Đang tải... (xem toàn văn)
Nguon dvi bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o UBND tØnh thanh hãa tr−êng §¹i häc hång ®øc Lª Huy Vò Sù æn ®Þnh cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n suy biÕn tuyÕn tÝnh cã trÔ LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Thanh Hãa 2011 bé gi¸[.]
bộ giáo dục đào tạo UBND tỉnh hóa trờng Đại học hồng đức Lê Huy Vũ Sự ổn định hệ phơng trình vi phân suy biến tuyến tính có trễ Luận văn thạc sĩ toán học Thanh Hóa - 2011 giáo dục đào tạo UBND tỉnh hóa Trờng Đại học hồng đức Lê Huy Vũ Sự ổn định hệ phơng trình vi phân suy biến tuyến tính có trễ Chuyên ngành : Toán giải tích Mà số : 60.46.01 Luận văn thạc sĩ to¸n häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc: GS TSKH Vị Ngọc Phát Thanh hóa - 2011 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực, cha đợc công bố công trình khác Ngời cam đoan Lê Huy Vũ Lời cảm ơn Luận văn đợc hoàn thành trờng Đại Học Hồng Đức, dới hớng dẫn tận tình, nghiêm khắc GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Nhân dịp xin bày tỏ lòng kính phục, biết ơn sâu sắc chân thành Thầy, Ngời đà không truyền dạy kiến thức quý báu suốt thời gian học thạc sĩ trờng mà Thầy truyền cho lòng đam mê khoa học luôn thông cảm, động viên, khích lệ vợt qua khó khăn chuyên môn sống Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến TS Hoàng Văn Thi Một ngời Thầy hết lòng học trò Thầy đà giúp đỡ nhiều mặt từ học Đại học sát cánh bên tôi, động viên, an ủi vợt qua lúc khó khăn sống để tiếp tục đờng học hành Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ toán trờng Những ngời đà truyền đạt cho kiến thức nh lòng hăng say khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Tự Nhiên Trờng Đại học Hồng Đức đà giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình nghiên cứu, học tập trờng Cuối xin dành tặng luận văn cho gia đình tôi, bạn bè tôi, ngời bên cạnh động viên, khích lệ chỗ dựa tinh thần vững cho sống, học tập nghiên cứu Thanh Hóa, tháng 08 năm 2011 Tác Giả Mục lục Lời cảm ơn Môc lôc Mét sè kÝ hiÖu dïng luËn văn Mở đầu Chơng Cơ sở toán học 1.1 Bài toán ổn định ổn định hoá 1.1.1 Bài toán ổn định 1.1.2 Phơng pháp hàm Lyapunov 1.1.3 1.2 Bài toán ổn định hoá 10 Bµi toán ổn định, ổn định hoá hệ có trễ 11 1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 11 1.2.2 Bài toán ổn định hoá hệ phơng trình điều khiển có trễ 13 1.3 Mét sè bổ đề bổ trợ 14 Ch−¬ng Sự ổn định hệ tuyến tính suy biến có trễ 16 2.1 Sự ổn định hệ cã trƠ biÕn thiªn 16 2.2 HƯ tun tÝnh suy biÕn cã trƠ 18 Ch−¬ng Sù ỉn ®Þnh mị cđa hƯ suy biÕn cã trƠ 30 3.1 Tính ổn định mũ hệ suy biến có trễ 30 3.2 Tính ổn định mũ hệ suy biến không chắn có trễ 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mét sè kÝ hiệu dùng luận Văn R+ : tập tất số thực không âm; Rn : không gian véc tơ n-chiều với kí hiệu tích vô hớng h., i chuẩn véc tơ làk.k; Rnìr : không gian ma trận (n ì r) chiều; C([a, b], Rn): tập tất hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn ; AT : ma trËn chun vÞ cđa ma trËn A; I : ma trận đơn vị; : kí hiệu phần tử d−íi ®−êng chÐo chÝnh cđa mét ma trËn ®èi xøng; A 0 diag{A, A, A} := A 0 A (A): tập tất giá trị riªng cđa A; λmax (A) := max{Re λ : λ (A)}; kAk: chuẩn phổ ma trận A đợc ®Þnh nghÜa bëi kAk = p λmax (AT A); η(A): độ đo ma trận A đợc định nghĩa (A) = 12 λmax (A + AT ); A > 0: ma trận A xác định không âm; A > 0: ma trận A xác định dơng; A > B : nghÜa lµ A − B > 0; M + : tập ma trận hằng, đối xứng, xác định dơng; Mở đầu Lý thuyết ổn định hệ phơng trình vi phân hớng nghiên cứu quan träng, cã nhiỊu øng dơng thùc tÕ kÜ thuật Các công trình nghiên cứu đợc năm cuối kỷ XIX nhà toán học ngời nga Lyapunov Đến năn 60 thÕ kû XX, cïng víi sù ph¸t triĨn cđa lý thuyết điều khiển, ngời ta đà bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển Từ ®ã ®Õn nay, hai tÝnh chÊt nµy ®· trë thµnh hớng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiĨn hƯ thèng c¶ vỊ lý thut lÉn øng dơng, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nớc Nh đà biết, có nhiều phơng pháp để nghiên cứu tính ổn định hệ phơng trình vi phân Nhng có hai phơng pháp chủ yếu là: Phơng pháp thứ Lyapunov hay gọi phơng pháp số mũ đặc trng, phơng pháp thứ hai Lyapunov hay gọi phơng pháp hàm Lyapunov Trong đó, phơng pháp hàm Lypunov phơng pháp hữu hiệu để nghiên cứu ổn định ổn định hóa hệ điều khiển, hệ động lực, phơng trình vi phân hàm Vì vậy, luận văn này, nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ phơng trình vi phân hàm theo phơng pháp hàm Lyapunov Bên cạnh đó, hầu hết trình vật lý, sinh học, hóa học, kinh tế, kĩ thuật, liên quan đến ®é trƠ thêi gian, ®ã líp hƯ cã trƠ đà thu hút đợc nhiều quan tâm nhà toán học Mặt khác, toán xuất phát từ thực tế mà đợc mô tả phơng trình vi phân thờng bị suy biến Trong trờng hợp này, nghiên cứu ổn định phức tạp hệ không suy biến Vì thế, giải đợc toán ổn định hệ phơng trình vi phân suy biến có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Nó góp phần giải hàng loạt toán thực tiễn có tính ứng dụng cao Luận văn trình bày hớng nghiên cứu ổn định mũ hệ phơng trình vi phân suy biến có trễ Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chơng phần tài liệu tham khảo Chơng I, sở toán học Trong chơng này, giới thiệu toán ổn định ổn định hóa cho hệ phơng trình vi phân thờng, hệ phơng trình vi phân có trễ phơng pháp hàm Lyapunov Đồng thời trình bày số bổ đề quan trọng đợc dùng chứng minh định lý chơng sau Chơng II, trình bày số kết đà đợc nghiên cứu năm gần ổn định hệ phơng trình vi phân có trễ biến thiên Ngoài nêu định nghĩa mệnh đề ban đầu quan trọng hệ phơng trình vi phân suy biến có trễ Đồng thời, đa tiêu chuẩn ổn định bền vững cho hệ suy biến không chắn có trễ Đây sở cho việc mở rộng chơng III Chơng III, kết nghiên cứu luận văn Chơng nghiên cứu tính ổn định mũ hệ suy biến có trễ tính ổn định hệ suy biến không chắn có trễ Dựa vào kĩ thuật cải tiến hàm Lyapunov đà đa đợc tiêu chuẩn cho ổn định mũ hệ suy biến có trễ hệ suy biến không chắn có trễ dới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Hơn nữa, lớp hệ xét có ví dụ minh họa Mặc dù đà cố gắng nhiều nhng thời gian trình độ hạn chế nên luận văn trách khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận đợc bảo ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Chơng Cơ sở toán học Trong chơng này, trình bày số khái niệm tính ổn định tính ổn định hoá đợc lớp hệ phơng trình vi phân thờng lớp hệ phơng trình vi phân có chậm Chúng nhắc lại số kết kinh điển phơng pháp nghiên cứu 1.1 1.1.1 Bài toán ổn định ổn định hoá Bài toán ổn định Xét hệ thống đợc mô tả hệ phơng trình vi phân x(t) = f t, x(t) , t > 0, (1.1) ®ã x(t) Rn vectơ trạng thái, f : R+ ì Rn Rn hàm vectơ cho trớc Xuyên suốt luận văn ta giả thiết hàm f (.) thoả điều kiện cho với (t0 , x0) ∈ R+ × Rn hƯ (1.1) cã nghiƯm nhÊt qua điểm (t0, x0) nghiệm kéo dài đợc với t > t0 Khi đó, nghiệm đợc ta kÝ hiƯu lµ x(t; t0, x0) Víi x0(t) lµ mét nghiƯm cđa hƯ (1.1), b»ng phÐp ®ỉi biÕn z(t) = x(t) x0 (t), hệ (1.1) đợc ®−a vỊ d¹ng z(t) ˙ = f t, z(t) + x0 (t) − f t, x0(t) (1.2) Đặt F t, z(t) = f t, z(t)+x0(t) −f t, x0(t) th× F (t, 0) ≡ nghiệm z(t) hệ (1.2) tơng øng víi nghiƯm x0(t) cđa hƯ (1.1) Do ®ã, thay nghiên cứu tính ổn định nghiệm x0(t) hệ (1.1) ta nghiên cứu tính ổn định nghiƯm z(t) ≡ cđa hƯ (1.2) ChÝnh v× lÝ nên không tính tổng quát ta giả sử f (t, 0) 0, tức giả sử hệ (1.1) có nghiệm không (nghiệm đồng 0) Khi đó, ta có định nghĩa sau 34 Hơn ) ) det (sE b − A) b det (N det (sE − A) = det (M ¯ −1 )(−1)(n−r) det (sIbr − A b11) det (N ¯ ) = det (M (3.20) Điều suy đa thức đặc trng det (sE A) không đồng không deg det (sE − A) = r = rank(E) Do đó, hệ (3.1) regular impulse-free Bên cạnh đấy, chóng ta sÏ chøng tá r»ng hƯ (3.1) lµ ỉn ®Þnh mị ë ¯ N ¯ bëi M, N ; vµ E, b A b bëi E, ¯ A, ¯ đây,chúng ta định nghĩa M, công thøc tõ (3.5) ®Õn (3.9) vÉn sư dơng víi ¯= A A11 0 In−r (3.21) Thùc phép đổi biến dới x(t) = Ny(t) = N y1(t) y2(t) , (3.22) Víi y1 (t) ∈ Rr , y2(t) ∈ Rn−r Khi ®ã, hƯ (3.1) tơng đơng với y(t) E ˙ y(t) ¯ = Ay(t) + A¯d y(t − h), =N −1 φ(t) := ψ(t), t > 0, (3.23) t ∈ [−h, 0], hay lµ, y˙1 (t) 0 = A11y1 (t) + Ad11y1 (t − h) + Ad12y2 (t − h), t > 0, (3.24) = y2 (t) + Ad21y1 (t − h) + Ad22 y2(t h), Với điều kiện ban đầu y(t) = ψ(t) := ψ1(t) ψ2(t) , t ∈ [−h, 0], 1(t) 35 Rr , (t) ∈ Rn−r Víi α > 0, chóng ta xÐt hµm Lyapunov-Krasovskii cho hƯ (3.24) sau: ¯ V (t, yt) = y (t)P¯ Ey(t) + Z t ¯ e2α(s−t)y T (s)Qy(s)ds t−h Z 0Z t ¯ T Z¯ E ¯ y(u)duds + e2α(u−t)y˙ T (u)E ˙ T −h (3.25) t+s hay lµ, V (t, yt) = y1T (t)P¯11 y1(t) + Z t t−h + Z −h e2α(s−t) Z y1(s) y2(s) T Q11 Q12 QT12 Q22 y1(s) y2(s) ds t e2α(u−t)y˙1T (u)Z11 y1(u)duds t+s đễ dàng kiểm tra đợc (3.26) (P11 )ky1(t)k2 V (t, yt) λkyt k2C , víi ¯ + hλmax (Z)[λ ¯ max(A¯T A) ¯ + λmax (A¯T A¯d )] λ = λmax (P11 ) + hλmax (Q) d Sư dơng c«ng thøc Newton-Leibniz chóng ta cã y1(t) − y1(t − h) = Z t y˙1 (s)ds th Khi hệ (3.24) viết lại E¯ y(t) ˙ y(t) Ad11 Ad12 Ad11 R t ¯ = Ay(t) − t−h y˙1(s)ds + y1 (t) + y2 (t − h) Ad21 Ad21 Ad22 ψ1 (t) t ∈ [−h, 0] = ψ(t) := , (t) Bởi sử dụng công thức đạo hàm sau: (3.27) 36 Z Z Z d t f (z)dzds = hf (t) − u(t ˙ + s)f u(t + s) ds dt h u(t+s) h Đạo hµm theo t hµm V (t, yt) däc theo nghiƯm cña (3.27) ta cã V˙ (t, yt) ¯ y(t) ¯ y(t) ¯ ¯ ¯ T Z¯ E ˙ = 2y T (t)P¯ E ˙ + y T (t)Qy(t) − e−2αh y T (t − h)Qy(t − h) + hy˙ T (t)E Z ¯ T Z¯ E¯ y(t ¯ ¯ ˙ + s)ds + 2αy T (t)P¯ Ey(t) − e2αsy˙ T (t + s)E − 2αy T (t)P¯ Ey(t) −h Z t Z 0Z t 2α(s−t) T ¯ ¯ T Z¯ E¯ y(u)duds ˙ − 2α e y (s)Qy(s)ds − 2α e2α(u−t)y˙ T (u)E t−h −h t+s ! Z t A A A d11 d11 d12 ¯ y1(t) + y2(t − h) = 2y T (t)P¯ Ay(t) − y˙1 (s)ds + t−h Ad21 Ad21 Ad22 ¯ ¯ ¯ T Z¯ E ¯ y(t) + y T (t)Qy(t) − e−2αh y T (t − h)Qy(t − h) + hy˙ T (t)E ˙ Z ¯ y(t ¯ ¯ T Z¯ E ˙ + s)ds − 2αV (t, yt) − e2αs y˙ T (t + s)E + 2αy T (t)P¯ Ey(t) −h ¯ + 2αP¯ E¯ y(t) − e−2αh y T (t − h)Qy(t ¯ − h) = y T (t) P¯ A¯ + A¯T P¯ T + Q Z t Ad11 Ad11 ¯ T Z¯ E¯ y(t) y1 (t) ˙ − 2y T (t)P¯ + hy˙ T (t)E y˙1 (s)ds + 2y T (t)P¯ Ad21 t−h Ad21 Z Ad12 T ¯ y(t ¯ ¯ T Z¯ E y2 (t − h) − ˙ + s)ds − 2αV (t, yt) + 2y (t)P e2αsy˙ T (t + s)E −h Ad22 (3.28) Tõ (3.14), h¬n thÕ chóng ta áp dụng Bổ đề 1.3.5 với a(·) = ¯ = C =X y1(t) y2(t) , b(·) = y˙1 (t), N(·) = X11 X12 T X12 X22 P22 Ad11 Ad21 ,D = Y11 Y21 , vµ S = e−2αhZ11 , chóng ta thu đợc T (t) P y P A 12 11 d11 y˙ 1(s)ds −2y T (t)P¯ y˙1 (s)ds = −2 t−h y2 (t) Ad21 t−h P22 Ad21 Ad11 P11 P12 Z t Z t 37 T X12 Y11 − P11 Ad11 − P12 Ad21 y (t) X y (t) 11 y2(t) ∗ X22 y2(t) ds −Y21 − P22 Ad21 t−h −2αh ∗ ∗ e Z11 y˙1 (s) y˙1 (s) T Z t X11 X12 y1 (t) y1 (t) −2αh ds + e y˙ T (s)Z11 y(s)ds ˙ 6h t−h y2 (t) y2 (t) ∗ X22 ! T ! Y11 Ad11 y1 (t) − P¯ + 2 y1(t) − y1(t − h) Y21 Ad21 y2 (t) Z t (3.29) ¯ hy T (t)Xy(t) + 2y T (t)Y¯ y(t) − 2y T (t)Y¯ y(t − h) Z t A d11 −2αh T T ¯ +e y˙ (s)Z11 y(s)ds ˙ − 2y (t)P y1 (t) − y1 (t − h) t−h Ad21 Bªn cạnh đấy, có Z T Z t ¯ T Z¯ E ¯ y(t ¯ y(s)ds − e y˙ (t + s)E Z¯ E e2α(t−s)y˙ T (s)E ˙ + s)ds = − ˙ −h t−h (3.30) Z t Z t −2αh T T ¯ ¯ −2αh T ¯ y˙ (s)E Z E y(s)ds y˙ (s)Z11 y(s)ds ˙ ˙ = −e −e 2αs T t−h t−h Tõ (3.28),(3.29) and (3.30) suy r»ng V˙ (t, yt) + 2αV (t, yt) ¯ + 2αP¯ E ¯ + hX ¯ + Y¯ T + Y¯ y(t) − 2y T (t)Y¯ y(t − h) y T (t) P¯ A¯ + A¯T P¯ T + Q ¯ y(t) ¯ ¯ T Z¯ E ˙ + 2y T (t)P¯ A¯dy(t − h) − e−2αh y T (t − h)Qy(t − h) + hy˙ T (t)E (3.31) Ngoµi ra, chóng ta cã iT h i h T ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ hy˙ (t)E Z E y(t) ˙ = h Ay(t) + Ad y(t − h) Z Ay(t) + Ad y(t − h) T ¯ ¯T Z¯ Ay(t) + hy T (t)A¯T Z¯ A¯d y(t − h) = hy T (t)A ¯ + hy T (t − h)A¯Td Z¯ A¯d y(t − h) + hy T (t h)ATd Z Ay(t) (3.32) 38 Kết hợp (3.31) (3.32), thu đợc kết V (t, yt) + 2αV (t, yt) i h T T ¯T T T ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y (t) P A + A P + Q + 2αP E + hX + Y + Y + hA Z A y(t) h h i + y T (t) P¯ A¯d − Y¯ + hA¯T Z¯ A¯d y(t − h) + y T (t − h) A¯Td P¯ T − Y¯ T i i h ¯ + hA¯T Z¯ A¯d y(t − h) + hA¯Td Z¯ A¯ y(t) + y T (t − h) −e−2αh Q d T ¯ P¯ A¯d − Y¯ + hA¯T Z¯ A¯d Σ y(t) y(t) , 6 −2αh ¯ T ¯ ¯ ¯ Q + hAd Z Ad y(t − h) ∗ −e y(t h) (3.33) = P A + A¯T P¯ T + Q ¯ ¯ + 2αP¯ E ¯ + hX ¯ + Y¯ T + Y¯ + hA¯T Z¯ A Σ T N N , Hơn nữa, nhân bên trái nhân bên phải (3.3) N N chóng ta cã ¯ P¯ A¯d − Y¯ + hA¯T Z¯ A¯d Σ −2αh ∗ −e ¯ + hA¯T Z¯ A¯d Q d < (3.34) Tõ (3.33) and (3.34), suy r»ng V˙ (t, yt) + 2αV (t, yt) 0, vµ ®ã V (t, yt) V (0, φ(t))e−2αt (3.35) Từ (3.26) and (3.35) thu đợc (P11 )ky1(t)k2 V (t, yt) λkφk2C e−2αt , hay lµ, ky1(t)k s λ kφkC e−αt λmin (P11 ) (3.36) 39 Do ®ã, chóng ta ®· chøng minh r thành phần đầu hệ (3.1) ổn định mũ chứng minh phần lại hệ (3.24) ổn định mũ ThËt vËy, tõ (3.24), chóng ta cã = y2(t) + Ad21y1(t − h) + Ad22y2 (t − h) (3.37) T , Nhân vào bên trái hai vế phơng trình (3.37) với 2y2T (t)P22 thu đợc T T T = 2y2T (t)P22 y2 (t) + 2y2T (t)P22 Ad22y2 (t − h) + 2y2T (t)P22 Ad21y1 (t h) (3.38) Chúng ta đặt hàm có cấu trúc T (t) = y2T (t)Q22y2(t) − e−2αhy2T (t − h)Q22y2 (t h) Từ (3.38) áp dụng Bổ đề 1.3.1 ta cã T T T (t) = y2T (t) Q22 + P22 + P22 y2 (t) + 2y2T (t)P22 Ad22 y2(t − h) T Ad21y1 (t − h) − e−2αh y2T (t − h)Q22y2 (t − h) + 2y2T (t)P22 T T T P22 A22 P + P22 + Q22 y (t) y2 (t) 22 6 ∗ −e−2αh Q22 y2(t − h) y2 (t − h) (3.39) T z(t) + η1 y2T (t)y2(t) + η1−1 z T (t)P22P22 số dơng z(t) = Ad21y1 (t − h) Bëi (3.17), chóng ta cã thÓ chän η2 > cho T + Q22 P22 A22 + AT22P22 ∗ η2 I − −2αh 0 −e Q22 P22 Ad22 (3.40) Mặt khác,chúng ta lựa chọn đợc đủ nhỏ cho > Khi tìm ®−ỵc sè η3 > 1, cho Q22 − (η1 − η2)I > η3 Q22, v× thÕ 40 η3 y2T (t)Q22y2(t) y2T (t)Q22y2(t) − y2T (t)(η1 − η2 )y2(t) (3.41) Tõ (3.38) vµ (3.39) ta thÊy r»ng T (t) = y2T (t)Q22y2 (t) − e−2αh y2T (t − h)Q22y2 (t − h) (3.42) T −η2 y2T (t)y2(t) + η1y2T (t)y2(t) + η1−1 z T (t)P22P22 z(t) Sư dơng (3.41) ®Õn (3.42), chóng ta cã T η3y2T (t)Q22y2 (t) e−2αhy2T (t − h)Q22y2(t − h) + η1−1 z T (t)P22 P22 z(t), Hay lµ, T y2T (t)Q22y2 (t) η3−1 e−2αh y2T (t − h)Q22y2 (t − h) + (η1 η3 )−1 z T (t)P22 P22 z(t) (3.43) Bëi v× , kz(t)k2 = kAd21y1 (t − h)k2 λ λmax (ATd21Ad21) kφk2C e−2αt λmin (P11 ) V× vËy, tõ (3.43) suy r»ng ky2T (t)Q22y2 (t)k δ1ky2T (t − h)Q22y2 (t − h)k + δ2 e−2αt, ë ®©y T δ1 = η3−1 e−2αh , δ2 = (η1 η3 )−1 λmax (P22 P22 )λ λmax (ATd21Ad21) kφk2C (P11) Bởi áp dụng Bổ đề 2.6 tới bất đẳng thức trên, có t ky2 (t)k2 λ−1 + λ−1 (Q22 )λmax (Q22)ky2 (φ)kC e (Q22 ) δ2e−ε0 t , t > 0, − δ1e−ε0 h víi < ρ < h1 ln 1,0 = min{, }, ky2(t)k r −1 λ−1 (Q22 )λmax (Q22 )ky2 (φ)kC + λmin (Q22 ) −ε0 δ2 e t , t > −ε h − δ1 e Do đó, đà đợc chứng minh xong ổn định mũ phần lại hệ (3.24) Vì thế, ổn định mũ hệ (3.1) đợc chứng minh Định lý đà đợc chứng minh 41 Sau ví dụ minh họa ổn định mũ hệ (3.1) Ví dô 3.1.1 Cho h = 1, α = 0.5, e = 2.71828 vµ E= 0 0 ,A = , Ad = −2 −1 −1 Khi đó, ta chọn ma trận Q= 3.2810 −1.2746 −1.2746 8.8979 P = ,X = 1.2326 2.0140 0.0000 0.0000 5.3674 0.6457 −5.2459 −1.2914 ,Y = ,Z = 5.3674 0.0000 0.0000 0.6413 −2.8262 5.6524 −0.0000 0.0000 , Khi hệ (3.1) ổn định mũ 3.2 Tính ổn định mũ hệ suy biến không chắn có trễ Trên sở Định lý 3.1 ổn định mũ hệ suy biến có trễ (3.1) mở xét ổn định mũ hệ suy biến trễ sau E x(t) ˙ x(t) = (A + ∆A(t))x(t) + (Ad + ∆Ad(t))x(t − h), = φ(t), t > 0, (3.44) t [h, 0] x(t) Rn véc tơ trạng thái E, A, Ad ma trận với giá trị thực tháa m·n < rank(E) = r < n, vµ (t) C ([h, 0], Rn hàm điều kiện ban đầu với chuẩn q kk = sup k(t)k2 + k(t)k ht0 Sự không chắn ∆A(t) vµ ∆Ad(t) tháa m·n h h i i = HF (t) D Dd ∆A(t) ∆Ad (t) (3.45) 42 ë đây, H, D Dd ma trận thực có số chiều thích hợp F (t) ma trËn thùc ch−a biÕt tháa m·n F T (t)F (t) I Định lý 3.2.1 Hệ suy biến không chắn có trễ (3.44) regular, impulse-free ổn định mũ, tồn ma trận đối xứng xác định dơng Q, X, Z ma trận P, Y số dơng > thỏa mÃn bất đẳng thức ma trận tuyến tính dới E T P T = P E > 0, T (3.46) T Ω P Ad − Y hA Z P H D ∗ −e−2αhQ hATd Z DdT ∗ ∗ −hZ hZH ∗ ∗ ∗ −I ∗ ∗ ∗ ∗ −I X ∗ e < 0, (3.47) Y −2αh T E ZE > 0, (3.48) = AT P T + P A + Q + hX + Y + Y T + 2αP E chøng minh Bëi tõ chøng minh Định lý 3.1.1, lặp lại A, Ad A + ∆A(t), Ad + ∆Ad (t) Khi ®ã, chóng ta cã V˙ (t, yt) + 2αV (t, yt) 0, nÕu Σ P [Ad + ∆Ad (t)] − Y + h[A + ∆A(t)]T Z[Ad + ∆Ad (t)] < 0, −2αh T ∗ −e Q + h[Ad + Ad(t)] Z[Ad + Ad(t)] (3.49) 43 T Σ = A + ∆A(t) P T + P A + ∆A(t) +Q + hX + Y T + Y T + 2αP E + h A + ∆A(t) Z A + ∆A(t) áp dụng Bổ đề 1.3.3, điều kiện (3.49) tơng đơng với P Ad + ∆Ad(t) −Y Ξ = ∗ ∗ −e−2αh Q ∗ T h A + ∆A(t) Z T h Ad + ∆Ad (t) Z < −hZ (3.50) Víi T Π = A + ∆A(t) P T + P A + ∆A(t) +Q + hX + Y + Y T + 2αP E DÔ thÊy r»ng T DT PH Ω P Ad − Y hA Z Ξ = ∗ −e−2αh Q hATd Z + F (t) DdT + hZH ∗ ∗ −hZ T T !T DT PH T F (t) Dd hZH (3.51) Sư dơng Bỉ ®Ị 1.3.4, th× T T T T T D PH PH Ω P Ad − Y hA Z D Ξ ∗ −e−2αh Q hATd Z + −1 + DdT DdT (3.52) 0 ∗ ∗ −hZ hZH hZH Tiếp tục sử dụng Bổ đề 1.3.3, bất đẳng thức (3.52) tơng đơng với T T P Ad − Y hA Z P H D ∗ −e−2αh Q hATd Z DdT Ξ ∗ ∗ −hZ hZH ∗ ∗ ∗ −I ∗ ∗ ∗ ∗ −I < 0, = AT P T + P A + Q + hX + Y + Y T + 2P E (3.53) 44 Định lý đợc chøng minh Chóng ta xÐt mét vÝ dơ vỊ sù ổn định mũ hệ suy biến không chắn cã trƠ (3.44) VÝ dơ 3.2.1 Gi¶ sư r»ng h = 0.8, α = 0.5, e = 2.71828, = 0.02, F (t) = cos(t) vµ 0.1 0 0 , Ad = ,A = ,H = , E= −1 −2 0.5 1 −1 h i h i D = 0.2 0.3 , Dd = 0.1 0.3 Khi đó, ta chọn ma trËn Q= 0.8764 −0.0002 −0.0002 1.0366 P = ,X = 6.8442 −0.0000 −0.0000 7.5717 3.6479 1.7616 1.4456 1.7616 ,Y = ,Z = 0.8353 0.0013 0.0013 1.0847 −1.2516 −1.2516 0.0000 0.0000 Khi hệ suy biến không chắn (3.44) ổn định mũ , 45 Kết luận Luận văn đà trình bày số hớng nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ có trễ biến thiên lớp hệ suy biến không chắn có trễ Nội dung luận văn : Giới thiệu số kết nghiên cứu gần tính ổn định tiệm cận hệ phơng trình vi phân có trễ biến thiên tiêu chuẩn ổn định,ổn định hóa cho hệ suy biến không chắn có trễ Bằng việc cải tiếp hàm Lyapunov sử dụng số kĩ thuật chứng minh phù hợp, đà chứng minh kết mở rộng tính ổn định mị cho líp hƯ suy biÕn cã trƠ vµ líp hệ suy biến không chắn có trễ Luận văn gợi mở hớng nghiên cứu : Nghiên cứu tính ổn định, ổn định mũ hệ suy biến tuyến tính có trễ biến thiên không khả vi 46 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cở sở phơng trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Mạnh Linh (2006), Tính ổn định ổn định hoá cho lớp hệ động lực phi tun, Ln ¸n tiÕn sü to¸n häc, ViƯn To¸n häc [3] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Đình Ph (2001), Lý thuyết ổn định ứng dụng, NXB Đại học quốc gia HCM [5] L H Vũ, H V Thi V N Phát (2011), Sự ổn định mũ phụ thuộc trễ hệ tuyến tính không chắn suy biến có trễ.Đà gửi đăng Tạp chí khoa học Đại học Hồng Đức Tiếng Anh: [6] Anh P K., Hoang D S (2006), Stability of a class of singular difference equations, Int J Difference Equ., 1(2), 181-193 [7] Abou-Kandil H., Freiling G., Ionescu V and Jank G (2003), Matrix Riccati Equations in Control and Systems Theory, Basel, Birkhauser [8] Hale J and Verduyn Lunel S M (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York 47 [9] Xu, S, Van Dooren, P., Stefan, R., and Lam,J Robust stability and stabilization for singular systems with state delay and parameter uncertainty.IEEE Transactions on Automatic Control 47(2002), 1122-1228 [10] Boyd S., El Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Appl Math., SIAM PA, vol.15 [11] P.T Nam , V.N Phat Robust Stabilization of Linear Systems with Delayed State and Control, J Optim Theory Appl, 140(2009), 287299 [12] S Xu, P Van Dooren, R Stefan, and J Lam (2002), Robust stability and stabilization for singular systems with state delay and parameter uncertainty IEEE Trans Aut Contr., 47, pp 1122-1228 [13] Le V Hien, V.N Phat, Exponential stability and stabilization of a class of uncertain linear time-delay systems, J of Franklin Insttitute, 346(2009), 611-625 [14] Yue D., Lam, J., and Daniel, W.C Ho,Delay-dependent Robust exponential stability of uncertain descriptor systems with timedelaying delays Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Serie B 12(1)(2005),129-149 [15] D H Gao, S.Zhu, Z Cheng and B Xu, Delay-dependent state feedback guaranteed const control for uncertain singular time-delay systems, In: Proc IEEE Conf Decision and Control, Spain, December 12-15, 2005 48 [16] D.H Su, X Ji, and J Chu, Delay-dependent robust control for uncertain singular time-delay systems, Asian J of Control, Vol 8(2006), 180-189 [17] Fridman, E,Stability of linear descriptor systems with delay: A Lyapunov-based approach journal of Mathematical Analysis and Applications,(2002), 273, 24-44 [18] Fuzhen Zhang, Matrix theory,New York : Springer-Verlag,1999 [19] Phat V N., Bay N S and Hoan N T (2003), On the asymptotic stability of time-varying differential equations with multiple delays and applications, Acta Math Vietnamica, 28, 51-64 [20] Phat V N (2006), Global stabilization for linear continuous timevarying systems, Appl Math Comput., 175, 1730-1743 [21] Phat V N and Niamsup N (2006), Stabilization of linear nonautonomous systems with norm bounded controls, J Optim Theory Appl., 131, 135-149 [22] Yoshizawa T (1966), Stability Theory by Lyapunov Second Method Publication of the Math Soci of Japan, No.9, Tokyo [23] Hanyong Shao (2009), New delay-dependent stability criteria for systems with interval delayAutomatica , No.45, 744-749 [24] Ikeda M., Maeda H., Kodama S.(1972), Stabilization of linear systems, SIAM J Contr 10, 716-729 [25] Kharitonov V L., Hinrichsen D (2004), Exponential estimates for time delay systems, Systems & Control Letters, 53, 395-405 [26] Z Shu and J Lam, (2008, Exponential estimates and stabilization of uncertain singular systems with discrete and distributed delays,International Journal of Control, vol 81, pp 865-882