Tập hút toàn cục đối với một lớp phương trình parabolic không địa phương với điều kiện tăng trưởng kiểu mũ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN HOÀNG ANH TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI ĐIỀU KIỆN TĂNG TRƯỞNG KIỂU MŨ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THANH HÓA, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN HOÀNG ANH TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI ĐIỀU KIỆN TĂNG TRƯỞNG KIỂU MŨ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: ThS LÊ TRẦN TÌNH THANH HĨA, 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Hồng Anh ii LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn Thầy Th.S Lê Trần Tình Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tơi xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành khóa luận Thanh Hóa, tháng năm 2017 Nguyễn Hồng Anh iii LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii CÁC KÝ HIỆU iv MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L p (Ω) 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.2 Tập hút toàn cục 1.3 Một số định lý thường dùng 10 1.4 Một số bất đẳng thức thường dùng 12 Chương : TẬP HÚT TỒN CỤC VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG 14 2.1 Đặt toán 14 2.2 Sự tồn nghiệm yếu 16 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục 23 2.4 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục 28 2.5 Sự tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng 31 KẾT LUẬN 36 Tài liệu tham khảo 37 iv CÁC KÝ HIỆU Trong tồn khóa luận trừ trường hợp đặc biệt nói rõ mục, lại sử dụng ký hiệu sau: ∂u ∂u , , ) ∂ x1 ∂ xn n ∂ 2u ∆u = ∑ i=1 ∂ xi H −1 (Ω) không gian đối ngẫu H01 (Ω) ∇u =( L p (Ω) không gian đối ngẫu L p (Ω) V0 không gian đối ngẫu V R tập hợp số thực N tập hợp số tự nhiên R+ := [0, ∞) tập hợp số thực không âm MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm (khi thời gian vô cùng) hệ động lực vô hạn chiều sinh phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương trình vi phân hàm tốn quan trọng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Một cách tiếp cận toán hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều nghiên cứu tồn tính chất tập hút tồn cục Đó tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét Cụ thể ta xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm quỹ đạo hệ xét quỹ đạo nằm tập hút tồn cục Trong năm qua, có nhiều kết tồn tính chất tập hút toàn cục nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng loại parabolic, với phần toán tử Laplace nhiều điều kiện khác số hạng phi tuyến điều kiện biên Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình parabolic khơng địa phương, tức phần phương trình tốn tử khơng địa phương, cịn Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề làm đề tài nghiên cứu khóa luận Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng địa phương miền bị chặn với phần tốn tử Laplace thơng qua nghiên cứu tập hút toàn cục Nhiệm vụ đề tài Ngoài việc tổng hợp kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung khóa luận, khóa luận cịn tồn tại, tính nghiệm yếu tốn chứng minh tồn tập hút tồn cục nhiều cặp khơng gian Banach Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục Sự tồn nghiệm dừng tính ổn định mũ nghiệm dừng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lớp phương trình parabolic khơng địa phương miền bị chặn với phần tốn tử Laplace Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Khóa luận tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên, học viên cao học người bắt đầu tiếp cận, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận lớp phương trình parabolic khơng địa phương thơng qua việc nghiên cứu tập hút tồn cục Cấu trúc khóa luận Ngồi lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khơng gian hàm, tập hút tồn cục, số định lí thường dùng số bất đẳng thức thường dùng Chương 2: Sự tồn tập hút tồn cục lớp phương trình parabolic khơng địa phương Trong chương giới thiệu toán giả thiết Phát biểu chứng minh định lí tồn nghiệm nghiệm Chứng minh phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu Chứng minh tồn tập hút toàn cục Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục Chứng minh tồn tính ổn định nghiệm dừng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nội dung khóa luận nhằm tóm lược lại số nội dung thường sử dụng nghiên cứu tốn phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân hàm Nội dung kiến thức trích chủ yếu từ tài liệu chuyên khảo [1], [24], [2] [3] 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Khơng gian L p (Ω) Mục đích phần trình bày lại số nội dung kiến thức không gian L p (Ω) nhằm tạo tính hệ thống kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu nội dung phần Định nghĩa 1.1.1 [24] i) Cho p ∈ R ≤ p < ∞ Tập L p (Ω) = { f : Ω → R , f đo R p Ω | f | dx < ∞} gọi không gian hàm lũy thừa p khả tích với chuẩn Z 1/p p k f kL p = k f k p = | f (x)| dx Ω ii) Tập L2 (Ω) = { f : Ω → R, f đo Ω | f |2 dx < ∞ } gọi khơng gian hàm bình phương khả tích với chuẩn Z 1/2 k f kL = k f k2 = | f (x)| dx R Ω Định lý 1.1.2 [24] L p (Ω) không gian Banach tách với ≤ p < +∞ L2 (Ω) không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.3 [24] Cho (X, k.kX ) không gian Banach Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X, ký hiệu X ∗ , gọi không gian đối ngẫu X Định lý 1.1.4 ([24]) Không gian đối ngẫu X ∗ không gian Banach X không gian Banach trang bị chuẩn | f (x)| , x6=0 kxkX k f kX ∗ = sup ∀ f ∈ X ∗ Định nghĩa 1.1.5 [24] Cho (X, k.kX ) không gian Banach Dãy xn ∈ X gọi hội tụ yếu tới x ∈ X, xn * x X, f (xn ) −→ f (x) với f ∈ X ∗ p Định nghĩa 1.1.6 [24] Tập Lloc (Ω) = { f : f ∈ L p (K)} với tập compact K ⊂ Ω; ≤ p < ∞ gọi khơng gian hàm lũy thừa p khả tích địa phương Ω p Ta nói fn hội tụ đến f Lloc (Ω) fn → f L p (Ω0 ) với tập compact Ω0 ⊂⊂ Ω (Ω) Ta nói f đạo hàm yếu g theo Định nghĩa 1.1.7 [24] Cho g ∈ Lloc (Ω) biến x j ký hiệu f = D j g f ∈ Lloc Z Z dφ dx, f φ dx = − g Ω Ω dx j với φ ∈ Cc∞ (Ω) - không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ta định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao theo phương pháp quy nạp: (Ω) f gọi đạo hàm yếu cấp α g, f = Dα u Nếu f , g ∈ Lloc Z |α| Z f φ dx = (−1) Ω gDα φ dx, Ω α = (α1 , · · · , αn ) đa số với αi ∈ N |α| = |α1 | + · · · + |αn | Bổ đề 1.1.8 [24] Một đạo hàm yếu cấp α g tồn xác định cách (sai khác tập có độ đo không) 1.1.2 Không gian Sobolev Cố định ≤ p < +∞ k số nguyên không âm Trong phần định nghĩa không gian hàm mà thành phần có đạo hàm yếu nằm không gian L p (Ω) Định nghĩa 1.1.9 [24] Không gian Sobolev Wpk (Ω) tập gồm tất hàm khả tích địa phương f : Ω −→ R cho với đa số α, |α| ≤ k, đạo hàm yếu Dα f tồn thuộc L p (Ω), i.e., Wpk (Ω) = { f : Dα ∈ L p (Ω), ≤ |α| ≤ k} trang bị chuẩn ( )1/p k f kWpk (Ω) = ∑ 0≤|α|≤k kDα f kLp p (Ω) 23 Mặt khác, Từ (2.10) suy Zt ku2 (s)k2 ds ≤ C(c1 , |u02 |2 , |g|2 , |Ω|, T, ε) với ε cố định Kết hợp với (2.22) sử dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân, ta Rt |w(t)|22 2(C(τ,L,|k|2 )ku2 (s)k2 +α)ds ≤ |w(0)|2 e ≤ |w(0)|22 e2Ct , C = C(c1 , |u02 |2 , |g|2 , |Ω|, T, ε, τ, L, |k|2 , α), đặc biệt, ta nhận tính w(0) = Vậy, ta có tính nghiệm phụ thuộc nghiệm vào điều kiện ban đầu 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục Nhờ vào định lý 2.2.2, định nghĩa nhóm liên tục sau Ta định nghĩa nửa nhóm liên tục (phi tuyến) S(t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) liên hệ đến toán (2.1) sau S(t)u0 := u(t, u0 ), u(t, u0 ) nghiệm yếu tồn cục (2.1) với giá trị ban đầu u0 Ta chứng minh nửa nhóm S(t) có tập hút compact toàn cục A Để cho ngắn gọn, tơi đưa tính tốn bản, chứng minh chặt chẽ kết từ việc sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin Bổ đề 11.2 [24] Bổ đề 2.3.1 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn L2 (Ω) Chứng minh Nhân (2.1) với u ta có 1d |u|2 + a(l(u))kuk2 + dt Z f (u)udx = (g, u) (2.23) Ω Theo (2.3) (2.5) , ta ước lượng sau cách sử dụng bất đẳng thc Hăolder v bt ng thc Cauchy |g|22 1d |u|2 + (mλ1 − µ)|u|22 ≤ c1 |Ω| + dt 2(mλ1 − µ) 24 Từ bất đẳng thức Gronwall, ta suy |u(t)|22 ≤ |u0 |22 e−(mλ1 −µ)t + R1 , R1 = R1 (λ1 , µ, m, |Ω|, c1 , |g|22 ) = 2c1 |Ω|(mλ1 − µ) + |g|22 (mλ1 − µ)2 Theo đó, chọn ρ1 = 2R1 , ta khẳng định |u(t)|22 ≤ ρ1 , (2.24) với t ≥ T1 = T1 (λ1 , µ, m, |u0 |2 ), điều phải chứng minh Bổ đề 2.3.2 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn H01 (Ω) Chứng minh Từ bất đẳng thức Hăolder v bt ng thc Cauchy, nhõn (2.1) vi u lấy tích phân phần, ta có 1d kuk22 + a(l(u))|∆u|22 = − dt Z f (u)|∇u| dx − g∆udx Ω Ω ≤ αkuk2 + Z m |g|22 + |∆u|22 , 2m Kết hợp với (2.3) dẫn đến d kuk2 ≤ 2αkuk22 + |g|22 dt m (2.25) Mặt khác, lấy tích phân (2.23) từ t đến t + sử dụng (2.3) , (2.5) (2.24) , ta nhận t+1 Z t 1 c1 µ +1 kuk2 ds + |u(t + 1)|22 ≤ |u(t)|22 + |Ω|2 + 2m 2m m m t+1 Z t ≤ ρ2 = ρ2 (λ1 , µ, m, |Ω|, c1 , |g|2 ), |u|22 ds + |g|22 4m (2.26) với t ≥ T1 = T1 (λ1 , µ, m, |u0 |2 ) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall đều, từ (2.25) (2.26) ta suy ku(t)k2 ≤ ρ2 , (2.27) với t ≥ T2 = T1 + Chứng minh hoàn thành Theo hệ Bổ đề 2.3.2 tính compact phép nhúng H01 (Ω) ⊂⊂ L2 (Ω), ta nhận kết sau 25 Định lý 2.3.3 Giả sử có giả thiết (H1), (H2) (H3) Thì nửa nhóm S(t) tạo tốn (2.1) có tập hút tồn cục compact liên thông A L2 (Ω) Với lập luận chặt chẽ hơn, chứng minh tính quy tập hút tăng lên a trở nên Để làm điều này, ta giả sử (H1bis) a ∈ C(R, R+ ) khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện (H1) Bổ đề 2.3.4 Dưới giả thiết (H1bis), (H2) (H3), nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn H (Ω) ∩ H01 (Ω) Chứng minh Lấy vi phân phương trình (2.1) t, sau lấy tích số kết với ut cho 1d |ut |22 + a(l(u))|∇ut |22 + dt Z f (u)ut2 dx = −a (l(u)) Z Z k(x)ut dx Ω Ω ∇u∇ut dx, Ω s dng bt ng thc Hăolder ỏnh giỏ c lượng sau d |ut |2 + 2mkut k2 − 2α|ut |22 ≤ 2|a0 (l(u))| |k|2 |ut |2 kuk kut k dt Ngồi ra, ta có √ |l(u)| ≤ |k|2 |u|2 ≤ |k|2 ρ1 , ta định nghĩa γ= √ ρ2 sup√ |a0 (s)| |k|2 |s|≤|k|2 ρ1 (2.28) (2.29) Theo (2.28) (2.29) , ta ước lượng sau nh s dng bt ng thc Hăolder v bt đẳng thức Cauchy d |ut |22 + 2mkut k2 − 2α|ut |22 ≤ 2γ|ut |2 kut k dt γ ≤ γβ |ut |22 + kut k2 β Nếu ta chọn β > cho γ < 2mβ , bất đẳng thức cuối trở thành d |ut |2 ≤ (γβ + 2α)|ut |22 dt (2.30) Mặt khác, nhân phương trình đầu (2.1) với ut , sử dụng tích phân phần ta Z Z ∇u∇ut dx + a(l(u)) Ω Ω f (u)ut dx − Z Ω g(x)ut dx = −|ut |22 26 Đặt Zs F(s) = f (σ )dσ , ta có Z Z Z d a(l(u)) 2 ( kuk + F(u)dx − g(x)udx) = kuk a (l(u)) k(x)ut dx − |ut |22 dt 2 Ω Ω (2.31) S dng bt ng thc Hăolder v bt đẳng thức Cauchy, từ (2.31) có d a(l(u)) ( kuk2 + dt Z F(u)dx − g(x)udx) ≤ kuk2 |a0 (l(u))| |k|2 |ut |2 − |ut |22 Ω ≤ kuk4 |a0 (l(u))|2 |k|22 16 Z Ω Thay (2.27) (2.29) vào, ta có γ ρ2 F(u)dx − g(x)udx) ≤ 16 Ω Ω d a(l(u)) ( kuk2 + dt Z Z (2.32) Mặt khác, lấy tích phân (2.23) từ t đến t + 1, sử dụng (2.24), ta có t+1h Z a(l(u))kuk22 + Z f (u)udx − Z Ω t i g(x)udx ds ≤ ρ1 (2.33) Ω Từ (2.5) có u2 F(u) ≤ f (u)u + α , Kết hợp với (2.33) (2.34), ta t+1h Z Z f (u)udx − a(l(u))kuk + ≥ t t+1h Z t ∀u ∈ R Z Ω a(l(u)) kuk2 + (2.34) i g(x)udx ds Ω Z Z i ρ1 F(u)dx − g(x)udx ds − α , Ω Ω với t ≥ T1 Do t+1h Z t a(l(u)) kuk2 + Z Z i α F(u)dx − g(x)udx ds ≤ (1 + )ρ1 Ω Ω (2.35) Theo đó, từ (2.32) (2.35), cách sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta Z Z a(l(u)) (2.36) kuk + F(u)dx − g(x)udx ≤ C, Ω Ω 27 với t ≥ T2 = T1 + Mặt khác, ta suy từ (2.31) |ut |22 + d a(l(u)) ( kuk2 + dt Z F(u)dx − Ω g(x)udx) ≤ kuk4 |a0 (l(u))|2 |k|22 Ω Z Lấy tích phân bất đẳng thức cuối từ t đến t + sử dụng (2.27), (2.29), (2.36) bất đẳng thức Cauchy, ta có t+1 Z |ut |22 ≤ C, (2.37) t với t ≥ T2 Kết hợp (2.30) với (2.37) sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta (2.38) |ut |22 ≤ ρ3 , với t ≥ T3 = T2 + Bây ta nhân phương trình (2.1) với −∆u, sử dụng (2.3) (2.5), ta m|∆u|22 ≤ αkuk2 + |ut |2 |∆u|2 + |g|2 |∆u|2 (2.39) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, từ (2.39), ta có m|∆u|22 ≤ αkuk2 + Lấy ε = 1 |ut |22 + |g|22 + ε|∆u|22 2ε 2ε (2.40) m , từ (2.40) suy 2α 2 kuk2 + |ut |22 + |g|22 m m m Sử dụng đánh giá (2.27) (2.38), ta suy |∆u|22 ≤ |∆u|22 ≤ ρ4 , với số ρ4 , t ≥ T3 Hồn thành chứng minh Vì tính compact phép nhúng H (Ω) ∩ H01 (Ω) ⊂⊂ H01 (Ω), ta định lý sau Định lý 2.3.5 Giả sử có giả thiết (H1bis), (H2) (H3) Thì nửa nhóm S(t) sinh từ tốn (2.1) có tập hút tồn cục compact liên thơng A H01 (Ω) 28 2.4 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục Trong phần này, ta nghiên cứu hữu hạn số chiều fractal tập hút tồn cục cho nửa nhóm sinh tốn (2.1) Để làm thế, ta giả sử số hạng phi tuyến f ngoại lực g thỏa mãn điều kiện mạnh sau (H2bis) f thỏa mãn điều kiện (H2) tồn s0 > cho f (s) ≥ kgkL∞ (Ω) if s ≥ s0 , f (s) ≤ kgkL∞ (Ω) if s ≤ −s0 (H3bis) g ∈ L∞ (Ω) Bổ đề 2.4.1 Giả sử giả thiết (H1), (H2bis), (H3bis) thỏa mãn Thì tập hút tồn cục A tốn (2.1) bị chặn L∞ (Ω) Chứng minh Để chứng minh Bổ đề 2.4.1, ta sử dụng nhánh hàm bị chặn u(x) − M với số thích hợp M Ta định nghĩa   u(x), u(x) > 0, u+ (x) =  0, trái lại, tương tự   u(x), u(x) < 0, u− (x) =  0, trái lại Giả sử u(t) ∈ A Ta nhân (2.1) với (u − M)+ lấy tích phân Ω, ta Z Z 1d |(u − M)+ | dx + a(l(u)) |∇(u − M)+ |2 dx dt ΩM ΩM Z f (u)(u − M)+ dx = + ΩM Z g(u − M)+ dx, ΩM ΩM = {x ∈ Ω : u(x) − M ≥ 0} Sử dụng bất đẳng thức Poincaré (2.3), suy 1d dt Z |(u − M)+ | dx + mλΩM ΩM Z |(u − M)+ | dx ≤ ΩM Z (g − f (u))(u − M)+ dx ΩM Nhờ hiệu lực điều kiện (H2bis), ta chọn M đủ lớn cho f (u) ≥ kgkL∞ (Ω) u(x) ≥ M Thì d dt Z ΩM |(u − M)+ | dx + 2mλΩM Z ΩM |(u − M)+ |2 dx ≤ 29 Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có Z |(u − M)+ | dx ≤ e −2mλΩM t ΩM Z |(u0 − M)+ |2 dx → as t → ∞ ΩM Vì A bất biến, ta Z |(u − M)+ |2 dx = (2.41) Ω(u(t)≥M) Lập luận tương tự với (u + M)− với (u − M)+ , ta Z |(u + M)− |2 dx = (2.42) Ω(u(t)≤−M) Từ (2.41) (2.42) kukL∞ (Ω) ≤ M, với u ∈ A Để chứng minh số chiều fractal hữu hạn tập hút toàn cục, ta cần kết quan trọng nghiên cứu Ladyzhenskaya Định lý 2.4.2 [17] Giả sử M tập compact không gian Hilbert H Cho V ánh xạ liên tục H cho M ⊂ V (M) Giả sử tồn phép chiếu P có số chiều hữu hạn khơng gian H cho kP(V v1 −V v2 )k ≤ κkv1 − v2 k, v1 , v2 ∈ M, k(1 − P)(V v1 −V v2 )k ≤ δ kv1 − v2 k, v1 , v2 ∈ M, δ < Ta giả sử κ > − δ Thì tập compact M có số chiều fractal hữu hạn dim f M ≤ dim P ln( 9κ )[ln( )]−1 1−δ 1+δ Định lý 2.4.3 Giả sử có (H1), (H2bis), (H3bis) Tập hút tồn cục A tốn (2.1) có số chiều fractal hữu hạn L2 (Ω), là, 9eC dim f A ≤ q ln( )[ln( )]−1 1−δ 1+δ 30 Chứng minh Giả sử u01 , u02 ∈ A cho trước, u1 (t) = S(t)u01 u2 (t) = S(t)u02 nghiệm toán (2.1) với giá trị ban đầu u01 , u02 , tương ứng Lấy u1n (t) u2n (t) nghiệm xấp xỉ gần chúng Ta định nghĩa w(t) = u1 (t) − u2 (t) wn (t) = u1n (t) − u2n (t) Giả sử w(t) = w1 (t) + w2 (t), wn (t) = w1n (t) + w2n (t), w1 (t) w1n (t) phép chiếu lên Pq L2 (Ω) = span{e1 , e2 , , eq }, {e j }∞j=1 ⊂ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) sở Hilbert trực chuẩn Suy wn * w in L2 (0, T ; H01 (Ω)), w1n * w1 in L2 (0, T ; H01 (Ω)), w2n * w2 in L2 (0, T ; H01 (Ω)) Như biết S(t)A = A với t ≥ từ Bổ đề 2.4.1, A bị chặn L∞ (Ω) Thì tồn số M cho kui (t)kL∞ (Ω) ≤ M, i = 1, 2, t ≥ (2.43) Lập luận tương tự giống chứng minh định lý 2.2.2 ta wt − a(l(u1 ))∆w + f (u1 ) − f (u2 ) = −(a(l(u2 )) − a(l(u1 )))∆u2 , giới hạn phương trình sau n tiến tới vô d wn − a(l(u1n ))∆wn + f (u1n ) − f (u2n ) = −(a(l(u2n )) − a(l(u1n )))∆u2n dt (2.44) Kéo theo (2.45) |w(t)|22 ≤ e2Ct |w(0)|22 Theo |w1 (t)|22 ≤ e2Ct |w(0)|22 (2.46) Mặt khác, nhân (2.44) với w2n (t), lấy tích phân Ω sử dụng (2.2), (2.3), (2.4), (2.5) bất đẳng thức Cauchy, ta có 1d |w2n (t)|22 + mkw2n (t)k2 ≤ L|k|2 |wn |2 ku2n k kw2n k + α|w2n |22 dt L2 |k|22 m ≤ kw2n (t)k + ku2n k2 |wn |22 + α|w2n |22 2m Do đó, sử dụng bất đẳng thức Poincaré suy L2 |k|22 d 2 |w2n (t)|2 + (mλq − 2α)|w2n (t)|2 ≤ ku2n k2 |wn |22 dt m 31 Theo bất đẳng thức Gronwall, ta có |w2n (t)|22 ≤ e−(mλq −2α)t |w2n (0)|22 L2 |k|22 −(mλq −2α)t e + m Zt e(mλq −2α)s ku2n (s)k2 |wn (s)|22 ds Cho n → ∞, ta |w2 (t)|22 ≤ e−(mλq −2α)t |w2 (0)|22 L2 |k|22 −(mλq −2α)t + e m Zt e(mλq −2α)s ku2 (s)k2 |w(s)|22 ds (2.47) Giả sử q đủ lớn cho mλq − 2α > Từ (2.27), (2.45) (2.47) suy |w2 (t)|22 ≤ e−(mλq −2α)t |w2 (0)|22 L2 |k|22 −(mλq −2α)t + e m Zt e(mλq −2α)s ρ2 e2Cs |w(0)|22 ds ≤e −(mλq −2α)t |w2 (0)|22 + L2 |k|22 ρ2 e2Ct |w(0)|22 m(mλq − 2α + 2C) Theo |w2 (t)|22 −(mλq −2α)t ≤ (e L2 |k|22 ρ2 e2Ct + )|w(0)|22 m(mλq − 2α + 2C) (2.48) Từ (2.46) (2.48), ta có |w1 (1)|22 ≤ e2C |w(0)|22 , |w2 (1)|22 ≤ δ |w(0)|22 , L2 |k|22 ρ2 e2C ) < q đủ lớn Sử dụng m(mλq − 2α + 2C) Định lý 2.4.3, có buộc cho trước ước lượng định lý δ = (e−(mλq −2α) + 2.5 Sự tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng Một nghiệm yếu dừng toán (2.1) phần tử u∗ ∈ H01 (Ω) cho ∗ Z a(l(u )) ∗ Z ∇u ∇vdx + Ω với hàm chuẩn v ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) ∗ Z f (u )vdx = Ω gvdx Ω 32 Định lý 2.5.1 Dưới giả thiết (H1), (H2), (H3) Khi tốn (2.1) có nghiệm yếu dừng u∗ thỏa mãn ku∗ k2 ≤ `(τ0 ), λ1 (4aτ + b) `(τ) = , τ0 = 4τ(c − τ) (2.49) √ b2 + 4abc − b , a = c1 |Ω|, b = |g|22 , c = mλ1 − µ 4a Hơn nữa, điều kiện sau thỏa mãn q mλ1 > L2 |k|22 `(τ0 ) λ1 + α, (2.50) nghiệm yếu dừng (2.1) theo hàm mũ ổn định Chứng minh i) Sự tồn Giả sử {e j }∞j=1 ⊂ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) sở Hilbert trực chuẩn Với n > 1, ta biểu thị Sn = span{e1 , e2 , , en } Ta tìm nghiệm dừng thích hợp un với n un = ∑ βn j e j , j=1 cho Z a(l(un )) Z ∇un ∇vdx + Ω Z f (un )vdx = Ω gvdx (2.51) Ω với hàm chuẩn v ∈ Sn Để làm điều này, ta định nghĩa toán tử sau Rn : Sn → Sn xác định hRn u, vi = a(l(u)) Z Z ∇u∇vdx + Ω f (u)vdx − Z gvdx Ω Ω với u, v ∈ Sn Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, từ (2.3) (2.5) hRn u, ui = a(l(u)) Z Z ∇u∇udx + Ω ≥ mkuk f (u)udx − Z Ω − µ|u|22 − c1 |Ω| − gudx Ω Z gudx Ω ≥ mkuk2 − (µ + τ)|u|22 − (c1 |Ω| + |g|22 ) 4τ |g|22 µ +τ ≥ (m − )kuk − (c1 |Ω| + ) λ1 4τ λ1 (4τc1 |Ω| + |g|22 ) µ +τ ≥ (m − )(kuk2 − ), λ1 4τ(mλ1 − µ − τ) với < τ < mλ1 − µ Ta xét hàm số sau < τ < c `(τ) = λ1 (4aτ + b) , 4τ(c − τ) 33 với a = c1 |Ω|, b = |g|22 , c = mλ1 − µ Nó đạt giá trị nhỏ √ b2 + 4abc − b τ0 = ∈ (0, c) 4a Theo µ + τ0 )(kuk2 − `(τ0 )) hRn u, ui ≥ (m − λ1 (2.52) p Ta suy từ (2.52) hRn u, ui ≥ với u ∈ Sn thỏa mãn kuk = `(τ0 ) Do đó, theo định lý điểm bất động Brouwer (xem [26, Chương 2, Bổ đề 1.4]), với n ≥ 1, tồn un ∈ Sn cho Rn (un ) = 0, kun k2 ≤ `(τ0 ) (2.53) Lưu ý −a(l(un ))∆un định nghĩa phần tử H −1 (Ω), cho trước tính đối ngẫu h−a(l(un ))∆un , vi = a(l(un )) Z ∇un ∇vdx, Ω với v ∈ H01 (Ω) Sử dụng (2.3) (2.53), kiểm tra −a(l(un ))∆un bị chặn H −1 (Ω) Lấy v = un vào (2.51), ta có a(l(un ))kun k + Z Z f (un )un dx = gun dx Ω Ω Sử dụng (2.3) bất đẳng thức Cauchy, ta |g|22 f (un )un dx ≤ 2mλ1 Ω Z Đặt h(s) = f (s) + νs, ν > µ Lưu ý h(s)s + c1 ≥ với s ∈ R, ta có Z |h(un )|dx ≤ Ω ≤ Z Ω∩{|un |>1} Z |h(un )un |dx + |h(un )|dx |s|≤1 Z Z f (un )un dx + ν Ω Ω∩{|un |≤1} |h(un )un + c1 |dx + c1 |Ω| + sup |h(s)||Ω| Ω ≤ Z Ω |un |2 dx + 2c1 |Ω| + sup |h(s)||Ω| |s|≤1 |g|22 ν`(τ0 ) ≤ + + (2c1 + sup |h(s)|)|Ω| 2mλ1 λ1 |s|≤1 Điều có nghĩa {h(un )} bị chặn L1 (Ω), suy { f (un )} bị chặn L1 (Ω) Ta suy từ (2.53) dãy {un } bị chặn H01 (Ω), theo tính compact phép nội xạ đơn ánh H01 (Ω) vào L2 (Ω), ta 34 trích dãy {un } (cũng ký hiệu {un }) hội tụ yếu H01 (Ω) hội tụ mạnh L2 (Ω) để phần tử u∗ ∈ H01 (Ω) Áp dụng [21, Bổ đề 1.3, p.12], −a(l(un ))∆un * −a(l(u∗ ))∆u∗ in H −1 (Ω), f (un ) * f (u∗ ) in L1 (Ω) Lấy giới hạn (2.51), ta u∗ nghiệm yếu dừng (2.1) Ước lượng (2.49) đạt từ (2.53) n tiến tới vơ ii) Tính ổn định mũ Đặt w(t) = u(t) − u∗ Ta có d ( w, v) + a(l(u)) dt Z ∇w∇vdx + h fb(u) − fb(u∗ ), vi Ω (2.54) Z ∗ = (a(l(u )) − a(l(u))) ∗ ∇u ∇vdx + α(w, v), Ω với v ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω), fb(s) = f (s) + αs Lấy v = Bbk (w), Bbk ánh xạ Nemytskii (xem [20]), sau lấy tích phân từ δ đến t, ta từ (2.54) Zt Z d (w(s)Bbk (w)(s))dxds − Ω ds δ w Ω d b (Bk (w)(s))dxds ds δ Zt + Zt Z Z |∇w|2 dxds + a(l(u)) Zt Z {x∈Ω:|w(x,s)|≤k} Ω δ ≤ Zt ( fb(u) − fb(u∗ ))Bbk (w)dxds δ |a(l(u∗ )) − a(l(u))| | Z {x∈Ω:|w(x,s)|≤k} ∇u∗ ∇wdx|ds + α Zt Z wBbk (w)dxds Ω δ δ (2.55) Sử dụng (2.2) (2.4) ta có Zt ∗ |a(l(u )) − a(l(u))| | Z ∇u∗ ∇wdx|ds {x∈Ω:|w(x,s)|≤k} δ ≤L Zt Z ( Z |k| |w|dx) ( {x∈Ω:|w(x,s)|≤k} Ω δ ≤L|k|2 ku∗ k Zt δ |w(s)|2 kBbk (w)(s)kds |∇u∗ ∇w|dx)ds 35 Sử dụng (2.51) bất đẳng thức Cauchy, ta Zt ∗ |a(l(u )) − a(l(u))| | Z ∇u∗ ∇wdx|ds {x∈Ω:|w(x,s)|≤k} δ ≤ρ Zt kBbk (w)(s)k2 ds + L2 |k|22 `(τ0 ) 4ρ δ Zt (2.56) |w(s)|22 ds, δ d 1d b với ρ > Lưu ý w (Bbk (w)) = ((Bk (w))2 ), sử dụng (2.3), ta dt dt từ (2.55) (2.56) w(t)Bbk (w)(t)dx − |Bbk (w)(t)|22 + m Ω Z Zt kBbk (w)(s)k2 ds δ Zt Z + b f (ξ )wBbk (w)dxds Ω δ ≤ w(δ )Bbk (w)(δ )dx − |Bbk (w)(δ )|22 + ρ Ω Z Zt kBbk (w)(s)k2 ds δ L2 |k|22 `(τ0 ) + 4ρ Zt |w(s)|22 ds + α Zt Z wBbk (w)dxds Ω δ δ Vì b f (s) ≥ sBbk (s) ≥ với s ∈ R, ta chọn < ρ ≤ m, cho δ → k → ∞ bất đẳng thức trên, ta |w(t)|22 ≤ |w(0)|22 + h L2 |k|2 `(τ ) i Zt + α − (m − ρ)λ1 |w(s)|22 ds 4ρ Xét hàm sau (0, +∞) Γ(ρ) = L2 |k|22 `(τ0 ) + α − (m − ρ)λ1 4ρ Nó đạt giá trị nhỏ s ρ0 = L2 |k|22 `(τ0 ) , 4λ1 Γ(ρ0 ) = q L2 |k|22 `(τ0 )λ1 + α − mλ1 (2.57) 36 Suy từ (2.52) Γ(ρ0 ) < ρ0 ∈ (0, m) Theo đó, ta chọn giá trị phù hợp ρ ∈ (0, m] để Γ(ρ) < Suy từ (2.57) bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân nghiệm yếu dừng (2.1) có số mũ ổn định 37 KẾT LUẬN Khóa luận tập trung nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng địa phương thơng qua việc nghiên cứu tập hút tồn cục, nghiệm dừng tính ổn định nghiệm dừng Khóa luận làm kết sau: Tóm tắt kiến thức sở để phục vụ cho việc nghiên cứu lớp phương trình parabolic khơng địa phương Chứng minh tồn nghiệm yếu toán phương pháp xấp xỉ Galerkin Chứng minh tồn tập hút tồn cục cặp khơng gian Banach Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục Chứng minh tồn nghiệm dừng đưa điều kiện để nghiệm dừng ổn định mũ Hướng nghiên cứu Tiếp tục nghiên cứu tính quy nghiệm, đánh giá số chiều tập hút toàn cục Nghiên cứu toán cho trường hợp tăng trưởng kiểu đa thức thay cho kiểu mũ Nghiên cứu toán cho lớp toán tử khác −Pα,β , −∆ p ,