Tính ổn định ngẫu nhiên của hệ tuyến tính có trễ

1 MỤC LỤC Mở đầu Một số kiến thức lý thuyết ổn định Liapunov 1.1 Bài toán ổn định Liapunov 1.2 Ổn định hệ tuyến tính 1.3 Ổn định hệ phi tuyến 16 1.4 Các hệ tựa tuyến tính 17 Tính ổn định ngẫu nhiên hệ tuyến tính có trễ 2.1 Đặt tốn 21 21 2.2 Tính ổn định ngẫu nhiên hệ tuyến tính có bước nhảy Markov 23 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Tính ổn định ngẫu nhiên hệ tuyến tính trễ theo thời gian với tham số nhảy Markov đề tài lớn quan trọng lý thuyết hệ động lực nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Lớp hệ tuyến tính với tham số nhảy Markov (TSNM) lớp chuyển đổi hệ với hai thành phần véc tơ có hướng Thành phần thứ đề cập đến chủng loại (mode) thành phần thứ hai đề cập đến trạng thái Chủng loại mơ tả q trình Markov liên tục với không gian hữu hạn chiều, chiều mode biểu diễn hệ vi phân Lớp hệ nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu lĩnh vực ứng dụng lý thuyết Mục đích luận văn trình bày số kết tính ổn định lớp hệ tuyến tính có trễ theo thời gian thuộc lớp hệ trên.Ta thiết lập điều kiện đủ để kiểm tra tính ổn định ngẫu nhiên hệ tuyến tính với tham số nhảy Markov Một điều kiện tạo thuận lợi dễ dàng cho việc kiểm tra Luận văn gồm có hai chương Chương 1: Trình số kiến thức lý thuyết ổn định Liapunov Chương 2: Trình bày tính ổn định ngẫu nhiên hệ tuyến tính có trễ Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn trực tiếp PGS TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tận tâm thầy cô giáo dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Trần Xn Sinh, TS Nguyễn Trung Hịa, thầy giáo khoa Toán, khoa sau đại học bạn lớp cao học 16 toán thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên suốt thời gian học tập nghiên cứu để tác giả hồn thành khóa học luận văn Vinh, ngày tháng 12 năm 2010 Tác giả Bùi Thị Xuân Hương CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LIAPUNOV Chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định Liapunov Nội dung chương trình bày theo [2] Có thể xem thêm tài liệu [1], [3] 1.1 Bài toán ổn định Liapunov Xét hệ thống mô tả phương trình vi phân x˙ = f (t, x), t ≥ 0, (1.1) x(t0 ) = x0 , x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái hệ, f : R+ × Rn −→ Rn hàm véc tơ cho trước Giả thiết f (t, x) hàm thỏa mãn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ ln có nghiệm Khi dạng tích phân nghiệm cho công thức: t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 1.1.1 Định nghĩa tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ (1.1) gọi ổn định với số ε > 0, t0 ≥ tồn số δ > ( phụ thuộc vào ε, t0 ) cho nghiệm y(t), y(t0 ) = y0 hệ thỏa mãn ||y0 − x0 || < δ nghiệm bất đẳng thức: ||y(t) − x(t)|| < ε, t ≥ t0 Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định nghiệm khác hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu x(t) đủ gần suốt thời gian t ≥ t0 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định có số δ > cho với y0 − x0 < δ lim y(t) − x(t) = t→∞ Nghĩa là, nghiệm x(t) ổn định tiệm cận ổn định nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 tiến tới gần x(t) t tiến tới vô Nhận xét phép biến đổi (x − y) → z , (t − t0 ) → τ hệ phương trình (1.1) đưa dạng z˙ = (τ, z), (1.2) F (τ, 0) = 0, ổn định nghiệm x(t) hệ (1.1) đưa nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ (1.2) Để ngắn gọn từ ta nói hệ (1.2) ổn định thay vào nói nghiệm hệ ổn định Do từ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức f (t, 0) = 0, t ∈ R+ Ta nói: Hệ (1.1) ổn định với ε > 0, t0 ∈ R+ , tồn số δ > ( phụ thuộc vào ε, t0 ) cho nghiệm x(t) : x(t0 ) = x0 thỏa mãn x0 < δ x(t) < ε với t ≥ t0 Hệ (1.1) ổn định tiệm cận hệ ổn định có số δ > cho x0 < δ lim x(t) = t→∞ Nếu số δ > định nghĩa không phụ thuộc vào thời gian ban đầu t0 , tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) gọi ổn định (hay ổn định tiệm cận đều) Định nghĩa Hệ (1.1) ổn định mũ tồn số M > 0, δ > cho nghiệm hệ (1.1) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤ M e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 nghiệm hệ ổn định tiệm cận mà nghiệm tiến tới nhanh với tốc độ theo hàm số mũ Ví dụ 1.1 Xét phương trình vi phân sau R x˙ = ax, t ≥ Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho công thức x(t) = x0 eat , t ≥ Khi hệ ổn định (tiệm cận, mũ) a < Nếu a = hệ ổn định Hơn nữa, hệ ổn định (hoặc ổn định tiệm cận đều) số δ > chọn không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0 Ví dụ 1.2 Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = a(t)x, t ≥ a(t): R+ −→ R hàm liên tục, nghiệm x(t) hệ với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho t a(τ )dτ x(t) = x0 e t0 kiểm tra hệ ổn định t a(τ )d(τ ) ≤ µ(t0 ) < +∞, t0 ổn định số µ(t0 ) số không phụ thuộc vào t0 , ổn định tiệm cận t a(τ )dτ = −∞ lim t→∞ t0 Trên ta định nghĩa tính ổn định cho hệ với thời gian liên tục Các định nghĩa hồn tồn định nghĩa tương tự cho hệ với thời gian rời rạc: x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z + , (1.3) f (.): Z + × X −→ X hàm cho trước 1.1.2 Định nghĩa Hệ rời rạc (1.3) gọi ổn định với ε > 0, k0 ∈ Z + , tồn số δ > (phụ thuộc vào k0 , ε) cho nghiệm x(k) hệ với x(0) < δ x(k) < ε, ∀k ≥ k0 Hệ ổn định tiệm cận ổn định có số δ > cho lim x(k) = 0, k→∞ với nghiệm x(k) với x(0) < δ Trước vào nghiêm cứu tính ổn định hệ phi tuyến, xét tính ổn định hệ tuyến tính với thời gian liên tục rời rạc với khác biệt chúng 1.2 Ổn định hệ tuyến tính Xét hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ (1.4) A (n × n) - ma trận Nghiệm hệ (1.4) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t0 ) cho x(t) = x0 eA(t−t0 ) , t ≥ t0 Định lý cho tiêu chuẩn tính ổn định hệ (1.4), thường gọi tiêu chuẩn ổn định đại số Liapunov 1.2.1 Định lý Hệ (1.4) ổn định mũ phần thực tất trị riêng A âm, tức là, Re < 0, với ∈ (A) Chứng minh Từ lý thuyết ma trận theo công thức Sylvester áp dụng cho f ( ) = e , ta có: q At e t (Zk1 + Zk2 + + Zkαk tαk −1 )e k , = k=1 đó: k giá trị riêng A , αk số mũ bội k phương trình đa thức đặc trưng A Zki ma trận số Do ta có đánh giá sau: q αk At ||e || ≤ ti−1 eRe kt ||Zki || ti−1 eRe kt ||Zki || k=1 i=1 q αk = k=1 i=1 Vì Re k < nên ||x(t)|| −→ t −→ +∞ Ngược lại hệ ổn định mũ, nghiệm x(t), x(t0 ) = x0 hệ (1.4) thỏa mãn điều kiện ||x(t)|| ≤ µ||x0 ||e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 , (1.5) với µ > 0, δ > Bây giả sử phản chứng có cho Re ≥ Khi với véc tơ riêng x0 ứng với Ax0 = 0 ∈ (A) ta có x0 nghiệm hệ với x0 (t) = x0 x0 (0) = x0 e ||x0 (t)|| = ||x0 ||eRe 0t 0t , lúc ta có Vậy nghiệm x0 (t) tiến tới +∞ t −→ +∞, vô lý với điều kiện (1.5) Định lý chứng minh Như để xét hệ tuyến tính dừng có ổn định hay khơng ta cần tìm nghiệm phương trình đa thức đặc trưng hay giá trị riêng ma trận A hệ Đơi việc tìm giá trị riên A ma trận A có số chiều lớn khó (khi đa thức đặc trưng có bậc cao) nên việc tìm nghiệm đa thức đặc trưng gặp khó khăn Dưới giới thiệu phương pháp khác Routh - Hurwitz để xác định tính ổn định hệ nhiều trường hợp thuận tiện 1.2.2 Định lí Giả sử đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân (1.4) cho f (z) = z n + a1 z n−1 + + an , định thức tất ma trận Dk , k= 1,2 , , n dương phần thực tất nghiệm f (z) âm, tức hệ cho ổn định tiệm cận, detD1 = a1 , detD2 = a1 a3 a2 10 a1 detDk = det 0 a3 a2 a1 a5 a2k−1 a4 a2k−2 a3 a2k−3 ak k = 2, 3, , n, ar = 0, r > n Tính ổn định hệ tuyến tính dừng (1.4) có quan hệ tương đương với tồn nghiệm phương trình ma trận, thường gọi phương trình Liapunov dạng A X + XA = −Y (LE) Trong X, Y ma trận (n × n) chiều gọi cặp nghiệm (LE) Xét hệ (1.4) ta nói ma trận A ổn định phần thực tất giá trị riêng A âm Theo định lý 1.2.1, điều tương đương hệ (1.4) ổn định tiệm cận 1.2.3 Định lý Ma trận A ổn định với ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm ma trận đối xứng, xác định dương X Chứng minh Giả sử (LE) có nghiệm ma trận X > với Y > Với x(t) nghiệm tùy ý (1.4) với x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , ta xét hàm số V (x(t)) =< Xx(t), x(t) >, ∀t ≥ t0 19 Nhận xét: Ta thay điều kiện g(x)= 0( x ) điều kiện tăng trưởng sau: tồn số L > cho g(x) ≤ L x , ∀x ∈ X Khi khẳng định định lý 1.4.1 với L > thỏa mãn điều δ kiện L < K Định lý sau cho điều kiện đủ để hệ (1.9) ổn định hàm f (t, x) phân tích thành tổng hai hàm số phụ thuộc thời gian 1.4.2 Định lý Xét hệ phi tuyến x˙ = A(t)x(t) + g(t, x(t)), t ≥ (1.10) Giả sử i, ∃K > 0, δ > : φ(t, s) ≤ Ke−δ(t−s) , ∀t ≥ s ≥ ii, g(t, x) ≤ L(t) x , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ Rn δ iii, sup |L(t)| ≤ M < K t∈R+ hệ ổn định tiệm cận Chứng minh Bằng lập luận tương tự chứng minh định lý 1.4.1 ta đến đánh giá t x(t) ≤ Ke−δ(t−t0 ) x0 + Ke−δ(t−s) L(s) x(s) ds t0 Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta t x(t) ≤ K x0 e−δt et0 KL(s)ds Theo điều kiện iii, ta có x(t) ≤ K x0 e(KM −δ)t 20 δ , nên x(t) −→ t −→ +∞ K Hệ (1.10) ổn định tiệm cận Định lý chứng minh M < 21 CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN CỦA HỆ TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ 2.1 Đặt toán Trong chương xét lớp hệ tuyến tính theo thời gian có trễ với tham số nhảy Markov hệ động lực mô tả hệ thức vi phân sau đây: N Aq (r(t))x(t − τq ), x(t) ˙ = A0 (r(t))x(t) + (2.1) q=1 x(t) = ψ(t), t ∈ [t0 − τm , t0 ], (2.2) t0 thời gian ban đầu (để đơn giản sau ta lấy t0 = 0) τ1 , τ2 , , τN trễ liên tiếp τm = maxq=1, ,N {τq }, x(t) ∈ Rn trạng thái véc tơ thời điểm t,ψ(t) ∈ C([−τm , 0] −→ Rn ) hàm giá trị véc tơ ban đầu, (C([−τm , 0] −→ Rn ) ánh xạ liên tục véc tơ ban đầu lấy giá trị từ [−τm , 0] Rn ) A0 (r(t)) ∈ Rn×n , Aq (r(t)) ∈ Rn×n , q = 1, , N ma trận thực Những ma trận hàm tham số ngẫu nhiên r(t) Tham số r(t) đẳng thức (2.1) biểu thị trình Markov thời gian liên tục theo trạng thái lấy giá trị tập hữu hạn S = {1, 2, , s} với ma trận chuyển dịch π = [πij ]ij=1,s Khả chuyển tiếp từ mode i đến mode j xác định bởi: P {r(t + ∆) = j|r(t) = i} = πij ∆ + 0(∆) i=j + πii ∆ + 0(∆) i = j (2.3) 22 0(∆) ∆−→0 ∆ ∆ > lim Trong hệ thức trên, (πij ≥ 0) tốc độ chuyển đổi từ trạng thái i sang trạng thái j (i = j) s πij = −πii = πi j=1,i=j với i = 1, ,s Chú ý Hệ thống mô tả hệ thức (2.1) - (2.3) hệ chuyển đổi với véc tơ trạng thái (r(t), x(t)) Với mode i, hệ thống mô tả hệ thức (2.1) - (2.3) tuyến tính theo x(t), x(t − τ1 ), , x(t − τq ) Để đơn giản nghiên cứu lớp hệ thống xem xét, ta đề cập đến hệ thống có trễ thường xun khơng phụ thuộc vào quy trình ngẫu nhiên phụ thuộc vào cấu trúc hệ thống Lấy giá trị ban đầu {ψ(t)}−τm ≤t≤0 {ρ(t) = r(t)}−τm ≤t≤0 hàm ngẫu nhiên độc lập cố định Hơn ta đề cập hệ thống có số nhiễu giống trạng thái q trình Markov khơng hồi quy Câu hỏi mà đề cập đến chương làm cách để kiểm tra tính ổn định lớp tốn (hệ thống) Phần cịn lại chương, ta thiết lập điều kiện cần đủ cho tính ổn định ngẫu nhiên đưa vài ví dụ minh họa cho kết đạt Khi trạng thái toán i, tức r(t) = i, ta dùng ý Aqi để biểu diễn ma trận Aq (r(t)) với q = 0, 1, , N x = (x21 + + x2n )1/2 (trong xi , i = 1, , n ký hiệu phần tử thứ i x(t)) biểu diễn chuẩn Euclid véc tơ x Chuẩn Euclid ma trận M cho M = [λmax (M M )]1/2 23 M ma trận chuyển vị M λmin (M ), λmax (M ) M > nghĩa ma trận xác định dương M 1/2 ma trận vuông 2.2 Tính ổn định ngẫu nhiên hệ tuyến tính có bước nhảy Markov Khái niệm ổn định ngẫu nhiên cho hệ tuyến tính phi tuyến tính nhiều tác giả sử dụng 2.2.1 Định nghĩa tính ổn định ngẫu nhiên hệ Gọi E{.} kỳ vọng, x0 = x(0) trạng thái ban đầu hệ x(t, ψ, ρ) nghiệm thích hợp hệ (2.1) - (2.3) thời điểm t điều kiện ban đầu ψ ρ Hệ (2.1) - (2.3) ổn định ngẫu nhiên tất ψ(t) ∈ C([−τm , 0] −→ Rn ) hữu hạn ρ([−τm , 0] −→ S), tồn số C˜ cho x (t, ψ, r0 )x(t, ψ, ρ)dt|ψr0 ≤ C˜ x0 , lim E −→∞ (2.4) thỏa mãn Tính chất sau thiết lập quan hệ trạng thái hệ thời điểm t t + η, η ∈ [−τm , 0] 2.2.2 Định lý Kolmanovski Với η ∈ [−τm , 0] tồn vô hướng h > cho x(t + η) ≤ h x(t) , (2.5) x(t) trạng thái hệ thời điểm t Bây ta thiết lập điều kiện đủ cho trễ độc lập tính ổn định ngẫu nhiên 2.2.3 Định lý điều kiện đủ để hệ ổn định ngẫu nhiên Hệ (2.1) - (2.3) ổn định ngẫu nhiên với ma trận đối xứng 24 xác định dương Qi cho trước, ∀i ∈ S ma trận đối xứng số xác định dương Q, tập nghiệm Pi , ∀i ∈ S , hệ N A0i Pi + Pi A0i + Pi s Aqi Q −1 πij Pj + N Q = −Qi , Aqi Pi + q=1 (2.6) j=1 đối xứng xác định dương Chứng minh Giả sử trạng thái thời điểm t i, tức là, r(t) = i ∈ S , đẳng thức (2.1) trở thành: N Aqi x(t − τq ), x(t) ˙ = A0i x(t) + (2.7) q=1 ta chọn hàm Liapunov ngẫu nhiên ổn định sau V (.) : Rn × S −→ R+ : V (x(t), r(t) = i) = V (x, i) N t x (η)Qx(η)dη, = x (t)Pi x(t) + (2.8) q=1t−τ q Tốn tử A˜ q trình ngẫu nhiên {(x(t), r(t)), t ≥ 0} cho bởi: ˜ (x(t), r(t)) = AV [E {V (x(t + ∆), r(t + ∆))|x(t), r(t) = i} − V (x(t), r(t) = i)] lim ∆−→0 ∆ s = x (t) A0i Pi + Pi A0i + πij Pj + N Q x(t) j=1 N N x (t)Pi Aqi x(t − τq ) − +2 q=1 x (t − τq )Qx(t − τq ) (2.9) q=1 25 Chứng minh công thức (2.9) cho trường hợp chưa có chuyển đổi Markov s ˜ (x(t), r(t)) = x (t) A Pi + Pi A0i + AV 0i πij Pj + N Q x(t) j=1 N N x (t)Pi Aqi x(t − τq ) − +2 q=1 x (t − τq )Qx(t − τq ) (2.9) q=1 x(t) thỏa mãn hệ vi phân (2.7) N Aqi x(t − τq ) x(t) ˙ = A0i x(t) + (2.7) q=1 Để đơn giản cách viết ta xét trường hợp N = r(t) đại lượng biến đổi đại lượng ngẫu nhiên Markov Trong trường hợp (2.7) có dạng đơn giản x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − τ ) hàm Liapunov (2.8) có dạng t V (x(t)) = x P x + x (η)Qx(η)dη t−τ Lấy đạo hàm V theo t ta có: V˙ (x(t)) = x˙ P x + x P x˙ + x (t)Qx(t) − x (t − τ )Qx(t − τ ) thay x˙ ( *) ta có V˙ (x(t)) = (A0 x(t) + A1 x(t − τ )) P x + x P (A0 x(t) + A1 x(t − τ )) + x (t)Qx(t) − x (t − τ )Qx(t − τ ) = x A0 P x + x (t − τ )A1 P x + x P A0 x + x P A1 x(t − τ ) + x Qx − x (t − τ )Qx(t − τ ) = x (A0 P + P A0 + Q)x + x P A1 x(t − τ ) + x (t − τ )A1 P x (*) 26 − x (t − τ )Qx(t − τ ) = x (A0 P + P A0 + Q)x + 2x P A1 x(t − τ ) − x (t − τ )Qx(t − τ ) Dựa vào công thức (2.6) ta được: N Aqi Q−1 Aqi Pi x(t) ˜ (x, i) = −x (t)Qi x(t) − x (t)Pi AV q=1 N N x (t)Pi Aqi x(t − τq ) − +2 q=1 x (t − τq )Qx(t − τq ) q=1 N ((Q1/2 x(t − τq ) − Q1/2 Aqi Pi x(t)) ((Q1/2 x(t − τq ) =− q=1 − Q−1/2 Aqi Pi x(t)) − x (t)Qi x(t) Chú ý (Q1/2 x(t − τq ) − Q−1/2 Aqi Pi x(t)) (Q1/2 x(t − τq ) − Q−1/2 Aqi Pi x(t)) số dương ta có: ˜ (x, i) ≤ −x (t)Qi x(t) AV (2.10) Mặt khác, với x = với trạng thái i, ta có: V (x, i) ≥ x Pi x > (2.11) Vì , ˜ (x, i) x Qi x AV ≤− V (x, i) x Pi x với x = Do Qi > Pi > 0, ta có: ˜ (x, i) AV λmin(Qi ) ≤ −β := − V (x, i) λmax(Pi ) i∈S (2.12) Sử dụng công thức Dynkins, định lý Fubini mệnh đề Gronwall - Bellman, ta thấy i ∈ S : E {V (x(t), r(t) = i)|x0 , r0 = i} ≤ e−βt V (xo , i), (*) 27 E {V (x, i)|x0 , r0 = i}   N  = E x (t)Pi x(t) +   q=1 t x (η)Qx(η)dη|x0 , r0 = i   t−τq = E x (t)Pi x(t)|x0 , r0 = i + E    t N   q=1 ≤ e−βt V (x0 , i)    x (η)Qx(η)dη x0 , r0 = i      t−τq (do (*)) N t Chú ý E số dương nên x (η)Qx(η)dη x0 , r0 = i q=1 t−τq E x (t)Pi x(t) x0 , r0 = i ≤ e−βt V (x0 , i) (2.13) Đặt: λm : = {λmin (Pi )} i∈S λM := max {λmax (Pi )} , i∈S sử dụng định lý Fubini lần ta có:  T    E x (t, ψ, ρ)Pi x(t, ψ, ρ)dt | x0 , r0 = i ≤ (   λE    T x (t, ψ, ρ)x(t, ψ, ρ)dt | ψ, r0 = i    ≤− T e−βt dt)V (x0 , i) −βT e − V (x0 , i) β N τq sử dụng tính chất A cho T −→ ∞ , ta được: Đặt τ = q=1 lim E T −→∞    T x (t, ψ, ρ)x(t, ψ, ρ)dt|x0 , r0 = i    28 ≤ λm β x0 (Pi + h2 τ λmax (Q)I)x0 ≤ C˜ x0 C˜ := λm β [λmax (Pi ) + h2 τ λmax (Q)] Định lý 2.2.3 chứng minh Chú ý Nếu hệ có trạng thái đơn, điều kiện (2.6) giảm điều kiện xác định tính ổn định hệ tuyến tính có trễ thời gian Khi trễ thời gian khơng, ta có kết thiết lập ji Chizeck [6] Đẳng thức (2.6) viết lại sau: N N A0i + Aqi Pi + Pi A0i + q=1 s qij pj = −Qi Aqi + q=1 (2.14) j=1 Chú ý kết đề xuất không phụ thuộc vào trễ hệ Chú ý điều kiện định lý 2.2.3 cho đẳng thức (2.6) giống điều kiện sau:     A0i Pi + Pi A0i + N    Qi − Pi q=1 s πij Pj = −N Q − Qi j=1 (2.15) Aqi Q−1 Aqi Pi > Đẳng thức hệ (2.15) đưa điều kiện ổn định ngẫu nhiên hệ tuyến tính với tham số nhảy Markov cho (2.1) - (2.3) Aqi = với q = 1, , N i = 1, , s Hệ sau cung cấp điều kiện cần cho ổn định ngẫu nhiên mà việc kiểm tra dễ dàng 2.2.4 Hệ Nếu hệ cho đẳng thức (2.1) - (2.3) ổn định ý 29 nghĩa ngẫu nhiên, với trạng thái i ∈ S , ma trận (A0i + N Aqi − 1/2πi I) (A0i − 1/2πi I) có tất giá trị riêng qi nửa mặt phẳng bên trái Chứng minh Giả sử hệ cho đẳng thức (2.1) - (2.3) ổn định ngẫu nhiên tức là, với ma trận Qi , ∀i ∈ S Q, tồn ma trận Pi thỏa mãn điều kiện (2.6) (tương ứng (2.15)), đó, hệ: x(t) ˙ = Ai x(t), t ≥ t0 ,   N Aqi  x(t), t ≥ t0 x(t) ˙ = Ai + q=1 ổn định ngẫu nhiên Sử dụng hệ (1) thiết lập Ji Chizeck N [6], ta kết luận rằng, với i ∈ S ma trận: Ai + Aqi − 1/2πi I q=1 Ai − 1/2πi I ổn định N Aqi −1/2πi I Ai −1/2πi I Chú ý ổn định ma trận Ai + q=1 với trạng thái i ∈ S khơng đủ kết luận cho tính ổn định ngẫu nhiên (2.1) - (2.3) Hệ sau đưa điều kiện đủ trễ độc lập cho tính ổn định ngẫu nhiên toán LTDSMJP 2.2.5 Hệ Lấy Qi ∈ Rn×n ma trận đối xứng xác định dương cho hệ đẳng thức đôi s πij Pj = −N Q − Qi A0i Pi + Pi A0i + (2.16) j=1 Có tập nghiệm ma trận đối xứng xác định dương pi 30 Khi hệ (2.1) - (2.3) ổn định ngẫu nhiên điều kiện sau: N Aqi < Vi := q=1 λmin (Qi )λmin (Q) , ∀i ∈ S (λmax (pi ))2 (2.17) thỏa mãn Chứng minh Lấy hàm Liapunov ngẫu nhiên cho đẳng thức (2.8) Pi ma trận nghiệm đối xứng xác định dương hệ (2.15) Xét hoạt động nhỏ A˜ qui trình ngẫu nhiên {(x(t), r(t)), t ≥ 0}:   s ˜ (x(t), r(t) = i) = x (t) A Pi + Pi A0i + AV 0i πij Pj + N Q x(t) j=i N Aqi x(t − τq ) − N x (t − τ )Qx(t − τq ) + 2x (t)Pi q=1 Dựa vào đẳng thức (2.15) ta có N ˜ (x, i) = −x (t) Qi − Pi AV N Aqi Q −1 q=1 N q=1 N Aqi x(t − τq ) − + 2x (t)Pi q=1 Aqi Q−1 Aqi Pi x(t) Aqi Pi x(t) − x (t)Pi x (t − τq )Qx(t − τq ) q=1 N (Q1/2 x(t − τq ) − Q−1/2 A1i Pi x(t)) (Q1/2 x(t − τq ) =− q=1 N −1/2 −Q Aqi Q−1 Aqi Pi x(t) A1i Pi x(t)) − x (t) Qi − Pi q=1  ≤ − λmin (Qi ) − ≤ −βi x(t) (λmax (Pi ))2 λmin (Q) N  Aqi  x(t) q=1 31 βi := λmin (Qi ) − (λmax (Pi ))2 λmin (Q) N Aqi > q=1 Phần cuối chứng minh giống phần cuối chứng minh định lý 2.2.3 32 KẾT LUẬN Kết đạt được: Luận văn thu kết sau đây: Trình bày có hệ thống số kiến thức lý thuyết ổn định Liapunov hệ vi phân với nội dung: - Nêu lên định nghĩa tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ, theo nghĩa Liapunov - Phát biểu điều kiện tính ổn định, tính giới nội, tính ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính, tuyến tính dừng - Trình bày phương pháp hàm Liapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân Đã nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên hệ vi phân tuyến tính có trễ với nội dung: - Phát biểu cách đặt toán liên quan đến hệ động lực mơ tả hệ vi phân có dạng (2.1) r(t) biểu thị q trình Markov với thời gian liên tục - Nêu lên định nghĩa tính ổn định ngẫu nhiên hệ - Thiết lập định lý điều kiện đủ để hệ ổn định ngẫu nhiên số hệ kéo theo Các định lý hệ chứng minh chi tiết 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu - Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định - NXB Giáo dục - Hà Nội - 2003 Vũ Ngọc Phát - Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học NXBĐHQG Hà Nội - 2001 B.P.Demidovich - Bài giảng lý thuyết ổn định toán học - NXB Khoa học Moscow - 1967 ( Tiếng Nga ) Tạ Duy Phượng - Lý thuyết ổn định phương trình vi phân - Viện Tốn hoc - 2008 K.Benjelloun, E.K.Boukas - System with Markovian Jumping Parameters - Math.problems in Engineering V.3 - 1997 P.187 - 201 E.K.Boukas - Control of Systems with Controlled Jump Markov DisturStochastic Stability of Linear Time - Delay bamces - Control - Theory and Adv - Tech 9(2) - 1993 Y.Ji and H.J.Chizeck - Controllability, Stabilizability and Continuous - time Markovian Jump Linear Quadratic Control - IEEE - Trans Automat - Control 35(7) - 1990 ... trận xác định dương M 1/2 ma trận vng 2.2 Tính ổn định ngẫu nhiên hệ tuyến tính có bước nhảy Markov Khái niệm ổn định ngẫu nhiên cho hệ tuyến tính phi tuyến tính nhiều tác giả sử dụng 2.2.1 Định. .. Trước vào nghiêm cứu tính ổn định hệ phi tuyến, xét tính ổn định hệ tuyến tính với thời gian liên tục rời rạc với khác biệt chúng 1.2 Ổn định hệ tuyến tính Xét hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t), t... lập điều kiện đủ cho trễ độc lập tính ổn định ngẫu nhiên 2.2.3 Định lý điều kiện đủ để hệ ổn định ngẫu nhiên Hệ (2.1) - (2.3) ổn định ngẫu nhiên với ma trận đối xứng 24 xác định dương Qi cho trước,