Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

BáGI ODệCV TRìNG OT O I HC QUY NHèN H TRNG THI NGHI M I Să CếA MáT Să LP PHìèNG TR NH VI PH N I Să C P M¸T LU N NTI NS TO NH¯C B…nh ành - 2021 BáGI ODệCV TRìNG OT O I HC QUY NHèN H TRNG THI NGHI M I Să CếA MáT Să LP PHìèNG TR NH VI PH N I Să C P MáT Chuyản ng nh : i s v l thuyt s M s : 9460104 PhÊn biằn thứ nhĐt : GS.TSKH Phũng Hỗ HÊi PhÊn biằn thứ hai : PGS.TS Tr÷ìng Cỉng Qnh Ph£n bi»n thø ba : PGS.TS Mai Ho ng Biản T P TH HìNG D N KHOA H¯C TS.NG˘L MXU NCH U TS L THANH HI U B…nh ành - 2021 i Líi cam oan Tỉi xin cam oan måi k‚t qu£, nºi dung cıa lu“n Ăn Nghiằm i s ca mt s lợp phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt l tổi thỹc hiằn dữợi sỹ hữợng dÔn ca cĂc thy giĂo TS Ngổ LƠm XuƠn ChƠu v TS Lả Thanh Hiu CĂc nºi dung v k‚t qu£ sß dưng Lu“n ¡n ãu cõ trch dÔn v thch nguỗn gc, kt quÊ l trung thỹc, ữổc cĂc ỗng tĂc giÊ cho php sò dửng Nu cõ iãu g gian ln, tổi xin ho n to n chu trĂch nhiằm trữợc phĂp lu“t Quy Nhìn, ng y 02 th¡ng 11 n«m 2021 Ng÷íi thüc hi»n H Trång Thi ii Líi c£m ìn Lu“n ¡n ÷ỉc ho n th nh qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu t⁄i Khoa To¡n v ThŁng kả, Trữớng i hồc Quy Nhỡn, dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Ngổ LƠm XuƠn ChƠu v TS Lả Thanh Hiu CĂc thy  ch bÊo tn tnh v hữợng dÔn tổi t nhng bữợc u l m nghiản cứu CĂc thy hữợng dÔn nghiảm túc v luổn to mt t…nh c£m th¥n thi»n suŁt thíi gian håc t“p Trữợc tiản, tổi xin b y tọ lặng bit ỡn s¥u s›c ‚n TS Ngỉ L¥m Xu¥n Ch¥u v TS Lả Thanh Hiu Tổi xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh n LÂnh o Trữớng i hồc Quy Nhỡn, Phặng o to sau i hồc  to iãu kiằn tŁt nh§t ” tỉi håc t“p °c bi»t, tỉi xin gòi lới cÊm ỡn n LÂnh o Khoa ToĂn v Thng kả cĂc thy cổ giĂo Khoa  ln ıng hº, ºng vi¶n tỉi suŁt thíi gian tham gia håc t“p t⁄i tr÷íng Tỉi xin c£m ìn L¢nh ⁄o Sð Gi¡o dưc v o t⁄o B…nh ành, cĂc ỗng nghiằp v bn b  ng h, ng viản v to iãu kiằn tt nhĐt tổi tham gia håc t“p Tr¥n trång iii Mưc lưc Mð ƒu Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Ki‚n thøc cì sð v• ⁄i sŁ 1.1.1 Mð rºng tr÷íng 1.1.2 K‚t thøc 1.2 ⁄i sŁ vi ph¥n 11 1.2.1 Trữớng vi phƠn 12 1.2.2 Nghi»m cıa a thøc vi ph¥n 17 1.3 ÷íng cong ⁄i sŁ hœu t Php bin i tữỡng 22 ữỡng trản cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt 25 2.1 Ph†p bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng 25 2.2 Ph†p bi‚n Œi Mobius Nghiằm i s ca phữỡng trnh vi phƠn ⁄i sŁ c§p mºt 3.1 Nghi»m ⁄i sŁ 3.2 Mºt sŁ t‰nh ch§t b£o to n cıa nghi»m 30 38 38 42 iv 3.3 Mºt ch°n b“c cho nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ 45 Sỹ tữỡng ữỡng ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ữổc 50 4.1 Phữỡng trnh vi phƠn a thức 51 4.1.1 BĐt bin vi phƠn qua ph†p bi‚n Œi y = z + b 51 4.1.2 BĐt bin vi phƠn qua php bi‚n Œi z = aw 57 4.1.3 BĐt bin vi phƠn qua php bin i y = aw + b 58 4.2 Phữỡng trnh vi phƠn Riccati 64 4.3 Phữỡng trnh vi phƠn Abel 67 4.4 Ph÷ìng tr…nh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ÷æc 72 4.5 Nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa phữỡng trnh tham s hu t ữổc thuc lợp autonom 78 K‚t lu“n 87 Danh mưc c¡c cỉng tr…nh cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n Lu“n ¡n 90 T i li»u tham khÊo 91 v B NGC CKịHI U C trữớng sŁ phøc i sŁ phøc ìn £o C(x) tr÷íng vi ph¥n c¡c h m hœu t theo bi‚n x K bao âng ⁄i sŁ cıa tr÷íng K v nh a thøc n bi‚n x = (x1; : : : ; xn) vỵi h» sŁ K K [x] deg(f) b“c cıa a thøc f K fyg v nh c¡c a thức vi phƠn theo bin y trản trữớng K prem(P; F ) phƒn d÷ cıa ph†p chia a thøc vi ph¥n P cho a thøc vi ph¥n F res(f; g; x) k‚t thøc cıa f v g theo bi‚n x bi»t disc(f) thøc cıa a thøc mºt bi‚n f F b“c tŒng th” vi ph¥n cıa a thøc vi phƠn F AODE M M (1) K cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt trản trữớng K au + b ph†p bi‚n Œi Mobius tr¶n K; M(u) = cu + d ¡nh x⁄ hœu t t÷ìng øng vỵi ph†p bi‚n Œi Mobius M; M (u; v) = M(u); @M @x (u) + @M @u (u) v vi GK (1) nhâm c¡c ph†p bi‚n Œi song hœu t d⁄ng M (1) t¡c ºng cıa nhâm GK Tc (1) l¶n AODE K ¡nh x⁄ tành ti‚n theo h‹ng c M U Mt phữỡng trnh vi phƠn i sŁ c§p mºt câ d⁄ng F (y; y ) = 0; 0 â F C (x)[y; y ] v F câ chøa bi‚n ⁄o h m y N‚u F C [y; y ] th… ta nâi ph÷ìng tr…nh F (y; y ) = l autonom (tøc l måi h» sŁ cıa F ãu l hng s) Viằc nghiản cứu cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt bt u t cui th‚ k 19 v ƒu th‚ k 20 vỵi c¡c cỉng tr…nh ti¶u bi”u cıa L Fuchs [14], H Poincar† [27] v J Malmquist [19] Mºt nghi»m chung cıa F (y; y ) = v @ F (y; y0) = ÷ỉc gåi l mºt nghi»m ký dà C¡c nghi»m ký dà cıa @y ph÷ìng tr…nh F (y; y ) = luæn l nghi»m ⁄i sŁ v câ hœu h⁄n nghi»m ký dà nh÷ v“y, çng thíi vi»c t…m c¡c nghi»m ký dà n y l ìn gi£n Tuy nhi¶n, vi»c x¡c ành li»u ph÷ìng tr…nh F (y; y ) = câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ hay khỉng v ÷a mºt thu“t to¡n t‰nh to¡n t÷íng minh mºt nghi»m tŒng qu¡t i s nhữ vy l mt vĐn ã khõ Cho n nay, vĐn ã tm nghiằm tng quĂt i s ca mt phữỡng trnh vi phƠn cĐp mt mợi ch gi£i quy‚t mºt c¡ch câ h» thŁng cho tr÷íng hỉp phữỡng trnh vi phƠn autonom Trong trữớng hổp n y sỹ tỗn ti mt nghiằm i s khổng tm thữớng quyt nh sỹ tỗn ti nghiằm tng quĂt i s CƠu họi tỹ nhiản t l liằu cõ cặn nhng lợp phữỡng trnh n o khĂc rng hỡn v cụng cõ tnh chĐt nhữ vy hay khổng? VĐn ã tữỡng tỹ cho cĂc phữỡng trnh vi phƠn cĐp mºt khỉng autonom (non-autonomous) mỵi ch¿ gi£i quy‚t cho mºt s trữớng hổp c biằt; cĂc lợp nghiằm hnh thøc cıa ph÷ìng tr…nh F (y; y ) = ữổc quan tƠm nghiản cứu l nghiằm hu t , nghi»m ⁄i sŁ, nghi»m liouville, Hi»n c¡c thu“t to¡n hœu hi»u ” t…m ki‚m c¡c d⁄ng nghi»m nâi trản ch giợi hn i vợi cĂc phữỡng trnh vi phƠn c biằt (hoc cõ bc thĐp nhữ phữỡng trnh vi phƠn tuyn tnh, phữỡng trnh Clairaut, phữỡng tr nh Riccati, phữỡng trnh Abel) Viằc sò dửng cĂc php bin Œi Mobius tr…nh b y c¡c b i b¡o [22, 23] cõ th ch mt lợp cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt khổng autonom cõ th bin i mt cĂch tữỡng ữỡng vã phữỡng tr… nh autonom v câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ Nhữ vy cn nhng nghiản cứu lỵ thuyt cho vĐn ã n y Bản cnh õ, dỹa v o mºt ch°n b“c cho c¡c nghi»m ⁄i sŁ khæng tm thữớng ca mt phữỡng trnh vi phƠn i s c§p mºt autonom, ta câ th” suy mºt ch°n bc cho nghiằm tng quĂt i s VĐn ã n y ÷ỉc mð rºng nh÷ th‚ n o cho c¡c phữỡng trnh vi phƠn cĐp mt khổng autonom cụng l mt cƠu họi m cn ữổc nghiản cứu Mt nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt F (y; y ) = mºt tr÷íng mð rng vi phƠn K ca C(x) l mt phn tò K cho F ( ; ) = 0, â l ph†p ⁄o h m tr¶n K mð rºng ph†p ⁄o h m thỉng th÷íng tr¶n C(x) N‚u F l a thøc b“c mºt theo y th phữỡng trnh vi phƠn tữỡng ứng ữổc vit dữợi dng hu t y = P (z; y)=Q(z; y), 80 i s cho lợp tữỡng ữỡng autonom ca c¡c ph÷ìng tr…nh tham sŁ hœu t ÷ỉc ành lỵ sau nh lỵ 4.27 Cho F (y; y ) = l mt phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt trản C(x) tham s hu t ữổc v thuc lợp tữỡng ữỡng autonom GiÊ sò (u(t); v(t)) l mºt ph†p tham sŁ hœu t thüc sü cıa F (y; y 1) = ( ) cho v0( t) ut C(t): N‚u Z ( ) v ( t) dt l mºt h m hœu t ut th… ph÷ìng tr…nh F (y; y ) = câ mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ Chøng minh Chú ỵ rng nh lỵ 4.26 ch sỹ tỗn t⁄i cıa ph†p tham sŁ u0(t) hœu t thüc sü (u(t); v(t)) ” v(t) Z C(t): Gi£ sß u (t)dt = A(t) v(t)B(t) l mºt h m hu t Khi õ phữỡng trnh vi phƠn liản k‚t cıa F (y; y ) = t÷ìng øng vỵi (u(t); v(t)) câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ x¡c ành bði A(t) = B(t)(x + C); vỵi C l mt hng s tũy ỵ T õ suy mt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y ) = ÷ỉc x¡c ành b‹ng k‚t thøc nh÷ sau res (A(t) P (t) ð B(t)(x + C); yQ(t) P (t); t) ; Ơy u(t) = VĐn ã biu din ữổc tch phƠn cĂc h m hu t bng cĂc h m sỡ cĐp  ữổc J Liouville (1809-1882) nghiản cứu Trong [29], R H Risch (1969)  ÷a mºt thu“t to¡n x¡c ành t‰nh bi”u di„n ÷ỉc t‰ch ph¥n cıa h m hœu t b‹ng c¡c h m sỡ cĐp Nõi riảng, dỹa v o thut to¡n cıa Risch ta Z u0(t) câ th” x¡c ành n o v(t) dt l mºt h m hœu t 81 Trong [5, Proposition 3.1] chóng tỉi chøng minh r‹ng t‰nh gi£i ÷ỉc liouville cıa ph÷ìng tr…nh vi phƠn liản kt l khổng phử thuc v o viằc chån ph†p tham sŁ hœu t thüc sü cıa ÷íng cong Nõi riảng, ta cõ mằnh ã sau Mằnh ã 4.28 Gi£ sß (u(t); v(t)) l mºt ph†p tham sŁ hœu t thüc sü ÷íng cong F (y; y1) = Khi â t‰nh hœu t cıa t‰ch ph¥n v(t) Z u0(t) dt l khỉng phư thuºc v o vi»c chån ph†p tham sŁ hœu t thüc sü cıa ÷íng cong F (y; y1) = Chøng minh Th“t v“y, gi£ sß (~u(t); v~(t)) l mºt ph†p tham sŁ hœu t thüc sü kh¡c cıa F (y; y1) = Khi õ, theo nh lỵ 1.61, tỗn ti mt h m hœu ~ t t = ’(t) cho (~u(’(t)); v~(’(t))) = (u(t); v(t)): Ta câ Z Do â v‚ tr¡i l v (t) dt = Z 0 v~(’(t)) dt = Z v~(0 t~) dt:~ ~ u (t) u~ (’(t))’ (t) u~ (t) mºt h m hœu t v ch¿ v‚ ph£i l h m hœu t Chú ỵ 4.29 Gn Ơy, N T Dat v cºng sü [10, Theorem 3.2], [11, TheZ ut dt l mºt h m hœu t công orem 3.1] chøng minh r‹ng i•u ki»n v(t) l i•u ki»n cƒn ” phữỡng trnh vi phƠn tham s hu t ữổc thuc lỵp () autonom F (y; y ) = câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ Trong lu“n ¡n n y, chúng tổi sò dửng iãu kiằn cn n y m khæng tr…nh b y l⁄i chøng minh v… vi»c chøng minh k‚t qu£ n y Ỉi häi ph£i trang bà mºt sŁ ki‚n thøc v• nghi»m liouville cıa phữỡng trnh vi phƠn v nhng kt quÊ chu'n b li¶n quan 82 Düa v o c¡c k‚t qu£ nảu trản chúng tổi ữa mt thut toĂn khĂc vỵi Thu“t to¡n ” x¡c ành mºt nghi»m tŒng quĂt i s ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt thuc lợp autonom v tham s hu t ÷ỉc Thu“t to¡n Input: F (y; y ) = tham sŁ hœu t autonom qua ph†p bin i ữổc v thuc lợp tữỡng ữỡng M Output: T‰nh mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y ) = n‚u câ Dòng M t‰nh mºt ph†p tham sŁ hœu t thüc sü (u(t); v(t)) cıa u (t) F (y; y ) = cho v(t) C(t) u t ut Z Z dt khæng ph£i l mºt h m hœu T‰nh t‰ch ph¥n v(t) dt N‚u v(t) 0 () () t th… F (y; y ) = khæng câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ Ngo i ra, sang bữợc Z t A(t) = u (t)dt v P (t) = u(t) B(t)v(t)Q(t) Nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y ) = l res (A(t) B(t)(x + C); yQ(t) P (t); t) = 0: V‰ dö 4.30 Trong V‰ dö 4.25, chóng ta x†t ph÷ìng tr…nh khỉng autonom tham sŁ hœu t ÷ỉc (4.20) F (y; y ) := (2y 2x 3)y 02 + ( 8y + 8x + 10)y + 8y 8x = v chóng ta cơng ¢ ch¿ ph†p bi‚n Œi y = w + x, tøc l M(y) = y x, ÷a phữỡng trnh vã phữỡng trnh autonom G(w; w ) = M F = (2w 3)w 02 + ( 4w + 4)w + 2w = 0: 83 Thæng qua ph†p tham sŁ hœu t thüc sü cıa G(w; w ) = 0, chflng h⁄n, Q(t) = 3t2 4t + 2; t ; 2(t 1) chóng ta chån ph†p tham sŁ hœu t thüc sü cıa F (y; y ) = nh÷ sau 4t + + x; t + : 3t M (Q(t)) = 2(t 1) Ph÷ìng tr…nh vi phƠn liản kt ca F (y; y ) = Łi vỵi ph†p tham sŁ n y l dt = (t 1)3: dx Z Ta câ dt l mºt h m hœu t , â ph÷ìng tr…nh vi = (t 1) 2(t 1) phƠn liản k‚t câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ = x + C: Tł â suy 2(t 1) nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa F (y; y ) = hai a thøc theo t > ÷ỉc x¡c ành bði k‚t thøc cıa 2(t 1)2(x + C) > < >2y(t 1)2 : ((2x + 3)t + ( 4x 4)t + 2x + 2); > âl 4y + ( 16x 12 2 8C)y + 4C + + 4C + 16xC + 16x + 16x = 0: Ti‚p theo, chóng tỉi tr…nh b y th¶m mºt v‰ dö ” minh håa r‹ng t ‰nh hœu t ca tch phƠn phữỡng trnh liản kt l khổng phö thuºc v o vi»c chån ph†p tham sŁ hœu t thüc sü cıa ÷íng cong t÷ìng øng V‰ dư 4.31 Xt phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt autonom tham sŁ hœu t ÷ỉc G(w; w ) = ( 96w 96w + 1)w 02 + ( 40w 40w )w 4w 4w = 0: 84 ÷íng cong ⁄i sŁ t÷ìng øng câ th” ÷ỉc tham sŁ hœu t bði P(t) = (u(t); v(t)) = 584 t + 43 ; t2 + 86t 30125 t2 + 378t + 35721 t2 + 86t 19467 Phữỡng trnh vi phƠn liản kt tữỡng ứng vợi P(t) l dt = 146(t + 43)2 : dx t + 86t 30125 Bng phữỡng phĂp tch phƠn h m hœu t , ta nh“n ÷ỉc nghi»m tŒng qu¡t i s ca phữỡng trnh vi phƠn liản kt l 146 t + t 219 +43 = x + C; vợi C l hng s tũy ỵ Khò t (sò dửng kt thức) t hằ phữỡng trnh 146t + t + 43 = x + C > 219 584 > > : ÷ỉc a thøc tŁi ti”u cıa mºt nghi»m tŒng qu¡t ta nh“n ⁄i sŁ cıa G(w; w ) = l 143591w + 41616 + 29784(x + C) + 53290(x + C)w+ (4.24) 5329(x + C) + 127896w = 0: Ta câ th” chån ph†p tham sŁ hœu t thüc sü kh¡c l ; 2t : t t + 10t + Q(t) = Khi õ phữỡng trnh vi phƠn liản kt tữỡng ứng vợi Q(t) l dt = (t2 1)2 ; dx t + 10t + câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ t + = x + C: t+1 : 85 Tł â suy nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa G(w; w ) = l 24w 2 w + (x + C) + 10(x + C)w = 0: (4.25) Chú ỵ 4.32 Ta cõ th” nh“n ÷ỉc nghi»m (4.25) tł nghi»m (4.24) b‹ng 204 c¡ch thay C bði C (4.24) 73 t + 103 Trong v dử trản, nu ta lĐy (t) = th… ta s‡ nh“n ÷ỉc t + 189 Q(’(t)) = P(t) K T LU N CHìèNG Trong chữỡng n y chóng tỉi ch¿ mºt t“p c¡c b§t bin ca phữỡng trnh vi phƠn a thức ( nh lỵ 4.1, nh lỵ 4.2, nh lỵ 4.4) v ch mt dng chu'n tc ca phữỡng trnh vi phƠn a thøc düa v o c¡c b§t bi‚n n y (Hằ quÊ 4.5) T õ ữa mt tiảu chu'n ” ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi phƠn a thức bc n ( nh lỵ 4.4), nõi riảng sỹ tữỡng ữỡng ca cĂc phữỡng trnh vi ph¥n Abel (H» qu£ 4.13), v °c bi»t sü tữỡng ữỡng ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn Riccati ( nh lỵ 4.6) Chúng tổi cụng  ch rng phữỡng trnh vi phƠn liản kt ca mt phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ữổc l mt bĐt bin ( nh lỵ 4.22) T õ ữa mt iãu kiằn cn ( nh lỵ 4.23) v iãu kiằn ( nh lỵ 4.24) ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ữổc Düa v o i•u ki»n cƒn v i•u ki»n ı n y chóng tỉi ÷a mºt thu“t to¡n (Thu“t to¡n 2) ” x¡c ành sü t÷ìng ÷ìng cıa hai phữỡng trnh vi phƠn tham s hu t ữổc Bản c⁄nh â, chóng tỉi cơng ¢ ch¿ mºt d⁄ng chu'n tc ca phữỡng trnh vi phƠn liản kt ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ữổc thuc mt lợp tữỡng ữỡng autonom ( nh lỵ 4.26) ữa 86 mt iãu kiằn cho sỹ tỗn ti nghiằm tng quĂt i s ca phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ữổc autonom ( nh lỵ 4.27) T â chóng tỉi ÷a mºt thu“t to¡n kh¡c (Thu“t to¡n 3) ” x¡c ành mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i s ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt thuc lợp autonom v tham s hu t ữổc 87 KTLUN Trong lu“n ¡n chóng tỉi ¢ ⁄t ÷æc nhœng k‚t qu£ ch‰nh sau: ÷a mºt s tnh chĐt ca bc tng th vi phƠn ca cĂc a thức vi phƠn cĐp mt õ l tnh chĐt tữỡng thch ca bc i vợi php nhƠn a thức (Mằnh ã 2.7), tnh chĐt tữỡng thch ca tĂc ºng nhâm vỵi ph†p hỉp th nh c¡c ¡nh x⁄ (Mằnh ã 2.9), tnh chĐt bĐt bin ca bc tng th vi phƠn dữợi tĂc ng ca nhõm cĂc php bin i Mobius ( nh lỵ 2.11) Thit lp mt s tnh chĐt bÊo to n liản quan n nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn i s dữợi tĂc ºng cıa nhâm c¡c ph†p bi‚n Œi Mobius Cö th”, chóng tỉi chøng minh t‰nh ch§t b£o to n nghi»m tng quĂt i s ( nh lỵ 3.8); ữa c¡ch x¡c ành mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ tł mºt nghi»m ⁄i sŁ khỉng tƒm th÷íng cıa mºt ph÷ìng trnh vi phƠn i s cĐp mt thuc lợp autonom ( nh lỵ 3.12); chứng minh ging ca ữớng cong ⁄i sŁ x¡c ành nghi»m b‹ng giŁng cıa ÷íng cong tữỡng ứng vợi phữỡng trnh vi phƠn nu phữỡng trnh vi phƠn thuc lợp tữỡng ữỡng autonom ( nh lỵ 3.13); ữa mt chn bc mợi cho nghiằm tng quĂt i s ca mt phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt thuc lợp tữỡng ữỡng autonom ( nh lỵ 3.14) T õ chúng tổi ã xuĐt mt thut to¡n (Thu“t to¡n 1) t…m nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ ca mt phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt thuc lợp tữỡng ữỡng autonom 88 Ch mt cĂc bĐt bin ca phữỡng trnh vi phƠn a thức ( nh lỵ 4.1, nh lỵ 4.2, nh lỵ 4.4) v ch mt dng chu'n tc ca phữỡng tr nh vi phƠn a thức dỹa v o c¡c b§t bi‚n n y (H» qu£ 4.5) Tł â ÷a mºt ti¶u chu'n ” ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n a thøc b“c n ( nh lỵ 4.4), nõi riảng sỹ tữỡng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Abel (H» qu£ 4.13), v °c bi»t sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng trnh vi phƠn Riccati ( nh lỵ 4.6) Ch rng phữỡng trnh vi phƠn liản kt ca mt phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ữổc l mt bĐt bin ( nh lỵ 4.22) T õ ữa mt iãu kiằn cn ( nh lỵ 4.23) v iãu kiằn ( nh lỵ 4.24) ” ki”m tra sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ữổc Dỹa v o iãu kiằn cn v iãu ki»n ı n y chóng tỉi ÷a mºt thu“t to¡n (Thu“t to¡n 2) ” x¡c ành sü t÷ìng ÷ìng ca hai phữỡng trnh vi phƠn tham s hu t ÷ỉc Ch¿ mºt d⁄ng chu'n t›c cıa ph÷ìng trnh vi phƠn liản kt ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ữổc thuc mt lợp tữỡng ữỡng autonom ( nh lỵ 4.26) ữa mt iãu kiằn cho sỹ tỗn ti nghiằm tng quĂt i s ca phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham s hu t ữổc autonom ( nh lỵ 4.27) T õ chúng tổi ữa mºt thu“t to¡n kh¡c (Thu“t to¡n 3) ” x¡c ành mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi phƠn i s cĐp mt thuc lợp autonom v tham sŁ hœu t ÷ỉc 89 Mºt sŁ b i to¡n mð Câ nhi•u b i to¡n chóng tỉi dỹ nh tip tửc phĂt trin hữợng nghiản cứu lun Ăn: Nghiản cứu sỹ tữỡng ữỡng ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt khổng tham sŁ hœu t ÷ỉc qua ph†p bi‚n Œi Mobius M rng cĂc kt quÊ Â nghiản cứu cho cĂc ph†p bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng kh¡c tŒng qu¡t hìn ph†p bi‚n Œi Mobius Nghi¶n cøu mŁi quan h» giœa ging ca ữớng cong xĂc nh phữỡng trnh vi phƠn ⁄i sŁ c§p mºt v giŁng cıa mºt nghi»m ⁄i s ca phữỡng trnh Nghiản cứu nghiằm liouville ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt thuc lợp tữỡng ữỡng autonom Nghiản cứu nghiằm i s ca phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt trản mt trữớng vi phƠn tũy ỵ 90 DANH MệC C C C˘NG TR NH CÕA T CGI LI NQUAN NLU N N Ngo Lam Xuan Chau, Le Minh Duong, Ha Trong Thi, Nghi»m liouville cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi phƠn i s cĐp mt ging khổng , Tp ch‰ Khoa håc Tr÷íng ⁄i håc Quy Nhìn, ISSN: 1859-0357, t“p 12, sŁ 3, 2018: pp 5-12 Ngo Lam Xuan Chau, Ha Trong Thi, Mobius transformations on algebraic ODEs of order one and algebraic general solutions of the autonomous equivalence classes , Journal of Computational and Ap-plied Mathematics, 380 (2020), 112999 91 T ILI UTHAMKH O [1] P Appell Sur les invariants de quelques †quations diff†rentielles J Math Pures Appl., 5:361 423, 1889 [2] J M Aroca, J Cano, R Feng, and X S Gao Algebraic general solutions of algebraic ordinary differential equations In Proceedings of the 2005 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC ’05, pages 29 36, New York, NY, USA, 2005 ACM [3] M Bronstein Symbolic integration I - Transcendental functions Springer, 2005 [4] M M Carnicer The Poincar† problem in the nondicritical case Ann of Math., 140:289 294, 1994 [5] N L X Chau, L M Duong, and H T Thi Liouvillian solutions of algebraic ordi-nary differential equations of order one in genus zero Journal of Science, Quy Nhon University, 12 (3):5 12, 2018 [6] N L X Chau and H T Thi Mobius transformations on algebraic ODEs of order one and algebraic general solutions of the autonomous equivalence classes J Comput Appl Math., 380:112999, 2020 [7] E.S Cheb-Terrab and A.D Roche Abel ODEs: Equivalence and integrable classes Comput Phys Commun., 130:204 231, 2000 [8] D Cox, J Little, and D O’shea Ideals, Varieties, and Algorithm - An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra Springer, 1997 [9] T Czy zycki and J Hrivn¡k Equivalence problem and integrability of the Riccati equations Nonlinear Differential Equations and Applications, 17:371 388, 2010 92 [10] N T Dat and N L X Chau Liouvillian solutions of algebraic ordinary differential equations of order one in genus zero (submitted), 2021 [11] N T Dat and N L X Chau Rational liouvillian solutions of algebraic ordinary differential equations of order one Acta Mathematica Vietnamica, https://doi.org/10.1007/s40306-020-00404-z, 2021 [12] A Eremenko Rational solutions of first order differential equations Ann Acad Sci Fenn Math., 23:181 190, 1998 [13] R Feng and X-S Gao A polynomial time algorithm for finding rational general solutions of first order autonomous odes J Symbolic Comput., 41:739 762, 2006 [14] L Fuchs Uber Differentialgleichungen deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen Sitzungsberichte der Koniglich preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin, pages 699 710, 1884 [15] E Kamke Differentialgleichungen, Losungsmethoden und Losungen, I Gewohnliche Differentialgleichungen Akademische Verlagsgesellschaft, 1961 [16] E R Kolchin Differential algebra and algebraic groups Academic Press, 1973 [17] J Kovacic An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equa-tions J Symbolic Comput., 2:3 43, 1986 [18] S Lang Algebra Springer, 2002 [19] J Malmquist Sur les fonctions a un nombre fini de branches d†finies par les †quations diff†rentielles du premier ordre Acta Math., 36:297 343, 1913 [20] Y-K Man Computing closed form solutions of first order ODEs using the PrelleSinger procedure J Symbolic Comput., 16:423 443, 1993 [21] L X C Ngo, K A Nguyen, M van der Put, and J Top Equivalence of differential equations of order one J Symbolic Comput., 71:47 59, 2015 [22] L X C Ngo, J R Sendra, and F Winkler Classification of algebraic odes with respect to rational solvability Contemp Math., 572:193 210, 2012 93 [23] L X C Ngo, J.R Sendra, and F Winkler Birational transformations on algebraic ordinary differential equations In RISC Report Series, Tech report: 12-18, JKU, Austria, 2012 Research Institute for Symbolic Computation (RISC) [24] L X C Ngo, J.R Sendra, and F Winkler Birational transformations preserving rational solutions of algebraic ordinary differential equations J Comput Appl Math., 286:114 127, 2015 [25] L X C Ngo and F Winkler Rational general solutions of first order non-autonomous parametrizable ODEs J Symbolic Comput., 45:1426 1441, 2010 [26] L X C Ngo and F Winkler Rational general solutions of planar rational systems of autonomous ODEs J Symbolic Comput., 46:1173 1186, 2011 [27] H Poincar† Sur L’int†gration alg†brique des †quations diff†rentielles du premier ordre et du premier degr† Rend Circ Mat Palermo, 5:161 191, 1891 [28] M J Prelle and M F Singer Elementary first integrals of differential equations Trans Amer Math Soc., 279(1):215 229, 1983 [29] Robert H Risch The problem of integration in finite terms Trans Amer Math Soc., 139:167 189, 1969 [30] J F Ritt Differential algebra American Mathematical Society, 1950 [31] F Schwarz Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis Group, 2008 [32] J R Sendra, F Winkler, and Sonia P†rez-D‰az Rational Algebraic Curves - A Computer Algebra Approach Springer, 2008 [33] F Ulmer and J A Weil Note on Kovacic’s algorithm J Symbolic Comput., 22:179 200, 1996 [34] N T Vo Rational and Algebraic Solutions of First-Order Algebraic ODEs Ph.D thesis, Johannes Kepler University, Linz, Austria, 2016 [35] A Zharkov Coefficient fields of solutions in Kovacic’s algorithm J Symbolic Comput., 19:403 408, 1995 ... ¶an vi â câ b“c n 1, õ dx dx phƠn Mằnh ã 1.43 Giao ca mt hồ cĂc i ảan vi phƠn ca v nh vi phƠn R cụng l mt i ảan vi phƠn ca R nh nghắa 1.44 Cho R l mºt v nh vi ph¥n v l mºt t“p ca R I ảan vi phƠn... ảan vi phƠn nu vỵi måi a I ta câ a I V dử 1.41 Trong v nh vi phƠn R vợi ph†p ⁄o h m khỉng, måi i ¶an cıa R ãu l mt i ảan vi phƠn d V dử 1.42 Trong v nh vi ph¥n C[x]; dx , ch¿ cõ hai i ảan vi. .. a thức vi phƠn v = fF g gỗm ch mt a thức vi phƠn, ta cụng kỵ hiằu fF g ch i ảan vi phƠn côn sinh bi mt phn tò fF g nh lỵ sau, ữổc bit n rng rÂi i s vi phƠn, cho ta mt phƠn tch ca i ảan vi phƠn