Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình sai phân tuyến tính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— NGUYỄN KHÁNH MY DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, 2023 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— NGUYỄN KHÁNH MY DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn khoa học TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng, 2023 MỤC LỤC CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Khái niệm sai phân 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 13 1.3.1 Hệ hàm độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định thức Casorati Dấu hiệu nhận biết hệ hàm phụ thuộc tuyến tính 13 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n 14 1.3.3 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 20 1.3.4 Phương trình sai phân tuyến tính không 24 1.3.5 Phương trình sai phân tuyến tính khơng hệ số với vế phải đặc thù 29 CHƯƠNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 33 2.1 Công cụ xấp xỉ 33 2.2 Định lí Poincaré 35 2.3 Hệ đường chéo tiệm cận 44 2.4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân cấp cao 51 2.5 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân cấp hai 55 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Phương trình sai phân nghiên cứu rộng rãi Toán học túy ứng dụng Vật lý, Sinh học, ngành kĩ thuật Toán học túy quan tâm đến việc tìm tồn hàm nghiệm Tốn học ứng dụng tập trung vào phương pháp để tìm giá trị xấp xỉ hàm nghiệm Có nhiều tượng khoa học kỹ thuật thực tiễn mà việc tìm hiểu thường dẫn đến tốn giải phương trình sai phân, ví dụ mơ hình động lực Leontiev cho hệ kinh tế đa ngành, mơ hình tăng trưởng dân số Leslie, toán tối ưu rời rạc suy biến Phương trình sai phân phương trình mà giá trị biến số phụ thuộc biểu thị dạng hàm giá trị trước Đối với phương trình thơng thường nghiệm giá trị số (số thực, số phức, ) Cịn phương trình sai phân mục tiêu tìm cơng thức hàm chưa biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề Thơng thường họ hàm số với sai lệch số C Điều gây khó khăn cho ta muốn tìm nghiệm xác phương trình sai phân Do đó, vấn đề định tính quan trọng nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm n → +∞ Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình sai phân tuyến tính thường mơ tả trạng thái mơ hình thực tế Vì vậy, biết dáng điệu nghiệm tiệm cận, ta dự đốn xu phát triển hệ tương lai từ đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn Về mặt toán học, điều làm nảy sinh hướng nghiên cứu mới, phát triển mạnh mẽ khoảng vài thập kỉ gần lí thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân Với mong muốn nghiên cứu hàm nghiệm phương trình sai phân gợi ý TS Lê Hải Trung, chọn đề tài: “Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân tuyến tính" cho luận văn thạc sĩ 2 Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân tuyến tính Để đạt mục tiêu đề tài nghiên cứu nội dung sau: - Trình bày số khái niệm sai phân - Phân loại phương trình sai phân - Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân tuyến tính - Nội dung đề tài dự định chia thành chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân Đối tượng nghiên cứu Phương trình sai phân tuyến tính dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu Phương trình sai phân tuyến tính dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn có sử dụng kiến thức liên quan đến Giải tích, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình sai phân Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan đến phương trình sai phân tuyến tính Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn đối tượng có chun ngành liên quan Cấu trúc luận văn LỜI NÓI ĐẦU Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Khái niệm sai phân 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 1.3.1 Hàm độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định thức Casorati Dấu hiệu nhận biết phụ thuộc tuyến tính 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n 1.3.3 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 1.3.4 Phương trình sai phân tuyến tính khơng 1.3.5 Phương trình sai phân tuyến tính khơng hệ số với vế phải đặc thù Chương II DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1 Cơng cụ xấp xỉ 2.2 Định lí Poincaré 2.3 Hệ đường chéo tiệm cận 2.4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân cấp cao 2.5 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân cấp hai zn (t) zn (t + n − 1) zn (t + 1) z1 (t) z1 (t + 1) z1 (t + n − 1) z1 (t + 2) n−1 n−2 z2 (t) z2 (t + 1) z2 (t + n − 1) z2 (t + 2) = (−1) (−1) zn (t) zn (t + 1) zn (t + n − 1) zn (t + 2) =