Dáng điệu tiệm cận của nghiệm một số lớp hệ phương trình vi phân dạng gradient

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị The DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG GRADIENT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị The DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG GRADIENT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Thành Nhân, người tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp cho luận văn hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Q Thầy Cơ Khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm q báu cho tơi suốt q trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Q Thầy Cơ Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành chương trình học tập thực luận văn Trong q trình thực khố luận khơng thể tránh khỏi sai sót hạn chế Vì thế, góp ý chân tình q thầy bạn nguồn động lực lớn để thân tơi hồn thiện tốt đề tài Xin chân thành cảm ơn Học viên thực Phạm Thị The MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU 1.1 Định nghĩa gradient 1.2 Các dạng gradient toàn phương 1.3 Toán tử Dirichlet-Laplace Chương HỆ GRADIENT VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 13 2.1 Hệ gradient không gian vô hạn chiều 13 2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục hệ gradient 13 Chương SỰ HỘI TỤ VỀ ĐIỂM CÂN BẰNG CỦA HỆ GRADIENT BẬC NHẤT 23 3.1 Tập ω − limit hàm liên tục  + 23 3.2 Phản ví dụ khơng hội tụ nghiệm hệ gradient 25 3.3 Sự hội tụ nghiệm toàn cục hệ gradient 27 Chương ỨNG DỤNG 36 4.1 Ứng dụng vào phương trình nhiệt 36 4.2 Tính ổn định trạng thái 40 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 CÁC KÝ HIỆU  Tập hợp số thực I Khoảng mở tập hợp số thực H Không gian Hilbert thực , Tích H (V , ⋅ ) Không gian Banach V với chuẩn ⋅ ⋅V Chuẩn không gian Banach V C ([a, b], ) Phiếm hàm khả vi liên tục [a, b] →  ( I ) Không gian tất hàm thử I L p ( I ,V ) Khơng gian hàm khả tích bậc p [a, b] L1loc ( I ,V ) Không gian hàm khả tích tập compact (a, b) 2 ( H , ) Không gian dạng tuyến tính bị chặn H Supp(f) Giá ánh xạ f W 1, p (a, b) p Không gian tất hàm có đạo hàm yếu L (a, b) W01, p (a, b) 1, p Bao đóng hàm thử W (a, b)  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Cùng với phát triển tượng vật lý, sinh học, hóa học ví dụ chuyển động giảm dần lắc theo thời gian, khuếch tán phân tử, dao động sóng, … ln đặt cho nhà toán học câu hỏi liệu tượng hiểu giải thích ngơn ngữ tốn học Để trả lời cho thắc mắc này, vào cuối kỷ 16, sau quan sát dao động đèn lồng lớn gian nhà thờ Pisa, Galilei đốn mặt chu kì lần lắc tỷ lệ thuận với chiều dài lắc mặt khác chu kì độc lập với biên độ lắc Nhưng đoán Galilei có xác hay khơng? Có thể khẳng định mặt Tốn học hay khơng? Mãi đến 30 năm sau Galilei, Newton Leibniz sử dụng phép tính vi phân để có lời giải thích lý đoán Galilei gần với thật khơng hồn tồn thật Đặc biệt, có lời giải thích lý chu kì lắc khơng phụ thuộc vào biên độ Hơn kỷ sau, Newton viết luận án lý thuyết vi phân xuất phép tính vi phân nhiều biến đưa đến số lượng lớn mơ hình, tượng thể ngơn ngữ phương trình vi phân phần phương trình vi phân Đặc trưng phương trình dạng hàm lượng giảm dần theo thời gian Một ví dụ phổ biến cho phương trình dạng hệ gradient: u + ∇ (u ) = với  hàm có giá trị xác định tập mở  d khơng gian Banach Hàm  đóng vai trị hàm lượng Nếu  (u ) hàm hợp hàm  u , ta có d  (u (t )) = 〈∇ (u (t )), u (t )〉 [ 0,1] dt = −〈u (t ), u (t )〉 = − | u (t ) |2 ≤ Điều chứng tỏ hàm lượng  giảm theo thời gian Việc quan trọng tìm nghiệm tốn có dạng gradient Nhưng nói chung việc tìm nghiệm khơng đơn giản, nhiều phương trình chưa có lời giải giải tích, chí có nghiên cứu tính chất nghiệm Do đó, thay cho việc tìm lời giải, nhiều nhà Tốn học chuyển sang nghiên cứu số tính chất khác tập nghiệm Một toán đặt khảo sát dáng điệu tiệm cận, hay nói cách khác hội tụ nghiệm theo thời gian Những khảo sát phần giúp thu tính chất cần thiết trường hợp chưa có nhiều thơng tin nghiệm giải tích Trong khơng gian chiều (n = 1) , hội tụ nghiệm với giả thiết tổng quát hàm  chứng minh kết Zelenyak Matano [11] Với số chiều lớn (n ≥ 2) , hội tụ nói chung khơng Năm 1982, Palis de Melo đưa phản ví dụ khơng hội tụ nghiệm hệ gradient, hàm Mexican-hat [3] Tuy nhiên, vào năm 1983, với giả thiết  hàm giải tích L Simon người chứng minh nghiệm toàn cục bị chặn hệ gradient hội tụ đến điểm cân bằng, điểm mà gradient bị triệt tiêu hoàn toàn [12] Nhưng chứng minh phức tạp bị lãng quên Gần đây, Haraux Jendoubi cải tiến chứng minh L Simon dựa bất đẳng thức Lojasiewicz nhà toán học tiếng Lojasiewicz Từ sau kết này, hàng loạt cơng trình hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hệ gradient, với nhiều ứng dụng công bố việc nghiên cứu phương trình sóng, phương trình nhiệt, Cahn Hilliard, LandauLifschitz, … Luận văn tập trung khảo sát hội tụ điểm cân nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều Cùng với kết lý thuyết, chúng tơi trình bày ứng dụng hội tụ để chứng minh cho nghiệm phương trình nhiệt giải tích phi tuyến, hội tụ, ổn định Lyapunov ổn định tiệm cận nghiệm dòng lượng sinh trường vector tựa-gradient gần trạng thái cho trước Luận văn gồm chương: Chương 1: Gradient không gian vô hạn chiều Giới thiệu khái niệm gradient ví dụ minh họa gradient Chương 2: Hệ gradient tồn nghiệm Đưa định nghĩa hệ gradient chứng minh tồn nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều Chương 3: Sự hội tụ điểm cân hệ gradient bậc Chứng minh hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hệ gradient bậc Chương 4: Ứng dụng Các ứng dụng chứng minh hội tụ nghiệm phương trình nhiệt, phương trình tựa-gradient gần trạng thái cân Chương GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN VƠ HẠN CHIỀU Chương trình bày sơ lược khái niệm gradient không gian vô hạn chiều Mục định nghĩa gradient hàm giá trị thực xác định không gian Banach vô hạn chiều Trong phần sau, luận đưa ví dụ gradient dạng gradient toàn phương, gradient khơng gian Sobolev tốn tử Dirichlet-Laplace Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ [3] 1.1 Định nghĩa gradient � · V , V ' kí hiệu khơng gian đối ngẫu Cho V không gian Banach thực với chuẩn � V , tức V ' không gian tất phiếm hàm tuyến tính liên tục từ V →  Nếu u′ ∈V ′ , ta viết u′(u ) u 'u 〈u′, u 〉 〈u′, u 〉V ′,V giá trị u ' phần tử u ∈ V Không gian đối ngẫu V ' trang bị với chuẩn �u′�V ′ = sup 〈u′, u 〉 �� u V ≤1 Định nghĩa 1.1 Cho U ⊆ V tập mở V cho : :U →  phiếm hàm Phiếm hàm  khả vi với u ∈U tồn hàm tuyến tính liên tục u′ ∈V ′ cho  (u + h) −  (u ) − 〈u′, h〉 = �� h →0 �h�V lim V Nếu hàm u′ ∈V ′ tồn Đạo hàm hàm : ′ :U → V ′ cho với u ∈U có hàm tuyến tính u′ ∈V ′ thỏa đẳng thức Ký hiệu đạo hàm  điểm u  ′(u ) Định nghĩa 1.2 Phiếm hàm  khả vi liên tục  khả vi có đạo hàm liên tục từ U vào V ' Tập hợp tất phiếm hàm khả vi liên tục từ U vào  không gian vectơ ký hiệu C (U ) Cho H khơng gian Hilbert thực với tích 〈·,·〉 H chuẩn liên hợp � � · H Giả sử V nhúng liên tục trù mật vào H Điều có nghĩa có ánh xạ đồng liên tục từ V vào H , V không gian trù mật H (với vài phép đơn ánh V → H ) tồn số C ≥ cho �u�H ≤ C�u�V với u ∈ V Định nghĩa 1.3 Cho phiếm hàm khả vi : :U →  , định nghĩa gradient ∇ H  tích 〈·,·〉 H sau {u ∈ U : tồn v ∈ H cho với ϕ ∈V ta có  ′(u )ϕ = D(∇ H : ) := 〈 v, ϕ 〉 H } ∇ H : (u ) := v, ∇ H  (u ) phần tử H , tồn tại, đạo hàm  ′(u ) biểu diễn tích trong H :  ′(u )ϕ = 〈∇ H  (u ),ϕ 〉 H với ϕ ∈ V Sự tồn quan trọng đánh dấu khác biệt với gradient khơng gian hữu hạn chiều Vì ta xét hai không gian khác V H dẫn đến cần thiết xét miền D(∇ H  ) ∇ H  Miền tập thật U đạo hàm  '(u ) biểu diễn số phần tử H Khi V nhúng liên tục trù mật vào H , khơng gian đối ngẫu H ' nhúng liên tục vào không gian đối ngẫu V ' ; thu hẹp V phiếm hàm tuyến tính liên tục H →  xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục V →  Vì V nhúng liên tục trù mật H nên hình thành đơn ánh H ′ → V ′ tuyến tính liên tục Nhưng nói chung phép nhúng H ′ → V ′ khơng tồn ánh, nghĩa khơng phải hàm tuyến tính bị chặn u′ ∈V ′ mở rộng lên hàm tuyến tính bị chặn H Như hệ quả, đạo hàm  ′(u ) ∈ V ′ không mở rộng lên hàm tuyến tính H Tuy nhiên, hàm tuyến tính bị chặn u′ ∈V ′ (ví dụ, đạo hàm  '(u ) ) mở rộng đến hàm tuyến tính bị chặn H , nghĩa u′ ∈ H ′ hàm biểu diễn vài phần tử u ∈ H Định lý biểu diễn Riesz-Frechet: Nếu H khơng gian Hilbert, với hàm tuyến tính bị chặn u′ ∈ H ′ tồn phần tử u ∈ H cho 〈u′, v〉 H ′,H = 〈 u , v〉 H với v ∈ H 34 Do đó, ta có  d − (log =(t )) neáu θ =  d  dt = − = (t )= θ  ≥l 1− 2θ − dt θ d  =(t ) θ neáu θ ∈ (0, ) 1 − 2θ dt 1−θ − khoảng (t0 , t ) Việc lại giải bất phương trình trên, xét θ = ta có − H ′(t ) ≥ λ H (t ) hay H ′(t ) + λ H (t ) ≤ Đặt z (t ) = eλt H (t ) Khi z′(t ) = ( H ′(t ) + λ H (t ))eλt ≤ Do z (t ) ≤ z (0) = C hay eλt H (t ) ≤ C , suy H (t ) ≤ Ce − λt 1−θ Với θ ∈ (0, ) nên > , ta xét θ 1−θ H ′(t ) ≤ −λ H (t ) θ 1−θ Chia hai vế cho H (t ) θ > ta có H (t ) 1−θ 1− Đặt z (t ) = H (t ) θ 1−θ − θ · H ′(t ) ≤ −λ z′(t )= (1 − 1−θ θ )· H (t ) 1−θ − θ · H ′(t ) Suy H (t ) 1−θ − θ · H ′(t ) = θ · z′(t ) 2θ − Khi đó, ta có θ · z′(t ) ≤ −λ 2θ − Suy 35 z (t ) ≤ λ (1 − 2θ )t + c2 θ Do 2θ −1 H (t ) θ ≤ λ (1 − 2θ )t + c2 θ Suy lnH (t ) ≤ θ l ln( (1 − 2θ )t + c2 ) 2θ − θ Do đó, ta có λ θ −θ H (t ) ≤ ( (1 − 2θ )t + c2 )1−2θ Vậy ta thu ước lượng  − ct = θ O e neá u ( )  H (t ) =  −θ O(t (1−2θ ) ) neáu θ ∈ (0, )  Kết hợp ước tính với (3.11), suy ước lượng cho �u − ϕ�H  36 Chương ỨNG DỤNG Chương giới thiệu số ứng dụng đơn giản hội tụ điểm cân hệ gradient bậc Đầu tiên khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm tồn cục, bị chặn phương trình nhiệt f ( x, u ) ut + Au =  u (0,·) = u0 (·) M A Jendoubi sử dụng bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon để chứng minh hội tụ đến điểm cân nghiệm hệ Tiếp theo chứng minh ổn định Lyapunov, ổn định tiệm cận điểm cân hệ − f (t , u (t )), t ≥ u (t ) =  u (0) = u0 4.1 Ứng dụng vào phương trình nhiệt Cho Ω miền trơn bị chặn  N , d số nguyên Xét H = L2 (Ω,  d ) không gian Hilbert thông thường xét không gian Hilbert thực V ⊂ L2 (Ω,  d ) , V trù mật L2 (Ω,  d ) cho phép nhúng V L2 (Ω,  d ) compact Đồng L2 (Ω,  d ) với khơng gian đối ngẫu ký hiệu V ' khơng gian đối ngẫu V Tích chuẩn  d ký hiệu tương ứng (·,·) , |·| Chuẩn � · V ,� V L2 (Ω,  d ) ký hiệu tương ứng � � · Đồng thời, cho a (u , v) dạng song tuyến tính đối xứng liên tục cưỡng V , tức tồn C > 0, a (u , v) ≥ C�u�V2 với u ∈V Với dạng liên hợp tương ứng tốn tử tuyến tính A từ V vào V ' xác định sau ∫ Ω ( Au = , v)dx a (u , v), ∀u , v ∈V với miền = D D( A) ⊂ V , D ={v ∈V , Av ∈ L2 (Ω,  d )} Không gian D( A) trang bị với chuẩn {�Au�+�u�} Cho hàm 37 F : Ω × d →  ( x, s )  F ( x, s ) cho = F ( x,0) với x ∈ Ω Khi đó, xét tốn Au = f ( x, u ), (4.1) f : X → Lp (Ω,  d ) liên hệ với F qua công thức f ( x, u ( x)) =F ( x, u ( x)) X A−1 ( Lp (Ω,  d )), chuẩn X ký hiệu �u�X , Lp (Ω,  d ) ký hiệu = �u�p Ký hiệu ( Au , u )dx − ∫Ω F ( x, u )dx ∫Ω = E (u ) (u ) = − Au + f ( x, u )  = {ψ ∈ D : Aψ = f (ψ )} Mệnh đề 4.1 (Định lý Lojasiewicz-Simon) Với ϕ ∈  tồn θ ∈ (0, ) , u − ϕ�X < σ σ > cho với u ∈ X � �− Au + f ( x, u )�≥|  (u ) −  (ϕ ) |1−θ (4.2) Định lý 4.1([8, trang 190]) Giả sử tồn p ≥ cho (i ) A−1 ( Lp (Ω,  d )) L∞ (Ω,  d ) với phép nhúng liên tục (ii) Với a ∈ L∞ (Ω,  d ×  d ), h ∈ L∞ (Ω,  d ) u ∈ D nghiệm Au + a ( x)u = h, u ∈ Lp (Ω,  d ) (iii ) F giải tích s x ∈ Ω F (·,·) , 2 F (·,·) bị chặn Ω × (− β , β ) d , ∀β > (F = ( dF dF , , )) d s1 d sd Xét phương trình f ( x, u ) ut + Au =  u (0,·) = u0 (·) có u nghiệm giả sử {u (t ,·)} t ≥1 ∫ compact tương đối X (4.3) (4.4) 38 Khi tồn nghiệm ψ (4.1) cho lim�u (t ,·) −ψ (·)�X = t →∞ Chứng minh Cho u0 ∈V cho nghiệm u (4.3) thỏa (4.4) ta định nghĩa tập ω − limit u : ω (u )= {ϕ ∈ X , ∃tn → ∞,lim�u (tn ,·) − ϕ (·)�= 0} X n→∞ Khi ω (u ) tập compact, khác rỗng, liên thông  Lấy ϕ ∈ ω (u ), ϕ ≠ ta thực đổi biến đến u= ϕ + v, ta ϕ = f ( x,0) = với x ∈ Ω Vì ∈ ω (u ) , ∃tn → ∞,lim�u (tn ,·)�X =0 n→∞ Mặc khác nhân (4.5) (4.5) du lấy tích phân Ω , ta có dt du ∫ | dt | Ω dx = − d [ E (u (t ,·))] dt (4.6) Nhưng du ∫ | dt | Ω dx = ∫Ω | − Au + f ( x, u ) |2 dx Vì du du dx � ��− Au + f ( x, u )� ∫ | dt |= dt Ω Khi ta có − d du [ E (u (t= ,·))] � ��− Au + f ( x, u )� dt dt (4.7) ,·)) E= (0) 0, suy Ta có E (0) = từ (4.5) với E liên tục nên lim E (u (tn= n→∞ E (u (t ,·)) → t → ∞ E (u (t ,·)) ≥ với t ≥ Măt khác từ (4.5) ta có ∀ε > 0(ε cho ∀n ≥ N , ε ε �u (tn ,·)�X < vaø [ E (u (tn ,·))]θ < 2 θ Đặt = t Sup{t ≥ t N � : u ( s,·)�X < s , ∀s ∈ [t N , t ]} giả sử t < ∞ (4.8) 39 Xét hai trường hợp, tồn t0 ∈  + cho E (u (t0 ,·)) = , E (u (t ,·)) = với t ≥ t0 Từ (4.6) suy u (t ) = tốn (4.1) có nghiệm ϕ = Do ta có hội tụ nghiệm phương trình (4.3) Mặt khác kết hợp (4.7) (4.2), với t ∈ (t N , t ), − d d [ E (u (t ,·))]θ = −θ [ E (u (t ,·))]·[ E (u (t ,·))]θ −1 dt dt du = θ� ��− Au + f ( x, u )�[ E (u (t ,·))]θ −1 dt du ≥ θ� � dt (4.9) Lấy tích phân (4.9) (t N , t ) ta có du ∫ �dt�dt ≤ θ | E (u (t t tN N ,·)) |θ (4.10) Trong t du �u ( t ,·)�≤ ∫t� �dt +�u (t N ,·)� dt N Kết hợp (4.8) (4.10) �u ( t ,·)�X ≤ ε Vì điều kiện compact tương đối (4.4), dãy hội tụ L2 (Ω,  d ) hội tụ X nên �u ( t ,·)�X ≤ σ , u liên tục nên tồn t1 > t thỏa �u (t1 ,·)�X ≤ σ mâu thuẩn với định nghĩa t , t = ∞ Khi (4.10) trở thành du ∫ �dt�dt ≤ θ | E (u (t ∞ tN N ,·)) |θ (4.11) Suy tồn giới hạn tương đối u (t ,·) L2 (Ω,  d ) nên hội tụ X (do điều kiện (4.4)) Định lý chứng minh xong  40 4.2 Tính ổn định trạng thái Xét phương trình phụ thuộc theo t u (t ) = − f (t , u (t )), t ≥ 0; u (0) = u0 (4.12) ổn định không gian Banach thực V Giả sử f :  + × V → V ánh xạ liên tục tuân theo tính chất Lipschitz địa phương: Với T > C > tồn số dương L ≡ L(T , C ) cho � f (t , u ) − f (t , v)�V ≤ L� · u − v�V (4.13) với t ∈ [0, T ] u , v ∈ X với �u�V ≤ C , �v�V ≥ C Từ kết chương ta có: Với , tốn (4.12) ln tồn nghiệm khoảng thời gian [0, T ) u0 ∈V Cho U ⊂ V tập mở V xét phiếm hàm C , : :U →  cho đạo hàm Frechet  ′ ánh xạ liên tục từ U vào V ' Đặt S := {ϕ ∈U : : ′(ϕ ) = 0} tập hợp điểm tới hạn  Xét điểm tới hạn ϕ ∈ S mà trạng thái  theo nghĩa  đạt giá trị nhỏ điểm đó, tức  (ϕ ) = inf  (u ) u∈U (4.14) Lấy Y = V ′ cho M = :′ :U → = Y X ′ ánh xạ gradient Do nửa chuẩn � � · Y′ V chuẩn thông thường V : �u�Y=′ sup{〈u , y〉 X ×V ′ : y ∈ Y= V ′� , y�V ′ ≤ 1}= �u�V Ta đặt U r r − lân cận ϕ , nghĩa U r :={u ∈V � : u − ϕ�V < r} Cố định số σ > cho U σ ⊂ U áp đặt ánh xạ f điều kiện phát triển 〈 ′(u ), f (t , u )〉V ′×V ≥ α� ′(u )�� V ′ · f (t , u )� V  ∀(t , u ) ∈  + × U σ · f (t , u )�V � ′(u )�V ′ ≥ α� α > số dương (4.15) 41 Định lý 4.2 ([7, trang 164]) Cho ϕ trạng thái  giả sử  (ϕ ) = Giả sử  thỏa bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon gradient gần ϕ , tức tồn θ ∈ (0, ),σ > cho với v ∈V : �v − ϕ�≤ σ ⇒|  (v) |1−θ ≤� ′(v)�V ′ (4.16) σ Xét hệ (4.12) với f thỏa điều kiện (4.15) Cho ε ∈ (0, ) thỏa ∫  (u ) ds αs < φ ( s ) 2k ∀u ∈U ε (4.17) Khi đó, với u0 ∈U ε , tốn Cauchy (4.12) có nghiệm tồn cục ∞ ∫ �u (t )� < ∞ I (u ) u :[0, ∞) → U σ hội tụ chuẩn X t → ∞ , có nghĩa= Chứng minh Ta có khoảng (0,  (u )) bé s1−θ liên tục nên ∫ X  (u ) ds số s1−θ nên bị chặn Do tồn số dương ε thỏa giả thiết Cố định u0 ∈U ε , tốn Cauchy (4.12) tồn nghiệm u bán đoạn [0, T ) Ta cần phải chứng minh �u (t ) − ϕ�V < σ ∀t ∈ [0, T ) (4.18) Ta chứng minh điều phản chứng Giả sử tồn T ∈ [0, T ) cho �u (t ) − ϕ�V < σ ∀t ∈ [0, T ) nhöng �u (T ) − ϕ�V ≥ σ (4.19) Ta có f (t , u (t )) = −u (t ) , điều kiện (4.15) viết lại sau 〈− ′(u (t )), u∀∀ (t )〉V ′×V ≥ α� ·  ′(u (t ))�� V ′ · u (t )� V  · u∀ (t )�V ∀t ≥ � ′(u (t ))�V ′ ≥ α� (4.20) Hơn nữa, sử bất đẳng thức gradient (4.16) với= v u (t ) ∈U σ , t ≤ T , |  (u (t )) |1−θ ≤� ′(u (t ))�V ′ ∀t ∈ [0, T ] Khi đó, ta có α k ·∫0�u (t )�V dt ≤ ∫H (T ) T H (0) ds φ (s) (4.21) 42 Với = H (t ) : : (u (t )),(t ≥ 0) Vì u (T ) ∈U σ ⊂ U ϕ trạng thái  nên  (u (T )) ≥  (ϕ ) = Do H (T ) =  (u (T )) ≥ 0, H (0) =  (u0 ) , suy số hạng bên phải (4.21) bị chặn số ασ 2k Vậy ∫0�u (t )�V < T σ Suy �u0 − u (T )�X ≤ ∫0�u (t )�V dt < T σ Do ε >�u0 − ϕ�V ≥�u (T ) − ϕ�V −�u0 − u (T )�V > σ − σ σ =, 2 σ mâu thuẩn với chọn ε ∈ (0, ) Vậy �u (t ) − ϕ�V < σ ∀t ∈ [0, T ) Do tính chất lớn T nên T = ∞ tồn nghiệm toàn cục u [0, ∞) Ảnh u chứa tập U σ cho bất đẳng thức gradient (4.16) thỏa với điểm = v u (t ) ∈U σ Vì vậy, theo định lý 3.3 dẫn đến hội tụ tích phân I (u ) < ∞, suy hội tụ u chuẩn V Định lý chứng minh xong  Định lý 4.3 ([7, trang 166]) Cho ϕ trạng thái  với  (ϕ ) = giả sử bất đẳng thức gradient sau: φ ( (u )) ≤� ′(u )�V ′ , ∀u ∈U σ với số số dương σ cho U σ ⊂ U hàm φ thỏa ≤ (4.22) φ ∈ L1loc () Cho f : U → V ánh xạ Lipschitz địa phương thỏa điều kiện tồn số α > cho 〈 ′(u ), f (u )〉V ′×V ≥ α� ′(u )�X ′� · f (u )�V  · f (u )�V � ′(u )�V ′ ≥ α� σ với u ∈U Chọn ε ∈ (0, ) nhỏ thỏa (4.23) 43 ∫  (u ) ds αs < φ (s) ∀u ∈U ε (4.24) Khi đó, với u0 ∈U ε , tốn Cauchy − f (u (t )), t ≥ 0; u (t ) =  u (0) = u0 (4.25) có nghiệm toàn cục u :[0, ∞) → U σ hội tụ đến điểm dừng u∞ ∈ f −1 (0) ∩ U σ t → ∞ chuẩn V Đồng thời, điểm cân ϕ (4.25) ổn định Lyapunov Hơn nữa, ϕ ổn định tiệm cận thêm hai điều kiện sau Ta có ′(u )�V ′ : u ∈U σ , (u ) = inf {�:: r} > với tất r dương đủ nhỏ (4.26) Bất đẳng thức dòng thứ (4.23) tăng cường thêm điều kiện · f (u )�V ≥� ′(u )�V ′ ≥ α� · f (u )�V � α (∀u ∈U ) (4.27) Chứng minh Để chứng minh tồn nghiệm toàn cục u :[0, ∞) → U σ (4.25) ta chứng minh tương tự định lý 4.2 Với nghiệm tồn cục u ta có u (t ) ∈U σ bất đẳng thức (4.22) ta có φ ( (u (t )) ≤� ′(u (t ))�V ′ ∀t ≥ Ta lại có f (u (t )) = −u (t ) , điều kiện (4.23) viết lại sau 〈− ′(u (t )), u∀∀ (t )〉V ′×V ≥ α� ·  ′(u (t ))�� V ′ · u (t )� V;  · u∀ (t )�V ∀t ≥ � ′(u (t ))�V ′ ≥ α� (4.28) Khi đó, ta có ước lượng ∞  ( u0 ) a ·∫t �u∀ (s )�V ds ≤ ∫a dr φ (t ) ∀t ≥ (4.29) a : lim :: (u (t )) ≥ = (ϕ ) Do với= t →∞ s ∞ ∫ �u (s)� ds ≤ t V (4.30) 44 Từ (4.30) suy hội tụ nghiệm u (t ) đến điểm cân u∞ ∈ U σ t → ∞ Ta có ϕ ổn định Lyapunov Thật vậy, với τ ∈ (0,σ ) cố định tồn τ ε (τ ) ∈ (0, ) cho với u0 ∈U ε (τ ) , phương trình (4.25) có nghiệm tồn cục u thỏa �u (t ) − ϕ�V < t ∀t ≥ Phần lại chứng minh ổn định tiệm cận ϕ Giả sử σ > chọn đủ nhỏ thỏa = β : sup{: (u ) : u ∈U s } < ∞ (4.26) với r ∈ (0, β ] Suy  khơng có điểm cân khác ϕ U σ Từ (4.27) chứng tỏ ϕ điểm cân (4.25) U σ Định nghĩa hàm φ [0, β ) cách đặt φ (0) = ′(u )�V ′ : u ∈U σ , (u ) = f (r ) := inf {�:: r} > với r ∈ (0, β ] Ta có φ ( (v)) ≤� ′(v)�V ′ , ∀v ∈U σ (4.32) 1 1 φ (r ) ≥ φ (r ) với r ∈ [0, β ] Vì ∈ L1loc () ≤ suy ∈ L1 ([0, β ]) Do  φ φ φ φ mở rộng φ đến hàm  cho ≤ ∈ L1loc () Nhờ (4.31), ta thấy φ hàm phức tạp φ (4.29) thay hàm lớn φ , có nghĩa ∞  ( u ( t )) α ·∫t �u∀ (s )�V ds ≤ ∫ ( u ∞) ds φ ( s ) ∀t ≥ (4.32) với u ∞ := lim : (u (t )) giới hạn lấy V Hàm φ bán liên tục Do t →∞ đó, φ nghiêm ngặt dương tập compact (0, β ] với t ≥ tồn số g (t ) ∈ (0, β ] cho β ds α 2t = ∫g ( t )  φ (s) (4.33) 45 Hơn nữa, ta có g (t ) → t → ∞ (4.34) Tiếp theo, xét nghiệm toàn cục u :[0, ∞) → U σ (4.25) đặt h(t ) := : (u (t )) với t ≥ Khi − h′(t ) = 〈 ′(u (t )), −u (t )〉V ′×V = 〈 ′(u (t )), f (u (t ))〉V ′×V ≥ (α� ′(u (t ))�V ′ )·� f (u (t ))� ≥ (α� ′(u (t ))�V ′ )·(α� ′(u (t ))�V ′ ) −h′(t ) ≥ α 2� ·  ′(u (t ))�V2 ′ (4.35) Áp dụng bất đẳng thức gradient (4.31) với điểm= v u (t ) ∈U σ � ′(u (t )) ||V ′ ≥ φ ( (u (t )) = φ (h(t )) Từ (4.35) suy − h′(t ) ≥α2  φ (h(t )) ∀t ≥ (4.36) Lấy tích phân (4.36) đoạn hữu hạn [0, t ], ds α 2t ≤ ∫h ( t )  φ (s) h (0) ∀t ≥ (4.37) Vì = h(0)  (u0 ) ≤ β , so sánh (4.37) với (4.33) ta có  (u (t )) = h(t ) ≤ g (t ) ∀t ≥ Từ (4.32) suy ∞ g ( t ) ds �u (t ) − u∞�V ≤ ∫t �u∀ (t )�V dt ≤ ·∫0 α φ ( s ) ∀t ≥ với u∞ := lim u (t ) điểm cân (4.25) U σ  (u∞ ) ≥  (ϕ ) = Nhưng t →∞ ϕ điểm cân (4.25) lân cận U σ Vì u∞ = ϕ g ( t ) ds dt : g (t ) �u (t ) − ϕ�V ≤ ·∫0 = α φ (t ) ∀t ≥ (4.38) 46 Do khả tích địa phương kết hợp với hội tụ g (t ) → t → ∞ φ (4.31) suy hội tụ γ (t ) → t → ∞ Từ (4.38) suy ổn định tiệm cận ϕ với nghiệm tồn cục u có giá trị ban đầu u0 ∈U ε với số dương ε nhỏ thích hợp Vậy định lý chứng minh xong  47 KẾT LUẬN Việc nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hệ gradient đề tài nhà toán học Hiện nay, vấn đề với ứng dụng nhiều nhà tốn học giới quan tâm nghiên cứu để đưa nhiều kết Ngoài tác giả chứng minh hội tụ nghiệm với hệ tựa gradient bậc hệ tựa gradient bậc hai Tuy nhiên, cơng trình trình bày trang báo, tạp chí chưa có tài liệu hệ thống cách đầy đủ kết chủ đề Do đó, luận văn trình bày cách có khoa học kết hội tụ với ứng dụng người đọc có nhìn tổng quát hệ thống vấn đề Để làm điều đó, tác giả đọc tham khảo nhiều tài liệu khoa học cách nghiêm túc, có hệ thống Tác giả học tập nhiều phương pháp tiếp cận nghiên cứu vấn đề nhiều khía cạnh đọc Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế tác giả, luận văn trình bày nội dung mang tính tìm hiểu tổng kết Tác giả mong đóng góp bảo Q Thầy, Cơ Hội đồng 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Absil P A., Mahony R and Andrews B (2005), “Convergence of the iterates of descent methods for analytic cost function”, Siam Iournal on Optimization 16, pp.531547 Chill R (2003), “On the Lojasiewicz–Simon gradient inequality”, Journal of Functional Analysis 201, pp.572–601 Chill R and Fasangova E (2010), Gradient systems, 13th International Internet Seminar Chill R and Fasangova E (2005), “Convergence to steady states of solutions of semilinear evolutionary integral equations”, Calculus of variations and partial differential equations 22, pp.321–342 Chill R and Jendoubi M A (2006), “Convergence to steady states of solutions of nonautonomous heat equations in  N ”, Journal of Dynamics and Differential Equations 19, pp.777-788 Haraux A (1991), Systemes dynamiques dissipatifs et applications, Masson, Paris Huang S Z (2006), Gradient inequalities with applications to asymptotic behavior and stability of gradient-like systems, American Mathematical Society, volume 126 Jendoubi M A (1998), “A simple unified approach to some convergence theorems of L Simon”, Journal of Functional Analysis 153, pp.187-202 Jendoubi M A (1998), “Convergence of global and bounded solutions of the wave equation with linear dissipation and analytic nonlinearity”, Journal of Differential Equations 144, pp.302–312 10 Jendoubi M A (2002), “A remark on the convergence of global and bounded solutions for a semilinear wave equation on  N ”, Journal of Dynamics and Differential Equations 14, pp.589-596 11 Matano H (1978), “Convergence of solutions of one-dimensional semilinear parabolic equations”, Journal of Mathematics of Kyoto University, pp.221-227 12 Simon L (1983), “Asymptotics for a class of non-linear evolution equations, with applications to geometric problems”, Annals of Mathematics 118, pp.525–571 ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị The DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG GRADIENT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... án lý thuyết vi phân xuất phép tính vi phân nhiều biến đưa đến số lượng lớn mơ hình, tượng thể ngơn ngữ phương trình vi phân phần phương trình vi phân Đặc trưng phương trình dạng hàm lượng giảm... Chương HỆ GRADIENT VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 13 2.1 Hệ gradient không gian vô hạn chiều 13 2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục hệ gradient 13 Chương SỰ HỘI TỤ VỀ ĐIỂM CÂN BẰNG CỦA HỆ GRADIENT BẬC