CHƯƠNG 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ OANH PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY LIÊN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số 60 46 01 02 TÓM[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ OANH PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY LIÊN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HĨA – 2016 Luận văn hồn thành Trường Đại Học Hồng Đức Người hướng dẫn: TS.Hoàng Nam Phản biện 1: ………………………… Phản biện 2: …………………………… Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ khoa học tại: Trường Đại Học Hồng Đức Vào hồi: ….giờ… ngày …tháng… năm2016 Có thể tìm hiểu luận văn -Thư viện trường Đại học Hồng Đức, -Bộ mơn: Giải Tích,Trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong thực tiễn nay, kể khoa học ứng dụng có nhiều vấn đề, nhiều tốn, chẳng hạn mô tả động lực, mô tả hệ thống mạng điện, lý thuyết điều khiển, đòi hỏi phải quan tâm giải hệ phương trình vi phân đại số Từ cuối năm 70 đầu năm 90 kỉ XX có nhiều nhà tốn học giới nghiên cứu phương trình vi phân đại số, số nhà tốn học thuộc Đại học Humbodt Berlin, nhóm nhà toán học Nga, Mỹ, Ba Lan số nước khác Ở nước ta, vào năm 90 kỉ XX có số nhà tốn học thuộc Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội nghiên cứu phương trình vi phân đại số Trong thời gian qua có nhiều kết thu phương trình vi phân đại số, chẳng hạn kết nghiệm, tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ phương trình vi phân đại số, tính ổn định hệ có nhiễu nhỏ, tính nhị phân, phương trình liên hợp phương trình vi phân đại số,… góp phần bước hoàn thiện phát triển lý thuyết phương trình vi phân đại số đẩy mạnh việc ứng dụng chúng thực tiễn Các mơ hình tốn học sử dụng để khảo sát, điều tra tượng vật lý ngày trở nên thực tế Các đặc tính mơ hình họ thường sử dụng thông số mà giá trị khơng biết xác, cách gọi để phân tích độ nhạy tham số Lĩnh vực áp dụng, bao gồm tối ưu hóa, tham số ước lượng, điều khiển tối ưu, mơ hình đơn giản hóa, độ nhạy q trình, phân tích khơng chắn thiết kế thí nghiệm cho loạt vấn đề khoa học kỹ thuật,… Nghiên cứu gần phương pháp phần mềm để phân tích độ nhạy phương trình vi phân đại số (Cao et al., 2003; Feehery et al., 1997; Li and Petzold, 2000; Li and Petzold, 1999; Li at al., 2000 and Maly and Petzold, 1997) chứng tỏ dãy giá trị nhạy cảm tính tốn đáng tin cậy hiệu thông qua vi phân kết hợp với kỹ thuật nghiệm phương trình vi phân đại số Tuy nhiên, có số vấn đề khó khăn ta phân tích độ nhạy hệ phương trình vi phân đại số với số lượng lớn tham số so với số lượng biến Theo phương pháp này, ta tính độ nhạy tham số cách sử dụng hệ liên hợp tuyến tính, khơng cần thiết phải mở rộng hệ ban đầu, điều nâng cao hiệu tính tốn vấn đề xem xét Phương pháp sử dụng loạt thí nghiệm, nơi kết so sánh với ước lượng độ nhạy phương pháp hữu hạn khác nhau, sử dụng rộng rãi cho đơn giản việc thực Bởi vậy, Luận văn nghiên cứu đề tài: “Phân tích độ nhạy liên hợp phương trình vi phân đại số” Mục đích nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu luận văn nhằm giới thiệu phương pháp dựa hệ liên hợp để phân tích độ nhạy tham số phương trình vi phân đại số Phương pháp sử dụng loạt thí nghiệm kết so sánh với việc ước lượng độ nhạy phương pháp khác hữu hạn, sử dụng rộng rãi tính đơn giản việc thực chúng xét tính ổn định hệ liên hợp Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày phương pháp độ nhạy liên hợp hệ phương trình vi phân đại số phụ thuộc vào tham số Một phương pháp dựa hệ liên hợp để phân tích độ nhạy tham số phương trình vi phân đại số - Nghiên cứu đề xuất mở rộng phương pháp dựa việc sử dụng hàm so sánh cho phép chuyển hệ liên hợp ban đầu hệ đại số làm cho phù hợp với nhiều phương pháp số hiệu - Trình bày tính ổn định, tính ổn định hệ liên hợp (đối với phương trình vi phân đại số bán tường minh) hệ liên hợp bổ sung (đối với phương trình vi phân đại số hoàn toàn ẩn) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phương trình vi phân đại số phương trình liên hợp; - Độ nhạy liên hợp phương trình vi phân đại số; - Tính ổn định, ổn định số phương trình vi phân Phương pháp nghiên cứu - Tìm kiếm ,tổng hợp tài liệu từ giáo trình ,sách phường vi phân đại số độ nhạy liên hợp phương trình vi phân đại số Sau phân tích ,tổng hợp để trình bày rõ ràng ,hợp logic vần đề Cấu trúc luận văn Luận văn cấu trúc gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung sau: Chương 1: Phương trình vi phân đại số phương trình liên hợp Chương trình bày số khái niệm, kết phương trình vi phân đại số phương trình vi phân đại số liên hợp tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Chương 2: Độ nhạy liên hợp phương trình vi phân đại số Chương giới thiệu phương pháp dựa hệ liên hợp để phân tích độ nhạy tham số phương trình vi phân đại số; mở rộng phương pháp dựa việc sử dụng hàm so sánh, cho phép chuyển hệ liên hợp ban đầu hệ đại số làm cho phù hợp với nhiều phương pháp số hiệu Cuối phần Kết luận phần Danh mục tài liệu tham khảo 3 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP 1.1 Một số khái niệm phương trình vi phân đại số Định nghĩa 1.3 Số tự nhiên k gọi số ma trận thỏa mãn Kí hiệu số ma trận số tự nhiên bé , Định nghĩa 1.5 Nếu cặp quy gọi số cặp ma trận với Như với Định nghĩa 1.6 Phương trình (1.2) ma trận hàm thỏa mãn giả thiết sau Cặp ma trận quy số với Tồn phép chiếu lên ; , gọi phương trình vi phân đại số tuyến tính số chuyển Định lý 1.1 [10] Giả sử (1.1) phương trình vi phân đại số quy số x(t) nghiệm Khi thỏa mãn điều kiện đầu ; , u(t)là nghiệm tốn giá trị đầu chiếu tắc Nếu ta sử dụng phép lên S(t) dọc N(t) cơng thức (1.5) (1.6) viết lại sau f(t)=0 1.2 Phương trình liên hợp phương trình vi phân đại số Định nghĩa 1.8 Phương trình (1.4) (1.9) với thỏa mãn giả thiết Cặp ma trận quy số Tồn phép chiếu với lên , gọi phương trình liên hợp phương trình vi phân đại số (1.2) số Định lý 1.2[3] Với giả thiết , với bất kì, tốn giá trị ban đầu (1.10) có nghiệm cho Định lý 1.3[3] Với giả thiết , với nghiệm toán giá trị ban đầu (1.10) Xét phương trình (1.11) ma trận hàm liên tục thỏa mãn giả thiết Định nghĩa 1.9 Cho phương trình , (1.13) , gọi phương trình vi phân đại số số (index- tractable) (i) (ii) , phép chiếu lên ; Xét phương trình vi phân dạng Hessenberg, nghĩa hệ dạng đó, Định lý 1.5[14] Giả sử (1.13) phương trình vi phân đại số giải có số với Q hàm khả vi liên tục Khi đó, kết sau (i) Bài tốn giá trị ban đầu (1.8), (1.2) có nghiệm với (ii) Nếu nghiệm phương trình (iii) Với Khơng qua có nghiệm phương trình thời điểm gian nghiệm M(t) không gian riêng S(t) Bổ đề 1.6[14] Giả sử phương trình (1.13) chuyển với số 2, khả vi liên tục Khi phương trình (1.13) tương đương với hệ (1.15) nghiệm Hơn nữa, với số toán giá trị đầu , , thỗ mãn 1.3 Sự ổn định (Lyapunov) hệ phương trình vi phân đại số Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau (1.16) Giả sử phương trình (1.16) có số trơn Định nghĩa 1.10 Nghiệm tầm thường Lyapunov) với số thoả mãn cho trước với Định nghĩa 1.11 Nghiệm tầm thường ổn định tồn số hệ (1.16) gọi ổn định (theo nghĩa cho tồn với cho hệ (1.16) gọi ổn định tiệm cận Định nghĩa 1.12 Nghiệm tầm thường tồn số dương hệ (1.16) gọi ổn định tiệm cận mũ với số thoả mãn cho trước tồn số với Định nghĩa 1.13 Nghiệm tầm thường với phương trình vi phân đại số có số (1.16) gọi ổn định (theo nghĩa Lyapunov) với số tồn cho cho cho trước với thoả mãn Định nghĩa 1.14 Nghiệm tầm thường phương trình vi phân đại số có số (1.16) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số Định nghĩa 1.15 Nghiệm tầm thường phương trình vi phân đại số có số (1.16) gọi ổn định tiệm cận mũ tồn số dương tồn số cho với Định lý 1.7 Giả sử cho với số thoả mãn cho trước bị chặn Khi đó, nghiệm tầm thường (1.11) ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường phương trình ổn định tiệm cận mũ Định lý 1.8 [14] Giả sử phương trình (1.13) chuyển với số 2, khả vi liên tục đồng thời bị chặn Khi đó, nghiệm tầm thường phương trình( 1.13) ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường nghiệm phương trình ổn định tiệm cận mũ CHƯƠNG ĐỘ NHẠY LIÊN HỢP CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ Trong chương này, ta giới thiệu phương pháp dựa hệ liên hợp để phân tích độ nhạy tham số phương trình vi phân đại số Ngồi ta mở rộng phương pháp dựa việc sử dụng hàm so sánh, cho phép chuyển hệ liên hợp ban đầu hệ đại số làm cho phù hợp với nhiều phương pháp số hiệu Phương pháp độ nhạy liên hợp trình bày phương trình vi phân đại số phụ thuộc tham số Hệ liên hợp suy với điều kiện ban đầu quán phương trình vi phân Hessenberg số 2.1 Đạo hàm hệ liên hợp độ nhạy Xét phương trình cân có dạng tổng qt (2.1) tạo nên tổ hợp phương trình vi phân phương trình đại số, biến trạng thái vec tơ vec tơ tham số Vấn đề tính tốn độ nhạy tham số hệ phương trình vi phân đại số dạng (2.1) có dạng sau: Đối với phụ thuộc tham số hệ phương trình vi phân đại số dạng (2.1), tìm thời gian T, với Các nghiệm chúng địi hỏi nghiệm tương thích hệ phương trình vi phân đại số ban đầu với với - hệ nhạy cảm, thu cách lấy đạo hàm phương trình vi phân đại số ban đầu tương ứng theo tham số Ta qua tâm đến việc tính toán độ nhạy hàm mục tiêu nghiệm nhiễu tham số , loại trù độ nhạy hàm xác định thời điểm T Bây ta xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính cho cơng thức sau ma trận hàm phải thỏa mãn đủ trơn, phương trình vi phân đại số liên hợp phương trình 2.1.1 Độ nhạy Trước hết, để giải toán độ nhạy hàm giới thiệu hệ số Lagrange , cho công thức (2.2) Để , ta hình thành hàm mục tiêu bổ sung sau , đó, hệ số Lagrange Lấy đạo hàm hai vế theo xác định (2.1) , độ nhạy (2.7) Ta giả sử (2.8) phương trình vi phân đại số có số có số 1, để đơn giản ta lấy Phương trình (2.7) trở thành (2.10) Để tìm điều kiện ban đầu (tại ) hệ liên hợp, ta phải thực việc xem xét cấu trúc hệ phương trình vi phân đại số Đối với trưịng hợp hệ phương trình vi phân đại số có số số 1, ta chọn , dẫn tới phương trình độ nhạy (2.11) Cách chọn không đủ cho trường hợp hệ phương trình vi phân đại số Hessenberg có số Xét hệ đây, , thành phần nghiệm vi phân thành phần nghiệm đại số tương ứng, , ma trận tích CB khả nghịch Ở đây, hệ liên hợp cho công thức biến vi phân biến đại số tương ứng ta giả sử chưa xác định Khi đó, phương trình độ nhạy (2.10) trở thành Ta sử dụng ký hiệu hệ liên hợp bổ sung tương ứng với (2.6) (219) đây, ta giới thiệu hàm Từ (2.19) trở đi, dễ thấy phương trình vi phân đại số liên hợp phải giải ngược lại thời gian. Để tính số hạng tích phân của phương trình (2.8), ta sử dụng biến cầu phương β, mở rộng lần với hệ liên hợp Trong trường hợp này, với t = 0, với thỏa mãn phương trình độ nhạy đối 2.1.2 Độ nhạy Bây ta xem xét việc tính tốn ký hiệu Từ (2.8), ta có Đối với phương trình vi phân đại số có số có số 10 Đối với phương trình vi phân đại số Hessenberg có số dạng (2.11) Phương trình liên hợp tương ứng Đối với phương trình vi phân đại số có số số (như trình bày trên, trường hợp số lại khác), để tìm điều kiện biên cho phương trình này, ta viết phụ thuộc vào t T Khi , Ta có điều kiện biên (2.22) Đối với trưòng hợp phương trình vi phân đại số có số 1, từ (2.8) (2.22) dẫn đến Đối với trường hợp phương trình vi phân thường qui ẩn, điều dẫn đến khả nghịch, đó, ta có Ta thảo luận điều kiện biên thích hợp phương phương trình vi phân đại số Hessenberg số phần sau Ta có (*) biến liên hợp phụ thuộc vào và biểu thị Phương trình liên hợp tương ứng giải tương tự hệ (2.10) Một lần nữa, để tính số hạng tích phân phương trình (*), ta sử dụng biến định hệ liên hợp sau Cuối cùng, biểu thị phương trình độ nhạy cho ta xác 11 2.2 Một số ví dụ 2.2.1 Phương trình vi phân thường dạng chuẩn tắc Cho phương trình vi phân thường với điều kiện đầu hàm , hệ liên hợp tương ứng độ nhạy cho , Phương trình tương tự với hệ liên hợp nói chung cách xác định phương trình vi phân thường 2.2.2 Phương trình vi phân thường dạng ẩn Cho hệ với ma trận khơng suy biến, hàm , hệ liên hợp tương ứng độ nhạy cho 2.2.3 Phương trình vi phân đại số có số bán tường minh Cho hệ với , , hệ liên hợp tương ứng , ma trận không suy biến hàm t= T, 12 độ nhạy cho Nếu hàm g phụ thuộc hai biến , , phương trình liên hợp tương tự trên, điều kiện biên cho cơng thức 2.2.4 Phương trình vi phân đại số Hessenberg có số Cho hệ phương trình sau với , , vào thành phần vi phân độ nhạy cho CB khả nghịch, giả sử hàm phụ thuộc , hệ liên hợp tương ứng Nếu hàm phụ thuộc vào giải điều kiện biên từ Hệ liên hợp điều kiện biên cho , trước hết ta 13 2.3 Tính ổn định Trong phần này, ta nghiên cứu tính ổn định hệ liên hợp Giả sử rằng, hệ ban đầu ổn định, liệu hệ liên hợp có ổn định khơng ? Nếu ta xét phương trình liên hợp (2.8), liệu khơng ổn định Xét ví dụ (2.24) Hệ tương đương với Rõ ràng, hệ ổn định Nhưng hệ liên hợp (2.8) (2.24) , tương đương với (2.26) Chú ý rằng, ta giải hệ liên hợp ngược Do đó, hệ liên hợp (2.26) khơng ổn định Ký hiệu , ta có dạng hệ liên hợp bổ sung (2.8) (2.27) Nếu giải hệ liên hợp bổ sung (2.27) thay cho (2.26), thỏa mãn ổn định ngược Ta biểu diễn rằng, trường hợp tổng quát hệ liên hợp bổ sung (2.27) ổn định hệ ban đầu ổn định Vì [6] ta giải phương trình (2.27) thay (2.8) 2.3.1 Phương trình vi phân thường dạng tường minh Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính tương ứng sau Hệ phương trình liên hợp Do, hệ liên hợp giải theo chiều ngược, ta thực phép đổi biến đổi Hệ liên hợp giải ngược chuyển thành Khi đó, ta có kết sau Định lý 2.1.[7] Nếu hệ phương trình vi phân ổn định, hệ liên hợp ổn định 2.3.2 Phương trình vi phân đại số có số bán tường minh Xét hệ phương trình vi phân đại số có số dạng bán tường minh đó, D(t) khả nghịch Hệ liên hợp tương ứng 14 Hệ ban đầu ổn định phương trình vi phân thường sở (Essential Underlying ODE - EUODE) ổn định Phương trình vi phân thường sở tương ứng với hệ liên hợp cho , 2.3.3 Phương trình vi phân đại số Hessenberg có số Xét hệ phương trình vi phân đại số Hessenberg có số tuyến tính đây, ma trận chặn gian khơng Do không suy biến Nếu B đủ trơn, tồn ma trận hàm trơn, bị , độc lập tuyến tính, chuẩn hóa theo hàng thành sở không Ở số chiều biến vi phân khả nghịch Đặt biến thỏa mãn điều kiện tương ứng số chiều biến đại số ,0 , cho Phương trình vi phân thường sở (2.28) Hệ phương trình ban đầu ổn định biến vi phân phương trình vi phân thường sở (2.28) ổn định Bây giờ, ta xét hệ liên hợp Khi đó, phương trình vi phân thường sở phương trình vi phân đại số liên hợp RS=I dẫn đến , thành phần phương trình phương trình vi phân thường sở cho 2.3.4 Phương trình vi phân đại số hoàn toàn ẩn Bổ đề 2.2 [7] Cho hệ phưong trình vi phân đại số tuyến tính phụ thuộc ma trận khả vi, phụ thuộc thời gian, khơng suy biến P(t) nhân phương trình phương trình vi phân đại số Q(t) đổi biến, hệ liên hợp phương trình vi phân đại số biến đổi hệ biến đổi phưong trình vi phân đại số liên hợp 15 Định lý 2.3.[7] Đối với hệ phương trình vi phân đại số tổng quát có số số 1, hệ phương trình vi phân đại số ban đầu ổn định hệ phương trình vi phân đại số liên hợp bổ sung (2.27) ổn định 2.4 Tính ổn định số Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính tổng quát (2.29) Hệ liên hợp tương ứng mà chúng giải theo hướng ngược Rời rạc hóa hệ liên hợp (2.29), ta thu Do đó, ta có Giả sử Suy (2.33) Tính ổn định số hệ ban đầu kéo theo bị chặn Từ (2.33), hệ liên hợp ta có Do đó, tất phương trình vi phân thường tuyến tính phương trình vi phân đại số, tính ổn định tiệm cận số phương pháp Euler theo hướng ngược lại hệ ban đầu kéo theo tính ổn định tiện cận số hệ liên hợp 16 KẾT LUẬN Trên sở báo [6,7] sau thời gian nghiên cứu, tìm tịi với giúp đỡ tận tình TS Hồng Nam, tơi hồn thành Luận văn thạc sỹ với tiêu đề: “Phân tích độ nhạy liên hợp phương trình vi phân đại số” theo yêu cầu nội dung kế hoạch đề Luận văn thu số kết sau: Trình bày phương pháp độ nhạy liên hợp hệ phương trình vi phân đại số phụ thuộc vào tham số Phương pháp sử dụng loạt thí nghiệm kết so sánh với việc ước lượng độ nhạy phương pháp hữu hạn khác, sử dụng rộng rãi Nghiên cứu đề xuất mở rộng phương pháp dựa việc sử dụng hàm so sánh cho phép chuyển hệ liên hợp ban đầu hệ đại số làm cho phù hợp với nhiều phương pháp số hiệu Trình bày tính ổn định, tính ổn định hệ liên hợp (đối với phương trình vi phân đại số bán tường minh) hệ liên hợp bổ sung (đối với phương trình vi phân đại số hồn tồn ẩn) Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong thầy bạn góp ý để luận văn hoàn thiện