Hệ phương trình vi phân và ứng dụng

„ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHAN THỊ THẢO HIỀN HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng, 2021 „ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHAN THỊ THẢO HIỀN HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Sƣ phạm Tốn Mã sinh viên: 3110117009 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Cán hƣớng dẫn khoa học TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng, 2021 Lời cam đoan Toàn nội dung trình bày khóa luận cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi, hồn thành hướng dẫn TS Lê Hải Trung Những khái niệm kết luận văn tổng hợp từ tài liệu khoa học đáng tin cậy Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Phan Thị Thảo Hiền Lời cảm ơn Lời khóa luận tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập tạo điều kiện giúp tác giả hoàn thành tốt khóa luận Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân, bạn bè ln bên cạnh, ủng hộ động viên Vì thời gian kiến thức hạn chế nên thân cố gắng khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thầy, bạn để khóa luận hoàn thiện Tác giả Phan Thị Thảo Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ …………………………………………… 1.1 Khái niệm phương trình vi phân 1.2 Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân cấp 1.3 Nghiệm tường minh phương trình vi phân CHƢƠNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT VÀ PHƢƠNG TRÌNH CẤP CAO 2.1 Hệ phương trình vi phân 2.1.1 Quá trình hình thành hệ 2.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.1.3 Tính chất đại số hệ phương trình vi phân 11 2.1.4 Phương pháp giá trị riêng-vector riêng nghiệm cần tìm 14 2.1.5 Ứng dụng 27 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 30 2.2.1 Phương trình vi phân 31 2.2.2 Phương trình vi phân khơng 33 2.2.3 Ứng dụng 37 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự phát triển tốn học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rực rỡ kỷ XX, phát triển ngành Giải tích tốn học Với đời ngành Giải tích tốn học, đặc biệt giải tích hàm toán thực tế sống, vật lý, khoa học, kĩ thuật,… giải nhanh gọn xác Ngành giải tích tốn học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phương trình hệ phương trình vi phân,… Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng riêng việc nghiên cứu ứng dụng Trong phương trình hệ phương trình vi phân phần Giải tích Phương trình hệ phương trình vi phân lĩnh vực Tốn học có nhiều ứng dụng thực tế, ví dụ ứng dụng tính lãi tiền gửi ngân hàng, ứng dụng vật lý, ứng dụng mơ hình tốc độ tăng dân số, ứng dụng tốc độ thay đổi nhiệt độ vật, ứng dụng tốc độ phản ứng hóa học, tốc độ trộn nguyên liệu,… Như vậy, nghiên cứu lý thuyết hệ phương trình vi phân ứng dụng vấn đề ln quan tâm Xuất phát từ lí giúp đỡ, hướng dẫn tận tình TS Lê Hải Trung, em định lựa chọn đề tài: “Hệ phương trình vi phân ứng dụng” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu hệ phương trình vi phân ứng dụng Để đạt mục tiêu trên, đề tài nghiên cứu nội dung sau: - Hệ phương trình vi phân nhất, phương trình cấp cao ứng dụng - Cơ sở ứng dụng phương trình vi phân Nội dung đề tài dự định chia thành hai chương: - Chương 1: Kiến thức sở - Chương 2: Hệ phương trình phương trình cấp cao Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 3.1 3.2 Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình vi phân Phạm vi nghiên cứu: Hệ phương trình ứng dụng Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu sưu tầm được, sách có liên quan đến đề tài khóa luận, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hiểu biết cách ngắn gọn, theo hệ thống khoa học Trong khóa luận, có sử dụng kiến thức liên quan đến lĩnh vực: Giải tích hàm biến, Giải tích hàm nhiều biến, Đại số tuyến tính, Giải tích phức, Lý thuyết phương trình vi phân,… Ý nghĩa khoa hoc thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng Giúp người đọc vận dụng tốt thêm chuyên đề phương trình hệ phương trình vi phân Có thể sử dụng khóa luận làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán đối tượng khơng chun tốn cần kết toán để ứng dụng cho toán thực tiễn Cấu trúc luận văn Trong khóa luận này, tác giả trình bày kiến thức sở, từ nghiên cứu sâu hệ phương trình vi phân, phương trình vi phân ứng dụng Ngoài Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Kiến nghị, Tài liệu tham khảo nội dung khóa luận trình bày hai chương 1.4 Chương 1, trình bày kiến thức sở, bao gồm mục: Mục 2.1, Khái niệm phương trình vi phân; Mục 2.2, Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân cấp một; Mục 2.3, Nghiệm tường minh phương trình vi phân Chương 2, trình bày hệ phương trình vi phân, phương trình cấp cao ứng dụng CHƢƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Khái niệm phƣơng trình vi phân Thuật ngữ “eaquatio differentialis” hay “phương trình vi phân” Lep-nit sử dụng vào năm 1676 để kí hiệu tính phụ thuộc vi phân biến tương ứng Tính phụ thuộc có chứa biến với ký hiệu khác Sự hạn chế sử dụng thuật ngữ thay đổi với phát triển toán học Ngày nay, khái niệm phương trình vi phân hiểu đẳng thức đại số siêu việt có chứa vi phân đạo hàm Phương trình vi phân chia làm loại sau: - Phương trình vi phân thường: biểu diễn tính phụ thuộc biến độc lập (argument), biến phụ thuộc (hàm số) nhiều đạo hàm hàm số - Phương trình vi phân đạo hàm riêng - Phương trình vi phân tồn phần Trong khóa luận này, ta quan tâm đến phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân thường Định nghĩa 1.1 Phương trình có dạng: ( ) ( ) gọi phương trình vi phân thường cấp n Trong (1.1) ( ) hàm cần tìm Định nghĩa 1.2 Hàm ( ) gọi nghiệm phương trình vi phân ( ) ( ) thường (1.1) phương trình (1.1) thay ( ) ( ) ( ) ta nhận đồng thức: ( ( ) ( ) ( ) ( )) Bình thường phương trình (1.1) có khơng nghiệm mà có vơ số nghiệm ( ) Ví dụ 1.3 Xét hàm số ( ) xem hàm số nghiệm phương trình ( ) Kiểm tra ? Lời giải  Với hàm số ( ) ta có vế trái , vế phải , vế trái vế phải ( ) nghiệm phương trình cho  Với hàm số ( ) ta có vế trái vế phải , nên ( ) khơng phải nghiệm phương trình cho  Tương tự ta kiểm tra thỏa mãn phương trình cho Bài tốn Cauchy cho phƣơng trình vi phân cấp 1.2 Xét phương trình vi phân cấp cho bởi: ( ) (1.2) Bài toán xác định nghiệm riêng phương trình vi phân cấp (1.2) thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) (1.3) gọi toán Cauchy Điều kiện ( ) gọi điều kiện ban đầu với giá trị cho trước Để giải toán này, ta phải tìm hàm ( ) khả vi liên tục khoảng ( ) có chứa thỏa mãn: ( ) ( ( )) với ( ), ( ) Xét ví dụ Ví dụ 1.4 Kiểm tra hàm ( ) có phải nghiệm phương trình sau hay √ khơng? / ( ) Lời giải Ta có vế trái ( ) √ | ( )| / ( ) với phương trình cho Ngoài Lưu ý ( √ √ ( / Vì hàm ( ) √ ( ) thỏa mãn nên điều kiện ban đầu thỏa mãn khơng phải nghiệm phương trình khoảng ( ) , ) với , vế phải √ ( ) ta có vế trái √ ( ) | ( )| ( ) ( ) vế phải ( ) với ) Vậy làm để biết phương trình cho có nghiệm? Đối với phương trình dạng (1.2), câu trả lời nằm định lí sau Định lí 1.5 (Peano, khơng chứng minh) Nếu hàm (1.3) liên tục lân cận ) tốn (1.3) có nghiệm khoảng ( điểm ( ) chứa Do ta chắn nghiệm cho lớp lớn phương trình vi phân thường có dạng (1.2) ta công thức rõ ràng chúng Nhắc đến tính nghiệm phương trình vi phân thường, ta biết phương trình xác định lớp nghiệm, phương trình vi phân thường cấp một, lớp nghiệm họ hàm phụ thuộc vào tham số tùy ý Do nguyên tắc, đưa vào điều kiện bổ sung (1.3) ta xác định số cho toán Cauchy (1.3) có nghiệm Tuy vậy, nhiều trường hợp, lập luận khơng xảy Ví dụ sau chứng tỏ cho ta điều Ví dụ 1.6 Bài tốn Cauchy √ ( ) ln có hai nghiệm : Rõ ràng nghiệm không phụ thuộc vào điều kiện ( ) Tuy vậy, có lớp lớn hàm f (1.3) có xác nghiệm Kết phát biểu định lí Picard Định lí 1.7 (Picard, khơng chứng minh) Cho liên tục lân cận điểm ( ) Khi tốn Cauchy (1.3) có xác nghiệm xác định lân cận Ví dụ 1.8 Ta thấy ví dụ (1.6) có hai nghiệm cho tốn √ ( ) Trong trường hợp ta có ( ) √ √ , rõ ràng không liên tục lân cận điểm ( ) hiển nhiên điều kiện định lí Picard khơng thỏa mãn Một ví dụ khác tính khơng đồng ( ) ( ) (1.4) Thay trực tiếp ta thấy có ba nghiệm phân biệt cho phương trình này: √ mãn ( ) Tuy ( ) √ ( ), nghiệm thỏa / không liên tục (0,0), điều phản ánh tính nghiệm ví dụ cho bị phá vỡ hay điều kiện định lí Picard không thỏa mãn 1.3 Nghiệm tƣờng minh phƣơng trình vi phân Chúng ta thấy phần trước, số phương trình vi phân giải cách rõ ràng Thật khơng may, khơng có cơng thức chung để giải phương trình vi phân Hơn nữa, việc tìm nghiệm tường minh gần khơng thể, trừ trường hợp phương trình xét có dạng cụ thể Trong phần này, xem xét số lớp phương trình cấp giải rõ ràng 27 Từ / ( ) / / / Để tìm nghiệm riêng, ta lấy tích phân vế phương trình trên, nhận ∫( ( ) ∫ ) ( , ∫( nhân với ( ( ( ) ) * ) /( ( ( ) * ) ( ( ) * Vậy nghiệm tổng quát là: ( ) với 2.1.5 /( * ( ( ) * số tùy ý Ứng dụng Ta xét hệ thống gồm hai thùng có dung tích chứa thuốc nhuộm pha loãng: nồng độ thời điểm thuốc nhuộm thùng thứ ( ) thùng thứ hai ( ) Giả sử thuốc nhuộm nguyên chất chảy vào thùng thứ với tốc độ không đổi thuốc nhuộm chảy vào thùng thứ hai với tốc độ khơng đổi (lít/phút) Giả sử thêm hai máy bơm trao đổi dung dịch hai thùng với tốc độ không đổi: từ thùng thứ sang thùng thứ hai ngược lại Hơn nữa, hỗn hợp pha loãng chảy từ thùng thứ hai với tốc độ Tốc độ dòng chảy chọn cho thể tích hỗn hợp thùng khơng đổi , tức Chúng ta phải tìm nồng độ thuốc nhuộm thùng thay đổi theo thời gian Gọi ( ) ( ) thể tích thuốc nhuộm bể thời điểm Vì vậy, nồng độ xác định Ta xem xét điều xảy với thể tích thuốc nhuộm thùng suốt khoảng thời gian ngắn từ đến Trong thùng thứ nhất: ( ) ( ) { } { } 28 { } ( ) ( ) – thùng thứ hai, tương tự, ( ) ( ) { } { với } } ( ) Chia cho { ( ) ( ) ta thu hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: ( ) (2.36) mô tả việc trộn thành phần hai thùng chứa Ở đây, lượng thuốc nhuộm thùng thứ thứ hai Hai phương trình viết lại sau sử dụng phép đặt sau: (2.37) Giải phương trình theo giá trị lưu lượng dòng chảy ( ) , , (2.38) Giả sử thời điểm t = chưa có thuốc nhuộm hai thùng, tức là, ta đặt ( ) ( ) Áp dụng kĩ thuật khác, ta giải hệ cách đưa phương trình cấp hai nhất, mơ tả ví dụ 2.1.1 Lấy đạo hàm phương trình đầu sử dụng phương trình thứ hai ta được: ( ( ) ( )) 29 đó, sau vài phép tính tốn: ta nhận phương trình cấp hai khơng với hệ số Để tìm nghiệm đặc trưng ta giải phương trình bậc hai: nhận Do đó, khơng gian nghiệm phương trình bao gồm Vế phải số khơng phải nghiệm đặc trưng, ta tìm nghiệm tốn khơng dạng ( ) , ta có ( ) nên nghiệm tổng qt phương trình khơng có dạng ( ) với số có giá trị tìm thấy từ điều kiện ban đầu Tiếp theo ta tìm ( cách giải phương trình ban đầu nó, ta có ) / / ( ) Cuối cùng, sử dụng điều kiện ban đầu phương trình đại số ( ) ( ) để thu hệ { Từ hệ phương trình ta tìm Vì ( ) ( ) Từ cơng thức nghiệm ta có ( ) ( ) Có nghĩa nồng độ đạt trạng thái ổn định lớn Điều minh họa Hình 2.2 Hình 2.3 30 Hình 2.2 Khảo sát trạng thái ổn định nồng độ c1 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 100 200 300 400 500 Hình 2.3 Khảo sát trạng thái ổn định nồng độ c2 2.2 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân cấp hai hay xuất thường xuyên thực tế tốt hết ta nên xây dựng tảng lý thuyết chung hệ trường hợp cụ thể này: ( ) với số thực và (2.39) hàm liên tục cho trước Ta viết gọn Như đề cập trước đó, (2.39) viết lại dạng hệ hai phương trình vi phân cấp cách sử dụng biến phụ , ( ) 31 Lưu ý (2.39) bổ sung với điều kiện đầu ( ) ( ) , điều kiện trở thành điều kiện tự nhiên ban đầu cho hệ ( ) ( ) Đầu tiên ta nhớ lại lý thuyết phương trình tuyến tính cấp xác định với trường hợp hệ số a: ( ) (2.40) có nghiệm tổng quát là: ( ) ∫ ( ) , số hạng nghiệm tổng quát dạng ( ) (2.40) số hạng thứ hai nghiệm riêng (2.40) Điều gợi ý cho ta cách hợp lí để giải (2.39) tìm nghiệm phương trình tương ứng (2.41) Gọi nghiệm tổng quát (2.41), có nghĩa là, lớp hàm số phụ thuộc hai số Tiếp theo, gọi nghiệm riêng (2.39) giả sử ( ) ( ) ( ) Khi đó: ( ) , nghĩa là, nghiệm (2.29) nghiệm (2.41) hay, nói cách khác, nghiệm tổng quát (2.41), Do đó, ta phát triển thêm phương pháp tìm nghiệm tổng quát cho phương trình 2.2.1 Phƣơng trình vi phân Xét phương trình (2.41) (2.42) Vì khơng gian nghiệm hệ tương ứng: (2.43) hai chiều, nên không gian nghiệm (2.42) hai chiều, từ suy ra, có hai nghiệm độc lập cho (2.42) ( ), ( ) cho nghiệm khác có dạng: ( ) ( ) ( ) Làm để khôi phục nghiệm tổng quát (2.42) từ nghiệm ( ) hệ? Hàm ( ) nghiệm (2.42) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 32 nghiệm hệ (2.43), ta thấy nghiệm tổng quát (2.42) tìm cách lấy thành phần nghiệm hệ tương ứng (2.43) Lưu ý lần ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) / ( ) / nghiệm độc lập tuyến tính (2.43), nghiệm độc lập tuyến tính (2.42) Mặt khác ta có có ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) với số C ( ) wronskian có cột thứ hai bội cột thứ , 0, ngược với giả sử ( ) ( ) độc lập tuyến tính Để tìm cơng thức rõ ràng cho hai nghiệm độc lập tuyến tính phân biệt (2.42) ta viết phương trình đa thức đặc trưng (2.43): | | , cịn gọi đa thức đặc trưng (2.42) Đây phương trình bậc hai theo khơng với √ biệt thức Nếu Do đó: , ta thu hai nghiệm phân biệt , ( ) , với hai số tùy ý nghiệm tổng quát cần tìm (2.42) Nếu hai liên hợp phức: , với Vì √ nhiều ứng dụng, làm việc với hàm số phức gây rắc rối, phức tạp nên ta biểu diễn nghiệm dạng hàm số thực Sử dụng công thức Euler cho hàm số mũ phức, ta được: ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) Nếu với số ta lấy hai liên hợp phức ( ) ( ) với hai số thực tùy ý, ta thu tổ hợp hai hàm thực với hai hệ số thực tùy ý: ( ) 33 Ta xét trường hợp (phải số thực) Trường hợp ta có hàm với số tùy ý cho ( ) nghiệm tổng quát (2.42) Vì ( ) độc lập tuyến tính với ( ) nên ta thu nghiệm khác có dạng: ( ) với Và nghiệm tổng qt có dạng: ( ) ( ) Tóm lại, ta có nghiệm tổng quát tương ứng với tính chất giá trị nghiệm nghiệm đa thức đặc trưng ( ) ( ) ( ) 2.2.2 ( ) Phƣơng trình vi phân khơng Trong đoạn mở đầu phần ta thấy để tìm nghiệm tổng quát ( ) (2.44) ta phải tìm nghiệm tổng quát dạng (2.42) cần tìm nghiệm riêng (2.44) Ở mục trước ta trình bày hồn chỉnh lý thuyết để tìm nghiệm tổng quát phương trình Ở mục ta xem xét hai phương pháp tìm nghiệm phương trình khơng Ta bắt đầu với phương pháp có tên gọi phương pháp biến thiên số Phương pháp tổng quát cồng kềnh áp dụng Phương pháp thức hai, đốn đắn, áp dụng cho vế phải có dạng đặc biệt, lại cho ta thu nghiệm cách nhanh chóng Phương pháp biến thiên số giới thiệu phần hệ phương trình Nó cịn sử dụng cho phương trình bậc hai, nhiên, cồng kềnh Vì vậy, ta tìm hiểu trước Cho: ( ) ( ) ( ) nghiệm tổng quát dạng (2.44) Ta tiến hành tìm nghiệm (2.44) dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.45) từ đó, ta cho phép số tùy ý phụ thuộc vào biến t Để xác định ( ) ( ) cho (2.45) nghiệm (2.44), ta thay ( ) vào phương trình Vì có phương trình nên cho ta điều kiện xác định hai hàm, lựa chọn điều kiện thứ hai cách làm phương trình hệ trở nên đơn giản nên ta thực Lấy đạo hàm vế (2.45) ta được: 34 Ta thấy xuất đạo hàm bậc hai hàm chưa biết điều ta muốn tránh, cố đơn giản hóa phương trình cấp hai Để đạo hàm bậc hai không xuất đơn giản ta cần triệt tiêu phần chứa , nghĩa là, Với điều này, ta có: Thay vào (2.44) ta thu được: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Vì nghiệm phương trình nhất, hai số hạng dòng thứ hai bị triệt tiêu để thỏa mãn (2.44) ta phải có: ( ) Tóm lại, để tìm cho (2.45) thỏa mãn (2.44) ta phải giải hệ phương trình sau { Giải hệ (2.46) tìm , ( ( ) lấy tích phân nghiệm để tìm ) Lưu ý 2.11 Hệ (2.46) giải định thức Định thức ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) (2.47) ( ) ( ) định thức Wronskian đóng vai trị quan trọng lý thuyết tổng quát phương trình vi phân Rõ ràng để (2.46) giải được, ( ) với độc lập tuyến tính, ta biết, nằm trường hợp nghiệm tổng quát phương trình theo Nhận xét 2.4 Ví dụ 2.12 Tìm nghiệm phương trình khoảng thỏa mãn điều kiện đầu ( ) ( ) 35 Bước Nghiệm tổng quát phương trình nhất: xác định cách tìm nghiệm phương trình đặc trưng từ suy ( ) Ta có ta thu hai nghiệm độc lập ( ) , Bước Để tìm nghiệm phương trình khơng nhất, trước tiên ta tính Wronskian phương trình cho ( ) | | Giải (2.46), ta được: ( ) ( ) Suy ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ | ∫ ( | ) bỏ dấu giá trị tuyệt đối Lấy tích phân phương trình theo ta tìm được: ( ) nghiệm riêng phương trình khơng nhất: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) Lưu ý ta lấy số tích phân trường hợp Điều cho phép ta tìm tích phân riêng tùy ý chọn nghiệm riêng đơn giản Vậy, nghiệm tổng qt cho phương trình khơng là: ( ) ( ) Bước Để giải toán ta phải tìm đạo hàm : ( ) ( ) từ ta thu được: ( ) ( ) Vậy nghiệm phương trình cho là: ( ) ( ) Phương pháp đoán xác, hay cịn gọi phương pháp hệ số bất định, dựa việc quan sát số hàm phép toán thực vế trái phương trình vi phân, bao gồm lấy đạo hàm, nhân với số phép cộng, không thay đổi 36 dạng hàm Tức là, đạo hàm đa thức đa thức, đạo hàm hàm số mũ hàm số mũ và, nói chung đạo hàm tích hàm số mũ hàm đa thức có dạng tương tự Hàm lượng giác xếp vào loại theo công thức Euler Vì vậy, vế phải có dạng này, hợp lí nghiệm có dạng tương tự Hãy kiểm tra lập luận thông qua ví dụ Ví dụ 2.13 Tìm nghiệm riêng phương trình: Vế phải đa thức bậc hai nên ta tìm nghiệm riêng số đa thức Để định bậc đa thức ta nên thử, ta chọn bậc bậc vế trái bé bậc này, phép lấy đạo hàm làm giảm bậc đa thức Do đó, trường hợp đơn giản đa thức bậc 2: ( ) với hệ số mà ta xác định Thay đa thức vào phương trình ta được: ( ) , từ ta có hệ: { Giải hệ này, ta từ suy nghiệm là: ( ) Khơng may, có vài cạm bẫy phương pháp này, ta thấy ví dụ sau Ví dụ 2.14 Tìm nghiệm riêng phương trình Sử dụng phương pháp nêu, ta lấy ( ) ta được: thay vào phương trình , Vì khơng có số biến ( ) thành nghiệm phương trình Lý nghiệm phương trình nhất, xác minh trực tiếp cách giải phương trình đặc trưng ( )( ) Một cách giải cho rắc rối xét ( ) , từ suy , ( ) , điều đồng với Do ta thu nghiệm riêng: ( ) Tổng quát lại, chứng minh quy trình ln cho ta nghiệm (2.48) với số nguyên không âm 37 I Khi nghiệm phương trình đặc trưng , ta sử dụng ( ) ( ); (2.49) II Nếu nghiệm đơn phương trình đặc trưng, sử dụng (2.49) nhân với a nghiệm kép, dùng (2.49) nhân với Lưu ý 2.15 Lưu ý , (2.48) rút gọn thành phương trình vi phân cấp Hơn nữa, phương trình với vế phải có dạng: ( ) xử lí thể ( ) ( ), (2.50) ( ) nghiêm riêng ( ) ( ) ( ) tổng ( ) kiểm tra cách thay trực tiếp , ( ) nghiệm riêng (2.50), ta Ví dụ 2.16 Tìm nghiệm riêng phương trình: Đầu tiên ta tìm nghiệm đặc trưng Từ phương trình ta tìm Tiếp theo ta chuyển vế phải phương trình sang dạng hàm số mũ Vì ( ) ( ) ta thu được: ( ) ( ) Trong hai trường hợp ta có số mũ nghiệm đơn phương trình đặc trưng từ suy nghiệm tìm có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Với ta có ( ) ( ) ( ) thay chúng vào phương trình ta thu ( ) ( ) ( ) ( ) cho ta Do Tương tự, và ta thu nghiệm riêng có dạng: ( ) ( ) ( ) , ta sử dụng cơng thức Euler để chuyển hàm dạng số mũ thành hàm lượng giác lần 2.2.3 Ứng dụng Phương trình vi phân cấp hai xuất nhiều ứng dụng liên quan đến dao động tạo lực đàn hồi Lý lực đàn hồi, độ dời nhỏ, tỉ lệ thuận với độ dời theo định luật II Newton: , với số Nói chung, có lực giảm chấn (nhờ vào lực cản mơi trường) ngoại lực, phương trình đầy đủ cho dao động ( ) (2.51) 38 Hình 2.4 Dao động tự cưỡng bức: trường hợp không cộng hưởng với (đường gạch đứt), (đường chấm chấm) (đường liền mạch) Lưu ý gia tăng biên độ dao động tần số ngoại lực tiến gần đến tần số tự nhiên hệ Ta xem xét chi tiết ví dụ cụ thể phương trình vi phân mơ tả q trình dao động tự cưỡng Trường hợp ta có: , ta kí hiệu cường độ khơng đổi (2.52) đưa vào lực tuần hồn chu kì ( ) Phương trình đặc trưng cho ta nghiệm ảo tổng quát phương trình là: ( ) Tần số gọi tần số riêng hệ Trường hợp riêng dạng: ( ) ( với nghiệm cho ta nghiệm ) từ suy nghiệm tổng quát là: ( ) ( ) , (2.53) nghiệm thu dạng tổng hai dao động tuần hồn, thấy Hình 2.4 Mặc dù khơng có bất thường đây, ta thấy vấn đề xảy tần số riêng hệ gần với tần số ngoại lực,thì biên độ dao động trở nên lớn , mẫu thức số hạng cuối (2.53) nhỏ 39 Hình 2.5 Dao động tự cưỡng bức: trường hợp cộng hưởng Biên độ dao động tăng đến vơ hạn Hãy tìm hiểu điều xảy Trong trường hợp ta biến đổi ( ) ( ) tìm nghiệm riêng dạng ( ) ( ) Ta thu được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Thay chúng vào phương trình đồng hệ số ta tìm , suy ra: ( ) nghiệm tổng quát có dạng: ( ) Đồ thị hàm số biểu diễn Hình 2.5 Điểm quan trọng ví dụ lực vơ nhỏ gây dao động vơ lớn cho hệ tần số gần với tần số riêng hệ Hiện tượng gọi cộng hưởng ngun nhân sụp đổ nhiều cơng trình kiến trúc, sụp đổ cầu Tacoma Mỹ (dao động gây gió) cầu treo Broughton Anh (dao động gây diều hành quân đội) 40 KẾT LUẬN Sau trình tìm hiểu thực đề tài “Hệ phương trình vi phân ứng dụng”, khóa luận đạt số kết sau: Trình bày cách tỉ mỉ tương đối đầy đủ kiến thức sở phương trình vi phân cấp một, nghiệm tường minh phương trình vi phân Trình bày cách tỉ mỉ tương đối đầy đủ kiến thức trọng tâm phương trình vi phân cấp hai, hệ phương trình vi phân số ứng dụng thực tiễn Trong trình thực khóa luận, tác giả cố gắng Tuy nhiên không tránh khỏi số thiếu sót cách hành văn việc hồn thành khóa luận Tác giả mong q thầy đóng góp để luận văn hoàn thiện 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [2] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2005), Bài tập phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội [4] Lê Hải Trung (2019), Giáo trình phương trình vi phân - sai phân, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Nhà xuất Thông tin Truyền thông Tiếng Anh [5] J Banasiak (2013), Difference And Differential Equations In Mathematical Modelling [6] N Piskunov, English Translation (1981), Differential and Integral Calculus II, Mir Publisher [7] David Lomen, David LoveLock – NewYork (1999), Differential Equation, John Willey & Sons, Inc ... khả vi, khả tích, phương trình hệ phương trình vi phân, … Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng riêng vi? ??c nghiên cứu ứng dụng Trong phương trình hệ phương trình vi phân phần Giải tích Phương trình hệ phương. .. niệm phương trình vi phân; Mục 2.2, Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân cấp một; Mục 2.3, Nghiệm tường minh phương trình vi phân Chương 2, trình bày hệ phương trình vi phân, phương trình. .. số - Phương trình vi phân đạo hàm riêng - Phương trình vi phân tồn phần Trong khóa luận này, ta quan tâm đến phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân thường Định nghĩa 1.1 Phương trình