Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền nhị diện có bờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH −−−−−−−−− ĐỖ VĂN LỢI BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN NHỊ DIỆN CÓ BỜ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 62 46 01 01 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng PGS TS Đinh Huy Hồng NGHỆ AN - 2011 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành tác giả hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng PGS.TS Đinh Huy Hồng Các kết trình bày luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng nội dung luận án không trùng lặp chưa công bố cơng trình trước Tác giả Đỗ Văn Lợi LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng PGS.TS Đinh Huy Hoàng Ngoài dẫn mặt khoa học, Thầy động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô giáo thành viên seminar phương trình đạo hàm riêng (ĐHSPHN), đặc biệt TS Phạm Triều Dương Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý mơi trường nghiên cứu sôi thân thiện Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa đào tạo sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Thầy bạn đồng nghiệp khoa Toán Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu khoa học hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Tự nhiên tất thành viên seminar tốn giải tích Trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện tốt cho tác giả chuyên tâm học tập, nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận án Tác giả gửi lời cám ơn đến TS Vũ Trọng Lưỡng – Trường Đại học Tây bắc, người đồng nghiệp hướng nghiên cứu với Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý PGS.TS Trần Văn Ân, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Phạm Ngọc Bội, TS Nguyễn Văn Đức, TS Trần Đình Kế, nhà khoa học bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả MỤC LỤC Trang bìa phụ Lời cam đoan Lời cảm ơn Mở đầu MỤC LỤC Chương 17 TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TỐN 1.1 Thiết lập tốn 17 1.2 Tính giải toán 21 1.3 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm suy rộng vào kiện cho Chương 32 41 TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 2.1 Bài tốn biên elliptic miền đa diện 41 2.2 Tính trơn nghiệm theo biến thời gian 42 2.3 Tính qui toàn cục nghiệm 54 Chương TIỆM CẬN NGHIỆM TRONG LÂN CẬN CỦA BỜ 3.1 Bài tốn biên elliptic miền có bờ 68 71 3.2 Tính qui nghiệm suy rộng miền nhị diện có bờ 72 3.3 Tiệm cận nghiệm suy rộng lân cận bờ 80 88 89 KẾT LUẬN CHUNG MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO DANH MỤC CƠNG TRÌNH CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 91 MỘT SỐ KÍ HIỆU TRONG LUẬN ÁN N - tập số tự nhiên, R - tập số thực, C - tập số phức Với số phức z ∈ C, kí hiệu Rez, Imz phần thực phần ảo z, z số phức liên hợp z, x = (x1, , xn) ∈ Rn đa số p = (p1, , pn) ∈ Nn, Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn, với biên ∂Ω, kí hiệu QT = Ω × (0, T ), ST = ∂Ω × (0, T ) với T ∈ (0, ∞) xp = xp11 xpnn , |p| = p1 + p2 + + pn, p! = p1!p2! pn!, ( ) p p! ∂xp = ∂xp11 ∂xpnn , = q!(p − q)! q Nếu khơng có đặc biệt ta dùng kí hiệu u (thay cho u(x, t), với (x, t) ∈ QT hay u(x), với x (∈ Ω) hàm véc ) tơ nhận giá trị k k ∂ us ∂ u1 , , , (k ∈ N) đạo phức, u = (u1, , us), utk = ∂tk ∂tk hàm riêng cấp k u(x, t) theo biến t, Dpu = (∂xpu1, , ∂xpus) đạo hàm (suy rộng) u(x, t) theo biến x cấp |p|, ∇ = ( ∂x∂ , ∂x∂ , , ∂x∂ n ) Trong luận án dùng chữ C để kí hiệu chung cho số (và với số khác nhau, thay phải dùng kí hiệu C1, C2 ta kí hiệu C) Luận án sử dụng không gian hàm sau C k (Ω): không gian hàm khả vi liên tục cấp k (k ∈ N) Ω C(Ω) = C 0(Ω): không gian hàm liên tục Ω C ∞(Ω): không gian hàm khả vi vô hạn Ω C0∞(Ω): không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ω,(giá hàm bao đóng tập hợp tất điểm mà hàm khác khơng) Cs∞(QT ): không gian hàm thuộc C ∞(QT ) triệt tiêu lân cận ST C0∞(QT ): không gian hàm thuộc C ∞(QT ) có giá compact QT L2(Ω): khơng gian hàm bình phương khả tích Ω H m(Ω): khơng gian Sobolev hàm véc tơ phức s chiều u(x) có đạo hàm suy rộng Dpui, ≤ i ≤ s, |p| ≤ m thuộc L2(Ω) với chuẩn ∥u∥H m(Ω) = (∑∫ )1/2 |Dpu(x)|2dx < +∞ |p|≤m Ω ˚ m(Ω): bao đóng C ∞(Ω) với chuẩn H m(Ω) H H m(QT ): không gian hàm véc tơ phức u(x, t) xác định QT có đạo hàm suy rộng Dpu, |p| ≤ m thuộc L2(QT ) với chuẩn m (∫ ∑ )1/2 p u m = |D u| dx dt < +∞ H (Q ) T QT |p|=0 H m(QT , γ): không gian hàm véc tơ phức u(x, t) xác định QT có đạo hàm suy rộng Dpu, |p| ≤ m thuộc L2(QT ) với chuẩn m )1/2 (∫ ∑ p −γt u m < +∞, |D u| e dx dt = H (Q ,γ) T QT |p|=0 γ số thực dương cho trước H m,k (QT ): không gian hàm véc tơ phức u(x, t) xác định QT có đạo hàm suy rộng Dpu, utj , |p| ≤ m, ≤ j ≤ k thuộc L2(QT ) với chuẩn u m,k H (Q T) = ∫ (∑ m QT |D u| + p k ∑ |p|=0 |utj | ) dx dt < +∞ j=1 ˚ m,k (QT ): bao đóng tập C ∞(QT ) với chuẩn H m,k (QT ) H s H m,k (QT , γ): không gian bao gồm tất hàm u(x, t) xác định QT , có đạo hàm riêng suy rộng theo x đến cấp m theo t đến cấp k, cho ∫ (∑ m k ) ∑ p 2 ∥u∥H m,k (Q ,γ) = |D u| + |utj | e−γtdxdt < +∞, T QT |p|=0 j=1 γ số thực dương cho trước H m,0(QT ): kí hiệu thay cho H m(QT ) H m,0(QT , γ) đơi kí hiệu thay cho H m(QT , γ) L2(QT , γ): không gian bao gồm hàm u(x, t) xác định QT với chuẩn ∥u∥L2(QT ,γ) = (∫ −γt |u| e )1/2 < +∞, dxdt QT γ số thực dương cho trước MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Các tốn biên phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng thường có nguồn gốc từ ngành khoa học kĩ thuật, đặc biệt mơ hình giải tích nhiều tượng vật lí Bởi tính thực tiễn đó, nghiên cứu tốn người ta quan tâm đến tính đặt tốn (sự tồn nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào liệu cho) Những năm đầu kỉ XX, nghiệm toán phương trình đạo hàm riêng hiểu nghiệm cổ điển, nghiệm địi hỏi khả vi theo nghĩa thơng thường đến cấp phương trình Trên thực tế, phương trình đạo hàm riêng có nghiệm cổ điển, đặc biệt nghiệm tồn toàn miền xác định (nghiệm tồn cục) Nhưng rõ ràng cần phải tìm "nghiệm" phương trình khơng có nghiệm cổ điển để lí giải tượng thực tế mà mơ tả Chính vậy, khái niệm nghiệm suy rộng đưa ra, nghiệm thường xây dựng giới hạn trình xấp xỉ Các đánh giá q trình xấp xỉ khơng đủ mạnh để đảm bảo giới hạn nghiệm cổ điển, khía cạnh khác xảy khả giới hạn có chung số tính chất với nghiệm cổ điển, mối liên hệ xuất phát từ việc nhân phương trình hay hệ phương trình với hàm thử đủ trơn, sau sử dụng tích phân phần 10 Khái niệm nghiệm suy rộng bước ngoặt mặt phương pháp nghiên cứu phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng, tách việc nghiên cứu tốn biên phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng làm ba bước: (i) Tính đặt tốn; (ii) Tính qui nghiệm; (iii) Tiệm cận nghiệm suy rộng Các tốn biên tuyến tính phương trình đạo hàm riêng miền với biên trơn nghiên cứu hồn thiện vào nửa đầu kỷ XX Khi đó, người ta nghiên cứu toán biên loại dừng miền biên trơn nhờ phép phân hoạch đơn vị đưa tốn tồn khơng gian nửa không gian ([7], [12], [15]) Trong trường hợp này, tốn có nghiệm ([12]) Các tốn biên khơng dừng hình trụ với đáy miền có biên trơn nghiên cứu nhờ phép biến đổi Laplace phép biến đổi Fourier để đưa toán dừng với tham biến miền trơn ([12], [38], [39], [40], [41], [55]) Một kết quan trọng là: Nếu hệ số phương trình hay hệ phương trình, hàm vế phải biên miền đủ trơn, nghiệm hàm trơn Bài tốn biên tổng quát phương trình elliptic miền với biên không trơn nghiên cứu từ kỷ XX Trong cơng trình tiếng, mang ý nghĩa đặt móng nhà tốn học người Nga V A Kondratiev, tác giả công bố kết quan trọng tính đặt tốn tính trơn tiệm cận nghiệm miền có điểm nón biên ([19], p N ) D utj D uth dx dt j Ω |p|,|q|=0 h−1 ∫τ ∑ C(ε2) ∥uN tj ∥H m (Ω) j=0 h−1 ∫τ j=0 6 C(ε) ∑ j=0 + µm∗hε2 ∫τ ∥ ∥uN j t H m (Ω) + ε ∫τ (x, t)∥ ∥uN h H m (Ω) dt t (x, t)∥ ∥uN h H m (Ω) dt, t 51 ta chọn ε2 đủ bé cho µm∗hε2 < ε, ) ∫τ ( ∫ ∑ h ( m ∑ ) h q N p N (IV ) 2µ D utj D uth dx dt j−1 j=1 2µ h−1 ∫τ ∫ ∑ Ω |p|,|q|=0 ( ) m ∑ q N p N