Sự dao động của hệ phương trình vi phân có đối số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ VĂN CƯỜNG SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ ĐỐI SỐ LỆCH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2003 LUẬN VĂN ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  Thầy Hướng Dẫn: Phó Giáo sư - Tiến sĩ : Lê Hồn Hóa Khoa Tốn-Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh  Thầy Phản Biện 1: Tiến sĩ : Nguyễn Anh Tuấn Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh  Thầy Phản Biện 2: Tiến sĩ : Nguyễn Thành Long Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh  Người Thực Hiện: Võ Văn Cường Trường Cao Đẳng Sư phạm Kiên Giang LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ Hồ CHÍ MINH LỜI CẢM ƠN Xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS.Lê Hồn Hóa, khoa Tốn-Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người dạy dỗ, động viên, giúp đỡ học tập thời gian học cao học tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn q thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian q báu đọc, góp ý phản biện cho luận văn Xin chân thành cảm ơn quí thầy khoa Tốn-Tin học hai trường, Trường Đại học SP Tp.HCM Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Tp.HCM tận tình dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiên khoa Toán-Tin học, Phòng Quản lý KHSĐH Trường Đại học SP Tp.HCM giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin chân thành cảm ơn BGH Hội đồng Giáo viên Trường CĐSP Kiên Giang, người động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Cuối tơi xin tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn hữu đồng nghiệp động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh 2003 Võ Văn Cường MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM DUY NHẤT CUA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH 10 1.1 Lý thuyết tồn nghiệm 10 1.2 Tính bị chặn theo hàm mũ nghiệm 19 1.3 Biến đổi Laplace 21 1.4 Một số kết dao động phương trình tuyến tính đổi số lệch vơ hướng 23 Chương : SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ ĐỐI SỐ LỆCH 27 2.1 Điều kiện cần đủ cho dao động hệ phương trình tuyến tính autonomous 28 2.2 Điều kiện tường minh cho dao động không dao động hệ tuyến tính autonomous 31 2.3 Điều kiện đủ cho dao động hệ phương trình tuyến tính non autonomous 41 2.4 Sự dao động hệ phương trình vi phân đối số lệch Logistic 46 Chương 3: SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HỊA CĨ ĐỐI SÔ LỆCH 57 3.1 Điều kiện cần đủ cho dao động hệ phương trình vi phân trung hịa 57 3.2 Điều kiện tường minh cho dao động hệ phương trình trung hịa 60 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Lý thuyết dao động nghiệm hệ phương trình vi phân có đối số lệch nghiên cứu rầm rộ năm 80 trở lại Càng ngày người ta thấy có nhiều ứng dụng thực tế Đặc biệt lĩnh vực: Vật lý, Sinh học, Sinh lý học, Sinh thái học Đóng góp nhiều cho lĩnh vực phải kể đến Gyori, Ferreira, Arino, Gopalsamy Ladas Các tác giả nghiên cứu dao động nghiệm hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng hệ phương trình vi phân có đối số lệch tuyến tính sở phương trình đặc trưng Từ với hệ phương trình cụ thể thực tế xét dựa vào hệ phương trình tuyến tính hóa (linearized equation) Chính thú vị theo hướng nghiên cứu thu hút chúng tơi nghiên cứu hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng Tuy nhiên cấp độ luận văn Thạc sĩ trình độ cịn nhiều hạn chế tác giả, chúng tơi tập trung vào nghiên cứu dao động nghiệm hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous hệ phương trình vi phân trung hịa sở phương trình đặc trưng Từ chúng tơi xây dựng điều kiện cần điều kiện đủ cho lớp hệ phương trình cụ thể Hơn chúng tơi cịn xét đến dao động nghiệm hệ non_autonomous tức hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính có hệ số lệch hàm số Đặc biệt luận văn nghiên cứu đến dao động nghiệm hệ phương trình vi phân đối số lệch Logistic, dạng toán sinh học, sinh lý học, sinh thái học mà việc xét tính dao động, khơng dao động thơng qua hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính hoa Luận văn trình bày ba chương: Chương 1, Đây chương sở luận văn, chúng tơi trình bày đây:  Các khái niệm định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân có đối số lệch  Tính bị chặn theo hàm mũ nghiệm  Các tính chất biến đổi Laplace  Một số kết dao động nghiệm phương trình vi phân đối số lệch vô hướng cần cho hai chương sau Chương 2, Đây hai chương luận văn Trong phần chúng tơi trình bày khái niệm nghiệm dao động, điều kiện cần đủ cho dao động nghiệm hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous Từ bước xây dựng điều kiện cần điều kiện đủ cho lớp hệ phương trình cụ thể Các điều kiện cần cho dao động hệ tuyến tính non_autonomous Sự dao động nghiệm hệ phương trình Logistic, ứng dụng quan trọng hệ phương trình vi phân đối số lệch Chương 3, Ở chương chúng tơi trình bày đến dao động nghiệm hệ phương trình đối số lệch tuyến tính tổng qt hơn, hệ phương trình vi phân trung hịa Trên sở phương trình đặc trưng, chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ để tất nghiệm hệ dao động từ thiết lập điều kiện tường minh cho dao động nghiệm chứng Để thực luận văn, tham khảo tài liệu liên quan [1], [2], [3], [4], [5] liệt kê tài liệu tham khảo Chương CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM DUY NHẤT CUA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH 1.1 Lý thuyết tồn nghiệm Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch x(t )  f (t, x(t ), x(t   (t )), , x(t   n (t )))  (1.1.1) t0  , m  f  C[[t , )  m  m   m , m * , ] vµ  i  C[[t , ),  ], i  1,2, , n, lim[t   i (t)]  ,i  1,2, ,n (1.1.3) t  Với điểm đầu t0  t (1.1.2) ta định nghĩa   t1  t1 (t0 )  inf{t   i (t )} 1in t t0 (1.1.4) Ta có t-1 phụ thuộc vào i(t) t0 Đoạn [t-1,t0] gọi đoạn đầu kết hợp với điểm đầu t0 hệ (1.1.1) Cùng với hệ (1.1.1) điểm đầu t0 ta có điều kiện đầu x(t)=(t),t-1 ≤ t ≤ t0  :[t1 , t0 ]  m (1.1.5) gọi hàm ban đầu Định nghĩa 1.1.1 a Hàm x gọi nghiệm hệ (1.1.1) tập I, I tập [t0,T), [t0,T] [t0,) với t  t0  T , x :[t1 , t0 ]  I  hệ (1.1.1) I m liên tục khả vi liên tục I thỏa mãn ... tác giả nghiên cứu dao động nghiệm hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng hệ phương trình vi phân có đối số lệch tuyến tính sở phương trình đặc trưng Từ với hệ phương trình cụ thể thực... 2.4 Sự dao động hệ phương trình vi phân đối số lệch Logistic 46 Chương 3: SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HỊA CĨ ĐỐI SƠ LỆCH 57 3.1 Điều kiện cần đủ cho dao động. .. Một số kết dao động phương trình tuyến tính đổi số lệch vô hướng 23 Chương : SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH 27 2.1 Điều kiện cần đủ cho dao động hệ phương