BË GI�O DÖC V� ��O T�O UBND T�NH THANH HÂA TR×ÍNG ��I HÅC HÇNG �ÙC NGUY�N THÀ LOAN D�NG �I�U TI�M C�N NGHI�M CÕA PH×ÌNG TR�NH 2D STOCHASTIC VISCOUS LAKE LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC THANH HÂA, 2017 BË GI[.]
BË GIO DÖC V O TO UBND TNH THANH HÂA TRìNG I HC HầNG C NGUYN TH LOAN DNG IU TIM CN NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH 2D STOCHASTIC VISCOUS LAKE LUN VN THC S TON HÅC THANH HÂA, 2017 BË GIO DƯC V O TO UBND TNH THANH HÂA TR×ÍNG I HÅC HÇNG ÙC NGUYN THÀ LOAN LUN VN THC S TON HC ToĂn giÊi tẵch M số: 60.46.01.02 Chuyản ngnh: Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS ẫ VN LẹI Thanh Hâa, 2017 theo Quy¸t ành sè ng y th¡ng n«m cừa Hiằu trững Trữớng Ôi hồc Hỗng ực: Danh sĂch hởi ỗng chĐm thi luên vôn thÔc sắ Hồc h m, håc Chùc danh Hå v t¶n Cì quan cỉng tĂc v hởi ỗng Chừ tch PhÊn biằn PhÊn biằn ếy viản Thữ kỵ XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn Hồc viản  chnh sỷa theo ỵ kián cừa hởi ỗng Ngy thĂng nôm 2017 TS ộ V«n Lđi ii LÍI CAM OAN Tỉi xin cam oan luên vôn ny khổng trũng lp vợi cĂc khõa luên, luên vôn, luên Ăn v cĂc cổng trẳnh nghiản cựu  cổng bố Ngữới cam oan Nguyạn Th Loan iii LI CM èN hon thnh luên vôn ny, trữợc nhĐt tĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v kẵnh trồng sƠu sưc tợi TS ộ Vôn Lủi, Trữớng Ôi hồc Hỗng ực, ngữới thƯy  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hon thnh bÊn luên vôn ny TĂc giÊ cơng xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, pháng sau Ôi hồc, khoa KHTN-Trữớng Ôi hồc Hỗng ực  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp tÔi trữớng Qua Ơy tĂc giÊ cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh cĂc thƯy cổ, c biằt l ThÔc sắ Nguyạn Tián , Bở mổn giÊi tẵch-Khoa Khoa hồc Tỹ Nhiản Trữớng Ôi hồc Hỗng ực  ồc, Ănh giĂ v cho nhỳng ỵ kián quỵ bĂu luên vôn ữủc phong phú v ho n thi»n hìn T¡c gi£ cơng xin gûi líi cÊm ỡn tợi gia ẳnh, cĂc bÔn ỗng nghiằp, nhỳng ngữới  ởng viản v tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ hon thnh khõa hồc cừa mẳnh Tuy  cõ nhiÃu cố gưng thới gian v khÊ nông nghiản cựu cỏn hÔn chá nản bÊn luên vôn cõ th cỏn nhỳng thiáu sõt khõ trĂnh khọi TĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ v cĂc bÔn ỗng nghiằp bÊn luên vôn ny ữủc hon thiằn hỡn Luên vôn ữủc thỹc hiằn v hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Hỗng ực, tnh Thanh Hõa dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS ộ Vôn Lủi Thanh Hõa, thĂng nôm 2017 Hồc viản Nguyạn Th Loan iv Mửc lửc Kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 1.4 QuĂ trẳnh ngău nhiản v mởt số khĂi niằm liản quan 1.1.1 nh nghắa v kỵ hiằu 1.1.2 Qu Ôo v khổng gian cĂc qu Ôo 1.1.3 QuĂ trẳnh o ữủc 1.1.4 Tẵnh liản tửc ngău nhiản 1.1.5 T½nh b chn ngău nhiản Mët số lợp quĂ trẳnh ngău nhiản thữớng gp 1.2.1 Qu¡ tr¼nh gia số ởc lêp 1.2.2 QuĂ trẳnh dứng (theo nghắa hµp) 1.2.3 QuĂ trẳnh dứng theo nghắa rởng Qu¡ tr¼nh Wiener 1.3.1 nh nghắa v tẵnh ch§t 1.3.2 CĂc tẵnh chĐt qu Ôo cừa quĂ trẳnh Wiener Thíi iºm Markov v thíi iºm døng 1.4.1 nh nghắa v vẵ dử 1.4.2 Mởt số tẵnh chĐt cừa thới iºm døng 1.4.3 Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n 10 10 1.5 Mët sè khæng gian h m quan trång 11 1.6 Tẵch phƠn ngău nhiản 12 1.6.1 CĂc bián ngău nhiản khổng gian Hilbert 12 1.6.2 GiÊi tẵch ngău nhiản khổng gian Hilbert 12 1.6.3 Cổng thực tẵch phƠn Itổ khổng gian Hilbert 14 Thiát lêp phữỡng trẳnh 2D stochastic viscous lake 16 1.7 1.7.1 Mỉ t£ b i to¡n cì håc ch§t läng v thiát lêp phữỡng trẳnh toĂn hồc tữỡng ựng 1.7.2 16 Mët số bờ à v nh nghắa liản quan 19 v Sỹ tỗn tÔi v tẵnh nhĐt nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh kiu viscous lake hai chiÃu ngău nhiản 23 2.1 Sỹ tỗn tÔi v tẵnh nhĐt cừa nghiằm yáu 2.2 Sỹ tỗn tÔi cừa nghiằm dứng cừa phữỡng trẳnh viscous lake tĐt nh hai chi·u B i to¡n ên ành v ên ành hâa nghi»m døng 3.1 3.2 Sü ên ành mô cõa nghi»m døng 23 42 47 47 B i to¡n ên ành v ên ành hâa cho nghiằm dứng cừa phữỡng trẳnh viscous lake bi quĂ trẳnh Wiener vổ hÔn chiÃu 55 MÐ U Làch sû vĐn à v lẵ chồn à ti Phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ngău nhiản l mởt lắnh vỹc toĂn hồc tữỡng ối quan trồng, nõ ữủc biát nhữ l sỹ m rởng cừa phữỡng trẳnh Ôo hm riảng trữớng hủp tĐt nh, õ ngoi viảc chu sỹ tĂc ởng cừa ngoÔi lỹc thẳ phữỡng trẳnh cỏn xuĐt hiằn số hÔng ngău nhiản bao gỗm mởt quĂ trẳnh ngău nhiản v uổi ngău nhiản, chng hÔn uổi Itổ nhƠn tẵnh Nõi án lỵ thuyát cừa hằ ởng lỹc vổ hÔn chiÃu, ta khổng th khổng à cêp án phữỡng trẳnh Ôo hm riảng, m õ phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ngău nhiản l mởt thnh phƯn quan trồng Lỵ thuyát ny  v ang ữủc rĐt nhiÃu cĂc nh toĂn hồc nời tiáng trản thá giợi quan tƠm v nghiản cựu cÊ và lỵ thuyát v ùng dưng Mët nhúng v§n · thíi sü câ liản quan l nghiản cựu tẵnh tỗn tÔi nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ngău nhiản Hữợng tiáp cên khĂc l nghiản cựu và sỹ tỗn tÔi têp hút ngău nhiản, mởt khĂi niằm m rởng cừa têp hút ton cửc ối vợi phữỡng trẳnh tĐt nh Bản cÔnh õ, viằc nghiản cựu tẵnh ờn nh cừa nghiằm dứng, nghắa l tẳm iÃu kiằn nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh ngău nhiản dƯn và nghiằm dứng cừa phữỡng trẳnh tĐt nh tham số thới gian ừ lợn cụng ang ữủc nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc rĐt quan tƠm ỗng thới, hữợng nghiản cựu ny cụng  thu ữủc nhiÃu nhiÃu kát quÊ rĐt quan trồng, t nÃn mõng cho sỹ phĂt trin lỵ thuyát hằ ởng lỹc vổ hÔn chiÃu Trong thỹc tá cõ rĐt nhiÃu mổ hẳnh vêt lỵ, c biằt l cỡ hồc chĐt lọng, nhiÃu bi toĂn ữủc mổ phọng dữợi dÔng cĂc phữỡng trẳnh toĂn hồc thuƯn túy Tứ viằc nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt thay ời theo thới gian cừa vc tỡ vên tốc cừa chĐt lọng ữủc chuyn thnh nghiản cựu tẵnh ờn nh nghiằm dứng cho mởt phữỡng trẳnh toĂn hồc thuƯn túy m cĂc yáu tố ngoÔi lỹc l mởt quĂ trẳnh diạn ngău nhiản Vợi nhỳng lỵ  nảu trản m chúng tổi quyát nh chồn à ti: DĂng iằu tiằm cên nghiằm cừa phữỡng trẳnh 2D stochastic viscous lake lm nởi dung nghiản cựu cho luên vôn cừa m¼nh Mỉ h¼nh 2D stochastic viscous lake câ cĐu trúc tữỡng ỗng vợi hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes hai chiÃu khổng nn Nhỳng nghiản cựu và têp hút ton cửc liản kát vợi cĂc phữỡng trẳnh Navier-Stokes  thúc ây mởt cĂch Ăng k lỵ thuyát cừa hằ ởng lỹc vổ hÔn chiÃu Mổ hẳnh Ưu tiản ữủc xem xt l hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes hai chiÃu khổng nn ữủc trản mởt miÃn b chn vợi iÃu kiằn biản Dirichlet Nhớ bĐt ng thực kiu Sobolev-Lieb-Thirring, ngữới ta cõ th ch rơng số chiÃu cừa têp hút ton cưc bà ch°n bði mët h¬ng sè khỉng êi G, gåi l Grashof number, C¡c b§t ¯ng thùc n y âng mởt vai trỏ quan trồng viằc ữợc lữủng cĂc vát cừa mởt số toĂn tỷ tuyán tẵnh phĂt sinh viằc nghiản cựu cĂc hằ ởng lỹc vổ hÔn chiÃu v  ữa ữủc nhỳng Ănh giĂ tốt trản số chiÃu cừa têp hút theo dÔng dỳ liằu vêt lỵ CĂc phữỡng trẳnh 2D stochastic viscous lake ữủc nghiản cựu Ưu tien bi D Levermore v M Sammartino Trong cĂc nghiản cựu ny, cĂc tĂc giÊ Â chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi cừa têp hút ton cửc v tẵnh nhĐt cừa cừa nghiằm mÔnh cho phữỡng trẳnh 2D stochastic viscous lake Ró rng, náu b l hơng số, thẳ 2D stochastic viscous lake tr thnh phữỡng trẳnh Navier-Stokes cờ in khổng nn ữủc ối tữủng nghiản cựu Phữỡng trẳnh Stochastic 2D viscous lake Mửc ẵch nghiản cựu Luên vôn nghiản cựu tẵnh ờn nh v b i to¡n ên ành hâa nghi»m døng cõa ph÷ìng trẳnh Stochastic 2D viscous lake PhÔm vi nghiản cựu Phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ngău nhiản vợi uổi nhƠn tẵnh Phữỡng phĂp nghiản cựu hon thnh luên vôn chúng tổi kát hủp hai phữỡng phĂp nh tẵnh v nh lữủng ị nghắa cừa luên vôn CĂc kát quÊ cừa luên vôn ữa cĂch tiáp cên mỵi èi vỵi b i to¡n ên ành hâa nghi»m døng cho mởt số phữỡng trẳnh vi phƠn Ôo hm riảng ngău nhiản cỡ hồc chĐt lọng Tờng quan v cĐu trúc cừa luên vôn Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, nởi dung luên vôn gỗm chữỡng: Chữỡng : CĂc kián thực chuân b Trong chữỡng ny, chúng tổi nhưc lÔi cĂc khĂi niằm cỡ bÊn và lỵ thuyát xĂc suĐt v quĂ trẳnh ngău nhiản cõ liản quan án luên vôn ỗng thới, lỵ thuyát và tẵch phƠn ngău nhiản vợi uổi Itổ cụng ữủc trẳnh by chữỡng ny Ngoi ra, viằc mổ tÊ mổ hẳnh nữợc nổng lm cỡ s cho viằc thiát lêp mổ hẳnh bi toĂn cụng ữủc à cêp Chữỡng : Sỹ tỗn tÔi v tẵnh nhĐt nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh kiu viscous lake hai chiÃu ngău nhiản Trong chữỡng ny tẵnh nhĐt nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh kiu viscous lake hai chiÃu ngău nhiản ữủc trẳnh by chi tiát, ỗng thới sỹ tỗn tÔi v tẵnh nhĐt cừa nghiằm dứng cừa phữỡng trẳnh viscous lake tĐt dnh cụng ữủc à cêp Chữỡng : Bi toĂn ờn nh v ên ành hâa nghi»m døng Ch÷ìng n y ÷a mët số nh lỵ mổ tÊ cĂc iÃu kiằn xung quanh cĂc hằ số cừa phữỡng trẳnh nhơm thiát lêp bi to¡n ên ành v ÷a i·u ki»n ên ành hâa nghi»m døng 34 vỵi måi t ∈ [0, T ] õ lĐy tờng theo A v vợi hƯu khp k tø ¸n n, ω ∈ Ω p dửng cổng thực Itổ rỗi sau ỗng thới sỷ dửng tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ cho ta |u(t) un (t)|2 + Zt hA˜ un (s) − Aun , u˜n (s) − un (s)ids Zt =2 hB(s) − B(un (s), un (s)), u˜n (s) − un (s)ids Zt +2 + t Z X n vỵi måi t ∈ [0, T ] (H(s) − h(un (s)), u˜n (s) − un (s))dW (s) (H(s) − h(un (s))ej , vk )ds k=1 v vợi hƯu khưp tiằn cho viằc trẳnh by, kỵ hi»u 4k ρ(t) = exp − ku(s)k2 − 2L2h t α vỵi måi t ∈ [0, T ] cho hm v vợi hƯu khưp (t)| un (t) − un (t)|2 , ρ(t)|˜ un (t) − un (t)|2 + 2α Zt ω ∈ Ω Nhí cỉng thùc tẵch phƠn Itổ ta cõ biu diạn (A( un (s) − un (s)), u˜n (s) − un (s))ds ≤2 Zt ρ(s)(B(˜ un (s), u˜n (s)) − B(s), u˜n (s) − un (s))ds Zt +2k ρ(s)ku(s)kk˜ un (s) − un (s)k|˜ un (s) − un (s)|ds Zt +2 ρ(s) (H(s) − h(s, un (s)), u˜n (s) − un (s)) dW (s) + Im , (2.23) 35 â: Im = m Z X t ρ(s)(H(s)ej − h(s, um (s))ej , vj )2 ds j=1 −2L2h Zt 4k 2 ρ(s)|˜ um (s) − um (s)| − α Zt ρ(s)ku(s)k2 |˜ um (s) − um (s)|2 0 (2.24) Suy ρ(t)|˜ un (t) − un (t)|2 + 2α Zt (A(˜ un (s) − un (s)), u˜n (s) − un (s))ds ≤2 Zt ρ(s)(B(˜ un (s), u˜n (s)) − B(s), u˜n (s) − un (s))ds Zt +2k ρ(s)ku(s)kk˜ un (s) − un (s)k|˜ un (s) − un (s)|ds Zt +2 ρ(s) (H(s) − h(s, un (s)), u˜n (s) − un (s)) dW (s) +kH(s)h(s, un (s))k2L2 (K;H) t Zt Z 4k −L2h ρ(s)˜ um (s) − um (s)|2 − ρ(s)ku(s)k2 |˜ um (s) − um (s)|2 α 0 (2.25) Vỵi vi»c sû dưng quan h» (u − v, u − v) = (w − v, w − v) + 2(u − v, u − w) − (w u, w u), 36 ta dng thĐy r¬ng kH(s) − h(s, un (s))k2L2 (K ;H) = kh(s, u(s)) − h(s, un (s))k2L2 (K ;H) ˜ u(s)))L2 (K ;H) + 2(H(s) − h(s, un (s)), H(s) − h(s, − kh(s, u(s)) − H(s)k2L2 (K ;H) ≤ 2L2h˜ |u(s) − u˜n (s)|2 + |˜ un (s) − un (s)|2 ˜ un (s)), H(s) − h(s, ˜ u(s)))L2 (K ;H) + 2(H(s) − h(s, − kh(s, u(s)) − H(s)k2L2 (K ;H) (2.26) M°t kh¡c, 2kku(s)kk˜ un (s)−un (s)k|˜ un (s) − un (s)| 4k ≤ αk˜ un (s) − un (s)k + ku(s)k2 |˜ un (s) − un (s)|2 α (2.27) BƠy giớ kát hủp (2.25), (2.26) and (2.27), ta d nh ÷đc Eρ(τm )|˜ un (τm ) − un (τm )|2 + αE Zτm ρ(s)k˜ un (s) − un (s)kds Zτm +E ≤ 2E Zτm ρ(s)kh(s, u(s)) − H(s)k2L2 (K ;H) ρ(s) (B(˜ un (s), u˜n (s)) − B(s), u˜n (s) − un (s)) ds +2L2h E ZT ρ(s)|u(s) − u˜n (s)|2 ds Zτm +2E ρ(s)((H(s) − h(s, un (s)), H(s) − h(s, u(s))))L2 (K ;H) ds, (2.28) â M l số thỹc dữỡng tũy ỵ cho trữợc Sỷ dửng tẵnh ch§t cõa thíi iºm døng τm v sü ki»n (˜ u)n B; l têng ri¶ng cõa khai triºn Fourier 37 cõa u ∈ L2V (Ω × [0, T ] (xem (2.20) v (2.22)), ta câ Zτm E ρ(s)kB(u(s), u(s)) − B(˜ un (s), u˜n (s))k2∗ Zτm un (s)|k˜ un (s)k) |u(s) − u˜n (s)| ≤ E ρ(s) (|u(s)|ku(s)k + |˜ × ku(s) − u˜n (s)kds Zτm ≤ E ρ(s) (ku(s)k + k˜ un (s)k) |u(s)|2 ku(s) − u˜n (s)k ≤ √ Zτm 2m E 12 ku(s)k2 + k˜ un (s)k2 ds E Zτm 21 ku(s) − u˜n (s)k2 ds Do â, Zτm lim E ρ(s)kB(u(s), u(s)) − B(˜ un (s), u˜n (s))k2∗ = (2.29) n→∞ Vỵi chi gian â (n0 ) cõa L2V (Ω × [0, T ]) I[0,m ] (n) ta  chựng minh ữủc Tuy nhi¶n lim E n0 →∞ Zτm lim E n0 →∞ khæng I[0,τm ] B(u, u), B ∈ L2V ( ì [0, T ]), l kẵ hiằu h m °c tr÷ng cõa Zτm un0 * u [0, τm ] Do vªy, ρ(s)hB(s) − B(˜ un0 (s), u˜n0 (s)), u˜n0 (s) − un0 (s)ids = ρ(s)hB(s) − B(un (s), un (s)), u˜n0 (s) − un0 (s)ids Zτm + lim E ρ(s)hB(u(s), u(s)) − B(˜ un0 (s), u˜n0 (s)), u˜n0 (s) − un0 (s)ids = 0 n →∞ V¼ h(un0 , un0 ) * H khỉng gian L2L2 (K ,H) (Ω × [0, T ]), ng thực sau 38 Ơy ữủc thọa mÂn Zm lim E n0 →∞ (H(s) − h(un0 (s)), H(s) − h(u(s)))Hn0 ds Zτm (H(s) − h(un0 (s)), = lim E n →∞ n X (H(s)ej − h(u(s))ej ), vj )Hn0 ds = i=1 v Zτm lim E Zτm kh(u(s)) − H(s)k2L2 (Ω×[0,T ]) L (K ,Hn0 ) n →∞ ds = E kh(u(s)) H(s)k2 ds Vợi nhỳng kát quÊ ny, thĐy rơng bơng viằc lĐy phÊi cừa ng thực trản tián án n0 thẳ vá Do õ, lim E(m )| un0 (m ) − un0 (τm )|2 = 0; n0 →∞ Zτm lim E n →∞ ρ(s)k˜ un0 (s) − un0 (s)k2 ds = 0; Zτm E ρ(s)kh(u(s)) − H(s)k2 ds = 0 Tứ tẵnh chĐt (t) mội số tỹ nhi¶n tr¶n kho£ng [0, τm ] v tø (2.22), ta câ thº suy vỵi n, Zτm E ku(s) − un0 (s)k2 → n0 → ∞ v E|u(τm ) − un0 (τm )|2 → n0 → ∞ (2.30) Bê · ÷đc chùng minh ho n to n Bê · 2.1.4 (i) Qu¡ tr¼nh (u(t))t∈[0,T ] l mët nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh viscous lake ngău nhiản hai chiÃu (1.15) v nõ cõ cĂc qu Ôo liản tửc H (ii) Qu¡ tr¼nh (u(t))t∈[0,T ] l nghi»m yáu cừa phữỡng trẳnh (1.15) vợi xĂc suĐt bơng 39 Chùng minh Tø Bê · 2.1.2, ta câ th kát luên I[0,m ] h(u(s)) = I[0,m ] H(u(s)) hƯu khưp ì t ì [0, T ] (2.31) Tªp hđp, D := u ∈ L2V ( ì [0, T ]), w = v , vợi β ∈ L2R (Ω × [0, T ]) gian L2V ( ì [0, T ]) (2.32) l b chn hƯu chc chn v trị mªt khỉng Tø (2.30) v tẵnh chĐt cừa B ta cõ th chựng minh rơng Zτm lim E hB(u(s), u(s)) − B(un0 (s), un0 (s)), wids = 0 n →∞ vỵi måi w thc D vỵi måi w thc D Hìn núa, B(un0 , un0 ) * B in L2V (Ω × [0, T ]), vªy, Zτm lim E hB(u(s), u(s)) − B(un0 (s), un0 (s)), wids = 0 n →∞ Vẳ D l trũ mêt L2V ( ì [0, T ]) I[0,τm ] B(s) = I[0,τm ] B(u(s), u(s)) nản vợi hƯu hát ì t × [0, T ], (2.33) v â u(t ∧ τm ) + t∧τ Z m t∧τ Z m A(u(s))ds + t∧τ Z m = u(0) + t∧τ Z m f (x, s)ds + vỵi måi t [0, T ] B(u(s), u(s))ds v vợi hƯu hát h(s, u(s))dW (s) ω ∈ Ω (2.34) 40 M°t khĂc, tứ tẵnh chĐt cừa thới im dứng m v Bờ à 2.1.2, ta dng thĐy rơng [ P ∞ \ ! {τm = T } =1−P m=1 ! {τm < T } = − lim P (τm < T ) = m=1 m→∞ K½ hi»u, ( Ω0 := ω∈Ω:ω∈ ∞ [ ) {τm = T } m=1 cho Cho cho u(ω, t) ω thäa mÂn (2.34) vợi mồi tũy ỵ thuởc m = T vỵi måi Ω0 , â vỵi m > m0 m0 Sû dưng (2.34), ta ÷đc B(u(s), u(s))ds A(u(s))ds + 0 Zt = u(0) + Zt f (x, s)ds + vợi mồi ny tỗn tÔi số tü nhi¶n Zt Zt u(t) + ω t ∈ [0, T ] t ∈ [0, T ] 2.1.1, suy â (u(t))t∈[0,T ] u (u(t))t∈[0,T ] (2.35) i·u n y dăn án (2.35) xÊy vợi mồi ny nghắa l qu¡ tr¼nh · h(s, u(s))dW (s) ω ∈ D i·u thóa mÂn phữỡng trẳnh (1.15) Tứ Bờ H Do cõ cĂc qụy Ôo liản tửc hƯu chưc chưn l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.15) nh lỵ 2.1.2 Tỗn tÔi nhiÃu nhĐt mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.15) Chựng minh Gåi u1 v u2 l hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.15) Khi â, ta câ Zt u1 (t) + Zt A(u1 (s))ds + 0 Zt Zt = f (x, s))ds + B(u1 (s), u1 (s))ds h(s, u1 (s))dW (s), P − h¦u chc chn, ∀t ∈ [0, T ] (2.36) 41 v Zt u2 (t) + Zt A(u2 (s))ds + 0 Zt Zt = B(u2 (s), u2 (s))ds f (x, s))ds + h(s, u2 (s))dW (s), P − h¦u chc chn, ∀t ∈ [0, T ] (2.37) u¯ = u1 − u2 , Kỵ hiằu Zt ta ữủc Zt u(t) + A( u(s))ds + 0 Zt = (B(u1 (s), u1 (s)) − B(u2 (s), u2 (s)))ds (h(s, u1 (s)) − h(s, u2 (s)))dW (s), P − h¦u chc chn, ∀t ∈ [0, T ] (2.38) Gi£ sû µ>0 ( sè n y ữủc chồn sau), ta kỵ hiằu Zt (t) = exp(à ku2 (s)k2 ds) p dửng cổng thực tẵch phƠn Itỉ cho qu¡ tr¼nh thüc σ(t)|¯ u(t)|2 v tø (2.38) ta suy σ(t)|¯ u(t)|2 + 2α Zt k¯ u(s)k2 ds ≤ 2k +L2h Zt −µ σ(s)|¯ u(s)|2 ku2 (s)k2 k¯ u(s)k2 σ(s)|¯ u(s)|2 + Zt Zt Zt σ(s)(h(s, u1 (s)) − h(s, u2 (s)), u¯(s)dW (s))ds σ(s)ku2 (s)k2 |¯ u(s)|2 , ∀t ∈ [0, T ] (2.39) ỵ l, 4k 2k| u(s)| ku2 (s)k k¯ u(s)k ≤ 2αk¯ u(s)k + |¯ u(s)|2 ku2 (s)k2 2α 2 2 (2.40) 42 Do â, n¸u ta chån σ(t)|¯ u(t)|2 ≤ L2h Zt 4k à= v kát hủp vợi (2.39), ta ÷đc σ(s)|¯ u(s)|2 Zt + ˜ u1 (s)) − h(s, ˜ u2 (s)), u¯(s)dW (s))ds, σ(s)(h(s, ∀t ∈ [0; T ] (2.41) V¼ < σ(t) < nản ký vồng cừa tẵch phƠn ngău nhiản (2.41) b triằt tiảu v vêy E(t)| u(t)|2 L2h E Zt σ(s)|¯ u(s)|2 , ∀t ∈ [0; T ] (2.42) Nhớ Bờ à P-hƯu Gronwall, tứ bĐt ¯ng thùc tr¶n ta câ thº suy chc chn vỵi måi u¯(t) = 0, t ∈ [0, T ] 2.2 Sỹ tỗn tÔi cừa nghiằm dứng cừa phữỡng trẳnh viscous lake tĐt nh hai chiÃu nh lỵ 2.2.1 Vợi giÊ thiát cừa ngoÔi lỹc f , phữỡng trẳnh nhĐt mët nghi»m døng u∞ thäa m¢n ku∞ k ≤ c1 |f | α (1.16) câ ½t (2.43) Hìn núa, náu thẳ nghiằm dứng õ l nhĐt v ờn nh mụ ton cửc, nghắa l tỗn tÔi số dữỡng λ cho p α > kc21 |f | |u(t) − u∞ |2 ≤ e−λt |u(0) − u∞ |2 Chựng minh a) Sỹ tỗn tÔi Trữợc hát, nghiằm dứng u náu tỗn tÔi s thọa mÂn hAu , u i + (u∞ , u∞ , u∞ ) = (f, u∞ ) (2.44) 43 V¼ (u∞ , u∞ , u∞ ) = 0, (2.45) hAu∞ , u∞ i ≥ αku∞ k2 , (2.46) n¶n αku∞ k2 ≤ |f |.|u∞ | ≤ c1 |f |.ku∞ k, suy ku∞ k ≤ c1 |f | chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa nghiằm dứng, ta gồi s cừa {vj } j=1 l mởt cỡ D(A) bao gỗm cĂc vectỡ riảng cừa toĂn tỷ A Vợi mội số tỹ nhiản m 1, kỵ hiằu Vm = span {v1 , v2 , · · · , vm } v ành ngh¾a nghiằm dứng xĐp x cừa phữỡng trẳnh (1.16) cõ dÔng um = m X cmi vi , i=1 nghi»m n y thäa m¢n hAum , vi i + (um , um , vi ) = (f, vi ) Ti¸p theo ta ành ngh¾a to¡n tû Rm : Vm → Vm (2.47) bði [Rm u, v] = ((Rm u, v)) := hAu, vi + (u, u, v) − (f, vi ), Vỵi måi u ∈ Vm , u, v ∈ Vm ta câ [Rm u, u] = hAu, ui + (u, u, u) − (f, u) ≥ αkuk2 − |f ||u| kuk2 c1 |f |kuk, vƠy, náu ta chån kuk = k k= c1 |f | α th¼ (Rm u, u) ≥ u ∈ Vm cho v õ, dỹa vo hằ quÊ cừa nh lỵ iºm b§t ëng Brouwer (xem [5, Chapter 2, Lemma 1.4]), vỵi méi cho vỵi måi Rm (um ) = 0, with kum k k m1 tỗn tÔi um Vm 44 Vợi viằc thay thá 0, vi (2.47) bơng um v ỵ án (um , um , um ) = ta câ αkum k2 ≤ c1 |f |kum k, tø â suy kum k iÃu ny cho ta thĐy {um } ữủc mởt dÂy cừa um hởi tử rơng u (b) V c1 |f | α l bà ch°n {um }, V Do â, ta câ thº trẵch văn kỵ hiằu dÂy ny l tợi mởt phƯn tû u∞ {um } cho n o â Ta d¹ d ng º kiºm tra l mët nghi»m døng y¸u cõa phữỡng trẳnh (1.15) Tẵnh nhĐt cừa nghiằm dứng: Ta gåi u1 and u2 l hai nghi»m døng Khi â: °t hAu1 , vi + (u1 , u1 , v) = (f, v), v ∈ V, hAu2 , vi + (u2 , u2 , v) = (f, v), v ∈ V v = u1 − u2 , sau â trø ng thực thự hai cho ng thực thự nhĐt vá theo vá v sỷ sỷ dửng tẵnh chĐt cừa toĂn tû B, ta ÷đc hA(u1 − u2 ), u1 − u2 i = −(u1 , u1 , u1 − u2 ) + (u2 , u2 , u1 − u2 ) = −(u1 − u2 , u2 , u1 − u2 ) ≤ kc1 ku1 − u2 k2 ku2 k Tuy nhi¶n ku2 k ≤ c1 |f | , α vªy αku1 − u2 k2 ≤ kc1 |f | ku1 − u2 k2 α Hay, kc21 |f | α− ku1 − u2 k2 ≤ α 45 Th¶m núa, α> suy u1 ≡ u2 kc21 |f | , α Cuèi còng, ta s³ chùng minh rơng tỗn tÔi hơng số >0 cho |u(t) u∞ |2 ≤ |u(0) − u∞ |2 e−λt , Thüc vêy, bơng viằc kỵ hiằu LĐy w(t) = u(t) − u∞ , t ≥ cho ta dw(t) , v + hAw(t), vi + (u(t), u(t), v) − (u∞ , u∞ , v) = dt v = et w(t) (vợi hơng số dữỡng s ữủc xĂc ành sau â), â d λt λ e |w(t)|2 − eλt |w(t)|2 + eλt (Aw(t), w(t)) = −eλt (w(t), u∞ , w(t)) dt i·u n y dăn án, d t e |w(t)|2 + 2et kw(t)k2 ≤ 2keλt |w(t)|ku∞ kkw(t)k + λeλt |w(t)|2 dt 2kc21 eλt |f | kw(t)k2 + λeλt |w(t)|2 ≤ α λt 2kc1 e |f | ≤ kw(t)k2 + λc21 eλt kw(t)k2 2α 2c1 |f | = + λc21 eλt kw(t)k2 α Do vªy d λt e |w(t)|2 + 2αeλt kw(t)k2 ≤ dt 2kc21 |f | + λc1 eλt kw(t)k2 α Suy d λt 2kc |f | e |w(t)|2 ≤ −2α + + λc21 eλt kw(t)k2 dt LÔi kc21 |f | > , nản ta câ thº chån λ>0 õ nhä cho 2kc21 |f | −2α + + λc21 < 0, α 46 v â d λt e |w(t)|2 ≤ dt iÃu ny dăn án |u(t) u |2 et |u(0) u |2 , Chựng minh nh lỵ ÷đc ho n th nh ∀t ≥ 47 Ch÷ìng B i to¡n ên ành v ên ành hâa nghi»m døng 3.1 Sü ên ành mơ cõa nghi»m døng Chóng ta nhưc lÔi |u|2 c21 kuk2 , u V , st ch÷ìng n y ta sû dưng kh¡i ni»m kh(t, u)k2L2 (K ,H) = tr (h(t, u)Qh(t, u)∗ ) Cho Ănh xÔ h(t, ) : H L2 (K , H) thäa m¢n i·u ki»n (H1) a) h(t, u∞ ) ≡ b) kh(t, u) − h(t, v)k2L2 (K ,H) ≤ γ(t)|u − v|2 − µ0 ku − vk2 , â vợi mồi t 0, u, v V, à0 (t) : R+ R+ thỹc dữỡng thọa mÂn Zt γ(s)ds ≤ γ0 lim sup t→+∞ t l hơng số dữỡng v chn cho tỗn tÔi số l h m li¶n tưc v bà (3.1) v lim γ(s) = γ0 t→+∞ s∈[0,t] (3.2) 48 ành lỵ 3.1.1 GiÊ sỷ (H1) ữủc thọa mÂn Khi õ, n¸u α> l+ p l2 + 4kc21 |f | , (3.3) â l = 12 (γ0c21 − µ0) vợi c1 v k l cĂc hơng số nh lỵ 2.2.1 thẳ nghiằm yáu bĐt ký u(t) cừa phữỡng trẳnh (1.15) hởi tử kiu mụ theo bẳnh phữỡng ký vồng án nghiằm dứng u cừa phữỡng trẳnh (1.16) v õ u l ờn nh mụ theo bẳnh phữỡng ký vồng, nghắa l tỗn tÔi số thỹc dữỡng cho E|u(t) − u∞ |2 ≤ E|u(0) − u∞ |2 e−λt , Chùng minh Tø i·u ki»n (3.3), ta câ α > hìn núa ta câ thº chån ÷đc sè thüc a>0 t ≥ 2 γ0 c1 kc21 |f | µ0 + − , α õ nhä cho: kc21 |f | µ0 α > (a + γ0 )c1 + − α Khi â ¡p dưng cỉng thùc t½ch ph¥n Itỉ cho h m f (t) = eat |u(t) − u∞ |2 , ta ÷đc eat E|u(t) − u∞ |2 = E|u(0) − u∞ |2 + Zt aeas E|u(s) − u∞ |2 ds −2 Zt eas E hAu(s), u(s) − u∞ i ds −2 Zt eas E hB(u(s)), u(s) − u∞ i ds Zt +2 t Z + eas E hf, u(s) − u∞ i ds eas Ekh(s, u(s))k2L2 (K ,H) ds M°t kh¡c hB(u(s)) − B(u∞ ), u(s) − u∞ i = (u(s) − u∞ , u∞ , u(s) − u∞ )