Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình parabolic không địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ LOAN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP THANH HĨA, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ LOAN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG KHÁO LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khố luận: ThS LÊ TRẦN TÌNH THANH HĨA, 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Thị Loan ii LỜI CẢM ƠN Khố luận thực hồn thành khoa Khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn tận tình Thầy ThS Lê Trần Tình Thầy dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để hồn thành khố luận Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy Tơi xin chân thành cảm ơn khoa Khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa, tồn thể quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho tơi kết thúc tốt đẹp chương trình đại học hồn thành khố luận tốt nghiệp Thanh Hóa, tháng năm 2017 Nguyễn Thị Loan iii LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii CÁC KÝ HIỆU iv MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L p (Ω) 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.2 Tập hút toàn cục 1.3 Một số định lý thường dùng 10 1.4 Một số bất đẳng thức thường dùng 12 Chương : TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG 14 2.1 Đặt toán 14 2.2 Sự tồn nghiệm 16 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục 22 2.4 Sự tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng 29 KẾT LUẬN 32 Tài liệu tham khảo 33 iv CÁC KÝ HIỆU Trong toàn luận văn trừ trường hợp đặc biệt nói rõ mục, cịn lại sử dụng ký hiệu sau: ∂u ∂u , , ) ∂ x1 ∂ xn n ∂ 2u ∆u = ∑ i=1 ∂ xi H −1 (Ω) không gian đối ngẫu H01 (Ω) ∇u =( L p (Ω) không gian đối ngẫu L p (Ω) V0 không gian đối ngẫu V R tập hợp số thực N tập hợp số tự nhiên R+ := [0, ∞) tập hợp số thực không âm MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm (khi thời gian vô cùng) hệ động lực vô hạn chiều sinh phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương trình vi phân hàm tốn quan trọng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Một cách tiếp cận toán hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều nghiên cứu tồn tính chất tập hút tồn cục Đó tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét Cụ thể ta xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm quỹ đạo hệ xét quỹ đạo nằm tập hút tồn cục Trong năm qua, có nhiều kết tồn tính chất tập hút tồn cục nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng loại parabolic, với phần tốn tử Laplace nhiều điều kiện khác số hạng phi tuyến điều kiện biên Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình parabolic khơng địa phương, tức phần phương trình tốn tử khơng địa phương, cịn Vì vậy, tơi chọn vấn đề làm đề tài nghiên cứu khố luận Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng địa phương miền bị chặn với phần tốn tử Laplace thơng qua nghiên cứu tập hút toàn cục Nhiệm vụ đề tài Ngoài việc tổng hợp kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung khố luận, khố luận cịn tồn nghiệm yếu toán chứng minh tồn tập hút toàn cục nhiều cặp không gian Banach Sự tồn nghiệm dừng tính ổn định mũ nghiệm dừng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lớp phương trình parabolic khơng địa phương miền bị chặn với phần tốn tử Laplace Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Là tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học người bắt đầu tiếp cận, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận lớp phương trình parabolic không địa phương thông qua việc nghiên cứu tập hút tồn cục Cấu trúc khố luận Ngồi lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận chia thành hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khơng gian hàm, tập hút tồn cục, số định lí thường dùng số bất đẳng thức thường dùng Chương 2: Sự tồn tập hút tồn cục lớp phương trình parabolic không địa phương Trong chương giới thiệu toán giả thiết Phát biểu chứng minh định lí tồn nghiệm nghiệm Chứng minh phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu Chứng minh tồn tập hút toàn cục Chứng minh tồn tính ổn định nghiệm dừng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nội dung khố luận nhằm tóm lược lại số nội dung thường sử dụng nghiên cứu tốn phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân hàm Nội dung kiến thức trích chủ yếu từ tài liệu chuyên khảo [1], [5], [2] [8] 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Khơng gian L p (Ω) Mục đích phần trình bày lại số nội dung kiến thức không gian L p (Ω) nhằm tạo tính hệ thống kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu nội dung phần Định nghĩa 1.1.1 [5] i) Cho p ∈ R ≤ p < ∞ Tập L p (Ω) = { f : Ω → R , f đo R p Ω | f | dx < ∞} gọi không gian hàm lũy thừa p khả tích với chuẩn Z 1/p p k f kL p = k f k p = | f (x)| dx Ω ii) Tập L2 (Ω) = { f : Ω → R, f đo Ω | f |2 dx < ∞ } gọi khơng gian hàm bình phương khả tích với chuẩn Z 1/2 k f kL = k f k2 = | f (x)| dx R Ω Định lý 1.1.2 [5] L p (Ω) không gian Banach tách với ≤ p < +∞ L2 (Ω) không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.3 [5] Cho (X, k.kX ) không gian Banach Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X, ký hiệu X ∗ , gọi không gian đối ngẫu X Định lý 1.1.4 ([5]) Không gian đối ngẫu X ∗ không gian Banach X không gian Banach trang bị chuẩn | f (x)| , x6=0 kxkX k f kX ∗ = sup ∀ f ∈ X ∗ Định nghĩa 1.1.5 [5] Cho (X, k.kX ) không gian Banach Dãy xn ∈ X gọi hội tụ yếu tới x ∈ X, xn * x X, f (xn ) −→ f (x) với f ∈ X ∗ p Định nghĩa 1.1.6 [5] Tập Lloc (Ω) = { f : f ∈ L p (K)} với tập compact K ⊂ Ω; ≤ p < ∞ gọi không gian hàm lũy thừa p khả tích địa phương Ω p Ta nói fn hội tụ đến f Lloc (Ω) fn → f L p (Ω0 ) với tập compact Ω0 ⊂⊂ Ω (Ω) Ta nói f đạo hàm yếu g theo biến Định nghĩa 1.1.7 [5] Cho g ∈ Lloc (Ω) x j ký hiệu f = D j g f ∈ Lloc Z Z dφ f φ dx = − g dx, Ω Ω dx j với φ ∈ Cc∞ (Ω) - không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ta định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao theo phương pháp quy nạp: (Ω) f gọi đạo hàm yếu cấp α g, f = Dα u Nếu f , g ∈ Lloc Z |α| Z f φ dx = (−1) Ω gDα φ dx, Ω α = (α1 , · · · , αn ) đa số với αi ∈ N |α| = |α1 | + · · · + |αn | Bổ đề 1.1.8 [5] Một đạo hàm yếu cấp α g tồn xác định cách (sai khác tập có độ đo không) 1.1.2 Không gian Sobolev Cố định ≤ p < +∞ k số nguyên không âm Trong phần định nghĩa không gian hàm mà thành phần có đạo hàm yếu nằm không gian L p (Ω) Định nghĩa 1.1.9 [5] Không gian Sobolev Wpk (Ω) tập gồm tất hàm khả tích địa phương f : Ω −→ R cho với đa số α, |α| ≤ k, đạo hàm yếu Dα f tồn thuộc L p (Ω), i.e., Wpk (Ω) = { f : Dα ∈ L p (Ω), ≤ |α| ≤ k} trang bị chuẩn ( )1/p k f kWpk (Ω) = ∑ 0≤|α|≤k kDα f kLp p (Ω) 19 Tiếp theo chứng minh dãy { 0 L p (0, T ; H −1 (Ω) + L p (Ω)) Thật vậy, từ dun } bị chặn không gian dt dun = a(l(un ))∆un − αun + β |un | p−2 un + g(x), dt dun } bị chặn V ∗ Kết hợp với L2 (0, T ; H −1 (Ω)) L p (ΩT ) nhúng dt 0 liên tục vào L p (0, T ; H −1 (Ω) + L p (Ω)), ta thu kết cần chứng minh Lại có (un ) bị chặn L2 (0, T, L2 (Ω)) suy { (un ) bị chặn L2 (0, T, H01 (Ω)) (un ) bị chặn L p (0, T, L p (Ω)) Do H01 (Ω) ⊂⊂ L p (Ω) Nên tồn dãy L2 (0, T ; H01 (Ω)), un * u hội tụ yếu un → u hội tụ mạnh L2 (0, T ; L2 (Ω)) Khi un → u hội tụ hầu khắp nơi ΩT Nhờ đề 1.3.5 tính giới hạn yếu ta có ∗ |un | p−2 un * |u| p−2 u hội tụ yếu L p (0, T, L2 (Ω), a(l(un )) * a(l(u)) hội tụ yếu C([0, T ]; L2 (Ω)), ∆un * ∆u Từ kết trên, ta có un * u hội tụ yếu L2 (0, T ; H01 (Ω)), un * u hội tụ yếu L p (ΩT ), |un | p−2 un * |u| p−2 u hội tụ yếu 0 L p (0, T, L p (Ω)), −a(l(un ))∆un * −a(l(u))∆u hội tụ yếu L2 (0, T ; H −1 (Ω)), dun du * hội tụ yếu V ∗ dt dt Để chứng minh u(0) = u0 , chọn hàm thử varphi ∈ C([0, T ]; H01 (Ω) ∩ L p (Ω)) với ϕ(T ) = lấy tích phân theo t phương trình xấp xỉ nghiệm, ta có ZT 0 −hun , ϕ idt + ZT Z  a(l(un ))∇un ∇ϕ + (αun + β |un | Ω p−2  un )ϕ − g(x)ϕ dxdt 20 = hun (0), ϕ(0)i Qua giới hạn n → +∞ ta thu ZT −hu, ϕ idt + ZT Z  a(l(u))∇u∇ϕ + (αu + β |u| p−2  u)ϕ − g(x)ϕ dxdt Ω = hu0 , ϕ(0)i (2.12) un (0) → u0 Mặt khác ZT −hu, ϕ idt + ZT Z  a(l(u))∇u∇ϕ + (αun + β |un | p−2  un )ϕ − g(x)ϕ dxdt Ω = hu(0), ϕ(0)i (2.13) So sánh (2.12) (2.13) ta có u(0) = u0 Vì u nghiệm yếu tồn cục tốn (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức sau ku(t)k2L2 (Ω) ≤ e−(mλ1 +α)t ku0 k2L2 (Ω) + C (1 − e−(mλ1 +α)t ) mλ1 + α (2.14) ii) Tính nghiệm phụ thuộc liên tục Giả sử u1 u2 hai nghiệm toán (2.1) với điều kiện ban đầu tương ứng u01 , u02 Ta có d h u1 , vi + a(l(u1 )) dt Z ∇u1 ∇vdx + hαu1 , vi + hβ |u1 | p−2 u1 , vi = hg, vi, Ω d h u2 , vi + a(l(u2 )) dt Z ∇u2 ∇vdx + hαu2 , vi + hβ |u2 | p−2 u2 , vi = hg, vi Ω Lấy hiệu hai phương trình ta thu d h (u1 − u2 , v)i + a(l(u1 )) dt Z ∇u1 ∇vdx − a(l(u2 )) Ω Z + Ω (αu1 − αu2 , v)dx + Z ∇u2 ∇vdx Ω Z (β |u1 | p−2 u1 − β |u2 | p−2 u2 , v)dx = Ω Do Z Z d h (u1 − u2 ), vi + a(l(u1 )) ∇(u1 − u2 )∇vdx + (α(u1 − u2 ), v)dx dt Ω Ω Z  Z p−2 p−2 + (β |u1 | u1 − β |u2 | u2 , v)dx = a(l(u2 )) − a(l(u1 )) ∇u2 ∇vdxdt Ω Ω 21 Lấy v = u1 (t) − u2 (t), ta có 1d ku1 − u2 k2L2 (Ω) + a(l(u1 )) dt Z |∇(u1 − u2 )| dx + Ω Z + Z (α(u1 − u2 ), v)dx Ω  Z p−2 p−2 (β |u1 | u1 − β |u2 | u2 , v)dx = a(l(u2 )) − a(l(u1 )) ∇u2 ∇(u1 − u2 )dx Ω Ω ≤ ka(l(u2 )) − a(l(u1 ))k Z k∇u2 ∇(u1 − u2 )kdx Ω Sử dụng Bất đẳng thức Tartar’s ta có Z β (|u1 | p−2 u1 − |u2 | p−2 u2 )(u1 − u2 )dx ≥ γ0 ku1 − u2 kLp p (Ω) ≥ Ω Và kết hợp sử dụng (2.3) ta có 1d ku1 − u2 k2L2 (Ω) + mku1 − u2 k2H (Ω) + αku1 − u2 k2L2 (Ω) dt Z k∇u2 ∇(u1 − u2 )kdx ≤ ka(l(u2 )) − a(l(u1 ))k Ω Và từ (2.2) (2.4) ta có ka(l(u2 )) − a(l(u1 ))k ≤ Lkl(u2 ) − l(u1 )k ≤ L Z kkkku1 − u2 kdx (2.15) Ω Kết hợp (2.15), đặt w = u1 − u2 sử dụng bất đẳng thức Holder, ta thu 1d kwk2L2 (Ω) + mkwk2H (Ω) + αkwk2L2 (Ω) ≤ LklkL2 (Ω) kwkL2 (Ω) ku2 kH (Ω) kwkH (Ω) 0 dt Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1d m kwk2L2 (Ω) + mkwk2H (Ω) + αkwk2L2 (Ω) ≤ kwk2H (Ω) 0 dt h L2 i + klk2L2 (Ω) ku2 k2H (Ω) kwk2L2 (Ω) 2m Do d kwk2L2 (Ω) ≤ η(t)kwk2L2 (Ω) , dt < η(t) = h L2 klk2L2 (Ω) ku2 k2H (Ω) m i ∈ L1 (0, T ) 22 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall , ta có Rt  d  − η(s)ds e ku1 (t) − u2 (t)kL2 (Ω) ≤ dt Bằng vài phép tính tốn, ta suy kw(t)k2L2 (Ω) ≤ kw(0)k2L2 (Ω) Vậy, ta có tính nghiệm ( u1 = u2 ) phụ thuộc nghiệm vào điều kiện ban đầu 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục Nhờ vào định lý 2.2.2, định nghĩa nhóm liên tục sau S(t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) u0 7→ S(t)u0 := u(t) u(t) nghiệm yếu tốn (2.1) với điều kiện ban đầu u0 Chúng ta chứng minh nửa nhóm S(t) có tập hút tồn cục A cặp không gian Chúng ta đưa tính tốn bản, cịn chứng minh chặt chẽ kết rút từ việc sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin bổ đề 1.3.9 Mệnh đề 2.3.1 Nửa nhóm S(t)t ≥ có tập (L2 (Ω), L2 (Ω))- hấp thụ bị chặn B0 , tức tồn số dương ρ0 , thỏa mãn với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn số dương T thỏa mãn ku(t)k2L2 (Ω) = kS(t)u0 k2L2 (Ω) ≤ ρ0 với t ≥ T u0 ∈ B, u nghiệm yếu toán (2.1) với giá trị ban đầu u0 Chứng minh Nhân hai vế phương trình đầu (2.1) với u, tích phân phần dùng (2.3), ta có 1d kuk2L2 (Ω) + mkuk2H (Ω) + αkuk2L2 (Ω) + β kukLp p (Ω) ≤ dt Z g(x)udx Ω (2.16) 23 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Poincaré, ta có 1d kuk2L2 (Ω) + (mλ1 + α)kuk2L2 (Ω) + β kukLp p (Ω) dt mλ1 + α kuk2L2 (Ω) + kgk2L2 (Ω) , ≤ 2(mλ1 + α) (2.17) d kuk2L2 (Ω) ≤ −(mλ1 + α)kuk2L2 (Ω) + kgk2L2 (Ω) dt mλ1 + α Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta ku(t)k2L2 (Ω) ≤e −(mλ1 +α)t k u0 k2L2 (Ω) + √ Từ (2.18)ta thấy B0 = B( ρ0 ) với ρ0 = kgk2L2 (Ω) (mλ1 + α)2 kgk2 L (Ω) (mλ1 +α)2 (1 − e−(mλ1 +α)t ) (2.18) nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập (L2 (Ω), L2 (Ω))-hấp thụ bị chặn, tức với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn T0 = T0 (B) phụ thuộc vào chuẩn L2 B thoả mãn kS(t)u0 k2L2 (Ω) ≤ ρ0 , (2.19) với t ≥ T0 , u0 ∈ B, ρ0 độc lập với u0 Mệnh đề 2.3.2 Nửa nhóm S(t)t ≥ có tập (L2 (Ω), H01 (Ω))- hấp thụ bị chặn B0 , tức tồn số dương ρ1 , thỏa mãn với tập bị chặn B H01 (Ω), tồn số dương T thỏa mãn ku(t)k2H (Ω) ≤ ρ1 với t ≥ T u0 ∈ B, u nghiệm yếu toán (2.1) với giá trị ban đầu u0 Chứng minh Đầu tiên, nhân hai vế phương trình đầu (2.1)với ∇u, kết hợp (2.3), ta 1d kuk2H (Ω) + kuk2H (Ω) + mk∇uk2L2 (Ω) + αkuk2H (Ω) 0 dt 2Z Z (2.20) +β (p − 1) |u| p−2 |∇u|2 ≤ kuk2H (Ω) − gudx Ω Ω Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có, 1d kuk2H (Ω) + kuk2H (Ω) ≤ C(kgk2L2 (Ω) + kuk2L2 (Ω) ) 0 dt Từ (2.21)và mệnh đề 2.3.1 u0 ∈ B0 , ta có d kuk2H (Ω) + kuk2H (Ω) ≤ R1 , 0 dt (2.21) (2.22) 24 với R1 > Áp dụng bất đẳng thức Gronwall vào (2.22) ta có ku(t)k2H (Ω) ≤ ρ1 (2.23) với t ≥ T (B), u0 ∈ B, ρ1 = 2R1 ρ1 độc lập với u0 Mệnh đề 2.3.3 Nửa nhóm S(t)t ≥ có tập (L2 (Ω), H01 (Ω) ∩ L p (Ω))- hấp thụ bị chặn B0 , tức tồn số dương ρ, thỏa mãn với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn số dương T thỏa mãn kuk2H (Ω) + kukLp p (Ω) ≤ ρ với t ≥ T u0 ∈ B, u nghiệm yếu toán (2.1) với giá trị ban đầu u0 Chứng minh Quay lại (2.16) tích phân hai vế từ t đến t + sử dụng (2.19) ta t+1h Z Z i ρ α β p (2.24) mkukH (Ω) + u + |u| − g(x)udx ≤ p t Ω với t ≥ t0 (ku0 kL2 (Ω) ) Mặt khác Nhân vô hướng (2.1) với ut , ta Z i d h1 β α p 2 kut kL2 (Ω) + a(l(u))kukH (Ω) + kukL2 (Ω) + kukL p (Ω) − gudx dt 2 p Ω = kuk2H (Ω) a0 (l(u)) Z l(u)ut dx Ω Đặt L = sup |a0 (s)| 0≤s≤ρ1 Sử dụng (2.4), (2.19), (2.22) bất đẳng thức Holder Z i d h1 α β p 2 kut kL2 (Ω) + a(l(u))kukH (Ω) + kukL2 (Ω) + kukL p (Ω) − gudx dt 2 p Ω L ≤ kuk2H (Ω) klkL2 (Ω) kuk2L2 (Ω) ≤ LR21 (2.25) Từ (2.23), (2.25), Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có kuk2H (Ω) + kukLp p (Ω) ≤ ρ với t ≥ t0 (ku0 kL2 (Ω) ) + Từ ta suy nửa nhóm S(t)t ≥ có tập (L2 (Ω), H01 (Ω) ∩ L p (Ω)) - hấp thụ bị chặn B0 25 Mệnh đề 2.3.4 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 liên tục chuẩn yếu S(B0 ), B0 tập (L2 (Ω), H01 (Ω) ∩ L p (Ω))-hấp thụ bị chặn Mệnh đề 2.3.3 Chứng minh Chọn Y = L2 (Ω), X = H01 (Ω) ∩ L p (Ω), kết mệnh đề Mệnh đề 1.2.11 Tập B0 nhận Mệnh đề 2.3.3 tập (L2 (Ω), L2 (Ω)) (L2 (Ω), L p (Ω))-hấp thụ bị chặn nửa nhóm S(t) Chúng ta sử dụng Mệnh đề 2.3.3 để chứng minh tồn tập hút toàn cục Định lý 2.3.5 ((L2 (Ω), L2 (Ω))-tập hút toàn cục) Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) (H3 ) thỏa mãn Thì nửa nhóm S(t) sinh từ tốn (2.1) có (L2 (Ω), L2 (Ω))tập hút tồn cục Chứng minh Nhờ vào Mệnh đề 2.3.3 Mệnh đề 2.3.4, nên điều kiện (i) (iii) Định lý 1.2.12 thỏa mãn Điều kiện (ii) thỏa mãn phép nhúng compact H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) Vậy định lý chứng minh Để chứng minh tồn tập hút toàn cục cặp không gian tiếp theo, ta cần sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.3.6 [1, 8] Giả sử {S(t)}t≥0 nửa nhóm L2 (Ω) có (L2 (Ω), L2 (Ω))tập hút tồn cục Thì {S(t)}t≥0 có (L2 (Ω), L p (Ω))- tập hút tồn cục điều kiện sau thỏa mãn: i) {S(t)}t≥0 có (L2 (Ω), L p (Ω))- tập hấp thụ bị chặn; ii) với ε > với tập bị chặn B L2 (Ω) tồn số dương M = M(ε) T = T (ε, B) thỏa mãn Z |S(t)u0 | p < ε, Ω(|S(t)u0 |≥M) với u0 ∈ B t ≥ T Định lý 2.3.7 ((L2 (Ω), L p (Ω))-tập hút toàn cục) Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) (H3 ) thỏa mãn Thì nửa nhóm S(t) sinh từ tốn (2.1) có (L2 (Ω), L p (Ω))-tập hút tồn cục A p Chứng minh Chúng ta thấy Mệnh đề 2.3.3 đảm bảo nửa nhóm {S(t)}t≥0 có (L2 (Ω), L p (Ω))-tập hút thụ bị chặn B0 Mệnh đề 2.3.4 đảm bảo nửa nhóm {S(t)}t≥0 liên tục chuẩn yếu S(B0 ) Từ Bổ đề 2.3.6, ta cần chứng 26 minh với ε > tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω), tồn hai số dương T = T (ε, B) M = M(ε) cho Z |u| p < Cε, Ω(|u|≥M) với u0 ∈ B t ≥ T , số C khơng phụ thuộc vào ε B Hiển nhiên, với ε > 0, tồn δ > cho với Ω0 ⊂ Ω với độ đo Lebesgue |Ω0 | ≤ δ , ta có Z |g(x)|2 < ε (2.26) Ω0 p−1 Ta nhân phương trình đầu (2.1) với (u − M)+ ta có p−1 p−1 p−1 p−1 ut (u−M)+ −a(l(u))∆u(u−M)+ +(αu+β |u| p−2 u)(u−M)+ = g(u−M)+ (2.27) (u − M)+ ký hiệu phần dương (u − M), có nghĩa  u − M, u ≥ M, (u − M)+ = 0, u < M, với M số dương đủ lớn Mặt khác, từ (2.5), ta có β |u| p−2 u ≥ c1 kuk p−1 , Do u ≥ M, c1 > p−1 p−1 (β |u| p−2 u)(u − M)+ ≥ c1 kuk p−1 (u − M)+ c1 c1 p−1 p−1 = kuk p−1 (u − M)+ + kuk p−1 (u − M)+ 2 c1 c1 p−2 p−1 p p−1 ≥ kuk (u − M)+ + M (u − M)+ , 2 (2.28) c1 (u − M)2p−2 + kgk2 + 2c1 c1 p−1 ≤ kuk p−1 (u − M)+ + kgk2 2c1 Từ (2.27), (2.28) (2.29), ta có p−1 g(x)(u − M)+ ≤ 2d p dt Z p (u − M)+ dx + 2(p − 1)a(l(u)) Ω(u≥M) Z + Ω(u≥M) Z (2.29) p−2 |∇(u − M)+ |2 (u − M)+ dx Ω(u≥M) p α(u − M)+ + c1 M p−2 Z Ω(u≥M) p (u − M)+ dx ≤ c1 Z Ω(u≥M) kgk2 dx 27 Do d k(u − M)+ kLp p (Ω(u≥M)) + (CM p−2 + α)k(u − M)+ kLp p (Ω(u≥M)) ≤ Ckgk2L2 (Ω(u≥M)) dt Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có với M ≥ M1 T ≥ T1 , Z |(u − M)+ | p dx ≤ ε (2.30) Ω(u≥M) Thực quy trình (u + M)− thay cho (u − M)+ ,  u + M, u ≤ −M, (u + M)− = 0, u > −M Chúng ta rút tồn M2 > T2 > thỏa mãn với M ≥ M2 T ≥ T2 Z k(u + M)− k p dx ≤ ε (2.31) Ω(u≤−M) Chọn M0 = max{M1 , M2 } T = max{T1 , T2 }, ta có Z |(|u| − M)| p dx ≤ ε, Ω(kuk≥M) với t ≥ T , M ≥ M0 Sử dụng (2.30) (2.31), ta có Z p kuk dx = Ω(kuk≥2M) ≤2 p  p  Z (kuk − M + M) p dx Ω(kuk≥2M) Z p (kuk − M) dx + Ω(kuk≥2M) ≤2 Z Z M p dx  Ω(kuk≥2M) p (kuk − M) dx + Ω(kuk≥2M) Z p  (kuk − M) dx ≤ p+1 ε Ω(kuk≥2M) Vậy định lý chứng minh Ta chứng minh tồn tập hút tồn cục khơng gian hàm bé Để chứng minh điều đó, trước hết ta cần đánh giá cho ut theo chuẩn L2 (Ω) Bổ đề 2.3.8 Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) thỏa mãn Khi đó, với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn số dương T = T (B) thỏa mãn kut (s)k2L2 (Ω) ≤ ρ1 , ∀u0 ∈ B, s ≥ T, ut (s) = d (S(t)u0 )|t=s ρ1 số dương độc lập B dt 28 Chứng minh Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế phương trình (2.1), ta có utt − (a(l(u))∆u)t + (αu + β |u p−2 |u)t = Nhân vô hướng với ut , ta 1d kut k2L2 (Ω) + a(l(u))kut k2H (Ω) + αk|u|k2L2 (Ω) + β k|u|kLp p (Ω) dt Z Z = − a0 (l(u)) l(x)ut dx Ω ∇u.∇ut dx Ω Sử dụng điều kiện (2.5) bất đẳng thức Holder 1d kut k2L2 (Ω) + a(l(u))kut k2H (Ω) + αkut k2L2 (Ω) dt ≤ka (l(u))kklkL2 (Ω) kut kL2 (Ω) kukH (Ω) kut kH (Ω) (2.32) ≤LklkL2 (Ω) kukH (Ω) kut kL2 (Ω) kut kH (Ω) 0 Sử dụng (2.3), Mệnh đề 2.3.1 bất đẳng thức Cauchy, ta có 1d kut k2L2 (Ω) + a(l(u))kut k2H (Ω) + αkut k2L2 (Ω) dt 2 L ρklkL2 (Ω) ≤ kut k2L2 (Ω) + a(l(u))kut k2H (Ω) 2m Do L2 ρklk2L2 (Ω) d kut kL2 (Ω) ≤ (−2α + )kut k2L2 (Ω) dt m (2.33) Mặt khác, lấy tích vơ hướng (2.1) với ut , ta có kut k2L2 (Ω) + d d α β a(l(u)) kuk2H (Ω) + ( kuk2 + kuk p ) = dt dt p Z g(x)ut dx Ω 1 ≤ kgk2L2 (Ω) + kut k2L2 (Ω) 2 Do kut k2L2 (Ω) + a(l(u)) d d α β kuk2H (Ω) + ( kuk2 + kuk p ) ≤ kgk2L2 (Ω) (2.34) dt dt p Lấy tích phân (2.34) từ t đến t + sử dụng (2.19) Mệnh đề 2.3.3, ta có t+1 Z kut (s)k2L2 (Ω) ds ≤ C t (2.35) 29 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta kut (s)k2L2 (Ω) ≤ ρ2 với t đủ lớn, mệnh đề chứng minh Đặt Zt γ(t) = a(l(u(s)))ds Ta thấy γ đơn ánh từ (0, +∞) vào Hơn γ γ −1 hàm Lipschitz liên tục Đặt w(x, γ(t)) = u(x,t) (2.36) Suy w(x,t) = u(x, γ −1 (t)) ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ L p (0, T ; L p (Ω)) Khi toán (2.1) tương đương với toán   αw + β |w| p−2 w g(x) ∂w   − ∆w + = ,   ∂t a(l(w)) a(l(w))     (x,t) ∈ Ω × (0, γ −1 (T )), α > 0, β > 0, p ≥    w(x,t) = 0, x ∈ ∂ Ω,t > 0,       w(x, 0) = w0 (x), x ∈ Ω, (2.37) Định lý 2.3.9 Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) thỏa mãn Khi đó, nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh từ tốn (2.1) có (L2 (Ω), H01 (Ω) ∩ L p (Ω))-tập hút toàn cục A Chứng minh Từ Định lý 1.2.12, Mệnh đề 2.3.3 Mệnh đề 2.3.4, cần nửa nhóm {S(t)}t≥0 (L2 (Ω), H01 (Ω) ∩ L p (Ω)) - compact tiệm cận Điều có nghĩa với tập bị chặn B L2 (Ω), cần chứng minh với dãy {u0n } ⊂ B tn → +∞, dãy {un (t)}∞ n=1 tiền compact H01 (Ω) ∩ L p (Ω), un (t) = S (tn ) u0n Từ Định lý 2.3.7, ta cần chứng minh {un (t)}∞ n=1 tiền compact H0 (Ω) 30 Để có điều này, chứng minh dãy {un (tn )} dãy Cauchy H01 (Ω) Nhờ vào Định lý 2.3.5 Định lý 2.3.7, giả sử {un (tn )} dãy Cauchy L2 (Ω) L p (Ω) Từ (2.36) (2.37), ta rut việc chứng minh {un (tn )} dãy Cauchy tương đương với việc chứng minh {wn (tn )} dãy Cauchy Thật vậy, ∆ tốn tử đơn điệu chặt, ta có δ kwn (tn ) − wm (tm )k2H (Ω) ≤ h∆wn (tn ) − ∆wm (tm ), wn (tn ) − wm (tm )i d αwn (tn ) + β kwn (tn )k p−2 wn (tn ) g(x) d wn (tn ) − + + wm (tm ) dt a(l(wn (tn ))) a(l(wn (tn ))) dt p−2 αwm (tm ) + β kwm (tm )k wm (tm ) g(x) + − , wn (tn ) − wm (tm )i a(l(wm (tm ))) a(l(wm (tm ))) Z d d ≤ | wn (tn ) − wm (tm )||wn (tn ) − wm (tm )|dx dt dt = h− Ω Z + αwn (tn ) + β kwn (tn )k p−2 wn (tn ) αwm (tm ) + β |wm (tm )| p−2 wm (tm ) k − k a(l(wn (tn ))) a(l(wm (tm ))) Ω kwn (tn ) − wm (tm )kdx Z + k g(x) g(x) − kkwn (tn ) − wm (tm )kdx a(l(wn (tn ))) a(l(wm (tm ))) Ω Sử dụng (2.3) (β k(wn (t)k p−2 (wn (t))) bị chặn L p (Ω) d d δ kwn (tn ) − wm (tm )k2H (Ω) ≤ k wn (tn ) − wm (tm )kL2 (Ω) kwn (tn ) − wm (tm )kL2 (Ω) dt dt β k(wn (tn )k p−2 wn (tn ) β kwm (tm )k) p−2 wm (tm ) − kL p0 (Ω) kwn (tn ) − wm (tm )kL p (Ω) +k a(l(wn (tn ))) a(l(wm (tm ))) α(wn (tn )) α(wm (tm )) k − k kwn (tn ) − wm (tm )kL2 (Ω) a(l(wn (tn ))) a(l(wm (tm ))) L (Ω) M−m + kgkL2 (Ω) kwn (tn ) − wm (tm )kL2 (Ω) Mm Từ Bổ đề 2.3.8 dãy {wn (tn )} dãy Cauchy H01 (Ω), dãy {un (tn )} dãy Cauchy H01 (Ω) Định lí chứng minh 2.4 Sự tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng Nghiệm dừng (yếu) toán (2.1) phần tử u∗ ∈ H01 (Ω) ∩ L p (Ω) thỏa mãn ∗ Z a(l(u )) ∗ Z ∇u ∇vdx + Ω Ω ∗ ∗ p−2 ∗ (αu + β |u | Z u )vdx = gvdx Ω (2.38) 31 với hàm thử v ∈ H01 (Ω) ∩ L p (Ω) Định lý 2.4.1 Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) thỏa mãn Khi đó, tốn (2.1) có nghiệm dừng (yếu) u∗ thỏa mãn α )ku∗ k2H (Ω) + 2β ku∗ kLp p (Ω) ≤ kgk2L2 (Ω) λ1 mλ1 + α (m + (2.39) Hơn nữa, điều kiện sau thỏa mãn s  1  LklkL2 (Ω) λ1  2λ1 m − √ kgk2L2 (Ω) + 2α > 0, mλ1 + α mλ1 + α λ1 (2.40) λ1 giá trị riêng toán tử −∆, m α số (2.3) (2.5), nghiệm dừng (2.1) ổn định mũ Chứng minh i) Sự tồn : Giả sử {v j }∞j=1 sở Hilbert H01 (Ω)∩L p (Ω) Với m ≥ 1, ký hiệu Vm = span{v1 , v2 , · · · , vm } Ta tìm nghiệm xấp xỉ um = m ∑ γmi vi thỏa mãn i=1 m Z a(l(u )) Z m ∇u ∇vdx + Ω m Z m p−2 m (αu + β |u | u )vdx = Ω gvdx (2.41) Ω với v ∈ Vm Ta định nghĩa toán tử Rm : Vm → Vm sau hRm u, vi = a(l(u)) Z Z ∇u.∇vdx + Ω (αu + β |u| p−2 u)vdx − Ω Z gvdx Ω với u, v ∈ Vm Sử dụng (2.3) bất đẳng thức Cauchy, ta có hRm u, ui = a(l(u))kuk2H (Ω) + Z (αu + β |u| p−2 u)udx − Ω Z gudx Ω ≥ mkuk2H (Ω) + β kukLp p (Ω) + αkuk2L2 (Ω) − mλ1 + α kuk2L2 (Ω) kgk2L2 (Ω) − 2(mλ1 + α) m + λα 1 kuk2H (Ω) − kgk2L2 (Ω) ≥ 2(mλ1 + α) r α 1 + ( 2mλ kgk2L2 (Ω) ) Vậy hRm u, ui ≥ với u ∈ Vm thỏa mãn m λ1 kukH (Ω) = γ1 Theo hệ định lý điểm bất động Brouwer, với m ≥ 1, tồn um ∈ Vm cho Rm (um ) = với kukH (Ω) ≤ γ1 Chọn v = um , thay vào Đặt γ1 = 32 (2.41), sử dụng (2.3) bất đẳng thức Cauchy, ta có mλ1 + α mkum k2H (Ω) + β kum kLp p (Ω) + αkum k2L2 (Ω) ≤ kuk2L2 (Ω) + kgk2L2 (Ω) 2(mλ1 + α) Do kum k2H (Ω) + kum kLp p (Ω) ≤ kgk2L2 (Ω) Suy dãy bị chặn H01 (Ω) ∩ L p (Ω) H01 (Ω) nhúng compact vào L2 (Ω) nên ta trích dãy con, ta ký hiệu um hội tụ yếu H01 (Ω) ∩ L p (Ω) hội tụ mạnh L2 (Ω) tới phần tử u∗ ∈ H01 (Ω) ∩ L p (Ω) Qua giới hạn (2.41), ta nhận u∗ nghiệm dừng (yếu) (2.1) Ước lượng (2.39) nhận um Z ∗ a(l(u )) ∗ ∗ Z ∇u ∇u dx + Ω ∗ ∗ p−2 ∗ (αu + β |u | ∗ Z u )u dx = Ω gu∗ dx (2.42) Ω Sử dụng (2.3)và bất đẳng thức Cauchy, ta có mλ1 + α ∗ ku kL2 (Ω) + kgk2L2 (Ω) mku∗ k2H (Ω) + αku∗ k2L2 (Ω) + β ku∗ kLp p (Ω) ≤ 2(mλ1 + α) Do ku∗ k2H (Ω) ≥ λ1 ku∗ k2L2 (Ω) , nên α )ku∗ k2H (Ω) + 2β ku∗ kLp p (Ω) ≤ kgk2L2 (Ω) λ1 mλ1 + α ii) Tính ổn định mũ : Ký hiệu w(t) = u(t) − u∗ , ta có (m + Z Z Z ∇w.∇vdx + wt vdx + a(l(u)) Ω Ω Z + (β |u| p−2 (α(u) − α(u∗ ))vdx Ω  Z ∗ u )vdx = a(l(u)) − a(l(u )) ∇u∗ ∇vdx ∗ p−2 ∗ u − β |u | Ω Ω Lấy v = w, sử dụng giả thiết từ (2.2) đến (2.4) bất đẳng thức Holder, ta có 1d kwk2L2 (Ω) + mkwk2H (Ω) + αkwk2L2 (Ω) + β kwkLp p (Ω) dt ≤ LklkL2 (Ω) kwkL2 (Ω) kwkH (Ω) ku∗ kH (Ω) L ≤ √ klkL2 (Ω) ku∗ kH (Ω) kwk2H (Ω) 0 λ1 Từ (2.39), ta suy v u ∗ ku kH (Ω) ≤ u t m+  α λ1 1 kgk2L2 (Ω) mλ1 + α 33 Do 1d kwk2L2 (Ω) + mkwk2H (Ω) + αkwk2L2 (Ω) dt v 1 LklkL2 (Ω) u  u ≤ √ kgkL2 (Ω) kwk2H (Ω) t α mλ1 + α λ1 m+ λ1 Suy d kwk2L2 (Ω) +Ckwk2L2 (Ω) ≤ 0, dt v   1  LklkL2 (Ω) u 1 u C = 2λ1 m − √ kgk2L2 (Ω) + 2α t α mλ1 + α λ1 m+ λ1 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta kw(t)k2L2 (Ω) ≤ kw(0)k2L2 (Ω) e−Ct Điều kiện (2.40) kéo theo tính tính ổn định mũ nghiệm dừng