Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————— NGUYỄN THỊ ANH ĐÀI TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHÓA: K40 ĐÀ NẴNG - NĂM 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————— NGUYỄN THỊ ANH ĐÀI TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 846.01.02 Giảng viên hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung ĐÀ NẴNG - NĂM 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ANH ĐÀI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 846.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ Giảng viên hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung Đà Nẵng - Năm 2022 Mục lục LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Kiến thức sở 1.1 Phép tính sai phân 1.2 Chỉnh hợp suy rộng 12 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 2.1 16 Lý thuyết chung phương trình sai phân tuyến tính 16 2.2 Phương trình tuyến tính với hệ số 28 2.3 Phương trình tuyến tính khơng Phương pháp biến thiên số 34 2.4 Trạng thái giới hạn nghiệm 43 2.5 Một số phương trình phi tuyến chuyển phương trình tuyến tính 48 Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cao cho số vấn đề liên quan 55 3.1 Nhân giống hàng năm 55 3.2 Gambler’s Ruin (Mơ hình phá sản bạc) 58 3.3 Mơ hình thu nhập quốc dân 61 3.4 Sự truyền dẫn thông tin 63 3.5 Tổng dãy số truy hồi 65 KẾT LUẬN 69 Tài liệu tham khảo 71 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nếu Lý thuyết phương trình vi phân biến số xem xét đại lượng liên tục tập cho trước tốn Lý thuyết phương trình sai phân, biến số đại lượng rời rạc thông thường biến thời gian Điều phù hợp với tốn thực tế, việc nghiên cứu phương trình sai phân nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu, kể đến số tốn như: hệ thống mạng điện, trình sản xuất, quản lý xí nghiệp, điều tra dân số, Thực tế, phương trình sai phân thường mơ tả tiến triển số tượng định theo thời gian Ví dụ, quần thể hệ rời rạc, kích thước thời điểm t + hệ thứ x(t + 1) hàm x(t) hệ thời điểm t Trong luận văn này, đề cập đến việc giới thiệu số tính chất sai phân nhằm xây dựng phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính cấp cao biến Những phương trình nảy sinh hầu hết lĩnh vực nghiên cứu khoa học: lĩnh vực học dân số (nghiên cứu loài đơn lẻ); kinh tế học (nghiên cứu một/nhiều loại hàng hóa, mối quan hệ cung–cầu, ); vật lý; sinh học Với lý nêu trên, gợi ý TS Lê Hải Trung, tơi chọn đề tài: "Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao số vấn đề liên quan" cho luận văn thạc sĩ Tôi hi vọng viết giúp bạn tiếp cận giải vấn đề liên quan đến nội dung đề cập Mục tiêu nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp giải cho phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Sau đó, áp dụng kết thu để giải số vấn đề liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu -Dẫn nhập phương trình sai phân tuyến tính - Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao + Phương trình tuyến tính với hệ số khơng đổi + Phương trình khơng Phương pháp biến thiên số + Phương trình phi tuyến chuyển phương trình tuyến tính - Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cao để giải số vấn đề liên quan Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu: 4.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao số vấn đề liên quan 4.2 Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết chung phương trình sai phân tuyến tính; phương trình tuyến tính với hệ số khơng đổi; phương trình khơng nhất, phương pháp biến thiên số; phương trình phi tuyến chuyển phương trình tuyến tính Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm nghiên cứu tài liệu chuyên khảo - Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan đến phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn người khơng chun tốn cần kết toán để ứng dụng cho tốn thực tiễn Cấu trúc luận văn: LỜI NÓI ĐẦU Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phép tính sai phân 1.2 Chỉnh hợp suy rộng suy rộng Chương II PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO 2.1 Lý thuyết chung phương trình sai phân tuyến tính 2.2 Phương trình tuyến tính với hệ số 2.3 Phương trình tuyến tính khơng nhất, phương pháp biến thiên số 2.4 Trạng thái giới hạn nghiệm 2.5 Một số phương trình phi tuyến chuyển phương trình tuyến tính Chương III ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO CHO MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 3.1 Nhân giống hàng năm 3.2 Gambler’s Ruin (Mô hình phá sản bạc) 3.3 Mơ hình thu nhập quốc dân 3.4 Sự truyền dẫn thông tin 3.5 Tổng dãy số truy hồi Mặt khác, từ (2.7) với ≤ i ≤ 3, ta có xi (n + 3) = −p3 (n)xi (n) − [p1 (n)xi (n + 2) + p2 (n)xi (n + 1)] (2.13) Bây giờ, ta sử dụng công thức (2.13) để thay cho x1 (n + 3), x2 (n + 3), x3 (n + 3) hàng cuối công thức (2.12), thực phép biến đổi định thức ta thu   x1 (n + 1) x2 (n + 1) x3 (n + 1)         x1 (n + 2) x2 (n + 2) x3 (n + 2) W (n+1) = det     3  X  X X   − pi (n)x1 (3 + n − i) − pi (n)x2 (3 + n − i) − pi (n)x3 (3 + n − i) i=1 i=1 i=1 (2.14) Sử dụng tính chất định thức, từ (2.14) ta có:   x1 (n + 1) x2 (n + 1) x3 (n + 1)      W (n + 1) = det x1 (n + 2) x2 (n + 2) x3 (n + 2)      −p3 x1 (n) −p3 x2 (n) −p3 x3 (n)   x1 (n + 1) x2 (n + 1) x3 (n + 1)      = −p3 (n) det x1 (n + 2) x2 (n + 2) x3 (n + 2)      x1 (n) x2 (n) x3 (n)   x2 (n) x3 (n)   x1 (n)      = −p3 (n)(−1) det  x1 (n + 2) x2 (n + 2) x3 (n + 2) ,     x1 (n + 1) x2 (n + 1) x3 (n + 1) (2.15) W (n + 1) = (−1)3 p3 (n)W (n) (2.16) nên, nghiệm (2.16) xác định bởi: 22 W (n) = " n−1 Y # 3(n−n0 ) (−1) p3 (i) W (n0 ) = (−1) i=n0 n−1 Y p3 (i)W (n0 ) i=n0 Như ta chứng minh bổ đề với trường hợp k = Bây ta kiểm tra trường hợp đặc biệt phát sinh áp dụng định thức Casorati Ví dụ, (2.7) có hệ số khơng đổi p1 , p2 , , pk ,, ta có: W (n) = (−1)k(n−n0 ) pn−n W (n0 ) k (2.17) Hệ 2.1.10 Giả sử pk (n) 6= với n ≥ n0 Khi đó, định thức Casorati W (n) 6= với n ≥ n0 W (n0 ) 6= Định lý 2.1.11 Hệ nghiệm x1 (n), x2 (n), , xk (n) (2.7) hệ nghiệm sở định thức Casorati W (n0 ) 6= với n0 ∈ Z+ Ví dụ 2.1.12 Chứng tỏ {n, 2n } hệ nghiệm sở phương trình x(n + 2) − 2n 3n − x(n + 1) + x(n) = n−1 n−1 Lời giải + Khi x(n) = n ta có: x(n + 2) − 3n − 2n 3n − 2n x(n + 1) + x(n) = n + − (n + 1) + (n) n−1 n−1 n−1 n−1 (n − 1)(n + 2) =n+2− n−1 = n + − (n + 2) = + Khi x(n) = 2n ta có: x(n + 2) − 2n 3n − n+1 2n n 3n − x(n + 1) + x(n) = 2n+2 − + n−1 n−1 n−1  n−1  4n − = 2n − n−1 = 2n (4 − 4) = Do đó, định thức Casorati hệ nghiệm n, 2n   2n   n  , W (n) = det   n + 2n+1 23 nên   0   = −1 6= 0, W (0) = det    theo Định lý 2.1.11, nghiệm n, 2n độc lập tuyến tính tạo thành hệ nghiệm sở phương trình cho Ví dụ 2.1.13 Xét phương trình sai phân cấp ba x(n + 3) − 3x(n + 2) − 4x(n + 1) − 12x(n) = Chứng minh {2n , (−2)n , (−3)n } tạo thành hệ nghiệm sở phương trình Lời giải (i) 2n nghiệm thay x(n) = 2n vào phương trình: 2n+3 + (3)(2n+1 ) − (4)(2n+1 ) − (12)(2n ) = 2n [8 + 12 − − 12] = Tương tự, (−2)n (−3)n nghiệm phương trình (ii) Để xác định tính độc lập tuyến tính nghiệm, ta xây dựng định thức Casorati   (−2)n (−3)n   2n     n+1 n+1 n+1  , W (n) = det  (−2) (−3)       2n+2 (−2)n+2 (−3)n+2 nên,   1 1       W (0) = det  2 −2 3 = −20 6= 0,     4 theo định lý 2.1.11, nghiệm 2n , (−2)n , 3n độc lập tuyến tính, từ lập thành hệ nghiệm sở phương trình Định lý 2.1.14 Nếu pk (n) 6= với n ≥ n0 , (2.7) có hệ nghiệm sở với n ≥ n0 Chứng minh Theo Định lý 2.1.3, phương trình (2.7) có nghiệm x1 (n), x2 (n), , xk (n) cho với i = 1, 2, , k ta có: 24 xi (n0 + k − 1) = 1, xi (n0 ) = xi (n0 + 1) = = xi (n0 + i − 2) = = xi (n0 + k − 1) = Do đó, x1 (n0 ) = 1, x2 (n0 + 1) = 1, x3 (n0 + 2) = 1, , xk (n0 + k − 1) = Điều suy W (n0 ) = det I = Từ Định lý 2.1.11 tập {x1 (n), x2 (n), , xk (n)} hệ nghiệm sở (2.7) Ta nhận xét có vơ số tập nghiệm sở (2.7) Kết trình bày phương pháp tạo hệ nghiệm sở hệ nghiệm biết Bổ đề 2.1.15 Cho x1 (n), x2 (n) hai nghiệm (2.7) Khi đó, (i) x(n) = x1 (n) + x2 (n) nghiệm (2.7) (ii) x˜(n) = ax1 (n) nghiệm (2.7) với số a Định lý 2.1.16 Nguyên lý chồng chất nghiệm Nếu x1 (n), x2 (n), , xr (n) nghiệm (2.7), x(n) = a1 x1 (n) + a2 x2 (n) + + ar xr (n) nghiệm (2.7) Chứng minh Ta đặt x1 (n), x2 (n), , xk (n) hệ nghiệm (2.7) đặt x(n) nghiệm cho (2.7) Từ ta có số a1 , a2 , , ak cho x(n) = Pk i=1 xi (n) Để chứng minh điều này, ta viết X(n)ξ = xˆ(n), với   x(n)        x(n + 1)     xˆ(n) =            x(n + k − 1) Vì X(n) khả nghịch, nên ξ = X −1 (n)ˆ x(n), với n = n0 , ta có ξ = X −1 (n0 )ˆ x(n0 ) 25 Định nghĩa 2.1.17 Nếu {x1 (n), x2 (n), , xk (n)} hệ nghiệm sở (2.7) nghiệm tổng quát (2.7) xác định x(n) = Pk i=1 xi (n), với số Cần lưu ý nghiệm (2.7) nhận từ nghiệm tổng quát cách chọn số thích hợp Các kết trước trình bày lại sau: Gọi S tập tất nghiệm (2.7) với phép toán ” + ”,”.” xác định sau: (i) (x + y)(n) = x(n) + y(n), với x, y ∈ S, n ∈ Z+ , (ii) (ax)(n) = ax(n), với x ∈ S, a số, đó, ta có định lí sau Định lý 2.1.18 Khơng gian (S, +, ) khơng gian tuyến tính với số chiều k 26 Cho phương trình sai phân F (t, y(t), ∆y(t), , δ n y(t)) = (2.18) Nếu (2.18) ta biểu diễn sai phân hữu hạn cơng thức ta nhận phương trình sai phân cấp n G (t, y(t), y(t + h), , y(t + nh)) = (2.19) Định nghĩa 2.1.19 Cho phương trình sai phân F (t, y(t), ∆y(t), , δ n y(t)) = (2.20) Nếu (2.20) ta biểu diễn sai phân hữu hạn cơng thức ta nhận phương trình sai phân cấp n G (t, y(t), y(t + h), , y(t + nh)) = (2.21) Một hàm liên tục y(t) gọi nghiệm phương trình (2.21) tập Ω, thay vào phương trình ta nhận đẳng thức Ω Ví dụ, hàm số y = 3t nghiệm phương trình y(t + 2) − 9y(t) = R Rõ ràng hàm số có dạng y(t) = C(t)3t với C(t) hàm tuần hoàn với chu kỳ T = nghiệm phương trình cho Tiếp theo ta ln giả sử h = Khi phương trình (2.21) có dạng G (t, y(t), y(t + 1), , y(t + n)) = (2.22) Định nghĩa 2.1.20 Nghiệm (rời rạc) phương trình (2.22) tương ứng điểm t0 ∈ Z+ chuỗi số y0 , y1 , , yk , cho: G (t0 + k, y(t), yk , , yk+n ) = (2.23) với k = 0, 1, 2, , Z+ tập số nguyên dương Bài toán Cauchy cho việc xác định nghiệm phương trình (2.21) nằm việc xác định y(t) phương trình đồng thời thỏa mãn điều kiện đầu sau: 27 y(t0 ) = y0 , y(t0 + 1) = y1 , y(t0 + n − 1) = yn−1 Các số y0 , y1 , yn−1 gọi giá trị đầu nghiệm y(t), t0 gọi điểm đầu Nếu y(t) nghiệm liên tục phương trình (2.21) [t0 , +∞), dãy y(t0 ), y(t0 + 1), , y(t0 + k) nghiệm rời rạc (2.21) Tiếp theo ta lấy t0 = Lúc nghiệm rời rạc ta viết dạng y(t) ngầm hiểu hàm xác định điểm tập W0 = {t0 , t0 + 1, , t0 + k, } y(t0 + k) = yk Chúng ta giả sử phương trình (2.21) giải tương ứng y(t+n) y(t), tức biểu diễn dạng: y(t + n) = Φ1 (t, y(t), y(t + 1), , y(t + n − 1)) (2.24) y(t + n) = Φ2 (t, y(t + 1), , y(t + n)) (2.25) Nếu hàm Φ1 (t, u1 , u2 , , un ) xác định vế phải phương trình (2.22), xác định điểm t ∈ Z+ giá trị u1 , u2 , , un , nghiệm rời rạc xác định, với số t0 ∈ Z+ , y0 , y1 , , yn−1 cho trước Lúc biểu thức yn+k = Φ1 (t0 + k, yk , , yn+k−1 ) biểu diễn công thức truy hồi, để thơng qua ta xác định yn , yn+1 , 2.2 Phương trình tuyến tính với hệ số Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k sau x(n + k) + p1 x(n + k − 1) + p2 (n + k − 2) + + pk x(n) = 0, n ∈ Z+ , (2.26) pi số pk 6= Mục tiêu ta tìm hệ nghiệm sở nghiệm tổng quát (2.26) Quy trình thực sau Giả sử nghiệm (2.26) có dạng λn , λ số phức 28 Thay giá trị vào (2.26), ta được: λk + p1 λk−1 + + pk = (2.27) Phương trình (2.27) gọi phương trình đặc trưng (2.26), giá trị λ gọi đặc số (hoặc nghiệm đặc trưng ) Chú ý pk 6= nên khơng có nghiệm đặc trưng Ta có hai trường hợp để xét: Trường hợp (a): Giả sử nghiệm đặc trưng phương trình λ1 , λ2 , , λk phân biệt số thực Bây ta tập {λn1 , λn2 , , λnk } tập nghiệm sở Để chứng minh điều này, theo Định lý 2.1.11, ta cần chứng minh W (0) 6= 0, W (n) định thức Casorati nghiệm nêu Tức là:          W (0) = det         1 λ1 λ2 λ21 λ22 λ1k−1 λk−1    λk      λk        λk−1 k (2.28) Định thức gọi định thức Vandermonde có giá trị là: W (0) = Y (λj − λi ) (2.29) 1≤i