BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ THỦY SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN DẠNG ƠLE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ THỦY SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN DẠNG ƠLE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ THỦY SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN DẠNG ƠLE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGUYỄN MINH MẪN THANH HÓA, 2017 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng Chủ tịch Phản biện Phản biện Ủy viên Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2017 (ký ghi rõ họ tên) i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Nguyễn Thị Thủy ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn Thầy PGS.TS Nguyễn Minh Mẫn Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy tơi cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phòng Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa giúp đỡ mặt thủ tục để hoàn thiện luận văn Thanh Hóa, tháng năm 2017 Nguyễn Thị Thủy iii LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sự tồn nghiệm toán Cauchy 1.2 Phương trình tuyến tính Ơle(Euler) 1.3 Sự dao động nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai 1.4 Một số kết có 1.5 Nghiệm tổng quát phương trình vi phân Riemann- Werber Chương : NGUYÊN LÍ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI DẠNG ƠLE 11 2.1 Nguyên lí dao động Wong 11 2.2 Nguyên lí dao động Weber 13 2.2.1 Giải tích mặt phẳng 13 2.2.2 Các nguyên lí dao động 18 Chương : NGUN LÍ VỀ SỰ KHƠNG DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI DẠNG ƠLE 3.1 Định lí khơng dao động nghiệm 27 KẾT LUẬN 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân lĩnh vực trung tâm lý thuyết phương trình vi phân Trong năm gần có nhiều cơng trình nghiên cứu dao động nghiệm phương trình vi phân cấp hai Một số vấn đề quan tâm nghiệm phương trình vi phân phi tuyến dạng Ơle Đối với phương trình 00 Ơle t x + λ x = 0, theo kết có λ > tất nghiệm phương trình dao động λ 14 tất nghiệm phương trình khơng dao động λ = gọi số dao động Như vậy, λ = điểm phân phương trình Ơle làm hai lớp rõ ràng, lớp nghiệm dao động, lớp nghiệm không dao động Bài tốn đặt phương trình Ơle biểu thức λ x thay g(x) vấn đề xảy Chính chúng tơi chọn đề tài đề tài nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cứu Đưa điều kiện g(x) để phương trình vi phân dạng Ơle có nghiệm dao động, có nghiệm khơng dao động Nhiệm vụ đề tài Ngoài việc tổng hợp kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung luận văn, luận văn cịn đưa chứng minh số định lí nguyên lí dao động phương trình vi phân phi tuyến cấp hai dạng Ơle Đối tượng phạm vi nghiên cứu 00 Nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến cấp hai t x + g(x) = 0, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học người bắt đầu tiếp cận, nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân phi tuyến cấp hai Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn trình bày kiến thức tồn nghiệm tốn Cauchy, phương trình tuyến tính Ơle, dao động nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai, định lí Sturm số kết có nhằm tạo tính hệ thống kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu nội dung Chương 2: Nguyên lí dao động nghiệm phương trình vi phân phi tuyến cấp hai dạng Ơle Trong chương luận văn nguyên lí dao động Wong, ngun lí dao động Weber thơng qua giải tích mặt phẳng, định lí dao động Chương 3: Đưa nguyên lí khơng dao động nghiệm phương trình vi phân phi tuyến cấp hai dạng Ơle chứng minh định lí Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung luận văn chương trình bày tóm lược lại số kiến thức sử dụng nghiên cứu dao động nghiệm phương trình vi phân phi tuyến dạng Ơle Có thể tìm thấy tài liệu tham khảo [1], [3], [4] 1.1 Sự tồn nghiệm tốn Cauchy Xét phương trình y0 = f (x, y) (1.1) f xác định miền G ⊂ R2 Trong phần ta điều kiện mà f thỏa mãn để tốn Cauchy ứng với phương trình (1.1) có nghiệm 1.1.1 Điều kiện Lipschitz Ta nói rằng, miền G hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz =theo biến y tồn số L > cho hai điểm (x, y) ∈ G, x, y ∈ G bất kì, ta có bất đẳng thức M y − y với (x, y), (x, y) ∈ G Điều ngược lại, nói chung khơng đúng, chẳng hạn hàm f (x, y) = |y| thỏa mãn điều kiện Lipschitz y − |y| y − y khơng có đạo hàm y =