Về tính ổn định ngẫu nhiên của hệ phương trình vi phân

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức chuẩn bị tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.1 Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.2 Sự ổn định hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 17 Về tính ổn định ngẫu nhiên hệ phương trình vi phân 25 2.1 Tính ổn định phương trình vi phân tất định 25 2.2 Vi phân ngẫu nhiên công thức Itô 26 2.3 Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 27 2.4 Tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên 29 2.5 Tính ổn định ngẫu nhiên hệ phi tuyến 34 2.6 Hệ tuyến tính nhận xét 44 Kết luận Tài liệu tham khảo 46 48 LỜI NÓI ĐẦU ổn định lý thuyết quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân có nhiều ứng dụng để giải nhiều toán thuộc lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, học, kinh tế Việc nghiên cứu toán ổn định hệ động lực cuối kỷ trước nhà toán học Nga A.M.Liapunov ngày trở thành hướng nghiên cứu thiếu lý thuyết phương trình vi phân tất định ngẫu nhiên Mục đích luận văn nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên hệ phương trình vi phân: Thiết lập lý thuyết chung ổn định ngẫu nhiên cho hệ thống phi tuyến tất định ngẫu nhiên Với mục đích luận văn chia thành hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị tính ổn định hệ phương trình vi phân Trong chương này, tơi xin giới thiệu số định nghĩa tính ổn định nghiệm phương trình vi phân tất định phương trình vi phân ngẫu nhiên Chương 2: Về tính ổn định ngẫu nhiên hệ phương trình vi phân Đây nội dung luận văn, chương chứng minh rằng: Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên m dx(t) = f (x, t)dt + g(x, t)dW (t) + Bk x(t)dwk (t); k=1 t ≥ 0; (1) Phương trình xem hệ bị nhiễu ngẫu nhiên hệ ngẫu nhiên: dx(t) = f (x, t)dt + g(x, t)dW (t) Chúng ta f (x, t), g(x, t) thõa mãn : |f (x, t)| ≤ K1 |x| Vết g(x, t)g(x, t)T ≤ K2 |x|2 với t ∈ Rd , t ≥ 0, K1 > 0, K2 > Thì phương trình vi phân ngẫu nhiên (1) ổn định Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS.TS.Phan Đức Thành Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học học sống Nhân dịp xin chân thành cảm ơn tới PGS.TS.Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS.Trần Xuân Sinh, TS.Nguyễn Trung Hịa, thầy giáo khoa Toán, khoa Sau đại học bạn lớp Cao học 17 Toán thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp q báu thấy giáo bạn để luận văn ngày hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chương trình bày số kiến thức tính ổn định theo Liapunop hệ phương trình vi phân Nội dung chương dựa tài liệu Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu 1.1 Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định Xét hệ vi phân thường viết dạng ma trận vectơ dX = F (t, X) dt (1.1) Định nghĩa 1: Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) hệ (1.1) gọi ổn định theo Liapunov t → +∞ (hay nói gọn ổn định) với > t0 ∈ (a, ∞), tồn δ = δ( , t0 ) > cho X(t0 ) − Z(t0 ) < δ X(t) − Z(t) < với t ≥ t0 , với nghiệm X(t) hệ (1.1) *Trường hợp đặc biệt, F (t, 0) ≡ nghiệm tầm thường (còn gọi trạng thái cân bằng) Z(t) ≡ (a < t < ∞) ổn định với t0 ∈ (a, ∞), tồn δ = δ( , t0 ) > cho X(t0 ) < δ X(t) < > với t ≥ t0 , với nghiệm X(t) hệ (1.1) Định nghĩa 2: Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận t → +∞ Nghiệm Z = Z(t) ổn định theo Liapunốp Với t0 ∈ (a, ∞), tồn X(t0 ) − Z(t0 ) < = (t0 ) > cho lim X(t) − Z(t) = t→∞ với t ≥ t0 , với nghiệm X(t) hệ (1.1) Định nghĩa 3: Nếu định nghĩa 1, δ = δ( ) > phụ thuộc vào ( không phụ thuộc vào t0 ) ổn định gọi ổn định Định nghĩa 4: Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) hệ (1.1) gọi không ổn định theo Liapunov t → +∞ (hay nói gọn khơng ổn định) với > t0 ∈ (a, ∞) , với δ > 0, tồn nghiệm Xδ (t) (ít một) thời điểm t1 = t1 (δ) > t0 cho Xδ (t0 ) − Z(t0 ) < δ Xδ (t1 ) − Z(t1 ) ≥ *Tương tự, nghiệm Z = Z(t) ( với a < t < ∞) không ổn định với > t0 ∈ (a, ∞) với δ > 0, tồn nghiệm Xδ (t) (ít một) thời điểm t1 = t1 (δ) > t0 cho Xδ (t0 ) < δ Xδ (t1 ) ≥ Định nghĩa 5: Nếu nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞)) ổn định tiệm cận t → ∞ tất các nghiệm X = X(t), (t0 ≤ t < ∞, t0 > a) có tính chất lim X(t) − Z(t) = 0, t→∞ Z = Z(t) gọi ổn định toàn cục tức =∞ 1.1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.1.2.1 Các khái niệm Xét hệ vi phân tuyến tính dX = A(t)X + F (t) dt (1.2) ma trận A(t) vectơ F(t) liên tục (a, ∞) Giả sử X(t) = [xij (t)] (detX(t) = 0) ma trận nghiệm hệ vi phân tuyến tính tương ứng dX = A(t)X dt (1.3) Định nghĩa 1: Hệ vi phân tuyến tính (1.2) gọi ổn định (hoặc không ổn định) tất nghiệm X = X(t) tương ứng ổn định (hoặc khơng ổn định) theo Liapunốp t → +∞ Định nghĩa 2: Hệ vi phân tuyến tính (1.2) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm X = X(t) ổn định tiệm cận t → +∞ Định nghĩa 3: Hệ vi phân tuyến tính (1.2) gọi ổn định tất nghiệm X = X(t) ổn định t → +∞ thời điểm ban đầu t0 ∈ (a, ∞) 1.1.2.2- Các định lý tổng quát ổn định hệ vi phân tuyến tính Định lý 1: Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.2) ổn định với số hạng tự F(t) nghiệm tầm thường X ≡ 0, (t0 < t < ∞, t0 ∈ (a, ∞)) hệ tương ứng (1.3) ổn định Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ vi phân tuyến tính khơng (1.2) ổn định Z = Z(t) nghiệm hệ (1.2) Khi với > 0, tồn δ( , t0 ) cho: Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ Y (t) − Z(t) < với t ≥ t0 , với nghiệm Y(t) hệ (1.2) Do X(t) = Y (t) − Z(t) nghiệm phương trình (1.3) Từ dX = A(t)X dt Từ Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ suy X(t0 ) < δ X(t) < với t ≥ t0 , với nghiệm Y(t) hệ (1.2) Từ suy nghiệm tầm thường X ≡ hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (1.3) ổn định theo Liapunôp t → ∞ Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thường X ≡ hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.3) ổn định theo Liapunốp t → +∞ Khi đó, X = X(t), (t0 < t < ∞) nghiệm hệ vi phân tuyến tính (1.3) cho X(t0 ) < δ( , t0 ) X(t) < t0 ≤ ∞ Như vậy, Z(t) nghiệm hệ vi phân tuyến tính không (1.2) Y(t) nghiệm hệ ta có : Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ ta suy Y (t) − Z(t) < t0 ≤ ∞ Điều có nghĩa nghiệm Z(t) ổn định t → +∞ Định lý 2: Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định nghiệm tầm thường X ≡ hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.3) ổn định t → +∞ Định lý 3: Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường X ≡ hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.3) ổn định tiệm cận t → +∞ 1.1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.1.3.1-Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính tổng quát Xét hệ vi phân tuyến tính nhất: dY = A(t)Y dt (1.4) A(t) liên tục khoảng (a, ∞) Định lý 1: Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định theo Liapunốp nghiệm Y = Y (t), (t0 ≤ t < ∞) hệ bị chặn Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm (1.4) giới nội [t0 , ∞) ⊂ (a, ∞) Xét ma trận nghiệm chuẩn hóa X(t) = [xjk (t)] X(t0 ) = E Vì ma trận X(t) bao gồm hàm giới nội xjk (t) nên giới nội, tức X(t) ≤ M, t0 ≤ ∞, M số dương, nói chung phụ thuộc vào t0 Mỗi nghiệm Y = Y (t) hệ (1.4) biểu diễn dạng tích: Y (t) = X(t).Y (t0 ) Từ ta có Y (t) ≤ X(t) Y (t0 ) ≤ M Y (t0 ) < Khi Y (t0 ) < M = δ Như với > 0, tồn δ = Y (t0 ) < δ M cho: Y (t) < ; với t ≥ t0 Nên nghiệm tầm thường Y ≡ ổn định, nghiệm hệ (1.4) ổn định theo Liapunốp t → +∞.( theo định lý mục 1.1.2.2 ) Như hệ (1.4) ổn định Điều kiện cần: Ta chứng minh phản chứng, giả sử hệ vi phân tuyến tính (1.4) có nghiệm khơng giới nội [t0 , ∞) Z(t) (Z(t0 ) = 0) > 0, δ > xét nghiệm Cố định số dương Y (t) = Rõ ràng Y (t0 ) = δ Z(t) δ Z(t0 ) < δ tính khơng nội Z(t) thời điểm t1 > t0 ta có: Y (t1 ) = Z(t1 ) δ > Z(t0 ) Do nghiệm tầm thường Y ≡ hệ (1.4) không ổn định theo liapunốp t → +∞ nên theo định lý mục 1.1.2.2 hệ (1.4) không ổn định ( mâu thuẫn hệ vi phân tuyến tính nhất(1.4) ổn định theo liapunốp) Hệ vi phân tuyến tính nhất(1.4) ổn định theo liapunốp nghiệm Y = Y (t), (t0 ≤ t < ∞) hệ bị chặn Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y= Y(t) dần tới khơng t → +∞ , tức lim Y (t) = t→∞ Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận t → +∞ Khi tất nghiệm nó, kể nghiệm tầm thường Y ≡ ổn định tiệm cận t → +∞ 10 Do nghiệm Z(t) hệ (1.4) ta có lim Z(t) = t→∞ Z(t0 ) < t0 ∈ (a, ∞) tùy ý Xét nghiệm Y(t) tùy ý, xác định với điều kiện ban đầu Y (t0 ) = Y0 = Với nghiệm (1.4) viết: Y (t) = Y (t) Y (t0 ) Y (t0 ) Hay Y (t) = Z(t) Y (t0 ) Z(t) = Y (t) Y (t0 ) Theo định nghĩa ổn định tiệm cận Z(t0 ) = Y (t0 ) = < Y (t0 ) 2 nên lim Z(t) = suy t→∞ lim Y (t) = t→∞ Điều kiện đủ: Giả sử tất nghiệm Y=Y(t) hệ (1.4) dần tới không t → +∞ Khi với nghiệm Y(t) (t0 ≤ t < ∞) ta có: Y (t) < (T ≤ t < ∞) Vì nửa đoạn hữu hạn [t0 , T ] hàm vectơ liên tục Y(t) bị chặn, nên nghiệm Y(t) nội [t0 , ∞] theo định lý mục 1.1.3.1 hệ (1.4) ổn định, nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận Từ định lý mục 1.1.2.2, ta suy hệ (1.4) ổn định tiệm cận 34 Khi tính ổn định mũ p-moment nghiệm tầm thường (2.4.3) kéo theo tính ổn định mũ h.c.c Định lý 4.5: (Điều kiện đủ cho tính ổn định mũ p-moment thơng qua hàm Liapunôp) Giả sử tồn hàm V (x, t) ∈ C 2,1 (Rd × [t0 , ∞), R+ ) số dương c1 , c2 , c3 cho c1 |x|p ≤ V (x, t) ≤ c2 |x|p LV (x, t) ≤ −c3 V (x, t); với (x, t) ∈ Rd × [t0 , ∞) Khi E|x(t, t0 , x0 )|p ≤ c2 |x0 |p e−c3 (t−t0 ) ; c1 t ≥ t0 , với x0 ∈ Rd Từ nghiệm tầm thường (2.4.3) ổn định mũ p- moment 2.5 Tính ổn định ngẫu nhiên hệ phi tuyến Chúng ta thiết lập lý thuyết chung ổn định ngẫu nhiên cho hệ thống phi tuyến tất định ngẫu nhiên Để giải thích, giả định hệ thống mơ tả phương trình vi phân phi tuyến thông thường x(t) ˙ = f x(t), t) t ≥ 0; x(0) = x0 ∈ Rd (2.5.1) Hệ bị nhiễu chuyển động Brown m-chiều hệ bị nhiễu ngẫu nhiên mô tả phương trình Ito m dx(t) = f x(t), t dt + Bk x(t)dwk (t); t≥0 (2.5.2) k=1 Với điều kiện ban đầu x(0) = x0 , Bk ma trận cấp d × d Chúng ta rằng, f (x, t) thõa mãn f (x, t) ≤ K|x|; với x ∈ Rd , t ≥ (2.5.3) 35 Đối với số K>0 có nhiều cách chọn ma trận Bk để phương trình (2.5.2) ổn định mũ hầu chắn Nói cách khác, hệ (2.5.1) ổn định chuyển động Brown (2.5.3) thõa mãn Một trường hợp đặc biệt hệ (2.5.1) trường hợp tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) (2.5.4) Trong trường hợp (2.5.2) trở thành m Bk x(t)dwk (t) dx(t) = Ax(t)dt + (2.5.5) k=1 Rõ ràng, Ex(t) = y(t); với t ≥ 0, nhiễu ngẫu nhiên giữ mức trung bình cho nghiệm khơng thay đổi với giá trị nghiệm hệ khơng nhiễu (2.5.1) Nói chung, thấy hệ thống ngẫu nhiên phi tuyến dy(t) = f y(t), t dt + g y(t), t dW (t) Có thể ổn định chuyển động Brown f (x, t) ≤ K|x| Vết g(x, t)g(x, t)T ≤ K|x|2 2.5.1 Bổ đề Cho không gian xác suất Ω, F, {Ft }t≥0 , P với lọc {Ft } Ký hiệu |x| chuẩn Euclid vectơ x ∈ Rd Ký hiệu A chuẩn ma trận A A = sup |Ax| : |x| = Ký hiệu B T ma trận chuyển vị vectơ ma trận B Đối với ma trận vuông A = (aij ), vết A = aii Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito dy(t) = f y(t), t dt + g y(t), t dW (t); với t ≥ (2.5.6) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rd f : Rd × R+ → Rd , g : Rd × R+ → Rd×q W(t) chuyển động Brown q- chiều Giả sử phương trình có nghiệm ký 36 hiệu x(t; x0 ) Bổ đề sau cung cấp điều kiện đủ, theo nghiệm khơng không với xác suất nghiệm ban đầu khác không Bổ đề 3: Giả sử θ > , tồn Kθ > để |f (x, t)|2 + Vết g(x, t)g(x, t)T ≤ Kθ |x|2 |x| < θ, t≥0 Khi với t ≥ = P x(t, x0 ) = 0, Nếu x0 = 2.5.2 Tính ổn định nhiễu ngẫu nhiên hệ phi tuyến tất định Trong phần này, nghiên cứu lý thuyết tổng quát tính ổn định ngẫu nhiên cho hệ phi tuyến Giả sử w1 (t), , wn (t) T chuyển động Brown m- chiều f : Rd × R+ → Rd hàm lipschitz liên tục địa phương đặc biệt : f (x, t) ≤ K|x|; Cho K>0 Bk với x ∈ Rd , t ≥ (2.5.7) (1 ≤ k ≤ m) ma trận cấp d × d Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên m dx(t) = f x(t), t dt + Bk x(t)dwk (t); t≥0 (2.5.8) k=1 Với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rd Phương trình xem hệ bị nhiễu ngẫu nhiên hệ phi tuyến x(t) ˙ = f x(t), t Định lý 2.5.1: Cho ( 2.5.7 ) λ > 0, ρ ≥ Giả sử m m 2 |Bk x| ≤ λ|x| k=1 |xT Bk x|2 ≥ ρ|x|4 v` a k=1 với x ∈ Rd (2.5.9) 37 Khi 1 lim sup log x(t; x0 ) ≤ −(ρ − K − λ) t→∞ t h.c.c (2.5.10) Với ∀x0 = Đặc biệt, ρ > K + 12 λ phương trình (2.5.8) ổn định mũ h.c.c Chứng minh Với x0 = cố định viết x(t) thay cho x = (t; x0 ) Bổ đề cho biết x(t) = 0, với t ≥ h.c.c Cho Phương trình vi phân (để đơn giản ta xét trường hợp k = 1) dx(t) = f x(t), t dt + Bx(t)dW (t) Giả sử Y (x(t), t) = log |x(t)|2 (hàm không phụ thuộc riêng lẻ vào t) Ta có ∂Y =0 ∂t , ∂Y 2x(t)T = ∂x |x(t)|2 ∂ 2Y 2|x(t)|2 − 2x(t)T 2|x(t)| = ∂x2 |x(t)|4 áp dụng công thức Itô (quy tắc lấy vi phân Itô) cho hàm Y (x(t), t) ta có dY = d log |x(t)| ∂Y ∂Y ∂ 2Y = dt + d(x(t)) + |Bx(t)|2 dt ∂t ∂x ∂x dY = d log |x(t)|2 = ∂Y ∂ 2Y d(x(t)) + |Bx(t)|2 dt ∂x ∂x 2x(t)T = f x(t), t dt + Bx(t)dW (t) |x|(t)|2 2|x(t)|2 − 4x(t)T |x(t)| + |Bx(t)|2 dt |x(t)|4 Lấy tích phân hai vế từ đến t ta có t d log |x(t)|2 = log|x(t)|2 − log|x(0)|2 38 t t 2x(s)T Bx(s) dW (s) |x(s)|2 2x(s)f (x(s), s) ds + |x(s)|2 = 0 t t 2|x(s)|2 |Bx(s)|2 ds − |x(s)|4 + |x(s)T Bx(s)|2 ds |x(s)|4 t t T 0 t t 2|x(s)|2 |Bx(s)|2 ds − |x(s)|4 + 2x(s)f (x(s), s) ds + |x(s)|2 2x(s) Bx(s) dW (s) |x(s)|2 log|x(t)|2 = log|x(0)|2 + |x(s)T Bx(s)|2 ds |x(s)|4 Tương tự ta có trường hợp tổng quát cho k với ≤ k ≤ m phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.5.8 ) t m log |x(t)|2 = log |x0 |2 + x(s) −2 x(s)T Bk x(s)dwk (s) k=1 t + x(s) −2 2x(s)T f x(s), s ds + t m x(s) −4 2|x(s)|2 |Bk x(s)|2 − 4|x(s)T Bk x(s)|2 ds k=1 Ta có t log |x(t)|2 = log |x0 |2 + M (t) + x(s) −2 2x(s)T f x(s), s ds + m t x(s) −4 2|x(s)|2 |Bk x(s)|2 − 4|x(s)T Bk x(s)|2 ds k=1 Trong m M (t) = t x(s) k=1 −2 x(s)T Bk x(s)dwk (s) (2.5.11) 39 martingale (theo tính chất tích phân Itơ) Dùng giả thiết (2.5.7) (2.5.9) ta có t t x(s) −2 2x(s)T f x(s), s ds ≤ x(s) −2 2x(s)T K|x(s)|ds t ≤ Kds = 2Kt m t x(s) −4 2|x(s)|2 |Bk x(s)|2 − 4|x(s)T Bk x(s)|2 ds k=1 ≤ t m −4 x(s) 2|x(s)|2 λ|x(s)|2 − 4ρ|x(s)|4 ds k=1 t = (2λ − 4ρ)ds = (λ − 2ρ)t M (t) có tính chất sau: Kỳ vọng EdW (s) = m t EM (t) = x(s) −2 x(s)T Bk x(s).Edwk (s) = k=1 Và phương sai t m DM (t) =< M (t) >= E M (t) =4 x(s) −4 |x(s)T Bk x(s)|2 E dW (s) k=1 m =4 t m x(s) −4 T |x(s) Bk x(s)| ds ≤ 4t k=1 Bk k=1 Ta có Mt >λ P t D( Mt t ) DMt ≤ = λ2 t2 λ2 m = t2 4t Bk k=1 λ2 2 40 m = tλ Bk → t → ∞ k=1 Từ M (t)/t → h.c.c t → ∞ Chúng ta có log |x(t)|2 ≤ log |x0 |2 + M (t) + (2K + λ − 2ρ)t (2.5.12) Ta suy lim sup log |x(t)|2 ≤ 2K + λ − 2ρ t→∞ t h.c.c 1 lim sup log |x(t)| ≤ −(ρ − K − λ) t→∞ t h.c.c Tức • Bây ta xét số trường hợp đặc biệt phương trình (2.5.8) Đầu tiên, Bk = σk I với k, I ma trận đơn vị σk số Khi phương trình (2.5.8) trở thành m dx(t) = f (x, t)dt + σk x(t)dwk (t); t≥0 k=1 Lưu ý trường hợp m m σk2 |x|2 |Bk x| = k=1 Và k=1 m m T σk2 |x|4 |x Bk x| = k=1 k=1 Theo định lý 5.1, nghiệm phương trình (2.5.13) thõa mãn 1 lim sup log x(t; x0 ) ≤ − t→∞ t m σk2 − K k=1 Vì phương trình (2.5.13) ổn định mũ h.c.c m σk2 > K k=1 h.c.c (2.5.13) 41 • Một trường hợp đơn giản σk = 0, (2 ≤ k ≤ m) , tức phương trình dx(t) = f x(t), t dt + σ1 x(t)dw1 (t) Phương trình ổn định mũ h.c.c σ >K Ta thấy ta thêm nhiễu ngẫu nhiên đủ mạnh cho hệ phi tuyến x(t) ˙ = f x(t), t hệ ổn định Bây ta tóm tắt kết định lý sau Định lý 2.5.2: Mọi hệ phi tuyến x(t) ˙ = f x(t), t thiết lâp tính ổn định chuyển động Brown (2.5.7) f (x, t) ≤ K|x| thõa mãn sử dụng chuyển động vô hướng Brown để làm hệ ổn định • Định lý 2.5.1 đảm bảo có nhiều lựa chọn ma trận Bk nhằm ổn định hệ dĩ nhiên lựa chọn đơn giản Ví dụ Đối với k, chọn ma trận xác định dương Dk để x T Dk x ≥ 1√ Dk |x|2 Rõ ràng, có nhiều ma trận Cho σ số Bk = σDk m m |Bk x| ≤ σ k=1 Và m Dk |x|2 k=1 |x Bk x| ≥ σ T k=1 m Dk |x|4 k=1 Theo định lý 2.5.1, nghiệm phương trình (2.5.8) thõa mãn 1 lim sup log x(t; x0 ) ≤ − σ t→∞ t m Dk k=1 −K h.c.c 42 Do phương trình (2.5.8) ổn định mũ h.c.c m 2 −1 Dk σ > 4K k=1 Cho đến nhiễu ngẫu nhiên sử dụng để ổn định hệ tất định Bây giờ, đặt câu hỏi liệu sử dụng nhiễu ngẫu nhiên để ổn định hệ ngẫu nhiên tốt Câu trả lời tích cực Để thu kết này, xét xem trường hợp phương trình (2.5.8) cách đặt Bm = σm I ta phương trình m−1 dx(t) = f (x, t)dt + Bk x(t)dwk (t) + σm x(t)dwm (t); (2.5.14) k=1 Điều xem hệ bị nhiễu ngẫu nhiên hệ ngẫu nhiên cho m−1 dx(t) = f (x, t)dt + Bk x(t)dwk (t); (2.5.15) k=1 Bây ước tính m m−1 |Bk x| ≤ k=1 Bk 2 + σm |x|2 k=1 m |xT Bk x|2 ≥ σm |x|4 k=1 Do đó, theo định lý 2.5.1, nghiệm phương trình (2.5.14) thỏa mãn 1 lim sup log x(t; x0 ) ≤ − σm −K − 2 t→∞ t m−1 Bk k=1 Vì phương trình (2.5.14) ổn định mũ h.c.c m−1 σm > 2K + Bk k=1 Điều chứng minh định lý sau 2 h.c.c 43 Định lý 2.5.3: Nếu (2.5.7) f (x, t) ≤ K|x| thỏa mãn, phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.5.15) ổn định chuyển động Brown chí sử dụng chuyển động vơ hướng Brown để làm 2.5.3 Tính ổn định nhiễu ngẫu nhiên hệ phi tuyến ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên m Bk x(t)dwk (t); dx(t) = f (x, t)dt + g(x, t)dW (t) + t ≥ 0; (2.5.16) k=1 Với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rd , W(t) chuyển động Brown q-chiều độc lập với (w1 (t), ., wn (t))T g : Rd × R+ → Rd×q Phương trình xem hệ bị nhiễu ngẫu nhiên hệ ngẫu nhiên cho dx(t) = f (x, t)dt + g(x, t)dW (t); (2.5.17) Định lý sau tổng quát định lý 2.5.1 Định lý 2.5.4: f : Rd × R+ → Rd v` a g : Rd × R+ → Rd×q hàm liên tục đia phương Lipschitz thõa mãn |f (x, t)| ≤ K1 |x| Vết g(x, t)g(x, t)T ≤ K2 |x|2 ; (2.5.18) với t ∈ Rd , t ≥ 0, K1 > 0, K2 > Cho λ > 0, ρ > giả sử (2.5.9) Thì nghiệm phương trình (2.5.16) thỏa mãn 1 lim sup log x(t; x0 ) ≤ − ρ − K1 − (K2 + λ) t→∞ t h.c.c (2.5.19) với x0 = Đặc biệt, ρ > K1 + 12 (K2 + λ) phương trình (2.5.16) ổn định mũ h.c.c Chứng minh Chứng minh giống định lý 2.5.1 ta thấy 44 log |x(t)|2 ≤ log |x0 |2 − (2ρ − 2K1 − λ)t + M (t) + N (t) t + x(s) −4 2|x(s)|2 vết g x(s), s g x(s), s T −4 x(s)T g x(s), s ds ≤ log |x0 |2 − ρ − K1 − (K2 + λ) t + M (t) + N (t) với t ≥ 0, M(t) giống định lý 2.5.1 (2.5.20) t N (t) = x(s) −2 x(s)T g x(s), s dW (s) Lưu ý N (t)/t → h.c.c t → ∞ Vì từ (2.5.20) suy lim sup log |x(t)|2 ≤ − 2ρ − 2K1 − K2 − λ t→∞ t h.c.c Và yêu cầu (2.5.19) thỏa mãn Định lý 2.5.5: Bất kỳ phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng (2.5.17) ổn định chuyển động Brown (2.5.18) thỏa mãn 2.6 Hệ tuyến tính nhận xét Trong phần sử dụng kiến thức thiết lập phần trước để kiểm tra ổn định cho hệ tuyến tính ngẫu nhiên q dy(t) = A0 (t)y(t)dt + Ai (t)y(t)dWi (t); t≥0 (2.6.1) i=1 Với điều kiện ban đầu y(t) = x0 ∈ Rd Trong (w1 (t), ., wq (t)) chuyển động Brown q chiều Các Ai : R+ → Rd×d , (1 ≤ i ≤ q), bị chặn đặt Ai = sup{ Ai (t) : t ≥ 0} Bây nhiễu hệ 45 chuyển động Brown m-chiều độc lập (w1 (t), ., wm (t)) nói hệ bị nhiễu mô tả q dx(t) = A0 (t)x(t)dt + m Bk (t)x(t)dWk (t); Ai (t)x(t)dWi (t) + i=1 t≥0 k=1 (2.6.2) Với điều kiện ban đầu x(t) = x0 ∈ Rd Rõ ràng, Ex(t) = Ey(t), ∀t ≥ Nói cách khác, nhiễu ngẫu nhiên khơng làm thay giá trị trung bình nghiệm Sử dụng kết thu vào phương trình (2.6.2) có hệ sau Hệ : Giả sử cho (2.5.9) với λ > 0, ρ ≥ Khi nghiệm phương trình (2.6.2) thỏa mãn 1 lim sup log x(t; x0 )) ≤ − ρ − A0 − λ − 2 t→∞ t q Ai h.c.c i=1 Hơn nữa, lựa chọn Bk , ≤ k ≤ m ρ > A0 1 + λ+ 2 q Ai i=1 Do phương trình (2.6.2) ổn định mũ h.c.c Nói cách khác, hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.6.1) ổn định theo chuyển động Brown mà khơng thay đổi giá trị trung bình nghiệm 46 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc hướng dẫn thầy giáo PGS TS.Phan Đức Thành, luận văn hoàn thành, thu kết sau đây: 1.Đã trình bày tương đối có hệ thống số kiến thức lý thuyết ổn định Liapunov với nội dung: -Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính -Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính -Phương pháp thứ hai Liapunov để nghiên cứu tính ổn định -Tính ổn định hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng đơn giản Đã trình bày số kết tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên với nội dung: -Khái niệm q trình Itơ vi phân Itơ -Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên -Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng tổng quát Chứng minh hệ phi tuyến x(t) ˙ = f x(t), t thiết lập ổn định chuyển động Brown thõa mãn điều kiện: |Bk x|2 ≤ λ|x|2 f (x, t) ≤ K|x|; |xT Bk x|2 ≥ ρ|x|4 k k Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên m dx(t) = f (x, t)dt + g(x, t)dW (t) + Bk x(t)dwk (t); k=1 t ≥ 0; 47 Phương trình xem hệ bị nhiễu ngẫu nhiên hệ ngẫu nhiên cho: dx(t) = f (x, t)dt + g(x, t)dW (t); Bất kỳ phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng ổn định chuyển động Brown điều kiện sau thỏa mãn: |f (x, t)| ≤ K1 |x| Vết g(x, t)g(x, t)T ≤ K2 |x|2 ; 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu ,(2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Văn Quảng,(2008),Xác suất nâng cao, Nhà xuất Hà Nội tiếng anh [3] L.Arnold,(1974), Stochastic Differential Equations : Theory and Applications A.Wiley-Interscience publication [4] X.Mao, C.Yuan and Zou J ,(2005), Stochastic differential delay equations of population dynamics, Journal of Math Anal.Appl 304 [5] X.Mao, C.Yuan and Zou J ,(2006), Stochastic Differential Equations with Markovian Switching ICP [6] X.Mao,(1994), Stochastic Stabilization and destabilization: Systems and Control Letters 23 ... kết tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên với nội dung: -Khái niệm q trình Itơ vi phân Itơ -Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên -Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng tổng... định hệ vi phân tuyến tính -Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính -Phương pháp thứ hai Liapunov để nghiên cứu tính ổn định -Tính ổn định hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng đơn giản Đã trình bày... ổn định nghiệm phương trình vi phân tất định phương trình vi phân ngẫu nhiên Chương 2: Về tính ổn định ngẫu nhiên hệ phương trình vi phân Đây nội dung luận văn, chương chứng minh rằng: Xét phương