Tập Hút Toàn Cục Đối Với Phương Trình P-Laplace Không Địa Phương.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ SÂM TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH p LAPLACE KHÔNG ĐẠI PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA,[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ SÂM TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACE KHƠNG ĐẠI PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ SÂM TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACE KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS MAI XUÂN THẢO THANH HÓA, 2017 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2017 (ký ghi rõ họ tên) Chức danh hội đồng i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Thị Sâm ii LỜI CẢM ƠN Luận văn “Tập hút tồn cục phương trình p-Laplace khơng địa phương” tác giả hồn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Mai Xuân Thảo Để hoàn thành luận văn tác giả nhận nhiều giúp đỡ nhiều cá nhân tập thể Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Mai Xuân Thảo, người thầy tận tâm hướng dẫn thực luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô giảng dạy lớp cao học Tốn Giải tích K8 (2015 – 2017) trường ĐH Hồng Đức, Thanh Hóa giúp đỡ tơi q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phận quản lý đào tạo sau đại học thuộc mơn Giải tích Khoa Khoa học Tự Nhiên, Phịng quản lý Đào tạo sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến góp ý quý thầy giáo, cô giáo, anh chị em đồng nghiệp để luận văn hồn chỉnh Thanh Hóa, tháng năm 2017 Nguyễn Thị Sâm iii Mục lục 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L p (Ω) 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.2 Tập hút toàn cục 1.3 Một số định lý thường dùng 1.4 Một số bất đẳng thức thường dùng 12 2.1 Đặt toán 14 2.2 Sự tồn nghiệm 15 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục 22 2.3.1 (L2 (Ω), L2 (Ω))-Tập hút toàn cục 22 2.3.2 Tính trơn tập hút tồn cục 24 Sự tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng 30 2.4 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm (khi thời gian vô cùng) hệ động lực vô hạn chiều sinh phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương trình vi phân hàm tốn quan trọng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Một cách tiếp cận toán hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều nghiên cứu tồn tính chất tập hút tồn cục Đó tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét Cụ thể ta xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm quỹ đạo hệ xét quỹ đạo nằm tập hút toàn cục Trong năm qua, có nhiều kết tồn tính chất tập hút tồn cục nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng loại parabolic, với phần tốn tử p-Laplace nhiều điều kiện khác số hạng phi tuyến điều kiện biên Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình parabolic khơng địa phương, tức phần phương trình tốn tử khơng địa phương, cịn Vì tơi chọn đề tài “ Tập hút tồn cục phương trình p-Laplace không địa phương” làm luận văn tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu tập hút toàn cục phương trình pLaplace khơng địa phương miền bị chặn với điều kiện biên Dirichlet Trong đó, hệ số khuếch tán hàm phụ thuộc vào chuẩn L p gradient, yếu tố khơng tuyến tính thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiểu đa thức với bậc lớn tùy ý, yếu tố ngoại lực hàm bình phương khả tích khơng phụ thuộc vào biến thời gian Ngồi mục đích đề tài cịn nghiên cứu tồn ổn định mũ nghiệm dừng toán Nhiệm vụ đề tài Ngoài việc tổng hợp kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung luận văn, luận văn tồn nghiệm yếu toán chứng minh tồn tập hút toàn cục nhiều cặp không gian Banach Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng loại parabolic miền bị chặn với phần tốn tử p-Laplace Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn kết báo "Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng địa phương " số tài liệu Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn trình bày kiến thức số không gian hàm, tập hút tồn cục, số định lí thường dùng số bất đẳng thức thường dùng nhằm tạo tạo tính hệ thống kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu nội dung Chương 2: Tập hút tồn cục phương trình p-Laplace không địa phương miền bị chặn với điều kiện biên Dirichlet Trong chương luận văn đưa toán giả thiết Phát biểu chứng minh định lí tồn nghiệm nghiệm Chứng minh phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu Tiếp theo tồn tập hút toàn cục nhiều cặp không gian Banach Sự tồn tập hút toàn cục q W1,p (Ω) ∩ L (Ω) nhận nhờ tồn tập hấp thụ bị chặn (L2 (Ω), L p (Ω)) phép nhúng compact W01,p ⊂⊂ L p (Ω) Tuy nhiên, chúng q ta chứng minh tồn tập hút toàn cục L p (Ω), W1,p (Ω)∩L (Ω) Chúng ta khai thác kết phép nhúng nửa với điều kiện toán Cuối cùng, báo tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, tơi trình bày tóm lược số kiến thức sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm tốn phương trình đạo hàm riêng thơng qua việc nghiên cứu tập hút tồn cục nửa nhóm liên tục sinh từ toán Nội dung chi tiết kết tìm thấy tài liệu tham khảo [1, 2, 3, 5, 6, 8, 9] 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian L p (Ω) Định nghĩa 1.1.1 [5] Giả sử Ω ⊂ RN tập mở, bị chặn p ∈ R; ≤ p < ∞ Không gian hàm lũy thừa p khả tích tập L p (Ω) = { f : Ω → R đo R Ω | f | p dx < ∞}, trang bị chuẩn Z 1/p p k f kL p = k f k p = | f (x)| dx Ω Định lý 1.1.2 [5] a) L p (Ω) không gian Banach tách với ≤ p < +∞ b) L2 (Ω) không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.3 [5] Cho (X, k.kX ) không gian Banach (X ∗ , k.kX ∗ ) không gian đối ngẫu Dãy xn ∈ X gọi hội tụ yếu tới x ∈ X, xn * x X, f (xn ) −→ f (x) với f ∈ X ∗ Định nghĩa 1.1.4 [5] p a) Tập Lloc (Ω) = { f : f ∈ L p (K)} với tập compact K ⊂ Ω; ≤ p < ∞ gọi không gian hàm lũy thừa p khả tích địa phương Ω p b) Dãy fn gọi hội tụ đến f Lloc (Ω) fn → f L p (K) với tập compact K ⊂ Ω (Ω) Ta nói f đạo hàm yếu g theo biến Định nghĩa 1.1.5 [5] Cho g ∈ Lloc (Ω) x j ký hiệu f = D j g f ∈ Lloc Z Ω f φ dx = − Z g Ω dφ dx, dx j với φ ∈ Cc∞ (Ω) - không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ta định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao theo phương pháp quy nạp: (Ω) f gọi đạo hàm yếu cấp α g, f = Dα u Nếu f , g ∈ Lloc Z |α| Z f φ dx = (−1) Ω gDα φ dx, Ω α = (α1 , · · · , αn ) đa số với αi ∈ N |α| = |α1 | + · · · + |αn | Bổ đề 1.1.6 [5] Một đạo hàm yếu cấp α g tồn xác định cách (sai khác tập có độ đo khơng) 1.1.2 Khơng gian Sobolev Cố định ≤ p < +∞ k số nguyên không âm Định nghĩa 1.1.7 [5] Không gian Sobolev W k,p (Ω) tập gồm tất hàm khả tích địa phương f : Ω −→ R cho với đa số α, |α| ≤ k, đạo hàm yếu Dα f tồn thuộc L p (Ω), tức là, W k,p (Ω) = { f : Dα ∈ L p (Ω), ≤ |α| ≤ k}, trang bị chuẩn o1/p n p α k f kW k,p (Ω) = kD f k ∑ L p (Ω) 0≤|α|≤k Định nghĩa 1.1.8 [5] k,p (Ω) Ta nói u hội tụ đến u W k,p (Ω) a) Cho {um }∞ m m=1 , u ∈ W ký hiệu um −→ u lim kum − ukW k,p (Ω) m→∞ W k,p (Ω) = 0, k,p (Ω) um −→ u W k,p (K) với K ⊂ Ω b) Ta nói um −→ u Wloc Định nghĩa 1.1.9 [5] Bao đóng Cc∞ (Ω) W k,p (Ω) ký hiệu W0k,p (Ω) Định lý 1.1.10 [5] W k,p (Ω) không gian Banach tách 1.1.3 Không gian hàm phụ thuộc thời gian Cho X không gian Banach thực với chuẩn k.k ≤ p < +∞ Định nghĩa 1.1.11 [1] Không gian L p (0, T ; X) gồm tất hàm đo u : [0, T ] −→ X với chuẩn kukL p (0,T ;X) :=  ZT p ku(t)k dt 1 p < ∞ (p−2)p0 Z 2p p0 gudx ≤ ε kuk p 1,p + |Ω| kgk p0 L2 (Ω) W0 (Ω) Ω p (pελ1 ) p (2.8) Để chứng minh tồn nghiệm yếu ta cần Bổ đề sau: Bổ đề 2.2.2 Theo giả thiết (H1), −div(a(k∇ukLp p (Ω) )|∇u| p−2 ∇u) đơn điệu   E     D   p p p−2 p−2 −div a k∇ukL p (Ω) |∇u| ∇u + div a k∇vkL p (Ω) |∇v| ∇v , u − v ≥ (2.9) Chứng minh Ta có Z Ω (a(k∇ukLp p (Ω) )|∇u| p−2 ∇u − a(k∇vkLp p (Ω) )|∇v| p−2 ∇v)∇(u − v)dx Z = Z Ω + Ω a(k∇ukLp p (Ω) )|∇u| p − a(k∇ukLp p (Ω) )|∇u| p−2 ∇u∇v a(k∇vkLp p (Ω) )|∇v| p dx − a(k∇vkLp p (Ω) )|∇v| p−2 ∇v∇u Sử dụng bất đẳng thc Hăolder, ta cú Z Z a(kukLp p (Ω) )|∇u| p−2 ∇u∇v ≤ a(k∇ukLp p (Ω) )k∇ukLp−1 p (Ω) k∇vkL p (Ω) , a(k∇vkLp p (Ω) )|∇v| p−2 ∇v∇u ≤ a(k∇vkLp p (Ω) )k∇vkLp−1 p (Ω) k∇ukL p (Ω) Do đó, Z Ω (a(k∇ukLp p (Ω) )|∇u| p−2 ∇u − a(k∇vkLp p (Ω) )|∇v| p−2 ∇v)∇(u − v)dx ≥ 17 p p−1 (a(k∇ukLp p (Ω) )k∇ukLp−1 p (Ω) − a(k∇vkL p (Ω) )k∇vkL p (Ω) )(k∇ukL p (Ω) − k∇vkL p (Ω) ) ≥ a(s p )s p−1 không giảm Định lý 2.2.3 Giả sử u0 ∈ L2 (Ω) Nếu giả thiết (H1), (H2) (H3) thỏa mãn, tốn (2.1) có nghiệm yếu u(t) thỏa mãn q ∞ u ∈ C([0, ∞); L2 (Ω)) ∩ Lloc (0, ∞;W01,p (Ω)) ∩ Lloc (0, ∞; Lq (Ω)), ∂u p0 ∞ ∈ Lloc (0, ∞;W −1,p (Ω)) + Lloc (0, ∞; Lq (Ω)) ∂t Hơn nữa, ánh xạ u0 7→ u (t) (L2 (Ω), L2 (Ω)) liên tục Chứng minh i) Chứng minh tồn nghiệm Ta tìm nghiệm xấp xỉ un (t) dạng n un (t) = ∑ unk (t) ek k=1 1,p W0 (Ω) ∩ Lq (Ω) {e j }∞ sở chứa giá trị riêng toán tử ∆ p u Khơng tính tổng qt, giả sử {e j }∞ trực chuẩn L2 (Ω) Do đó, un nhận cách giải toán  h i   R R dun  p p−2   Ω dt ek + a k∇un kL p (Ω) |∇un | ∇un ∇ek + f (un )ek dx = Ω g(x)ek dx, n    ∑ unk (0)ek → u0 hội tụ mạnh L2 (Ω) n → ∞ k=1 (2.10) Vì f theo định lý Peano tốn Cauchy (2.10) có nghiệm Nhân (2.10) với hàm số unk (t) lấy tổng tương ứng từ k = đến n, ta có Z Z Z  1d p p |∇un | dx + kun kL2 (Ω) + a k∇un kL p (Ω) f (un ) un dx = gun dx dt Ω Ω Ω (2.11) Theo (2.2) (2.4), ta có ước lượng sau Z Z Z 1d p q kun kL2 (Ω) + m |∇un | dx + c1 |un | dx ≤ c0 |Ω| + gun dx dt Ω Ω Ω m Do đó, từ (2.8) với ε = , ta có Z  Z p q d kun kL2 (Ω) + c4 |∇un | dx + |un | dx ≤ c5 , (2.12) dt Ω Ω ∈ C1 (R), đây, c4 = {m, 2c1 } c5 = |Ω| (p−2)p0 2p p0 (pmλ1 /2) p0 p kgkLp2 (Ω) + 2c0 |Ω| 18 Sử dụng bất đẳng thức (2.7), ta nhận từ (2.12) bất đẳng thức sau d kun k2L2 (Ω) + mλ1 kun kLp p (Ω) ≤ c5 dt (2.13) Chú ý với p > 2, tồn số c6 > thỏa mãn mλ1 kun kLp p (Ω) ≥ mλ1 kun k2L2 (Ω) − c6 Do (2.13) trở thành d kun k2L2 (Ω) + mλ1 kun k2L2 (Ω) ≤ c5 + c6 dt (2.14) Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, từ (2.14), ta nhận kun (t)k2L2 (Ω) ≤ kun (0)k2L2 (Ω) e−mλ1t + (c5 + c6 )(1 − e−mλ1t ) mλ1 (2.15) Ước lượng tiên nghiệm kéo theo nghiệm un (t) (2.10) mở rộng +∞ Cho T số dương tùy ý, lấy tích phân hai vế (2.12) từ đến t ta  Z Z q p kun (t)kL2 (Ω) + c4 |un | ≤ kun (0)k2L2 (Ω) + T c5 |∇un | + ΩT ΩT Bất đẳng thức kéo theo {un } bị chặn L∞ (0, T ; L2 (Ω)), {un } bị chặn L p (0, T ;W01,p (Ω)), {un } bị chặn Lq (ΩT ) Chú ý −div(a(k∇ukLp p (Ω) )|∇u| p−2 ∇u) xác định phần tử W −1,p (Ω) đối ngẫu E  Z D p p p−2 |∇un | p−2 ∇un ∇vdx, −div(a(k∇ukL p (Ω) )|∇u| ∇u), v = a k∇un kL p (Ω) Ω với v ∈ W01,p (Ω) 19 Sử dụng (2.2) tính bị chặn un L p (0, T ;W01,p (Ω)) ta có