Tập hút toàn cục đối với các phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN THỊ NHƢ HOA TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI CÁC PHƢƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HÓA, NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN THỊ NHƢ HOA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI CÁC PHƢƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Mai Xuân Thảo THANH HÓA, NĂM 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Ngƣời cam đoan (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Nhƣ Hoa ii LỜI CẢM ƠN Luận án đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn thầy TS Mai Xuân Thảo Thầy dẫn dắt làm quen với nghiên cứu khoa học từ tơi cịn học viên cao học Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tƣởng thầy dành cho động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lịng q mến thầy Tơi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trƣờng Đại học Hồng Đức, thầy giáo công tác Bộ mơn Giải Tích, Khoa Khoa học Tự Nhiên, trƣờng Đại học Hồng Đức tạo điều kiện thuận lợi q trình tác giả học tập, cơng tác hoàn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin đƣợc bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bố mẹ, anh chị em bạn bè Gia đình, bạn bè luôn nguồn động viên động lực to lớn tác giả iii MỤC LỤC Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích, đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Cấu trúc ý nghĩa luận văn Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập hút toàn cục 1.2 Sự tồn tính tập hút tồn cục 1.3 Tính liên tục ổn định tập hút toàn cục 1.4 Số chiều tập hút toàn cục Chƣơng Tập hút toàn cục phƣơng trình parabolic suy biến nửa tuyến tính 2.1 Phƣơng trình parabolic suy biến nửa tuyến tính 2.2 Sự tồn nghiệm 2.3 Sự tồn tập hút tồn cục L2 () 2.4 Tính nửa liên tục tập hút tồn cục 2.5 Tính liên tục tập hút toàn cục 2.5.1 Sự tồn tập hút toàn cục L2 p 2 () 2.5.2 Sự tồn tập hút toàn cục D02 (,  ) 2.6 Số chiều tập hút tồn cục 2.7 Trên miền khơng bị chặn Kết luận kiến nghị iv Các thuật ngữ kí hiệu  : không gian tất số thực  N  : khơng gian tích Đề-Các , số tự nhiên N  Lp (),1  p  , không gian Banach gồm tất các hàm khả tích Lebesgue bậc p Ω với chuẩn: u  (  u dx)1/ p , u hàm khả tích Lebesgue bậc p Ω p Lp (  )  Đặc biệt, chƣơng sau, chủ yếu xem xét L2 p 2 ()  D01 (,  ) , Giả sử  :   hàm đo đƣợc Lebesgue, không âm, thỏa điều kiện sau: - miền Ω bị chặn ( )   L1loc ()   (0, 2),liminf xz x  z   ( x)  0,  z  , - miền Ω không bị chặn (,  )  thỏa ( ) liminf x  x   ( x)  0,   Chúng ta định nghĩa D01 (,  ) không gian bổ sung đủ C01 () với chuẩn: u  (   ( x) u dx)1/2 D01 (  , )  D01 (,  ) khơng gian Hilbert với tích vơ hƣớng (u, v)    ( x)uvdx  Kí hiệu D1 (,  ) đối ngẫu D01 (,  ) Giả sử N  2,   (0, 2), 4   (2, ) * 2    2N   2N   2,   N     N    Khơng gian Sobolev có trọng D02 (,  ) bao đóng C0 () với chuẩn: 1/2 u D02 (  , )      div  ( x)u  dx    D02 (,  ) không gian Hilbert với tích vơ hƣớng:  u, v  D    div  ( x)u  div  ( x)v  dx  C [a, b]; X  Lp  a, b; X  Giả sử X khơng gian Banach Khi đó: C [a, b]; X  không gian Banach bao gồm tất hàm liên tục u :[a, b]  X với chuẩn: u C [a ,b ]; X   sup u (t ) t[0,T ] X Lp  a, b; X  không gian Banach bao gồm tất hàm u :[a, b]  X thỏa mãn: b   u (t ) a 1/ p p X  dt     Khi ta đặt chuẩn: u (t ) Lp  a,b ; X  b    u (t ) a 1/ p p X  dt   MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Những hiểu biết dáng điệu tiệm cận hệ động lực vấn đề quan trọng lĩnh vực Toán - Lý đại Một cách tiếp cận để giải toán hệ động lực tán xạ xét tập hút toàn cục chúng Vấn đề nghiên cứu tồn tập hút toàn cục Khi tập hút toàn cục đạt đƣợc, câu hỏi tự nhiên đƣợc đặt nghiên cứu tính chất quan trọng là: số chiều, phụ thuộc vào tham số, tính quy, dạng giới hạn,…Trong khoảng ba thập niên gần đây, nhiều tác giả có kết lớp rộng phƣơng trình đạo hàm riêng thích hợp Tuy nhiên, hiểu biết dáng điệu nghiệm phƣơng trình suy biến cịn chƣa nhiều Tính chất tập hút tồn cục lớp phƣơng trình parabolic suy biến vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học hứa hẹn có nhiều ứng dụng tốn thực tế Vì thế, chúng tơi lựa chọn vấn đề làm nội dung nghiên cứu Luận văn với đề tài “Tập hút toàn cục phƣơng trình parabolic suy biến nửa tuyến tính” Nội dung luận văn tìm hiểu phƣơng trình parabolic suy biến nửa tuyến tính với biến, hệ số khơng âm, xác định miền tùy ý (bị chặn không bị chặn)  N , N  2: u  div( ( x)u )  f (u )  g ( x)  0, x  , t  0, t u (t , x)  0, x  , t  0, u (0, x)  u0 ( x), x  , hàm u0  L2 () g  L2 () xác định, f :  (1.1) hàm thuộc lớp C1 thỏa mãn số điều kiện đặc biệt Mục đích, đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu lớp phƣơng trình parabolic suy biến nửa tuyến tính miền chủ yếu miền bị chặn xem xét số trƣờng hợp miền không bị chặn Cụ thể đặt mục tiêu xem xét tồn số tính chất tập hút tồn cục phƣơng trình parabolic suy biến nửa tuyến tính, bao gồm: - Tính liên tục tập hút - Sự phụ thuộc liên tục theo tham biến - Số chiều fractal Cấu trúc ý nghĩa luận văn Trƣớc hết phần Giới thiệu cung cấp cho bạn đọc nhìn tổng quan luận văn, bao gồm lƣợc sử vấn đề nghiên cứu lí chọn đề tài Mục tiêu ý nghĩa đề tài Chƣơng cung cấp cách khái niệm kiến thức tập hút tồn cục, tồn tại, tính liên tục số chiều tập hút toàn cục vấn đề liên quan khác Chƣơng trình bày kết tồn số tính chất tập hút tồn cục, bao gồm tính trơn, phụ thuộc nửa liên tục theo số hạng phi tuyến, đánh giá số chiều fractal lớp phƣơng trình parabolic suy biến nửa tuyến tính ơtơnơm miền bị chặn Ω  N số hạng phi tuyến tiêu hao tăng trƣởng kiểu đa thức với độ tăng tùy ý Luận văn cung cấp hiểu biết dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phƣơng trình parabolic suy biến Các kết ý tƣởng luận văn sử dụng việc nghiên cứu tồn tính chất tập hút số lớp phƣơng trình parabolic suy biến khác có dạng tƣơng tự CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, giả thiết bạn đọc có đƣợc khái niệm nhƣ kiến thức không gian tuyến tính định chuẩn, giải tích định chuẩn giải tích hàm Luận văn chúng tơi chủ yếu làm việc khơng gian tuyến tính định chuẩn thực, cụ thể không gian Banach Trong nhiều tài liệu, khơng gian tuyến tính cịn đƣợc gọi khơng gian vec-tơ Chƣơng này, chúng tơi trình bày số vấn đề hệ động lực: nửa nhóm, tập hút tồn cục vấn đề liên quan nhằm phục vụ cho việc phát triển nội dung luận văn chƣơng 1.1 Tập hút toàn cục Phần này, làm quen với khái niệm nửa nhóm liên tục, tập hút, tiêu hao điểm, tiêu hao bị chặn tính compact tiệm cận Tập hút toàn cục đối tƣợng trung tâm lí thuyết hệ động lực tiêu hao vơ hạn chiều Định nghĩa 1.1.1 Một nửa nhóm liên tục không gian Banach X họ ánh xạ S (t ) : X  X , t  thỏa mãn điều kiện sau: (1) S (0)  I , với I phép đồng nhất, (2) S(t+k) = S(t)S(k)với t , k  , (3) S (t ) liên tục với t  , (4) Ánh xạ (0, )  X , t S (t )u liên tục với u  X Trong định nghĩa trên, X đƣợc gọi không gian pha (hoặc không gian trạng thái) Trong [1], cặp  X , S (t )  đƣợc gọi hệ động lực Số chiều X, dimX, (nếu có) gọi số chiều hệ động lực Các ví dụ hệ động lực bạn đọc xem thêm [1] Định nghĩa 1.1.2 Cho nửa nhóm S (t ) khơng gian Banach X Tập Y  X đƣợc gọi là: (1) bất biến dương S  t  Y  Y , t  0; (2) bất biến âm S  t  Y  Y , t  0; (3) bất biến S  t  Y  Y , t  u j  t   v  t  mạnh L2    hội tụ M Tính giới hạn cho ta v t   u t  Với dãy   j , u j    0 , u0  , tồn dãy St   j , u j  hội tụ L2    , giới hạn không phụ thuộc vào dãy con, St  0 , u0  , dãy ban đầu St   j , u j  hội tụ tới St  0 , u0  Do đó, St .,. liên tục  0 ,u0  Định lí 2.4.3 Họ  Ä ,    phụ thuộc nửa liên tục vào  , tức   lim sup dist Ä , Ä0   0 Chứng minh Với  j   , nửa nhóm St   j , u  có tập hấp thụ  B j  u  L2    : u D01   ,    R} , R hệ số đủ lớn phụ thuộc vào hệ số (2.2) – (2.3) Do đó, ta chọn R khơng phụ thuộc vào  j Vì tồn  B0  u  L2    : u D01   ,    R} cho với tập bị chặn B  L2    với  , tồn      , B  cho   St   , B   B0 với t   Lấy   tồn T  T    cho dist ST  0 , B  , Ä0   Từ Bổ đề 2.4.2, với x  B0 , ta có lân cận mở V  x  W  0  tƣơng ứng X  cho dist  ST   ,V ( x)  , Ä    với  W  0  Từ B0 compact X, tồn lân cận W 0 cho   dist ST   , B0  , Ä0   với  W Do   dist Ä , Ä0   với  W Điều phải chứng minh ■ 2.5 Tính liên tục tập hút tồn cục Trong phần này, tính liên tục tập hút tồn cục nửa nhóm S  t  sinh toán (2.1) đƣợc chứng minh, tức tập hút toàn cục nằm không gian thực L2    L2 p 2    D02 (,  ) 2.5.1 Sự tồn tập hút toàn cục L2 p 2    Bổ đề 2.5.1 Giả sử điều kiện  Η α  - (F) - (G) thỏa mãn Khi với tập bị chặn B L2    , tồn số dương T  T  B  cho ut  s  ut  s   L2     1 với u0  B s  T , d  S  t  u0  |t s 1 số dương không phụ thuộc vào B dt Chứng minh Đạo hàm hai vế phƣơng trình (2.1) theo biến thời gian kí hiệu v  ut , ta có vt  div   x  u   f '  u  v  Nhân vơ hƣớng phƣơng trình với v , sau lấy tích phân  dùng điều kiện (F), ta thu đƣợc d v dt     x  v dx  C3 v L2     L2    , đó, d v dt  2C3 v L2     D01  ,   u(t ) L2    (2.17)  cho  R với t  t  u  Từ Bổ đề 2.3.1, tồn số R thời điểm t0 u0 u(t ) Lp    L2    (2.18) L2    Nhân vơ hƣớng phƣơng trình (2.1) với ut , ta có ut  L2     d u dt D01   ,    2 F  u  dx   gut dx    g 2 L2     ut 2 L2    , F  u    f  d , u ut L2      d u dt D01   ,    2 F  u  dx  g   L2      (2.19)  Từ điều kiện (F) ta thu đƣợc C4 u   F  u   C5 u  p p (2.20) Lấy tích phân (2.19) từ t tới t  ta sử dụng (2.20), ta có  t 1 t ut dt  g L   2  2C5   u  t  L   2 Từ (2.18), tồn số C6 phụ thuộc vào g  t 1 t ut L2    D01 L2     ,   2C5 u  t  p Lp    , C4 , C5 R cho  dt  C6 với t  t0 u0 L2     So sánh bất đẳng thức với (2.17), áp dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta thu đƣợc ut L2     C g L2     ,  , với t đủ lớn Kết thúc chứng minh ■ Bổ đề 2.5.2 Nửa nhóm S  t t 0 có tập hấp thụ bị chặn L2 p 2    , nghĩa là, tồn số dương 2 p 2 , cho với tập bị chặn B  L2    , tồn số T  T  B   cho u t  L2 p2     2 p 2 với t  T , u0  B Chứng minh Nhân phƣơng trình (2.1) với u   u p 2 u.ut dx     x  u u p 2  p 2 dx   f u  u u , ta thu đƣợc p 2  udx   g u p 2  udx Dùng (2.3) bất đẳng thức Cauchy, ta thu đƣợc C1  u   C0  u p 1  dx  p 2 dx     x  u u  p 2 dx C 1 2 p 2 g dx    u dx   u t dx     C1 C1 Tiếp tục dùng bất đẳng thức Cauchy, C1 p 2 u dx  g   C1 Bởi Bồ đề 2.5.1, ta có vào C0 , C1 , C2 , g L2     u t  p 2  L2     ut dx  C   C1 dx 2 p 2 , với t  T , u0  B , 2 p  phụ thuộc ■ Bổ đề 2.5.3 Với  r   tập bị chặn B  L2    , tồn số dương T , phụ thuộc vào r chuẩn L2 ( B) , cho   ut  s  dx  M với u0  B, s  T , r số dương M phụ thuộc vào r không phụ thuộc vào B , ut  s   d  S  t  u0  |t s dt Chứng minh Bằng qui nạp, chứng minh tồn dãy Tk , k  k  0,1, 2,  , phụ thuộc vào k B , cho   ut  s   N  2   N    k dx  M k với u0  B, s  Tk , (Ak)  t 1 t  N   2    ut  s   N 2   k 1    N   N dxds  M k với u0  B, s  Tk (Bk) M k phụ thuộc vào k nhƣng khơng phụ thuộc vào B (i) Trƣờng hợp k  :  A0  đƣợc chứng minh Bổ đề 2.5.1,  B0  thu đƣợc từ việc lấy tích phân (2.6) từ t tới t  sử dụng phép nhúng 2N N  2  D (,  )  L  (ii) Trƣờng hợp tổng quát: Giả sử (Ak) (Bk) k , ta phải chứng minh điều với k  Đạo hàm hai vế (2.1) theo thời gian kí hiệu v  ut , ta có vt  div   x  v   f ' u  v  Nhân (2.21) với v  N  2   N    (2.21) k 1 2 v lấy tích phân  , ta có k 1   N   N  d 2  C  v  N 2  dx  C    x    v N 2    dt   k 1 k 1   N  2   dx  C3  v  N 2  dx ,    (2.22) số C phụ thuộc vào số chiếu không gian N k Dùng (Bk) bất đẳng thức Gronwall đều, (2.22) trở thành   v N   2   N    k 1 dx  M k 1 với t  Tk , (2.23)  Ak 1  Đối với , lấy tích phân (2.22) từ t tới t  dùng (2.23) ta có đƣợc t 1   t   (v ( N )k 1 N   ) dxds  M k 1 (2.24) 2N   LN 2    , ta có Từ phép nhúng D01 (,  )   N     N     v    k 1 2N N      N   N dx  v  N     N    k 1  C v 2N LN 2 So sánh (2.24) với (2.25), ta có  Bk 1  Từ  N      N  2  k 1 L2    N  1, ( N  2) , ta có N   (2.25) k r N   r  2  với k  log N  N    N   Kết thúc chứng minh ■ Giả sử H m  span e1 , e2 , , em  L2 () , e j  j 1 vectơ riêng toán tử  Au  div   x  u   với điều kiện biên Dirichlet Pm : L2 ()  H m phép chiếu trực giao Bổ đề 2.5.4 Với   tập bị chặn B  L2 () , tồn T  n  , cho  v2 dx  C với u0  B với t  T m  n ,  v2   I  Pm  v   I  Pm  u1 số C phụ thuộc vào B  Chứng minh Nhân (2.21) với v2 lấy tích phân  , ta có d v2 dt L2     v2 D01 (  , )   f '  u  v v2 dx  Do đó, d v2 dt L2     m v2   f '  u  v v2 dx , L2    (2.26)  m giá trị riêng thứ m toán tử Au  div   x  u   Từ (F), Bổ đề 2.5.2 2.5.3, ta có p 2   p 1 p 1   f '  u  v dx    f '(u ) p 2       v 2 p 1  p 1 (2.27)  M0 với u0  B , t  T , số M khơng phụ thuộc vào B số T phụ thuộc vào B p Do đó, (2.26) trở thành d v2 dt L2     m v2 L2    C Nếu t  T , từ bất đẳng thức suy v2 (t ) L2     v2 T  L   e m t T   Điều nghĩa Bổ đề 2.5.4 với t m đủ lớn ■ Bổ đề 2.5.5 (C K Zhong et al., [4]) C m 1  e  m  t T   Cho X, Y hai không gian Banach X*, Y* không gian đối ngẫu tương ứng Giả sử X không gian trù mật Y , phép chiếu i : X  Y liên tục liên hợp i* : X *  Y * phép chiếu trù mật Giả sử S  t t 0 nửa nhóm X Y tương ứng, S(t) liên tục liên tục yếu Y Khi S  t t 0 liên tục mạnh - yếu X S  t t 0 biến tập compact X   thành tập bị chặn X Bổ đề 2.5.6 (C K Zhong et al., [4]) Cho S  t t 0 nửa nhóm liên tục mạnh - yếu Lq () , liên tục liên tục yếu Lr () với r  q , có tập hút tồn cục Lr () Khi S  t t 0 có tập hút tồn cục Lq () (1) S  t t 0 có tập hấp thụ bị chặn Lq () ; (2) với   với tập bị chặn B Lq () , tồn số dương M  M ( , B) T  T ( , B) cho   (|S ( t ) u0 | M ) | S (t )u0 |q   với u0  B t  T Bổ đề 2.5.7 (C K Zhong et al., [4]) Cho S  t t 0 nửa nhóm có tập hấp thụ bị chặn Lr () Khi đó, với   tập bị chặn B Lr () , tồn số dương M  M ( ) T  T ( B) cho mes((| S (t )u0 | M ))   , với u0  B t  T , mes(e) kí hiệu độ đo Lebesgue e   (| S (t )u0 | M )  {x ,| (S (t )u0 )( x) | M } Chọn Y  L2 (), X  L2 p2 () Từ Bổ đề 3.5.5, ta có nửa nhóm S  t t 0 liên tục mạnh – yếu L2 p 2 () Do đó, theo Bổ đề 3.5.6, để chứng minh tồn tập hút toàn cục L2 p 2 () , ta cần chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.5.8 Với   tập bị chặn B  L2 () , tồn số dương M  M  B,   T  T  B,   cho  u (t ) ( ut   M ) p 2 dx  C với u0  B t  T , số C khơng phụ thuộc vào B  Chứng minh Với   cho trƣớc, từ Bổ đề 2.5.7 (F), tồn M1  M1  B,    T1  T1  B,    , ƣớc lƣợng sau với u0  B t  T1 :   g dx   mes  u  t   M1   ( u ( t )  M1 )     ut  s  dx  C với s  T1 , (2.28)  ( u (s)  M1 ) f  s   với s  M1 , f  s   với s  M1 Kí hiệu M    u  t   M1  2 M1    u  t   2M1  Nhân (2.1) với  u  M1  p 2  u  M1  , u  M1 , u  M1 u  M1 0,  u  M1    ta có  u  M  u dx   p  1  p 1  t M1   M1  u  M  p 2 g dx.  M1   x  u  M  p 2 M1 f  u  u  M1  dx   f u  u M1 M1 f  u  u  M  dx p 1 dx  Do từ (2.28), ta có u dx   p 1 dx  C Vì  2 M1 f u  u p 1 p 1 2 M1 p 2  M1  1   u   p 1 dx   M1 f  u  u  M  p 1 Chú ý mes  2M    (F), bất đẳng thức kéo theo  2 M1 Lấy (u  M1 ) ta có    p 2  u t 2 M1  u p 2 dx  C t  T1 (2.29) u  M1 , u   M , u  M1 0,  u  M1  làm hàm thử,  u  M1    u t  p 2 dx  C , t  T1 (2.30) So sánh (2.29) (2.30), ta thu đƣợc   |u ( t )| M1  u t  p 2 dx  C , với u0  B , t  T1 dx  C Vậy Bổ đề đƣợc chứng minh ■ Định lí sau dễ dàng thu đƣợc từ kết trình bày Định lí 2.5.9 Với điều kiện  Η α  - (F) - (G), nửa nhóm {S (t )}t 0 sinh toán (2.1) có tập hút tồn cục ÄL p 2 L2 p 2    2.5.2 Sự tồn tập hút toàn cục D02 (,  ) Bổ đề sau tồn tập hấp thụ D02 (,  ) Bổ đề 2.5.10 Nửa nhóm {S (t )}t 0 có tập hấp thụ bị chặn D02 (,  ) , nghĩa là, tồn số  A  , cho với tập bị chặn B  L2 () , tồn TB  cho div   x  u  t   L2      A , với t  TB , u0  B Chứng minh Trong L2    , nhân vô hƣớng phƣơng trình (2.1) với div   x  u  , ta có div( ( x)u)   ut div  ( x)u  dx   f '(u) ( x) u dx   g ( x)div  ( x)u  dx L2      Áp dụng bất đẳng thức Cauchy điều kiện (F) ta có div   x  u  L2      C ut L2     u D01   ,   g L2     Do đó, từ Bổ đề 2.5.1 nửa nhóm S  t t 0 có tập hấp thụ bị chặn D01  ,   , ta có div   x  u  t   L2      A với t đủ lớn Định lý đƣợc chứng minh ■ Giả sử   A độ đo Kuratowski L2    A đƣợc định nghĩa nhƣ sau   A  inf  |   I  , tập I  {  0}  cho A có phủ mở gồm tập có đƣờng kính nhỏ  Ta có bổ đề sau từ [4] Bổ đề 2.5.11 Giả sử f(.) thỏa mãn điều kiện (F) Khi với tập A  L2 p 2    ,   A   L2 p 2      f  A   C L2    , f  A   f  u  | u  A số C phụ thuộc vào chuẩn L2 p 2 A, độ đo Lebesgue  hệ số C0 , C1 , C2 điều kiện (F) Ta chứng minh S  t t 0 thỏa mãn Điều kiện (C) D02  ,   Chúng ta nhắc lại Điều kiện (C) (xem [4]) nhƣ sau Định nghĩa 2.5.12 (xem [4]) Nửa nhóm S  t t 0 đƣợc gọi thỏa mãn Điều kiện (C) X với tập bị chặn B X   , tồn số dƣơng t B không gian hữu hạn chiều X X cho tập {PS (t ) x | x  B, t  tB } bị chặn | ( I  P)S (t ) x |  với t  tB , x  B, P : X  X1 phép chiếu tắc Bổ đề 2.5.13 Với   tập bị chặn B  L2    , tồn T  T  , B   n  ,   I  P  div   x  u  cho m  dx   với u0  B, t  T m  n Chứng minh Ký hiệu u2   I  Pm  u , nhân phƣơng trình (2.1) với -div   x  u2  , ta có   I  Pm  div   x  u    dx  ut div   x  u2  dx   f  u  div   x  u2  dx   g  x  div   x  u2  dx   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có   I  P  div   x  u   m dx  2 1 I  Pm  ut dx   f  u  dx    I  Pm  g dx      Từ Bổ đề 2.5.4 Bổ đề 2.5.8, ta có   I  P  div   x  u  m  Kết thúc chứng minh dx  với u0  B, t  T , m  n ■ Định lí 2.5.14 (Theorem 4.7, [4]) Giả sử X không gian Banach S  t t 0 nửa nhóm liên tục mạnh – yếu X Khi S  t  t 0 có tập hút toàn cục X điều kiện sau thỏa mãn: (1) S  t t 0 có tập hấp thụ bị chặn X; (2) S  t t 0 thỏa điều kiện (C) X Từ Bổ đề 2.5.7, 2.5.9 Định lý 2.5.14, ta nhận đƣợc kết sau Định lí 2.5.15 Giả sử điều kiện S  t  t 0  Ηα  - (F) - (G) thỏa mãn Khi nửa nhóm sinh tốn (2.1) có tập hút tồn cục ÄD D02  ,   Chú ý Do tính chất tập hút toàn cục, tập hút toàn cục ÄL , ÄL 2 p 2 ÄD nhận đƣợc Định lí 2.3.2, 2.5.6 2.5.15 trùng đƣợc kí hiệu Ä Nói riêng, Ä tập compact liên thông không gian D02  ,    L2 p 2    Chú ý tập hút toàn cục Ä chứa điểm dừng nửa nhóm S(t), tức nghiệm toán dừng tƣơng ứng với (2.1), nghiệm tối đa thuộc không gian D02  ,    L2 p 2    g thuộc L2    Vì tính trơn tập hút tồn cục nhận đƣợc tối ƣu 2.6 Số chiều fractal tập hút toàn cục Phần này, ta giả sử ngoại lực g thỏa mãn điều kiện mạnh (G’): g  L    Bồ đề 2.6.1 Giả sử điều kiện  Η α  - (F) - (G’) thỏa mãn, tập hút tồn cục Ä bị chặn L    Chứng minh Giả sử u  t  quỹ đạo tập hút toàn cục Ä Nhân phƣơng trình (2.1) với  u  M  , sau lấy tích phân  , ta có  d     u  M dx   u  u  M  dx   f  u   u  M  dx   g u  M  dx     dt M M M M Sử dụng bất đẳng thức Poincaré, ta thu đƣợc d   u  M dx   u  M dx   g  f u u  M dx             M  dt M M M Do điều kiện (F) ta chọn M đủ lớn cho f  u   g L    với u  M Khi d   u  M dx   u  M dx       M  dt M M Từ bất đẳng thức Gronwall, ta có   u  t  - M  dx  e  2 M t M Do tính chất bất biến Ä , ta có  u -M   dx  t   M   u  t   M   u  t  - M  dx   Lặp lại trình trên, với  u  t  - M  thay cho  u  t  - M  , ta thu đƣợc      u  t  M  Từ hai đẳng thức trên, ta có u  t  L     u  t   M  dx  M Định lý 2.6.2 Giả sử điều kiện  Η α  - (F) - (G’) thỏa mãn Khi tập hút tồn cục Ä nửa nhóm sinh tốn (2.1) có số chiều fractal hữu hạn, 1 9eC3   dim f Ä  m.ln  ln  , 1   1     e2  m C với C  đó, m đủ lớn cho   C3  m Trƣớc chứng minh định lý này, cần đến kết sau Bổ đề 2.6.3 ([3]) Cho M tập tập compact không gian Hilbert H Giả sử V ánh xạ liên tục H cho M ⊂ V (M ) Giả sử tồn phép chiếuhữu hạn chiều P không gian H cho || P(Vu1  Vu2 ) ||H  l || u1  u2 ||H , u1 , u2  M || (I P)(Vu1  Vu2 ) ||H   || u1  u2 ||H , u1, u2  M   Ta giả sử l ≥ − δ Khi tập compact M có số chiều fractal hữu hạn, cụ thể, dim f ( M )  dim P.ln 9l 1 (ln ) 1  1  Chứng minh Định lí 2.6.2 Giả sử u01 , u02  Ä cho trƣớc, đồng thời u1  t   S t  u01 u2  t   S  t  u02 nghiệm toán (2.1) với điều kiện ban đầu tƣơng ứng u01 , u02 Từ với t  từ Bổ đề 2.6.1, tồn M  cho ui  t  L     M , i  1, với t  Đặt w  t   u1  t   u2  t  , ta có: wt  div   x  w  f  u1   f  u2   Nhân vô hƣớng (2.31) với w  t  L2    , ta có (2.31) d 2 w L2    w D1  ,    f  u1   f  u2  , w   dt Từ điều kiện (F), ta có d 2 w L2    2C3 w L2   , dt w t  L    e2C3t w   L2    Giả sử w  t   w1  t   w2  t  , w1  t  phép chia w  t  Pm L2    , w1  t   e2C3t w   L   2 L2    (2.32) Mặt khác, nhân vô hƣớng (2.31) với w2  t  L2    , ta có 1d w2 dt L2     w2 D01   ,    f  u1   f  u2  , w2   Vì   f  u   f  u   w dx   f '  u    u  u   w w dx  C  1  u u  w w dx  2 1  p 2  C w2 w2 D01 ( , )  m w2 p2  L2    L2    2 w L2    1  u p 2 L     u2 p 2 L    C w ui L2    L    , nên ta có d w2 dt L2     2m w L2    C w L2    Do đó, áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta thu đƣợc: w2  t  L   e2 mt w2    e2mt w2   L   2 L   Ce2 mt  e2 m s w  s  t o L2     Ce2mt  e2m s e2C3s w   t o L2     2mt Ce2C3t   e   w  0 m  C3   L2    (2.33) Từ (2.32) (2.33), ta có w1 1 w2 1 L   L2     e2C3 w     w  0 ds L2    L2    , , ds  M , i  1, ,   e2  m C  m đủ lớn Áp dụng Bổ đề 2.6.3 với M  Ä ,V  S 1 , l  e2C3 , m  C3  trên, ta thu đƣợc điều phải chứng minh ■ 2.7 Trên miền không bị chặn Các kết chƣơng đƣợc trình bày miền bị chặn Dƣới điều kiện  H    L    compact Do đó, với giả thiết hàm trọng   H  , phép nhúng D  ,     ,  thỏa mãn điều kiện  H,   , chứng minh tƣơng tự, mở rộng kết cho trƣờng hợp  miền không bị chặn Tất nhiên cần vài thay đổi nhỏ điều kiện số hạng phi tuyến f Cả hai trƣờng hợp bị chặn không bị chặn đƣợc gọi   L2    khơng cịn compact, tốn chung trƣờng hợp compact Khi phép nhúng D01  ,    phức tạp nhiều Tính chất tốn tử tuyến tính phần thay đổi, khơng có nghịch đảo compact nhƣ thấy mục chƣơng Nhiều kĩ thuật sử dụng trƣờng hợp miền bị chặn áp dụng đƣợc Luận văn không trình tốn phức tạp Bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận nhƣ trình bày chƣơng này, chứng minh đƣợc tồn tính trơn tập hút tồn cục hệ parabolic suy biến kiểu Caldiroli – Musina lớp phƣơng trình parabolic suy biến tựa tuyến tính kiểu p Laplacian Đối với lớp phƣơng trình sau, sử dụng không gian hàm định lí nhúng đƣợc thiết lập [3] Kết lớp phƣơng trình parabolic suy biến tựa tuyến tính kiểu p - Laplacian sau đƣợc mở rộng sang trƣờng hợp không ôtônôm [8,3] Trong công trình gần đây, phƣơng pháp áp dụng chƣơng để nghiên cứu tính trơn tập hút lùi lớp phƣơng trình parabolic nửa tuyến tính suy biến không ôtônôm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận văn nghiên cứu đƣợc vấn đề sau: - Sự tồn số tính chất tập hút số lớp phƣơng trình parabolic suy biến kiểu Caldiroli-Musina, chủ yếu miền bị chặn xem xét số trƣờng hợp tồn khơng gian - Sự tồn tập hút tịan cục nửa nhóm sinh tốn (2.1) không gian L2    với tính trơn, phụ thuộc nửa liên tục tập hút toàn cục vào số hạng phi tuyến đánh giá số chiều fractal Để chứng minh tính trơn tập hút tồn cục, chúng tơi sử dụng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận Còn số chiều fractal tập hút toàn cục đƣợc đánh giá phƣơng pháp Ladyzhenskaya Bên cạnh kết đạt đƣợc luận văn, đề nghị số vấn đề liên quan cần đƣợc nghiên cứu tiếp cụ thể nhƣ sau Nghiên cứu tính chất tập hút tồn cục nhận đƣợc Chƣơng phƣơng trình parabolic suy biến đƣợc xét miền khơng bị chặn, nghiên cứu tính trơn tập hút, phụ thuộc liên tục theo tham biến đánh giá số chiều fractal tập hút Nghiên cứu tính chất tập hút trƣờng hợp phƣơng trình khơng nghiệm, bao gồm tính trơn nghiệm đánh giá số chiều fractal Đây vấn đề mở nghiên cứu phƣơng trình Parabolic Bài tốn khó địi hỏi cách tiếp cận hồn tồn so với trƣờng hợp nghiệm Nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm phƣơng trình parabolic suy biến với điều kiện biên khác, chẳng hạn điều kiện biên Dirichlet không nhất, điều kiện biên Neumann, điều kiện biên hỗn hợp, điều kiện biên phi tuyến Để làm điều trƣớc hết cần phát triển lí thuyết khơng gian Sobolev có trọng tƣơng ứng bao gồm lí thuyết vết, định lí nhúng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều, Nhà xuất Đại học Sƣ phạm Hà Nội, 2012 [2] G Raugel, Global Attractors in Partial Deferential Equations,Handbook of Dynamical Systems, Vol 2, North-Holland, Amsterdam, 2002, 885- 892 [3] J.C Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2001 [4] C.K Zhong, M.H Yang and C Sun (2006), The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations , J Differential Equations 15, 367-399