i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại Khoa tự nhiên trường Đại học Hồng Đức dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Nam trường đại học Hồng Đức Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn đã[.]
i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa tự nhiên trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Hoàng Nam - trường đại học Hồng Đức Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phận quản lý đào tạo sau đại học thuộc phịng Đào tạo, mơn Giải tích Khoa tự nhiên trường đại học Hồng Đức giúp đở tơi tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng cám ơn đến trường THPT Tĩnh Gia 1Thanh Hóa tạo điều kiện thời gian cho yên tâm học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn tốt nghiệp Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến góp ý thầy giáo, cô giáo, anh chị em đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! MỤC LỤC Danh mục ký hiệu iv Lời mở đầu Chương Phương trình vi phân đại số 1.1 Chỉ số ma trận 1.2 Phương trình vi phân đại số 1.3 Phương trình vi phân đại số có số 10 Chương Tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân đại số tuyến tính 15 2.1 Tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân thường 2.2 Tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân đại số số 15 18 Chương Tính ổn định tiệm cận phương trình Hessenberg có số 3.1 30 Phép chiếu phương trình vi phân đại số có số dạng Hessenberg 30 3.2 Tính ổn định tiệm cận phương pháp tích phân 34 3.3 Công thức vi phân ngược (BDF) áp dụng cho phương trình vi phân đại số có số 3.4 40 Phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) phép chiếu chúng áp dụng cho phương trình vi phân đại số 3.5 tuyến tính có số 42 Một số giả thuyết phản ví dụ 49 iii Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU L(Rm ) := L(Rm , Rm ) - Tập tốn tử tuyến tính liên tục Rm Im(A) - Ảnh ma trận A ker A - Không gian không A detA - Định thức ma trận A indA - Chỉ số ma trận A rankA - Hạng ma trận A ind(A, B) - Chỉ số cặp ma trận (A, B) C(R+ , L(Rm )) - Tập ma trận hàm liên tục cấp m xác định R+ C(R+ , Rm ) - Tập véc tơ hàm liên tục Rm xác định R+ Ci (R+ , L(Rm )) - Tập ma trân hàm Rm khả vi liên tục cấp i xác định R+ C1 (R+ , Rm ) - Tập ma trận hàm khả vi liên tục Rm xác định R+ QS - Phép chiếu tắc lên N(t) dọc S(t) PS := I − QS - Phép chiếu tắc lên S(t) dọc N(t) U (t) = [u1 (t) , , um (t)]- Ma trận U(t) tạo véc tơ cột hz, viS := hSz, vi - Tích vơ hướng |z|S := hz, ziS2 - chuẩn véc tơ z diag {A1 , A2 , , An } - ma trận chéo ma trận vuông A1 , A2 , , An LỜI MỞ ĐẦU Trong khoa học ứng dụng thực tiễn nay, có nhiều vấn đề, nhiều tốn, chẳng hạn mơ tả động lực, mô tả hệ thống mạng điện, vấn đề lý thuyết điều khiển, đòi hỏi phải quan tâm giải hệ phương trình vi phân đại số Đây lý mà phương trình vi phân đại số hướng nghiên cứu mở, quan tâm nghiên cứu nhiều năm gần đây.Ngay từ cuối năm 70 đầu năm 80 kỉ XX có nhiều nhà toán học giới nghiên cứu phương trình vi phân đại số, số nhà toán học thuộc Đại học Humbodt Berlin, nhóm nhà tốn học Nga, Mỹ, Ba Lan số nước khác Ở nước ta, vào năm 90 kỉ XX có số nhà toán học thuộc Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Viện Toán học quan tâm nghiên cứu phương trình vi phân đại số Một cách phân lớp khác phương trình vi phân đại số dựa vào số chúng, phương trình vi phân thường (det A 6= 0) đặc trưng số Phương trình vi phân đại số “chuyển được” có số lớp phương trình vi phân đại số đơn giản nhất, phương trình cách sử dụng số phép chiếu ta phân rã chúng hệ gồm phương trình vi phân thường phương trình đại số Để nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số cao, ta dùng phương pháp hạ số để quy phương trình vi phân đại số có số thấp hơn, hướng nghiên cứu phương trình vi phân đại số chủ yếu nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số 2, dạng A(t)x0 + B(t)x = , t ∈ [t0 ; +∞) (0.1) với ma trận hệ số A(t) suy biến với t ∈ [t0 ; +∞) Trong thời gian qua có nhiều kết thu phương trình vi phân đại số, chẳng hạn kết nghiệm, tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ phương trình vi phân đại số có số thấp (có số 1, 2), tính ổn định hệ có nhiễu nhỏ, tính nhị phân phương trình vi phân đại số, Điều đáng ý hệ phương trình vi phân đại số quy có số với điều kiện định hệ tính ổn định tiệm cận hay ổn định tiệm cận mũ nghiệm hệ lại hồn tồn tương ứng với tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận mũ hệ phương trình vi phân thường tương ứng hệ Đã có nhiều nghiên cứu tính ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận mũ nghiệm phương trình vi phân đại số có số Luận văn này, muốn tập trung nghiên cứu sâu thêm tính ổn định tiệm cận loại phương trình vi phân đại số có số dạng đặc biệt, phương trình vi phân đại số có số dạng Hessenberg, chúng tơi chọn đề tài “Tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân đại số có số 2” Nội dung nghiên cứu luận văn này, chủ yếu sâu nghiên cứu phương trình dạng Hessenberg có số 2, phép chiếu tính ổn định tiệm cận phương trình Hessenberg có số Luận văn cấu trúc gồm: • Phần mở đầu • Chương I: Phương trình vi phân đại số • ChươngII: Tính ổn định phương trình vi phân đại số tuyến tính • Chương III: Tính ổn định tiệm cận phương trình Hessenberg có số • Kết luận CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Chỉ số ma trận Khái niệm số ma trận, cặp ma trận sử dụng nhiều việc nghiên cứu, phân lớp phương trình vi phân đại số phân giải lớp phương trình vi phân đại số Sau đưa số khái niệm liên quan đến số ma trận Định nghĩa 1.1.1 Phép chiếu P ∈ L(Rm , Rm ) (viết gọn P ∈ L(Rm )) (m × m) - ma trận P cho P2 = P Đối với phép chiếu P ta ln có hệ thức imP ⊕ kerP = Rm Ngược lại, với phân tích Rm thành tổng trực tiếp hai không gian Rm = U ⊕V tồn phép chiếu P cho im (P) = U ker (P) = V Khi phép chiếu P gọi phép chiếu lên U dọc V Q = I − P phép chiếu lên V dọc U Định nghĩa 1.1.2 Với (m × m) - ma trận A, số ma trận A số tự nhiên k ∈ N nhỏ cho ker Ak = ker Ak+1 Ký hiệu n o k k+1 ind (A) = k : ker A = ker A Ta có l im A + ker Al ⊂ Rm với < l < ind(A), (l ∈ N) k k k im A + ker A = im A ⊕ ker Ak = Rm với k > ind(A) Với cặp ma trận (A, B) ta xét hàm η (z) := det (zA + B) Rõ ràng η đa thức z deg (det (zA + B)) rank (A) Định nghĩa 1.1.3 Cặp ma trận (A, B) gọi quy tồn z ∈ R cho det (zA + B) 6= Trong trường hợp ngược lại ta gọi cặp (A, B) suy biến Chú ý: Nếu cặp ma trận (A, B) quy det(cA + B) 6= với hầu hết giá trị c ∈ R Định nghĩa 1.1.4 Nếu cặp ma trận (A, B) quy det (cA + B) 6= −1 ind (cA + B) A gọi số cặp ma trận (A, B) Ký hiệu −1 ind (A, B) := ind (cA + B) A Chú ý số cặp ma trận (A, B) không phụ thuộc vào việc chọn c ∈ R Bổ đề 1.1.5 im(Ak ) + ker(Ak ) ⊂ Rm với < k < indA im(Ak ) + ker(Ak ) = im(Ak ) ⊕ ker(Ak ) = Rm với k > indA Các tính chất cặp ma trận (A, B) quy số thể thơng qua định lí mệnh đề tương đương sau Định lý 1.1.6 Giả sử A ma trận suy biến, mệnh đề sau tương đương a, Cặp ma trận (A, B) quy số 1; x ∈ ker A b, ⇒x=0 Bx ∈ im(A) c, Cặp ma trận (A, B) quy deg P = rank (A) với P(z) := det(zA + B) d, Cặp ma trận (A, B + AW ) quy ind (A, B + AW ) = 1, với ma trận W ∈ L (Rm ) e, Ma trận G := A + BQ, không suy biến với phép chiếu Q lên ker(A) g, Với S = {x : Bx ∈ imA} ta có hệ thức S ⊕ ker A = Rm h, Nhân vào bên trái với ma trận khơng suy biến thích hợp E ∈ L (Rm ) cho EA = A1 , EB = B1 , rankA = rankA1 B2 ta ma trận không suy biến A1 B1 ∈ L(Rm ) Định nghĩa 1.1.7 Giả sử ma trận A, B ∈ L (Rm ) có ind (A, B) = 1, S = {x : Bx ∈ imA} gọi không gian liên hợp Phép chiếu Qs lên N dọc S gọi phép chiếu tắc Mệnh đề 1.1.8 Nếu cặp ma trận (A, B) qui, ind (A, B) = Q phép chiếu lên ker(A) đẳng thức sau G−1 A = I − Q G−1 BQ = Q QG−1 B = Qs G = A + BQ 1.2 Phương trình vi phân đại số Xét phương trình vi phân tuyến tính A (t) x0 + B(t)x = q(t), t ∈ [t0 , ∞) (1.1) với ma trận hệ số A, B ∈ C (R+ , L (Rm )) ; q (t) ∈ C(R+ , L(Rm )) Định nghĩa 1.2.1 Phương trình vi phân (1.1) gọi phương trình vi phân đại số ma trận A(t) suy biến,với ∀t ∈ J, hay det A(t) = với ∀t ∈ J Định nghĩa 1.2.2 Phương trình vi phân (1.1) gọi quy R+ cặp ma trận (A, B) quy, nghĩa ∀t ∈ R+ tồn λ (t) ∈ R+ cho: det(λ (t)A(t) + B(t)) 6= Đặc biệt phương trình (1.1) gọi quy ngặt λ không phụ thuộc vào t Định nghĩa 1.2.3 Phương trình vi phân (1.1) gọi mềm dim(ker A) hữu hạn Mars đưa khái niệm số mềm dựa việc xây dựng dãy xích ma trận sau P0 (t) := P(t) , Q0 := Q(t) A0 (t) := A(t) , A1 (t) := A0 (t) + B0 (t) Q (t) , A2 (t) := A1 (t) + B1 (t) Q1 (t) Ai (t) := Ai−1 (t) + Bi−1 (t)Qi−1 (t), (i = 1, 2, ) B0 := B(t) − A(t)P0 (t) B1 := B0 (t) P (t) Bi (t) := Bi−1 (t)Pi−1 (t) − Ai (t)(PP1 , , Pi−1 )0 (t)(PP1 , , Pi−1 )(t), (i = 1, 2, ) 28 đó, Q := I − P phép chiếu lên khơng gian khơng N, A = A (P + Q) = AP Có thể dễ dàng kiểm tra rằng, từ (2.19) suy đồng thức h (y, x,t) ≡ h (Py, x,t) (2.20) ngược lại Từ đó, phương trình (2.15) viết lại sau A(Px)0 (t) + Bx (t) + h (Px)0 (t) , x (t) ,t = (2.21) Sau này, ta xét phương trình (2.15) cách viết ngắn gọn (2.21) Thực tế, yêu cầu nghiệm (2.15) thuộc lớp CN1 := x (·) ∈ C : Px (·) ∈ C1 Chỉ có thành phần hàm ẩn có đạo hàm thực tham gia vào (2.15) thuộc lớp C1 Còn đối thành phần khác cần liên tục Ở đây, cần ý hai lớp CN1 công thức (2.21) không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P Đối với A khơng suy biến, ta có khơng gian khơng N = ker A = {0}, P = I, CN1 = C1 Tuy nhiên, A suy biến, imP ⊂ Rm trở thành không gian thực tế CN1 lớp rộng C1 Ví dụ 2.2.8 Xét hệ hai chiều x10 (t) + x1 (t) + α (t) x1 (t)2 = (2.22) x2 (t) + β (t) x1 (t)2 + γ (t) x2 (t)2 = (2.23) với hàm vô hướng α (·) , β (·) , γ (·) liên tục, bị chặn [0, ∞) Rõ ràng, tất giả thiết hàm h thoả mãn Đặc biệt, (2.19) thoả mãn h0x0 = Hơn nữa, ta có A = diag (1, 0) , B = I, det (λ A + B) = λ + 1, ind {A, B} = 1, lựa chọn P = diag (1, 0) Lớp tương ứng CN1 bao gồm tất hàm liên tục x (·) = (x1 (·) , x2 (·))T , thành phần thứ liên tục khả 29 vi Hệ (2.22), (2.23) nghiệm phải tìm thuộc CN1 thay thuộc C1 , cần thiết thêm tính trơn hàm h Người ta rằng, phương trình vi phân thường qui(2.22) với ẩn x1 (.) giải lần đối số tiêu chuẩn Nghiệm khơng ổn định Phương trình hạn chế (2.23) xác định thành phần thứ hai phụ thuộc vào thành phần x1 (t) → (t → ∞), x2 (t) → (t → ∞) Rõ ràng, để phủ tất nghiệm lân cận nghiệm tầm thường hệ hoàn chỉnh (2.22), (2.23), ta phải thay đổi thời điểm ban đầu thành phần thứ Ta thấy σ {A, B} = {−1} ⊂ C− nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận Ví dụ đưa đề cập đến đặc tính quan trọng phương trình vi phân đại số Thứ phải giải ràng buộc kiểu (2.23), mà giải gọi ẩn Thực tế, giá trị ban đầu x0 := x (t0 ) nghiệm thoả mãn tất ràng buộc thích hợp, nghĩa là, x0 xác định t0 Tuy nhiên, làm để diển đạt toán giá ban đầu ? công thức x (t0 ) = x0 , x0 ∈ Rm xác định t0 tốt, khơng thích hợp thực tế Nói chung, khơng có ý tưởng ràng buộc giống Mặt khác, khởi đầu đơn giản x (t0 ) = x0 ∈ Rm thành vấn đề giải Sau đây, ta cố gắng cho cố định số tự liên quan theo nghĩa ma trận chiếu Π ∈ L (Rm ) cho tính tốn thực tế thành phần A, B Ta bắt đầu Πx (t0 ) = Πx0 , x0 ∈ Rm (2.24) điều kiện ban đầu Chú ý rằng, trường hợp A không suy biến, hiển nhiên ta có Π = I Trong ví dụ (2.22), (2.23) cách chọn Π = P = diag (1, 0) phù hợp Nói chung Π phụ thuộc vào chùm ma trận {A, B}, đặc biệt số 30 CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HESSENBERG CĨ CHỈ SỐ 3.1 Phép chiếu phương trình vi phân đại số có số dạng Hessenberg Xét hệ phương trình vi phân dạng Hessenberg, nghĩa hệ dạng x1 + B11 x1 + B12 x2 = q1 (3.1) B12 x1 =q2 đó, x = (x1T , x2T )T , x1 ∈ Rm1 , x2 ∈ Rm2 , m = m1 + m2 Trong trường hợp này, ta có I B B12 0 , B = 11 , Q = , A= 0 B21 0 I n o T T T m S(t) = S1 (t) = (z1 , z2 ) ∈ R : B21 (t)z1 = I G1 = B12 Rõ ràng, z ∈ S1 (t) ∩ N1 (t) kéo theo z = B21 (t), B12 (t) không suy biến, điều kiện để phương trình có số dạng Hessenberg mà ta biết Với điều kiện này, khối B12 (t)(B21 (t)B12 (t))−1 B21 (t) =: H(t) phép chiếu Phép chiếu chiếu lên imB12 (t) dọc theo ker B21 (t) Ký hiệu E := B12 (B21 B12 )−1 F := (B21 B12 )−1 B21 Ta có H I −H H , PP1 = , PQ1 = Q1 = −F 0 0 Thêm vào đó, ta có (I − H)B11 (I − H) PP1 G−1 B = 0 0 (3.2) 31 Phép chiếu tắc Π I −H Π= −FB11 (I − H) + F (I − H) Nhớ lại M(t) = imΠ(t) ⊂ Rm xác khơng gian nghiệm phương trình (3.1) Nó phụ thuộc vào thời gian phép chiếu H(t) phụ thuộc vào thời gian Tuy nhiên M(t) quay với t H(t) không phụ thuộc vào thời gian Lưu ý PP1 dễ tính tốn Π Hơn nữa, phần tử không tầm thường (nghĩa sau bỏ hàng 0) phương trình vi phân thường quy tương ứng (1.16) viết dạng u1 + H u1 + (I − H)B11 u1 = (I − H)q1 − (H + (I − H)B11 )Eq2 , (3.3) đó, u1 := (I − H)x1 Bây giờ, lần nữa, ta nhấn mạnh khơng gian biến thiên nhanh làm số hạng H trội phương trình vi phân thường qui Rõ ràng rằng, H u1 tương ứng với số hạng (PP1 )0 u (1.16) Bây giờ, ta chuyển qua nghiên cứu hệ “thu gọn” Đối với phương trình vi phân đại số có số dạng Hessenberg (3.1), Ascher Petzold [2] sử dụng cách tiếp cận khác để phân rã thành thành phần đặc trưng hệ Hessenberg tuyến tính có số 2: họ sử dụng phép đổi tọa độ x = T z cho x1 = Sz1 + Ez3 x2 = −(B21 B12 )−1 (−B021 + B21 B11 )Sz1 + (B21 B11 )−1 z2 32 z1 = Rx1 z2 = (−B021 + B21 B11 )SRx1 + B21 B12 x2 z3 = B21 x1 (xem [16]) Trong [2], ma trận R S xây dựng theo cách sau Giả sử m1 > m2 Đầu tiên, ta chọn ma trận R với m1 − m2 hàng độc lập tuyến tính cho RB12 = 0, nghĩa R = R(I - H) thỏa mãn Kết là, m1 × m2 - khối R B12 không suy biến Chọn S cho RS = I, SR = I − H, S = (I − H) đúng, ta có −1 R B21 h = S i E Hệ thức z R = x1 z2 B21 biểu thị quan điểm phép biến đổi R(t) S(t) giả thiết trơn, thực vài phép biến đổi tính tốn đơn giản, ta thu phương trình vi phân thường qui phần tử z1 = Rx1 , cụ thể z01 = (R0 − RB11 )Sz1 + Rq1 + (R, − RB11 )Eq2 (3.4) Phương trình (3.4) gọi phương trình vi phân thường sở (EUODE) phương trình vi phân đại số (3.1) Phương trình (3.4) có giống khác so với phương trình vi phân thường tương ứng qui? Nhân phương trình (3.4) với S tính tốn Sz1 = SRx1 = (I − H)x1 = u1 33 ta thu (3.3) Mặt khác, nhân vơ hướng phương trình vi phân thường tương ứng (3.3) với R đưa ta trở phương trình EUODE (3.4), Ru1 = R(I − H)x1 = R(I − H)Sz1 = z1 Do EUODE khơng đổi ta mở rộng phương trình vi phân thường sẵn có, nhờ có R(I − H)S = RS = I, (m1 − m2 )− không gian im(I − H(t)) = ker B21 (t) ⊂ Rm1 hồn tồn có nguồn gốc từ Rm1 −m2 Do đó, phương trình EUODE có lợi viết không gian tọa độ tối tiểu Rm1 −m2 Tuy nhiên, ma trận R S lại khơng xác định Do đó, phương trình EUODE bị ảnh hưởng mạnh mẽ vào việc chọn R, S Lưu ý rằng, chọn ma trận R, ta nhân với đại lượng (khơng suy biến) K ∈ L(Rm1 −m2 ), để thu số hạng khác Re := KR Từ quan điểm này, phương trình vi phân thường tương ứng (3.3) dường tự nhiên tất số hạng xác định thời gian t ban đầu u1 = (I − H)x1 phần tử trực tiếp biến ban đầu x1 , phương trình vi phân thường tương ứng (3.3) tồn khơng gian có số chiều cao Rm1 im(I − H(t)) = ker B21 (t) biểu thị không gian bất biến Ascher Petzold [2] nhận thấy phương pháp lùi Euler áp dụng vào phương trình vi phân đại số hoạt động phương pháp Euler tường minh Chọn q = 0, B11 = (3.1), điều đơn giản hóa phương trình EUODE thành z01 = R0 Sz1 (3.5) 34 Qua phép biến đổi x = T z, áp dụng công thức Eluer ngược cho phương trình vi phân đại số đặc biệt (3.1) cho ta kết (z1,n+1 − z1,n ) = h Z1 R0 (tn + sh)ds(S(tn )z1,n − E(tn )z3,n ) (3.6) Nếu thêm B12 (t) R0 (t) mà khơng biến đổi theo t, (3.6) đơn giản hóa thành (z1,n+1 − z1,n ) = R0 (tn )S(tn )z1,n h Đây công thức Eluer tường minh (3.5) Rõ ràng, kết liên quan mật thiết với khối biến đổi theo thời gian R(t) S(t) phép biến đổi tọa độ Một lần nữa, ta ý rằng, dáng điệu phụ thuộc vào việc lựa chọn S R 3.2 Tính ổn định tiệm cận phương pháp tích phân Bây ta chuyển qua nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân Một lần xét hệ tách (1.16) – (1.18), ta thấy phần tử u = PP1 x biểu thị phần tử động Giả sử phép chiếu tắc Π(t) ln bị chặn tồn khoảng J = [t0 , ∞), dáng điệu tiệm cận nghiệm x(t) = Π(t)u(t) hoàn toàn xác định thành phần u(t) Rõ ràng, u nghiệm phương trình vi phân thường qui với hệ số hằng, ta biểu thị dáng điệu tiệm cận thông qua giá trị riêng tương ứng Đó lý mà ta cố gắng để thực phương trình vi phân đại số định lý sau Định lý 3.2.1 Giả sử (1.7) phương trình vi phân đại số giải có số 2, Q1 thuộc lớp C1 (PP)0 = Giả thiết PP1 G−1 B số, r := rankPP1 (i) Khi chùm ma trận λ A(t) + B(t) có giá trị riêng λ1 , λ2 , , λr không thay đổi với t ∈ J (ii) Re λi < 0, i = 1, 2, , r kéo theo nghiệm phương trình 35 tiến tới t → ∞, phép chiếu Π(t) hoàn toàn bị chặn Chứng minh Theo giả thiết, phương trình vi phân thường có hệ số khơng −1 đổi PP1 G−1 B Mặt khác, giá trị riêng không tầm thường −PP1 G2 B (nghĩa giá trị riêng khơng tương ứng với ker PP1 ) xác giá trị riêng chùm λ A(t) + B(t) (xem [10]) Giả sử U(.) ma trận nghiệm phương trình u0 + PP1 G−1 Bu = với U(t0 ) = I Đưa khai triển nghiệm x(t) = Π(t)U(t)PP1 (t0 )x0 vào tính tốn ta có điều phải chứng minh Nói cách cụ thể, giả thiết PP1 , PP1 G−1 phải theo nghĩa có phương trình vi phân thường tương ứng qui với hệ số phụ thuộc vào thời gian hệ lý liên quan phụ thuộc thời gian Tiếp theo, ta nghiên cứu “thu gọn” phương trình vi phân đại số số Trong lý thuyết phương trình vi phân thường, thu gọn biết đến để thừa nhận tính chất tiệm cận phương pháp tích phân số Với phương trình vi phân đại số số 1, kết tương ứng thu [4] theo nghĩa khái niệm “thu gọn” phù hợp Định nghĩa 3.2.2 Một phương trình vi phân đại số tuyến tính có số (1.7) thu gọn có số c > ma trận xác định dương S cho bất đẳng thức hy, Pxi,S −c|Px|S (3.7) 36 thỏa mãn với ∀y, x ∈ Rm với A(t) + B(t)x = 0, Qy = Ở ta sử dụng tích vơ hướng hz, viS := hSz, vi chuẩn |z|S := hz, ziS2 Rõ ràng điều gợi bên điều kiện Lipchitz sử dụng để thu gọn trường hợp phương trình vi phân thường (nghĩa A(t) = I, P = I (1.7)) Trong trường hợp sau, với y = −B(t)x ta có hB(t)x, xiS −c|x|S Tuy nhiên, vấn đề khó phương trình vi phân đại số có số Trước hết, xét hệ phân rã (1.16) - (1.17), ta thấy rằng, nghiệm phương trình vi phân đại số (1.7) thỏa mãn đồng thức Q1 (t)x(t) = 0, y(t) := (Px)0 (t) = (PP1 x)0 (t) + (PQ1 x)0 (t) = (PP1 x)0 (t), Qy(t) = 0,Q1 (t)y(t) = Q1 (t)(PP1 x)0 (t) = −Q01 (t)PP1 (t)x(t) Bây ta sử dụng khái niệm “thu gọn” đưa trường hợp số [4] ta đưa định nghĩa sau Định nghĩa 3.2.3 Phương trình vi phân đại số giải có số (1.7) gọi thu gọn thỏa mãn điều sau Có số c > ma trận xác định dương, đối xứng S cho A(t)y + B(t)x = 0, Qy = 0, Q1 (t)y = −Q0 (t)PP1 (t)x x, y ∈ Rm (3.8) kéo theo hy, PxiS −c |Px|2S Thông thường, với khái niệm thu gọn này, ta có bất đẳng thức |Px(t)|S e−c(t−t0 ) |Px(t0 )|S (3.9) 37 với nghiệm phương trình vi phân đại số nhất, điều cho thấy Px = PP1 x giảm theo chuẩn Định lý sau biểu diễn phép chiếu tắc bị chặn nghiệm x(t) hồn toàn giảm Định lý 3.2.4 Giả sử (1.7) phương trình vi phân đại số giải có số 2, Q1 ∈ C1 , Π(t) bị chặn J (2.1) dạng thu gọn Khi đó, với nghiệm phương trình nhất, ta có |x(t)|S γe−c(t−t0 ) |Px(t0 )|S , t > t0 (3.10) γ cận |Π(t)|S Chứng minh Ta có Q1 (t)x(t) = 0, x(t) = Π(t)PP1 (t)x(t) = Π(t)Px(t), ta có điều phải chứng minh Hệ 3.2.5 Cho (1.7) phương trình vi phân đại số có số với Q1 khả vi liên tục Π(t) bị chặn Nếu điều kiện B)(t) u S −c |u|2S u, (PP1 )0 (t) − (PP1 G−1 (3.11) thỏa mãn ∀u ∈ imPP1 (t),t ∈ J, bất đẳng thức (3.20) Chứng minh Ta kiểm tra rằng, từ (3.8)và (3.11) dẫn tới (3.20), điều có nghĩa (3.11) kéo theo dạng thu gọn Chú ý không cần giả thiết (3.11) với ∀u ∈ Rm Khẳng định hệ (1.12) đúng, điều kiện đủ để (3.11) thỏa mãn với ∀u ∈ imPP1 (t),t ∈ J Bất đẳng thức (3.11) giống điều kiện thu gọn thông thường phương trình vi phân thường (1.16), nghĩa phương trình vi phân thường tương ứng (1.7) Nó khác chỗ giá trị u cho từ không gian imPP1 (t) thay khơng gian Rm Nói cách thẳng thắn, mặt ta có, phương trình vi phân đại số (1.7) thu gọn phương trình vi phân thường tương ứng qui (1.16) thu gọn không gian imPP1 (t) 38 Như suy luận trực tiếp từ kết khác tính ổn định (ví dụ [15]), mặt suy phần giống phương trình vi phân đại số tuyến tính số 2, ví dụ định lý tiếng Poincaré-Lyapunov Có nhiều khái niệm sử dụng rộng rãi cho việc mô tả đặc tính tiệm cận phương pháp tích phân phương trình vi phân thường dạng tường minh dựa vào phương trình vơ hướng z0 = λ z (3.12) Dáng tiệm cận phương pháp số áp dụng cho (3.12) để mơ tả tính tiệm cận trường hợp hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số x0 = −Bx (3.13) Ở đây, vai trò λ thay giá trị riêng −B Sự chứng minh cho việc hạn chế xem xét (3.13) đưa lý thuyết Lyapuanov: tuyến tính hóa hệ tường minh ơtơnơm phi tuyến điểm dừng tiêu chuẩn dáng điệu tiệm cận nghiệm Về bản, có giống phương trình vi phân đai số có số phương trình vi phân đại số có số [12] Do đó, ta xét phương trình vi phân đại số với hệ số Ax0 (t) + Bx(t) = (3.14) với chùm ma trận quy λ A + B Phương trình biến đổi dạng tắc Kronecker I y0 W + J0 z0 y = 0, I z (3.15) J0 ma trận lũy tinh (J0k = với số tự nhiên k đó) Bởi phân tách phép biến đổi để tới (3.15) phổ biến nhiều phương pháp [11], nghiệm tính tốn z đồng bị triệt tiêu, y phân 39 tách giống hệ tường minh Do đó, phương pháp số áp dụng cho hệ phương trình vi phân tuyến tính đại số với hệ số hồn tồn bảo tồn thuộc tính ổn định tiệm cận chúng dựa vào phương trình kiểm tra (thử nghiệm) (3.16) (ví dụ A−, A(α)−, L− ổn định) Như vậy, nhìn qua, ta biết khái niệm biết tính tiệm cận việc tính tốn tích phân phương trình vi phân thường đủ cho phương trình vi phân đại số Tuy nhiên, mơ tả, phương trình vi phân đại số có cấu trúc phức tạp phương trình vi phân thường, chí khía cạnh tính tốn tích phân Nói cách xác ta khơng mong đợi phương pháp số phù hợp cách xác với cấu trúc không gian không gian quay Phương trình vơ hướng (3.16) trở thành mơ hình khơng tương thích trường hợp phương trình vi phân đại số Những kết tương tự B- tính ổn định khó đạt nhiều Ta biết rằng, phương pháp ổn định đại số Runge-Kutta gọi B- ổn định [6,p.193] hệ tường minh Trong [4,p,129], kết tương tự trình bày cho phương trình vi phân đại số có số 1, (i) Không gian không N(A(t)) A(t)không phụ thuộc vào t (ii) phương pháp Runge-Kutta gọi IRK(DAE) (một phương pháp xác [6,p.45]) Có số ví dụ tuyến tính đơn giản chứng tỏ rằng, phương pháp Eluer lùi làm tính B- ổn định, (i) khơng cịn hiệu lực Bây giờ, ta nhắc lại khái niệm B - ổn định phương trình vi phân đại số có khơng gian khơng số hạng đầu Định nghĩa 3.2.6 [4] Phương pháp bậc x j+1 = ϕ(x j ,t j , h j ) gọi B - ổn định, với phương phương trình vi phân đại số thu 40 gọn, bất đẳng thức