đề số 1 đề số 1 bµi 1 cho bióu thøc m a t×m ®iòu kiön cña x ®ó m cã nghüa vµ rót gän m b t×m x ®ó m 5 c t×m x z ®ó m z bµi 2 a t×m x y nguyªn d​¬ng tho m n ph​¬ng tr×nh 3x2 10 xy 8y2 96 bt×

Gäi N vµ P lÇn lît lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AM vµ cung MB... Tríc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc phô.[r]

Đề số 1 Bµi 1: Cho biÓu thøc M =

x x x

x x

x x

   

   



2 3

1

9

a. Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M

b. Tìm x để M =

c. Tìm x  Z để M  Z

bài 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoà mÃn phơng trình 3x2 +10 xy + 8y2 =96

b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ =

Bài 3: a Cho số x, y, z dư¬ng tho· m·n 1x + 1y + 1z = Chøng minh r»ng: x y z

 

2

+ x y z

 2

1

+ x y1 2z

b Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: B = 2 2 2006

x x

x   (víi x 0

 )

Bµi 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho xAy = 450

Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q

a Chng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn b SAEF = SAPQ

Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết D

P

C = CMD

Bài 5: (1đ)

Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n:

0 1

  

c b a

; H·y tÝnh P =

2

2 b

ac a bc c ac

 

Đề số 2

Bµi 1Cho biÓu thøc A = 2

2

2 3) 12

(

x x

x  

+ (x 2)2 8x2 



a Rót gän biĨu thøc A

b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên

Bài 2: (2 điểm) Cho đờng thẳng:

y = x-2 (d1)

y = 2x – (d2)

y = mx + (m+2) (d3)

a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) qua với giá trị

m

b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1)

a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt

c Tìm giá trị nhá nhÊt cña P = x2

1 + x22 (với x1, x2 nghiệm

phơng trình (1))

Bài 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE

a Chøng minh r»ng DE// BC

b Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp

c Gọi giao điểm dây AD BC lµ F Chøng minh hƯ thøc:

CE

= CQ1 + CE

1

Bµi 5: Cho số dơng a, b, c Chứng minh r»ng:

1 

     

a c

c c b

b b a

a

Đề số 3

Bài 1: (2đ)

Cho biểu thức:

P =

1 : 1

3

 

      

  

    



x x x x

x x

x x

a) Rót gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ P

Bài 2: (2đ) Một ngời đự định xe đạp từ A đến B cách 20 km thời gian định Sau đợc với vận tốc dự định, đờng khó nên ngời giảm vận tốc 2km/h qng đờng cịn lại, ngời đến B chậm dự định 15 phút Tính vận tốc dự nh ca ngi i xe p

Bài 3: (1,5đ) Cho hệ phơng trình:

  

 

m my

x y mx

1 2

3 2

a) Giải hệ phơng trình với m =

b) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x + y =

a) TÝnh sè ®o gãc NIP

b) Gọi giao điểm tia AN tia BP C; tia CI AB D Chứng minh tứ giác DOPN nội tiếp đợc

c) Tìm quỹ tích trung điểm J đoạn OC M di động nửa tròn tròn tâm O

Bài 5: (1,5đ) Cho hàm số y = -2x2 (P) đờng thẳng y = 3x + 2m –

5 (d)

a) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ hai điểm

b) Tìm quỹ tích chung điểm I AB m thay đổi

đáp án ĐỀ SỐ 1 Bài 1:M =

x x x x x x x          3

a.ĐK x0;x4;x9 0,5đ

Rút gän M =      

 2 3

2 3          x x x x x x x

Biến đổi ta có kết quả: M =

 2 3

2     x x x x M =   

  

1         x x M x x x x   16 4 16 16 15 5 5 M b                     x x x x x x x x x

c M =

3 4 3          x x x x x

Do M znªn x  3là ớc x nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2;

1;4;16;25;49



Bµi 2 a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

< > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96

< > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96

< > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

< > (x + 2y)(3x + 4y) = 96

Do x, y nguyªn dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng vµ 3x + 4y > x + 2y 3

mà 96 = 25 có ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu

diƠn thµnh tÝch thừa số không nhỏ là: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12

Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn

  

 

 

24 4 3

6 2

y x

y x

Hệ PT vô nghiệm

Hc

  

 

 

16 4 3

6 2

y x

y x

  

  

1 4 y x

Hc

  

 

 

12 4 3

8 2

y x

y x

HÖ PT vô nghiệm

Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ AA

Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/

/ / / 2008 2005

/     

 x x (1)

mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2)

Kết hợp (1 (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ 0 (3)

(3) s¶y vµ chØ

  

   

 

 

 

2007 2006 0/ 2007 /

0/ 2006 /

y x y

Bµi 3

a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ

b Víi mäi a, b thuéc R: x, y > ta cã   (*)

2

2

y x

b a y b x a

   

< >(a2y + b2x)(x + y) a b2xy  

 a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy

 a2y2 + b2x2  2abxy

 a2y2 – 2abxy + b2x2  0

 (ay - bx)2  (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y > 0

DÊu (=) x¶y ay = bx hay a b

x y áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có

2 2 2

1 1 1 1

1 2 2 4 4

2x y z 2x y z x y x z x y x z

         

  

         

         

    

       

2 2

1 1

1 1

4 4

16

x y x z x y z

       

         

       

        

 

T¬ng tù 1

2 16

x y z x y z

 

    

   

1 1

2 16

x y z x y z

 

    

   

Cộng vế bất đẳng thức ta có:

1 1 1 1 1 1

2 2 16 16 16

1 4 4 1 1

.4

16 16

x y z x y z x y z x y z x y z x y z

x y z x y z

     

              

           

   

         

   

V× 1

xyz 

 

2

2 2006 x x

B x

x

 

Ta cã:

x x x

B x

x x B

2006

2006 2006

2006 2006

2 2

2

 

  





   

2006 2005 2006

2005 2006

2005 2006

2 2

2

  

 

  

x x

x

x x

B

V× (x - 2006)2  víi mäi x

x2 > víi mäi x kh¸c

 

2

2006 2005 2005

0 2006

2006 2006 2006

x

B B khix

x



      

Bµi 4a

45

EBQ EAQ    EBAQ néi tiÕp; Bˆ = 900 gãc AQE = 900

à gãcEQF = 900

T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450

à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900à gãc APF = 900 à gãc EPF =

900 0,25đ

Các điểm Q, P,C nhìn dới 1góc900 nên điểm E, P, Q, F, C

cùng nằm đờng trịn đờng kính EF ………0,25đ b Ta có góc APQ + góc QPE = 1800 (2 góc kề bù)  góc APQ =

gãc AFE

Gãc AFE + gãc EPQ = 1800

àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)

à

2

2 1 2

2

APQ

APQ AEE

AEF

S

k S S

S



  

 

     

 

c gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = góc CPD (cùng chắn cung MD)

Lại cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC) gãc MCD = gãc MDC (do M thc trung trùc cđa DC)

à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC

à gãc CMD = 600

à tam giác DMA cân D (vì AD = DC = DM)

Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300

à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : = 750

à gãcMAB = 900 – 750 = 150

Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0)

à x = -(y + z)

à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = -

3yz =

Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = à x3 + y3 + z3 = 3xyz

à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

Do P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) =

abc.3/abc =

nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3

đáp án ĐỀ S 2

Bài 1: - Điều kiện : x 0

a Rót gän: 4

2

    

 x x

x x x A

 23 x

x x

- Víi x <0:

x x x

A 2

2   



- Víi 0<x2:

x x

A2 3

- Víi x>2 :

x x x

A 2

2

 



b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên <=> x2 + x

<=> 3x => x =  1;3;1;3 

Bµi 2:

a (d1) : y = mx + (m +2)

<=> m (x+1)+ (2-y) = Để hàm số qua điểm cố định với m

  

 

 

0 2

0 1

y x

=.>

  

  

2 1

y x

Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua

b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiệm hệ

  

 

 

4 2

2

x y

x y

=>

  

 

0 2

y x

VËy M (2; 0)

NÕu (d3) qua M(2,0) M(2,0) nghiệm (d3)

VËy m = -3

(d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: a '

= m2 –3m + = (m - 23 )2 + 47 >0 m

Vậy phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt b Theo ViÐt:

  

 

  

3 )1 (2

2

2

m x x

m x

x

=>

  

 

  

6 2 2

2 2

2

2

m x x

m x x

<=> x1+ x2 2x1x2 = không phụ thuộc vào m

a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3)

= (2m -

)2 +  m

4 15 15

VËyPmin =

4 15

víi m =

Bài 4: Vẽ hình – viết giả thiết – kết luận a SđCDE =

2

S® DC =

S® BD = BCD => DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) b APC =

2

s® (AC - DC) =  AQC

=> APQC néi tiÕp (v×  APC =  AQC

cùng nhìn đoan AC) c.Tứ giác APQC nội tiếp

CPQ =  CAQ (cïng ch¾n cung CQ) CAQ =  CDE (cïng ch¾n cung DC)

Suy  CPQ =  CDE => DE// PQ

Ta cã: PQDE = CQCE (v× DE//PQ) (1)

FC DE

= QCQE (v× DE// BC) (2)

Céng (1) vµ (2) :     1

CQ CQ CQ

QE CE FC DE PQ DE

=> PQ1 FC1 DE1 (3)

ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ

Thay vµo (3) : CQ1 CF1 CE1

Bµi 5:Ta cã:

c b a

a 

 < b a a

 < a b c c a

 



(1)

c b a

b 

 < b c b

 <a b c a b

 



(2)

c b a

c 

 < c a c

 < a b c b c

 



(3) Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :

< b a

a

 + b c b

 + c a c

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3

Bài 1: (2đ) a) (1,5đ)

- Thc đợc biểu thức ngoặc bằng:

) )(

1 (

) (

 

 

x x

x

0,75®

- Thực phép chia

4

 

x

0,25®

- Thực phép cộng bằng:

4

 

x x

0,25®

- Điều kiện đúng: x  0; x  0,25đ

b) (0,5®)

- ViÕt P =

4

 

x lập luận tìm đợc GTNN P = -1/4

khi x = 0,5đ Bài 2: (2đ)

1) Lp phng trình (1,25đ) - Gọi ẩn, đơn vị, đk

0,25đ - Thời gian dự định

0,25® - Thêi gian thùc tÕ

0,5®

- Lập luận viết đợc PT 0,25đ

2) Gải phơng trình 0,5đ

3) đối chiếu kết trả lời 0,25đ

Bài 3: (1,5đ) a) Thay m = giải hệ đúng: 1đ

b) (0,5®)

Tìm m để hệ có nghiệm 0,25đ

Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x + y = KL 0,25đ

a) Tính đợc số đo góc NIP = 1350

0,75® b) (1®)

Vẽ hình C/m đợc góc NDP = 900

0,5®

Chứng minh đợc tứ giác DOPN nội tiếp đợc 0,5đ

c) (1®) + C/m phÇn thuËn

Kẻ JE//AC, JF//BC C/m đợc góc EJF = 450

0,25®

Lập luận kết luận điểm J: 0,25đ

+ C/m phần đảo 0,25đ + Kết luận quỹ tích

0,25đ Bài 5: (1,5đ) a) (1đ)

Tỡm c iu kiện m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt: 0,5đ

Tìm đợc toạ độ điểm A, B 0,5đ

b) Tìm đợc quỹ tích trung điểm I:

     

   

   

4 11 8 2

4 3 2

m y y y

x x x

B A I

B A I

vµ kÕt

luËn 0,5® L