A  BQ  A  P*FP (3.4.3) * 1 * 1 Ký hiệu Z :  A  BQ  H  A  BQ   *  1 * 1 * 1   iA  B  P*FP iA  B  d    A  BQ  Q*FQ  A  BQ   2  Từ (3.1.2) (3.3.8), ta có 37  1 H Z  W *  W T  22  Khí (3.4.3) kéo theo A*ZB  B*ZA  P*FP Hơn nữa, ma trận Z thỏa mãn hệ thức  BQ  Z  A  BQ    A  BQ  * * ZBQ  BQ  * ZBQ  Q*FQ, điều suy từ (3.4.1) Định lý 3.4.1 [10] Giả sử  A, B cặp ma trận quy có số F ma trận Hermit, xác định dương Giả sử tồn ma trận Q ma trận Hermit, xác định dương Z ( Z*  Z  0) thỏa mãn phương trình ma trận A*ZB  B*ZA   I  Q  F  I  Q  , * AQ  0, Q  Q  A  BQ  B, 1  BQ  Z  A  BQ    A  BQ  * *  BQ  * (3.4.3) (3.4.4) ZBQ, (3.4.5) ZBQ  Q*FQ (3.4.6) Khi tất giá trị riêng hữu hạn cặp ma trận  A, B có phần thực âm I  Q phép chiếu lên không gian tương ứng với giá trị riêng hữu hạn cặp ma trận  A, B Chứng minh Giả sử cặp ma trận  A, B rút gọn dạng tắc Kronecker (3.1.2) Giả sử ma trận Z  Q Q12  1 *  11 Q  T  11 T z  W  Z  Q21 Q22   21 Z12  1 W Z 22  38 thỏa mãn phương trình (3.4.3)-(3.4.6) Từ đẳng thức AQ  suy Q11  Q12  Vì ma trận A BQ khơng suy biến, Q22 không suy biến Mặt khác, từ biểu thức thứ hai (3.4.4) ta suy   0  I  B1   0     Q Q   Q Q  Q 1Q Q 1     I  I      21 22   21 22  22 21 22  nghĩa Q21  Q22  I Như vậy, ta thấy rằng, ma trận  I  1 I Q T  T 0 0 phép chiếu lên không gian tương ứng với giá trị riêng hữu hạn  A, B Đặt  0  1 1 R : BQ  A  BQ   W  W 0 I  Đẳng thức (3.4.5) kéo theo R*Z  ZR Khi R*Z  I  R   R*Z  R*ZR  0,  I  R * ZR   R*Z  I  R  * Ngoài ra, ta nhận  1 * Z * Z   R   I  R   Z  R   I  R    R*ZR   I  R  Z  I  R   W*  11 W  Z 22  đó, ma trận Z11 Z 22 ma trận Hermit xác định dương Từ biểu thức (3.4.3) suy  I  *  I   I   Z11  0  T FT  0    0            B1   Z 22   I  39   B*   Z11   I   0  I   Z11B1  B1*Z11   T11     , Z 22  0 0 0       thêm vào đó, tồn ma trận Hermit Z11 cho thỏa mãn phương trình Lyapunov Z11B1  B1*Z11  T11 (3.4.7) Trong trường hợp theo Định lý Lyapunov tất giá trị riêng ma trận B1 có phần thực âm [6], nghĩa giá trị riêng hữu hạn cặp ma trận  A, B thuộc nửa mặt phẳng phức âm Định lý chứng minh Định lý 3.4.2 [10] Nếu tất giá trị riêng hữu hạn cặp ma trận  A, B với số 1, có phần thực âm, hệ phương trình ma trận (3.4.3)(3.4.6) với ma trận Hermit, xác định dương Z , có nghiệm cho ma trận Z F , ma trận ẩn Q ma trận Hermit xác định dương Hơn nữa, nghiệm biểu diễn dạng sau  1 Q  I    iA  B  Ad ,   (3.4.8)  * * 1 Z  iA  B   I  Q  F  I  Q iA  B  d    2    A  BQ  Q*FQ  A  BQ  * 1 Chứng minh Phương trình (3.4.4) suy Q phép chiếu tắc lên N dọc theo S Khi biểu thức (3.4.8) Q suy từ (3.3.6) Chứng minh Định lý 3.4.1 biểu thị rằng, nghiệm Z (3.4.3)(3.4.6) biểu diễn dạng sau Z Z  W *  11  0  1 W , Z 22  40 đó, ma trận Z11 thỏa mãn phương trình Lyapunov (3.4.7) Như đề cập trên, phương trình (3.4.7) có xác nghiệm, cho  * 1 Z11   iI  B1  T11  iI  B1  d   2  Ma trận Z 22 tính từ phương trình (3.4.6) Nó hồn tồn xác định cho Z22  T22 Định lý chứng minh Thực hành tính tham số   A, B  Trong phần này, ta đề xuất phương pháp để đưa cặp ma trận  A, B qui số dạng Kronecker (3.1.2) thảo luận vấn đề tính tốn tiêu chuẩn ổn định tiệm cận   A, B  Giả sử   0 * A U  V 0   (3.5.1) khai triển giá trị suy biến A , U V ma trận Unitary,  r r - ma trận quy, r  rankA Khi 0  * Q1  V  V I mr   phép chiếu vng góc lên N  ker A Ta sử dụng để xác định phép chiếu tắc Q  Q1  A  BQ1  B Nếu ma trận B có dạng 1 B B  U  11  B21 B12  * V , B22  đó, ma trận G  A  BQ1 cho 41   B12  * G U  V B  22  Khối B22 không suy biến, G giả thiết khơng suy biến Khi phép chiếu Q P  I  Q biểu diễn dạng 0 * I 0 *   Q  V  1 V P  V    B 1B V  B22 B21 I   22 21  Hơn nữa, với ma trận M   P  A  BQ  B , ta nhận 1 1    1  B11  B12 B22 B21  0 M 0 *   V *  V  1 M V V , 1 1 1  B B M  B22  B  B  B B B  22 21   11 12 22 21   21    1 M1  1 B11  B12B22 B21 Ta xét ma trận không suy biến I 0  T  V  1    B22 B21 I  Khi đó, ma trận M (3.5.2) viết dạng sau  M1  I  1  I  M  1 M  T  1 T T     T 1 1 B B I  B B M  B B I 0    22 21  22 21  22 21  với phép chiếu tắc nhận đẳng thức  0  I  1  I  0  1 Q  T  1 T T     T 1 1 B B I B B I  B B I I    22 21  22 21  22 21   I  I  1  I  I  1 P  T  1 T  T  1  1   0 T    B22 B21 I   B22 B21M1   B22 B21 I  42 Bây ta xét ma trận không suy biến   B12  W U    B22  (3.5.3) Khi ma trận A B viết lại sau 1  1  1 1 B12 B22   0 I  I  1 A  W T =W       0 T , 1 1 B22      0    B22 B21 I  1  1 1 B12 B22   B11 B  W  1 B22    B21 B12  I  1 T = 1 B22    B22 B21 I  1  1  B11  B12 B22 B21   1  W T   I   Như vậy, ta nhận khai triển cặp ma trận  A, B dạng tắc Kronecker (3.1.2) với ma trận không suy biến T W dạng (3.5.2) (3.5.3) tương ứng 1 B1  1  B11  B12B22 B21   M1 Theo khai triển (3.3.8), việc tính tốn ma trận H qui tính tốn ma trận T11 , T22 nghiệm phương trình Lyapunov H1B1  B1*H1  T11 Điều suy từ (3.3.7) *  T11 T12  * 1  T FT  T W T TW 1T   T T   21 22  (3.5.4) 43 Đối với nghiệm phương trình (3.5.4) ta sử dụng qui trình nhanh chóng mơ tả chi tiết [7] Thứ nhất, chúng tính tốn ma trận L  eB  I  B1   C   e T11e B1* B1 2 B1  , 2! 2 3  D0  D1  D2  , 2! 3! đó, D0  T11, Dj  Dj1B1  B1*Dj1  chọn không đủ lớn, chẳng hạn   1/ B1 Khi đó, dễ dàng thử lại j  H1  C   L  CLj * j 1 nghiệm phương trình (3.5.4) 44 KẾT LUẬN Trên sở [10], [2] sau thời gian tìm tịi, nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo Hồng Nam, tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp theo kế hoạch đề Luận văn thu số kết sau Nghiên cứu ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường phương trình vi phân đại số có số với hệ số Chứng minh tiêu chuẩn điều kiện cần điều kiện đủ tính ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường phương trình vi phân đại số chuyển có số thông qua tham số   A, B  mơ tả đặc tính cặp ma trận  A, B có số Đề tài cịn nhiều hướng nghiên cứu mở tiếp tục nghiên cứu, nghiên cứu tiêu chuẩn ổn định tiệm cận phương trình vi phân đại số bậc cao, phương trình vi phân đại số với phi tuyến, phương trình vi phân đại số có nhiễu nhỏ,… với hệ số Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong thầy bạn góp ý để luận văn hoàn thiện 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Boyarincev Yu E Regulyaruyeis singulyarnye sistemy lineinyh uravnenii Novosibirsk Nauka, 1980 E Griepentrog and R Marz (1986), “Differential-algebraic equations and their numerical treatment”, Teubner Texte Math 88, Leipzig Hairer E., Wanner G Solving ordinary differential equations II Stiff and differential- algebraic prolems Spinger verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1991 Marz R (1997), Criteria for the trivial solutions of Differential algebraic equations with small nonlinearities to be asymtotically stable Preprint Nr 97 - 13, Humboldt – Univer Berlin, 1997 C Tischendorf (1994), “On the stability of solutions of autonomous index-1 tractable and quasilinear index-2 tractable DAEs”, Circuits Systems Signal Process 13, pp 139-154 Godunov S.K Obyknovennye differencialnye uravneniya is posyoyannymi koefficien-tami, Novosibirsk: Izd - vo Novosib, un - ta, T.1 Kraevye zadachi, 1994 Godunov S.K Sovremennye aspekty lineinoi algebry Novosibirsk, Nanchuaya kniga, 1997 Lamour R., Marz R., Winkler R., How Floquet-theory applies to diferential-algebraic equations Preprint Nr 96-15, Humboldt-Univer Berlin, 1996 Gantmacher F.R Matrizentheoric Springer Verlag, Berlin, Heideelberg, New York 1986 10 Tatyana Shtykel, On the criterion of asymptotical stability for index-1 tractable DAEs, Preprint Nr 98-6, Humboldt-Universitat zu Berlin, 1998