Bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM NGUYỄN HỒNG LIÊN BÀI TỐN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN ANH TUẤN TP HỒ CHÍ MINH-2005 MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU CÁC KÍ HIỆU CƠ BẢN CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN ĐOẠN HỮU HẠN .6 § 1 Tính chất Fredholm hệ phương trình vi phân hàm tổng quát § Công thức Green CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 11 § Các điều kiện tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính 11 § 2 Các điều kiện cụ thể cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính 15 § Bất đẳng thức cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến 19 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 24 § Hệ phương trình vi phân hàm tổng quát 24 § Hệ phương trình vi phân hàm với tốn tử Volterra 31 § 3 Hệ phương trình vi phân hàm với đối số lệch 34 § Hệ phương trình vi phân hàm với tham số bé 39 CHƯƠNG TÍNH XẤP XỈ ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH .42 § Tính xấp xỉ hệ phương trình vi phân hàm tổng quát 42 § Tính xấp xỉ hệ phương trình vi phân hàm với đối số lệch 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân hàm đề cập vào kỉ 18 cơng cụ tốn học cho tốn vật lý hình học Chúng ta tìm thấy chúng nghiên cứu Euler Condorcet Tuy nhiên đến cuối kỉ 19, phương trình vi phân hàm E.Schimidt, E.Hilb nghiên cứu trường hợp cụ thể mà chưa tổng quát Những năm đầu kỉ 20, có kết nghiên cứu cách hệ thống phương trình vi phân với đối số chậm.Thập kỉ 30, quan tâm phưong trình vi phân hàm ghi nhận đặc biệt ứng dụng rộng lớn kĩ thuật, sinh học kinh tế Vào lúc đó, định lý phương trình vi phân với đối số chậm phương trình vi tích phân đề cập cơng trình A.Myshkis R.Bellman số nhà toán học khác (Elsgolc,Norkin,Hale…) theo hướng mà lập nên định lý mở rộng phương trình vi phân hàm sử dụng nhiều đến Định lý khơng quan trọng ứng dụng mà cịn mở rộng phạm vi cho lý thuyết Ngày lý thuyết phương trình vi phân hàm phát triển thành ngành độc lập có ứng dụng rộng lớn ngành vật lý học, học lượng tử, sinh học kinh tế Vì việc tiếp tục nghiên cứu lý thuyết ứng dụng phương trình vi phân hàm cần thiết Nội dung luận văn nghiên cứu tính tồn nghiệm, tính xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính đoạn hữu hạn Cụ thể mở rộng trực tiếp kết cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính xem xét [4] Nội dung luận văn gồm chương Chương1: Tính chất Fredholm hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính công thức nghiệm Chương 2: Bất đẳng thức cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính phi tuyến Chương 3: Các điều kiện tồn nghiệm hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính tổng quát số trường hợp riêng Chương 4: Tính xấp xỉ hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính tổng quát hệ phương trình vi phân hàm với đối số lệch Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q thầy trường Đại học Sư phạm Tp.HCM, khoa Tốn, phịng KH-SĐH giúp đỡ tơi q trình học tập trường Đặc biệt xin cảm ơn Thầy Nguyễn Anh Tuấn tận tình giúp đỡ tơi hồn thành luận văn CÁC KÍ HIỆU CƠ BẢN R=(-¥,+¥), R+=[0,+¥), R-=(-¥,0]; I=[a,b]; ⎧1 dik kí hiệu Kronecker nghĩa δik = ⎨ ⎩0 i=k ; i ≠ k ⎧1 t ∈ I ; cI hàm đặc trưng đoạn I nghĩa χ I (t) = ⎨ ⎩0 t ∉ I Rn không gian véc tơ cột n chiều x = (x i )in=1 với xiỴR (i=1 … n) ; Rn´m khơng gian ma trận cấp m´n X=(xik)m´n với xikỴR(i=1 n,k=1 m) n m X = ∑∑ | x ik | ; chuẩn i =1 k =1 Nếu X=(xik)m´n,Y=(yik)m´n ỴRn´m X£Y Û xik £ yik (i=1 n,k=1 m); Nếu X ma trận vng cấp n det(X) định thức ma trận X, X-1 ma trận nghịch đảo ma trận X, r(X) bán kính phổ ma trận X, E ma trận đơn vị , Q ma trận không, ⎛ x1 0 ⎞ diag(x1 , , x n ) = ⎜⎜ % ⎟⎟ ; ⎜0 x ⎟ n ⎠ ⎝ Nếu x = (x i )in=1 Sgn(x)=diag(sgn(x1), .,sgn(xn)); Các véc tơ (ma trận) hàm gọi liên tục, khả tích, đo tất thành phần có tính chất đó; C(I, Rn´m) không gian ma trận hàm liên tục X: I ® Rn´m với chuẩn || X ||C = max{ X(t) : t ∈ I} ; Cloc (R, Rn´m) khơng gian hàm X: R® Rn´m liên tục tập compắc; Cw (R, Rn´m) không gian hàm X: R® Rn´m liên tục tuần hồn theo chu kì w với chuẩn Nếu XỴC(I, Rn´m) || X ||Cω = max{ X(t) : ≤ t ≤ ω } |X|C =(||xik||C)m´n ; Lm(I, Rn´m),với 1£m khơng gian hàm X:I ® Rn´m khả tích bậc m với chuẩn b μ || X ||Lμ = ( ∫ || X(t) || dt) ; μ a i R n×m ) khơng gian hàm X: I ® Rn´m liên tục tuyệt chuẩn C(I, || X ||Ci =|| X ||C + || X ' ||L ; Nếu X(t)= (xik(t))m´n : I ® Rn´m X'(t)=(x'ik(t))m´n, b b ∫ X(τ)dτ = (∫ x a ik (τ)dτ) m×n , a ess sup{X(t)}=(esssup{x ik (t)})m×n …; t∈I t∈I Nếu ZỴC(I,Rn´n) ma trận hàm với cột z1 .zn g:C(I,Rn) ®L(I,Rn) (hay g:C(I,Rn) ®Rn) tốn tử tuyến tính g(Z) ma trận hàm với cột g(z1) g(zn) ‫܀‬ CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN ĐOẠN HỮU HẠN § 1 Tính chất Fredholm hệ phương trình vi phân hàm tổng quát Trên đoạn I=[a,b], ta xét hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính x '(t) = p(x)(t) + q(t) (1.1) l(x) = c0 (1.2) với điều kiện biên tuyến tính Trong p:C(I,Rn)®L(I,Rn) tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh l: C(I,Rn)® Rn tốn tử tuyến tính bị chặn, qỴL(I,Rn) c0ỴRn Điều kiện (1.2) trường hợp riêng : điều kiện ban đầu x(t0)=c0, (1.3) với t0 Ỵ[a,b], điều kiện biên nhiều điểm m ∑ A x(t ) = c j j=1 j , (1.4) với m ≥ 2, tjẻ[a,b] v AjẻRnìn (j=1 m), iu kin biờn dng tích phân b ∫ A (t)x(t)dt=c 0 , (1.5) a với A0 ỴL(I,Rn) Định nghĩa 1.1 Tốn tử tuyến tính p: C(I,Rn)®L(I,Rn) gọi bị chặn mạnh tồn hàm khả tích h:I®R+ cho ||p(x)(t)||≤h(t)||x||C với tỴI, xỴ(C(I;Rn) (1.6) n i Định nghĩa 1.2 Vectơ hàm x ∈ C(I,R ) gọi nghiệm hệ phương trình (1.1) thỏa (1.1) hầu khắp nơi I Nghiệm hệ phương trình (1.1) nghiệm hệ phương trình (1.1), (1.2) thỏa điều kiện (1.2) ‫܀‬ Cùng với hệ (1.1), ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính đối số lệch x '(t) = P(t)(x(τ(t)) + q (t) (1.7) thoûa x(t)=u(t) vụựi t I vi PẻL(I,Rnìn), q0 ẻL(I,Rn), t: I ®R hàm đo u: R\I®Rn hàm vectơ liên tục bị chặn Ta đặt ⎧a ⎪ τ0 (t) = ⎨τ(t) ⎪b ⎩ τ(t)b (1.8) p(x)(t)=cI(t(t))P(t)x(t0(t)), (1.9) u(t)=0 với tỴI, q(t)=P(t)u(t(t))+ q0(t) (1.10) ‫܀‬ Cùng với (1.1), (1.2), xét hệ phương trình tương ứng x'(t) = p(x)(t) , (1.10) l(x) = (1.20) Và ta xét hệ phương trình vi phân tương ứng (1.7) x’(t)=cI(t(t))P(t)x(t0(t)) (1.70) Định lý 1.1 Hệ phương trình (1.1), (1.2) có nghiệm hệ phương trình tương ứng (1.10), (1.20) có nghiệm tầm thường Chứng minh t B=C(I,Rn)ìRn Vi u=(x,c) ẻB ta xột chun ||u||B=||x||C+||c|| Khi B khơng gian Banach Ta đặt t f (u)(t) = (c + x(a) + ∫ p(x)(s)ds,c − l(x)) với t∈[a,b], (1.11) a t h(q,c0 )(t) = ( ∫ q(s)ds,c0 ) với t∈[a,b] (1.12) a Hệ phương trình (1.1), (1.2) tương đương với phương trình sau B u=f(u)+h (1.13) Khi u=(x,c) nghiệm phương trình (1.13) c=0 x nghiệm hệ phương trình (1.1), (1.2) Khi ||u|| ≤ 1, ta lại có ||f2(u)(t)|| ≤1+ || l || , s s t t f1 (u)(t) ≤ 1+||η||L , f1 (u)(t) − f1 (u)(s) ≤ ∫ p(x)(ξ)dξ ≤ ∫ η(ξ)dξ Nên f2(B(0,1)) tập compắc tương đối Rn Và f1(B(0,1)) tập bị chặn đẳng liên tục C(I,Rn) Theo định lý Ascoli-Arzela nên f1(B(0,1)) tập compắc tương đối C(I,Rn) Do (1.11) nên f:B®B tốn tử tuyến tính compắc Theo định lý Fredholm phương trình hàm (1.13) có nghiệm phương trình u=f(u) (1.130) có nghiệm tầm thường Tuy nhiên phương trình (1.130) tương đương với hệ phương trình (1.10), (1.20) Do định lý chứng minh ‫܀‬ Do hệ phương trình (1.7), (1.2) viết lại thành hệ phương trình (1.1), (1.2) với t0,p,q định nghĩa (1.8)-(1.10) nên theo định lý 1.1 ta có hệ sau Hệ 1.1 Hệ phương trình (1.7), (1.2) có nghiệm hệ phương trình tương ứng (1.70), (1.20 ) có nghiệm tầm thng Đ Cụng thc Green nì n i Định nghĩa 1.3 Y ∈ C(I,R ) gọi ma trận hệ phương trình (1.10), (1.20) Y’(t)=p(Y)(t) với hầu hết tỴI l(Y)=E (1.14) n i Định nghĩa 1.4 Tốn tử tuyến tính bị chặn g : L(I,R n ) → C(I,R ) gọi tốn tử Green hệ phương trình (1.10), (1.20) với q∈L([a,b],R) x(t)=g(q)(t) (1.15) nghiệm hệ phương trình (1.1), (1.20) Định nghĩa 1.5 Ma trận hàm đo G: I×I →Rn×n ma trận Green hệ phương trình (1.10), (1.20) ess sup{|G(t,s)| :a a pk(x)(t)=cI(tk(t))Pk(t)x(t0k(t)), (4.50) uk(t)=0 với tỴI, qk(t)=Pk(t)uk(tk(t))+q0k(t) (4.51) t0, p, q định nghĩa biểu thức (1.8)-(1.10) Theo bổ đề 4.2 điều kiện (4.34)-(4.37), (4.39), biểu thức (1.10) (4.51) ta có điều kiện (4.26) Mặt khác, (4.39) (4.50) nên điều kiện (4.27) thỏa Vì vậy, theo hệ 4.1 ta cần chứng minh điều kiện (4.25) thỏa với hàm y: I ®Rn Từ (1.8), (4.34)-(4.36), (4.39)và (4.49) ta có Hk(t)=cI(tk(t))Pk(t), H(t)=cI(t(t))P(t), vk(t)=y(t0k(t)), v(t)= y(t0(t)) thỏa điều kiện (4.41)-(4.43) Vì theo bổ đề 4.2, điều kiện (4.44) thỏa Từ (1.9) (4.50), điều kiện (4.44) tương đương (4.25) Định lý 4.3 Giả sử hệ phương trình (4.32), (4.33) có nghiệm, t lim (ρk ∫ [Pk (s) − P(s)]ds)=0 I, k →+∞ a (4.52) 51 t lim (ρk ∫ [q 0k (s) − q (s)]ds)=0 I, (4.53) lim (ρ2k [u k (t) − u(t)])=0 R\ I, (4.54) k →+∞ a k →+∞ b ρk = + ∫ || Pk (t) || dt với a điều kiện (4.38) thỏa Hơn giả sử t: I®R hàm liên tục đơn điệu tồn số dương r cho |t'(t)|>r hầu hết t ỴI, (4.55) thành phần véc tơ hàm u biến phân bị chặn tk (t)ºt(t) (k=1 .) (4.56) Khi kết luận định lý 4.2 thỏa Chứng minh Từ (4.56), hệ phương trình (4.32), (4.33) (tương ứng (4.32k), (4.33k)) tương đương với hệ phương trình (4.1), (4.2) (tương ứng (4.1k), (4.2k)) với t0, p, q định nghĩa biểu thức (1.8)-(1.10) pk(x)(t)=cI(tk(t))Pk(t)x(t0(t)), (4.57) uk(t)=0 với tỴI, qk(t)=Pk(t)uk(t(t))+q 0k(t) (4.58) Từ định lý 4.1 ta chứng minh dãy pk, qk (k=1,2 ) thỏa điều kiện (4.3)-(4.5) Ta có 1+ p k £ rk (k=1,2 .) (4.59) lim (ρk || Qik ||C ) = (i=0,1) (4.60) Do điều kiện (4.52) nên k →+∞ t với Qik (t) = ∫ [i+(−1)i χ I (τ(s))][Pk (s) − P(s)]ds (i=0,1) a Từ (1.9), (4.57), với hàm y:I®Rn liên tục tuyệt đối, ta có t t ∫ [pk (y)(s) − p(y)(s)]ds=∫ Q'0k (s)y(τ0 (s)) = a a t = Q 0k (t)y(τ0 (t)) − ∫ Q 0k (s)dy(τ0 (s)) a (4.61) 52 t y(t) = z(a) + ∫ χ I (τ(s))Pk (s)z(τ0 (s))ds Nếu y ∈ Zpk a z Ỵ C(I,Rn), ||z||C=1 với b || y ||C ≤ + ∫ || Pk (s) || ds = ρk Vì (4.62) a Từ tính đơn điệu hàm t0 điều kiện (4.55) nên b | ∫ dy(τ0 (s)) |≤ a ρk ρ (4.63) Do (4.62)và (4.63), (4.61) nên t ∫ [p k a (y)(s) − p(y)(s)]ds ≤ (1 + )ρk || Q 0k ||C với tỴI y ∈ Zpk ρ Nên theo (4.60), điều kiện (4.3) thỏa.Với hàm y: I®Rn liên tục tuyệt đối b ρ0 =|| y ||C + ∫ || dy(τ0 (s)) || ds đặt a t ∫ [p Từ (4.61) ta có k (y)(s) − p(y)(s)ds ≤ ρ0 || Q 0k ||C với tỴI a Theo (4.59)và (4.60) nên điều kiện (4.4) thỏa Từ (1.10) (4.58), ta có t ∫ [q k a t t a a (s) − q(s)]ds= ∫ Pk (s)[u k (τ(s)) − u(τ(s))]ds+ ∫ Q'1k (s)u( τ(s))ds + t + ∫ [q 0k (s) − q (s)]ds a t ∫ Q' Tuy nhiên 1k a t (s)u(τ(s))ds = Q1k (t)u(τ(t)) − ∫ Q1k (s)du( τ(s)) a Vì t ∫ [q k (s) − q(s)]ds ≤ ρk sup { u k (t) − u(t) : t ∈ R \ I}+ρ ' Q1k a t + ∫ [q 0k (s) − q (s)]ds a C + 53 b với ρ ' = sup { u(t) : t ∈ R \ I}+ ∫ du(τ(s)) a Từ (4.54), (4.59) (4.60), điều kiện (4.5) thỏa ‫܀‬ Chú ý Các kết chủ yếu mở rộng trực tiếp kết [4] Và kết lần đầu nghiên cứu I.Kiguradze Půža [16] ‫܀‬ 54 KẾT LUẬN Trong phần luận văn trên, chủ yếu nghiên cứu kết cho hệ phương trình hàm tuyến tính Ngay kết qủa cho hệ phương trình vi phân tuyến tính đối số lệch cịn nhiều vấn đề cần phải xem xét tiếp Ngoài kết chưa nghiên cứu hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Cụ thể kết cho hệ phương trình vi phân xem [4] cịn hay khơng cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến cịn cần nghiên cứu tiếp mở rộng ‫܀‬ 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO R Coti (1961), "Problémes lineaires pour equations differentialles ordinaires", Math.Nachr 23, No.2, 161-178 R.Coti (1967), "Recent trends in the theory of boundary value problems for ordinary differential equations", Boll.Unione Mat.Ital 22, No.2, 135-178 I.Kiguradze (1975), Some singular boundary value problems for ordinary differential equations, Tbilisi Univ.Press, Tbilisi I.Kiguradze (1988), " Boundary value problems for system of ordinary differential equations", J.Sov.Math.43, No.2, 2259-2339 I.Kiguradze (1997), Initial and boundary value problems for systems of ordinary differential equations, Mestsniereba, Tbilisi I.Kiguradze, B.Půža (1997),"On boundary value problems for functional differential equations", Mem.Differential Equations Math.Phys12, 106-113 I.Kiguradze, Z.Shokhadze (1997), "On singular functional differrential inequalities", Georgian Math, J.4, No.3, 259-278 Š.Schawabik, M.Tvrdý (1979), "Boundary value problems for generalized linear differential equations", Czechoslovak Math, J.29, 451-477 M.Tvrdý (1973), "Boundary value problems for linear generalized integrodifferential and their adjoints", Czechoslovak Math, J.23, 183-231 10 I Kiguradze, B.Půža (1997), " On a certain singular boundary value problems for linear differential equations with deviating arguments", Czechoslovak Math, J.47, No.2, 233-244 11 R.Hakl, I Kiguradze, B.Půža (2000), " Upper and lower solutions of boundary value problems for functional differential equational and theorems on functional differential inequalities ", Georgian Math, J.7, No.3, 489-512 56 12 R.Hakl, A.Lomtatidze (2002)," A note on the Cauchy problem for first order linear differential equations with a deviating argument", Arch.Math 38, No.1, 61-71 13 R.Hakl, A.Lomtatidze, B.Půža (2001), " On nonnegative solutions of first order scalar functional differential equations", Mem.Differential Equations Math.Phys.23, 51-84 14 E.Bravyi, A.Lomtatidze, B.Půža (2000), " A note on the theorem on differential inequalities", Georgian Math, J.7, No.4, 627-631 15 M.Tvrdý (2000), "Linear boundary value problems for generalized differential equations", Ann Math Sil.14, 51-80 16 I.Kiguradze, B.Půža (1997), "On boundary value problems for systems of linear functional differential equations", Czechoslovak Math, J.47, No.2, 341-373 ... ĐẲNG THỨC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 11 § Các điều kiện tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính 11 § 2 Các điều kiện cụ thể cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính ... đẳng thức cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến 19 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 24 § Hệ phương trình vi phân hàm tổng quát... TÍNH XẤP XỈ ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH .42 § Tính xấp xỉ hệ phương trình vi phân hàm tổng quát 42 § Tính xấp xỉ hệ phương trình vi phân hàm với đối số lệch