Sự tồn tại của tập hút toàn cục đối với các phương trình phản ứng khuếch tán phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ MINH SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG - KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUN NGÀNH GIẢI TÍCH Thanh Hóa, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ MINH SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG - KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Mai Xuân Thảo Thanh Hóa, 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn T.S Mai Xuân Thảo.Các kết phát biểu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Thanh Hóa, ngày tháng năm 2015 Lê Thị Minh ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn T.S Mai Xuân Thảo T.S Mai Xuân Thảo dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ tác giả học viên cao học năm thứ nhất.Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lòng quý mến thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo trường đại học Hồng Đức tất bạn học viên lớp k5 cao học tốn giai tích tạo mơi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn này.Tại ,tác giả nhận nhiều dẫn ,cung cấp kiến thức môi trường khoa học sôi thân thiện ,điều khơng thể thiếu q trình nghiên cứu ,hồn thành luận văn tác giả Thanh Hóa, ngày tháng năm 2015 Lê Thị Minh iii Mục lục MỞ ĐẦU 0.1.Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài 0.2.Mục đích phương pháp nghiên cứu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Các không gian hàm 1.2.Một số bất đẳng thức 1.3.Một số khái niệm Chương TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI NỬA NHĨM LIÊN TỤC TỪ MẠNH ĐẾN YẾU 2.1.Độ đo Kuratowski không compact 2.2.Nửa nhóm liên tục từ mạnh đến yếu 11 2.3.Tập hút toàn cục nửa nhóm liên tục từ mạnh đến yếu 13 Chương SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG - KHUẾCH TÁN 19 3.1.Thiết lập 19 3.2.Tập hút toàn cục nửa nhóm Lp (Ω) 20 3.3.Tập hút toàn cục (3.1) L p (Ω) H01 (Ω) 24 L p (Ω) H01 (Ω) 3.3.1 Các tập hấp thụ 3.3.2 Ước lượng tiệm cận 3.3.3 Tập hút toàn cục L p (Ω) H01 (Ω) 25 27 29 3.4.Sự tồn tập hút tồn cục tốn (3.1) L2p−2 (Ω) H (Ω) ∩ H01 (Ω) 3.4.1 Đánh giá tiên nghiệm 3.4.2 Tập hút toàn cục L2p−2 (Ω) H (Ω) ∩ H00 (Ω) 32 33 36 iv KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Trong luận văn này, giới thiệu khái niệm mới, gọi nửa nhóm liên tục từ mạnh đến yếu không gian Banach, đưa định lý kỷ thuật để xác minh khái niệm liên tục Khi đó, chúng tơi thiết lập phương pháp chung điều kiện cần đủ để đạt tồn tập hút toàn cục cho loại hình nửa nhóm Là ứng dụng, chúng tơi có tồn tập hút tồn cục cho phương trình phản ứng khuếch tán phi tuyến với đa thức tăng trưởng phi tuyến có thứ tự tùy ý với số đạo hàm yếu thời gian không đồng nhất, tập hút toàn cục đạt LP (Ω); H01 (Ω) H (Ω) ∩ H01 (Ω), tương ứng Một phương pháp đánh giá tiên nghiệm, gọi phương pháp đánh gía tiên nghiệm tiệm cận, đưa vào giới thiệu Vì nghiệm phương trình có tính quy khơng cao nửa nhóm liên quan đến nghiệm liên tục LP (Ω); H01 (Ω) H (Ω) ∩ H01 (Ω), và, kết phần xuất đạt tối ưu 0.1 Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Một vấn đề quan trọng hệ động lực vô hạn chiều chứng minh tồn tập hút tồn cục cho nửa nhóm nghiệm liên quan đến số phương trình vi phân phần cụ thể Nhiều tác giả ý đến điều này, vấn đề thời gian dài, đặc biệt thập kỷ qua có nhiều thành công xem [1-3,5,11,12,15] tài liệu tham khảo có số nhiều tác giả khác Như biết, hầu hết kết tổng quát liên quan đến tồn tập hút tồn cục có giả thiết nửa nhóm liên tục từ mạnh đến yếu từ yếu đến yếu số không gian Banach; xem [1,3,5,11,12,15] Tuy nhiên có số nửa nhóm quan trọng mà liên tục từ mạnh đến yếu hay liên tục từ yếu đến yếu Ngồi cịn có trường hợp mà tính liên tục từ mạnh đến mạnh, yếu đến yếu khó để xác minh Ví dụ, xét ∂u − ∆u + f (u) = 0, ∂t (1.1) Trong số hạng phi tuyến f hàm C1 thỏa mãn f (s) > −` (1.2) C1 |s|P −C0 f (s)s C2 |s|P +C0 , p > (1.3) Và Cả hai cho s ∈ R Đến nay, đề cập Robinson[11], tính liên tục nửa nhóm tạo nghiệm (1.1) H01 (Ω) chưa biết không hạn chế thứ tự tăng trưởng p số hạng phi tuyến f số chiều không gian lớn Vậy, trường hợp tổng quát, người ta có tính liên tục L2 (Ω) tồn tập hút toàn cục L2 (Ω); xem [9,11,15] Thúc đẩy vấn đề số ý tưởng [1], luận văn , giới thiệu khái niệm gọi nửa nhóm liên tục từ mạnh đến yếu đưa phương pháp kĩ thuật để xác minh nửa nhóm liên tục từ mạnh đến yếu ,sau sử dụng ý tưởng từ [8] để thiết lập phương pháp tổng quát đưa điều kiện cần đủ cho tồn tập hút tồn cục cho nửa nhóm liên tục từ mạnh đến yếu ;xem định lý 2.2 phần Mặc dù nửa nhóm khơng liên tục khơng gian pha , tập hút toàn cục thu kết chúng tơi , định lý 2.2 tương tự trường hợp thông thường (xem [3,5,11,12,15]), nghĩa là, A bất biến , Compact không gian Banach (X, k kX ) hút tập bị chặn X không gian topô mạnh k kX , X khơng gian mà nửa nhóm xác định Là ứng dụng kết lý thuyết chúng tôi, xem xét tồn tập hút tồn cục cho phương trình phản ứng khuếch tán sau đây:  ∂u +    ∂t − ∆u + f (u) = g Ω × R , (1.4) u = ∂ Ω × R+ ,    u(x, 0) = u0 Ω, Trong Ω miền trơn bị chặn Rn , f hàm C1 thỏa mãn (1.2), (1.3), số hạng ngoại lực g H (Ω) L2 (Ω), xét phần 3.2 3.3, tương ứng Vấn đề nghiên cưú rộng rải nhiều chuyên khảo giảng, đặc biệt trường hợp g ≡ 0, xem , [9-11,15] tài liệu tham khảo ,trong nơi có nhiều kết liên quan đến vấn đề tập trung vào tồn tại, tính quy số chiều tập hút toàn cục L2 (Ω).Vì tính liên tục nửa nhóm nghiệm mạnh ,Kết hợp với vấn đề đến [xem 11] ,được biết đến tồn tập hút toàn cục cho nghiệm mạnh n ≥ thứ tự tăng trưởng số hạng phi tuyến f (u) không hạn chế Mục đích phần để chứng minh tương ứng ,Sự tồn tập hút toàn cục H01 (Ω) cho trường hợp g ∈ H −1 (Ω), L2P−2 (Ω) H (Ω) ∩ H01 (Ω) cho trường hợp g ∈ L2 (Ω) Ở đây, hai trường hợp, không hạn chế thứ tự tăng trưởng p (1.4) số chiều không gian n Tuy nhiên , trước sử dụng lý thuyết với nửa nhóm liên tục từ mạnh đến yếu thay nửa nhóm liên tục liên tục yếu ,nó chắn để kiểm tra nửa nhóm kết hợp với phương trình (1.4) có số tính chất compact, cần thiết LP (Ω), H01 (Ω) H01 (Ω) ∩ H (Ω) Như biết ,nếu số hạng ngoại lực g H −1 (Ω), nghiệm phương trình (1.4) 1à tồn LP (Ω) ∩ H01 (Ω) có tính quy khơng cao,và biết nghiệm phương trình (1.4) tồn L2P−2 (Ω) ∩ H (Ω) có tính chính quy khơng cao g L2 (Ω) Trước ,duy trì kết phép nhúng khơng compact cho trường hợp này.Hơn nữa,vì nghiệm hai trường hợp có tính quy khơng cao nhóm kết hợp với nghiệm khơng liên tục,nó dường khó để trực tiếp kiểm tra tính compact tiệm cận LP (Ω) H01 (Ω) ∩ H (Ω) Với lí trên, lựa chọn vấn đề làm nội dung nghiên cứu luận văn với tên gọi “TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI NỬA NHĨM LIÊN TỤC TỪ MẠNH ĐẾN YẾU VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG –KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN” 0.2 Mục đích phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, giới thiệu khái niệm mới, gọi nửa nhóm liên tục từ mạnh đến yếu không gian Banach, đưa định lý kỷ thuật để xác minh khái niệm liên tục Khi , chúng tơi thiết lập phương pháp chung điều kiện cần đủ để đạt tồn tập hút toàn cục cho loại hình nửa nhóm.Là ứng dụng, chúng tơi có tồn tập hút tồn cục cho phương trình phản ứng khuếch tán phi tuyến với đa thức tăng trưởng phi tuyến có thứ tự tùy ý với số đạo hàm yếu thời gian không đồng nhất, tập hút toàn cục đạt LP (Ω); H01 (Ω) H (Ω) ∩ H01 (Ω), tương ứng Một phương pháp đánh giá tiên nghiệm, gọi phương pháp đánh gía tiên nghiệm tiệm cận, đưa vào giới thiệu.Vì nghiệm phương trình có tính quy khơng cao nửa nhóm liên quan đến nghiệm liên tục LP (Ω); H01 (Ω) H (Ω) ∩ H01 (Ω), kết phần xuất đạt tối ưu !1 Z 2 ∂ u ∑ dx với u ∈ H 2(Ω) ∩ H01(Ω) n |∇u|2 = i=1 Ω ∂ xi Chúng ta bắt đầu với tồn tính nghiệm thu phương pháp Faedo-Galerkin Ở ta nêu kết quả, độc giả quan tâm xem [12,16] để biết chi tiết Bổ đề 3.1 Xem[1] Giả sử Ω miền trơn bị chặn Rn , g ∈ H −1 (Ω) f thỏa mãn (3.2) (3.3) Khi với giá trị đầu u0 ∈ L2 (Ω) T > tồn nghiệm u phương trình (3.1) thỏa mãn:
u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ L p (0, T ; L p (Ω)), ∀T > 0, u ∈ C R+ ; L2 Ω ánh xạ u0 → ut liên tục L2 (Ω) Hơn nữa,nếu g ∈ L2 (Ω) u0 ∈ H01 (Ω), u ∈ C ([0, T ); H01 (Ω) ∩ L2 (0, T ; H (Ω), ∀T > Bằng bổ đề 3.1, ta xác định tốn tử nửa nhóm {S(t)}t>0 L2 (Ω) cho g ∈ H −1 (Ω) g ∈ L2 (Ω) sau: S(t)u0 : L2 (Ω) × R+ → L2 (Ω), (3.4) liên tục L2 (Ω) 3.2 Tập hút toàn cục nửa nhóm Lp (Ω) Từ [3] nửa nhóm kết hợp với nghiệm (3.1) có tập hút tồn cục L2 (Ω) Kết hợp kết tính chất tiệm cận nửa nhóm, cung cấp phương pháp để chứng minh tồn tập hút toàn cục L p (Ω) Bổ đề 3.2 Xem [3] Cho {S(t)}t>0 nửa nhóm liên tục L p (Ω) (p > 0) {S(t)}t>0 có tập hấp thụ bị chặn L p (Ω) Khi với ε > tập bị chặn B ⊂ L p (Ω), tồn số dương T = TB M = M(ε) cho m(Ω(|S(t)u0 | > M)) ε với u0 ∈ B t > T 21 m(e) (đơi ta viết |e|) biểu thị độ đo Lebesgue e ⊂ Ω ∆ Ω(|u| > M) = {x ∈ Ω | |u(x)| > M } Chứng minh: Từ giả thiết {S(t)}t>0 có tập hấp thụ bị chặn L p (Ω), ta biết tồn số dương M0 , cho với tập bị chặn B L p (Ω), ta tìm số T phụ thuộc vào B,sao cho |S(t)u0 | pp M0 với L p (Ω) t > T Vậy ta có Z M0 > p |S(t)u0 | > Ω Z Ω(|S(t)u0 |>M1 ) Z > Ω(|S(t)u0 |>M1 ) |S(t)u0 | p M1p = M1p m(Ω(|S(t)u0 | > M1 )) Bất đẳng thức ngụ ý m(Ω(|S(t)u0 | > M1 )) ε chọn M1 đủ lớn cho M1 > ( Mε0 ) p  Bổ đề sau cung cấp phương pháp sử dụng để chứng minh nửa nhóm {S(t)}t>0 ω - giới hạn compact L p (Ω) Bổ đề 3.3 Xem [3] Với ε > 0, tập bị chặn B L p (Ω) (p > 0) có lưới ε -hữu hạn L p (Ω) tồn số dương M = M(ε) phụ thuộc vào ε, cho q−p ε p (i) B có lưới hữu hạn (3M) q ( ) q L p (Ω) với số giá trị p , q > 0; (ii) Z |u| p 1/p < 2−(2p+2)/p ε với u ∈ B (3.5) Ω(|u|>M Chứng minh: Khi q > p, kết luận rõ ràng Vậy sau ta giả sử q < p Cho cố định ε > 0, từ giả thiết B có lưới hữu hạn (3M) q−p q p ε q Lq (Ω) với số giá trị q, nghĩa là, tồn u1 , , uk ∈ B, cho với u ∈ B, tìm số giá trị ui (1 i k) thỏa mãn ε |u − ui |qq < (3M)(q−p) ( ) p (3.6) 22 Khi đó, rõ ràng, ta có |u − ui | pp Z p |u − ui | = Z p Ω(|u−ui |>3M) Ω |u − ui | + Z Ω(|u−ui |63M) |u − ui | p (3.7) Và Z p Ω(|u−ui |63M) |u − ui | (3M) p−q Z Ω(|u−ui |63M) |u − ui |q ε < (3M) p−q (3M)q−p 2−p ε p = ( ) p (3.8) Mặt khác, thiết lập  Ω1 = Ω |u| >  Ω2 = Ω |u|  Ω3 = Ω |u| >   3M ∩ Ω |ui |    3M 3M ∩ Ω |ui | > 2    3M 3M ∩ Ω |ui | > 2 3M  Khi đó, ta có Ω(|u − ui | > 3M) ⊂ Ω1 ∪ Ω2 ∪ Ω3 Từ vấn đề đơn giản |u − ui | |u| Ω1 |u − ui | |ui | Ω2 , kết hợp với (3.5), ta có Z Ω(|u−ui |>3M) Z |u − ui | p p |u − ui | + Z Ω1 Z p |u| + Ω1 p Z |u| + Ω(|u|>M) Z p p |ui | + Z p p |u| + Z Ω3 p Ω(|ui |>M) |u − ui | p Ω3 Z Ω2 p 62 ( |u − ui | + Z Ω2 p p |ui | + Z p |ui | p Ω3 p |u| + Ω(|u|>M) ε p+2 2−(2p+2) ε p = ( ) p Thay (3.8) (3.9) vào (3.7), ta có ε ε + =ε 2 nghĩa B có lưới ε - hữu hạn L p (Ω) Z Ω(|ui |>M) |ui | p ) (3.9) |u − ui | p <  23 Hệ 3.1 Xem[4] Cho {S(t)}t>0 nửa nhóm L p (Ω) Lq (Ω), tương ứng, p > q > Ω ⊂ Rn bị chặn {S(t)}t>0 thỏa mãn hai giả thiết sau: (i) {S(t)}t>0 ω - giới hạn compact Lq (Ω); (ii) Với ω > tập bị chặn B ⊂ L p (Ω) tồn số dương M = M(ε, B) T = T (ε, B) cho Z Ω(|S(t)u0 |>M) |S(t)u0 | p < ε với u0 ∈ B t > T Khi {S(t)}t>0 ω - giới hạn compact L p (Ω) Kết hợp hệ 2.2 bổ đề 2.3, ta có kết sử dụng để chứng minh tồn tập hút toàn cục số nửa nhóm L p (Ω): Định lý 3.1 xem[5] Giả sử p > q > Ω ⊂ Rn bị chặn Cho {S(t)}t>0 nửa nhóm L p (Ω) Lq (Ω), tương ứng thỏa mãn điều kiện sau: (i) {S(t)}t>0 ω - giới hạn compact Lq (Ω); (ii) {S(t)}t>0 có tập hấp thụ bị chặn B0 Lq (Ω); (iii) Với ω > tập bị chặn B ⊂ L p (Ω) tồn số dương M = M(ω, B) T = T (ω, B), cho Z Ω(|S(t)u0 |>M) |S(t)u0 | p < ε với u0 ∈ B t > T (iv) {S(t)}t>0 liên tục từ mạnh yếu (S(B0 ), | | p ) Khi {S(t)}t>0 có tập hút tồn cục L p (Ω) Bổ đề 3.4 xem[5] Cho B tập bị chặn L p (Ω) (p > 1) có lưới ε - hữu hạn L p (Ω), tồn M = M(B, ε), cho với u ∈ B, ta có Z |u| p < p+1 ε p Ω(|u|>M) Chứng minh: Vì B có lưới ε - hữu hạn L p (Ω), ta biết tồn u1 , u2 , uk ∈ B cho với u ∈ B ta tìm số giá trị ui (1 i k) thỏa mãn Z Ω |u − ui | p < ε p (3.10) 24 Đồng thời cố định ε > 0, có δ > ,sao cho với ui , i k Ta có Z e |ui | p < ε p , (3.11) với điều kiện m(e) < δ (e ⊂ Ω) Mặt khác, B bị chặn L p (Ω), với δ > đưa trên, tồn M > cho m(Ω(|u| > M)) < δ với u ∈ B Vì ta có Z p |u| = Z |u − ui + ui | p Ω(|u|>M) Ω(|u|>M) 62 p Z p |u − ui | +2 Ω(|u|>M) p Z |ui | p Ω(|u|>M) p+1 ε p  Từ bổ đề 3.4, ta biết điều kiện (iii) định lý 3.1 cần thiết p > Vì kết trực tiếp hệ 2.2, định lý 3.1 bổ đề 3.4 ,ta có kết sau: Hệ 3.2 Xem[4] Cho {S(t)}t>0 nửa nhóm L p (Ω)(p > 1), nửa nhóm liên tục liên tục yếu Lq (Ω) với số giá trị q p, có tập hút tồn cục Lq (Ω), Ω ⊂ Rn bị chặn Khi {S(t)}t>0 có tập hút tồn cục L p (Ω) (i) {S(t)}t>0 có tập hấp thụ bị chặn B0 L p (Ω), (ii) Với ε > tập bị chặn B ⊂ L p (Ω), tồn số dương M = M(ε, B) T = T (ε, B), cho Z Ω(|S(t)u0 |>M) 3.3 |S(t)u0 | p < ε với u0 ∈ B t > T Tập hút toàn cục (3.1) L p (Ω) H01 (Ω) Trong mục ta thảo luận trường hợp số hạng ngoại lực g thuộc H −1 (Ω), chứng minh tồn tập hút toàn cục L p (Ω) H01 (Ω), tương ứng n Để thuận tiện , ta ký hiệu g Di f i + h(x) (= ∑ (Di f i + h(x)), f i , h ∈ i=1 L2 (Ω)(i = 1, , n) 25 Thông thường, phương pháp đánh giá không chuẩn hàm lượng, tác giả [18] chứng minh nửa nhóm {S(t)}t>0 có tập hút tồn cục L2 (Ω) Bổ đề 3.5 Xem [5] Giả sử Ω miền trơn bị chặn Rn , f i , h ∈ L2 (Ω) (i = 1, , n), f thỏa mãn (3.2) (3.3) Khi nửa nhóm sinh nghiệm yếu phương trình (3.1) có tập hút toàn cục AH L2 (Ω) Trong phần tiếp theo, ta giả sử f thỏa mãn (3.2) (3.3), f i , h ∈ L2 (Ω) (i = 1, , n) {S(t)}t>0 nửa nhóm sinh nghiệm yếu phương trình (3.1) với liệu ban đầu u0 ∈ L2 (Ω) 3.3.1 Các tập hấp thụ L p (Ω) H01 (Ω) Định lý 3.2 Xem [5] Nửa nhóm {S(t)}t>0 có tập hấp thụ bị chặn L p (Ω) H01 (Ω) tương ứng, nghĩa là, với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn số dương T phụ thuộc vào L2 - mạnh B, cho |u(t)| pp M với u0 ∈ B t ≥ T Và |∇u(t)|22 M với u0 ∈ B t ≥ T Trong đóM số dương độc lập với B, u(t) = S(t)u0 Vì số hạng ngoại lực thuộc H −1 (Ω), ta lấy − M u hàm thử [13,17] để suy trực tiếp tồn tập hấp thụ bị chặn H01 (Ω) Chứng minh: Nhân (3.1) với u, sau lấy tích phân phần sử dụng giả thiết (3.3), ta có 1d |u|2 + |∇u|22 + dt Z ∼ Z i f (u)u = Di f , u + hh, ui = − Ω f ∇u + hh, ui Ω (3.12) điều có nghĩa