Bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Thái BÀI TỐN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 12 - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Thái BÀI TỐN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh 12 - 2020 LỜI CẢM ƠN Trước hết tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, người trực tiếp hướng dẫn lựa chọn thực đề tài này, cảm ơn Thầy tận tâm bảo, giúp đỡ truyền đạt kiến thức để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt khoa Tốn- tin phòng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Qua xin gởi lời cảm ơn chân thành đến bạn học viên lớp Tốn giải tích k28, bạn bè, đồng nghiệp ln cổ cũ, động viên giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 12 năm 2020 Học viên Nguyễn Quốc Thái DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU N tập hợp số tự nhiên, R tập hợp số thực, R+ = [0; +∞) I = [a,b] [x]+ = |x|+x , [x]− = |x|−x C (I, R) không gian Banach hàm liên tục u : I → R với chuẩn u C (I, R+ ) = {u ∈ C (I, R) : u(t) C = max {|u(t)| : t ∈ I} t ∈ I} L(I, R) không gian Banach hàm số khả tích Lebesgue u : I → R với chuẩn b u C |u(t)|dt = a AC(I, R) tập hợp hàm số liên tục tuyệt đối đoạn [a, b] L(I, R+ ) = {u ∈ L(I, R) : u(t) ≥ hầu khắp nơi t ∈ I} LI tập hợp tóan tử tuyến tính bị chặn l : C (I, R) → L (I, R) cho hàm số t → sup {|l(u)(t)| : u C = 1} thuộc L(I, R) PI tập hợp tốn tử tuyến tính dương tức l ∈ PI l ∈ LI biến tập C (I, R+ ) thành tập L (I, R+ ) l ∈ LI gọi toán tử a-Volterra (tương ứng b-Volterra) x ∈ (a,b] (tương ứng x ∈ [a,b) v ∈ C ([a, b] , R) cho v(t) = với t ∈ [a, x] ( tương ứng v(t) = với t ∈ [x, b]) ta có l(v)(t) = ta có t ∈ [a, x] hầu khắp nơi (tương ứng l(v)(t) = ta có t ∈ [x, b] hầu khắp nơi ) Nghiệm phương trình (0.1) hàm số u ∈ AC ([a, b] , R) thỏa mãn (0.1) hầu khắp nơi [a;b] Một nghiệm toán (0.1), (0.2) nghiệm u (0.1) thỏa (0.2) Mục lục Giới thiệu Chương Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính 1.1.Định lý bất phương trình vi phân 1.2.Các định lý tồn nghiệm cho toán Cauchy (1.1) (1.2) 11 Chương Bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính 19 2.1.Giới thiệu toán định nghĩa 19 2.2.Bất phương trình vi phân hàm 21 2.3.Các định lý tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính 24 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Giới thiệu Các phương trình vi phân hàm xuất từ kỷ 18 cơng thức tốn học cho tốn vật lý hình học Tuy nhiên cuối kỷ 19 chúng biết đến áp dụng cụ thể chưa có nghiên cứu mang tính chất hệ thống Đầu kỷ 20, quan tâm dành cho phương trình vi phân tăng lên, đặc biệt ứng dụng khí, sinh học kinh tế Ở thời điểm đó, nhà toán học theo hướng nghiên cứu xây dựng nên lý thuyết định tính cho phương trình vi phân hàm thuyết cịn tồn đến ngày Vào thập niên 1970, phát kiến lớn việc xây dựng lý thuyết tốn biên cho phương trình vi phân hàm đề xuất đặt tảng cho lý thuyết tốn biên cho phương trình vi phân hàm xây dựng Các cơng cụ giải tích hàm tôpô công cụ hiệu để nghiên cứu lĩnh vực Tuy nhiên việc nghiên cứu tốn biên cụ thể cho phương trình vi phân hàm thành cơng phần Vẫn cịn nhiều khó khăn nghiên cứu phương trình vi phân hàm trường hợp phương trình tuyến tính Trong năm gần nỗ lực nghiên cứu thành công trường hợp số tốn biên cho phương trình vi phân hàm Đặc biệt cơng trình tác giả I Kiguradze B P˚ uˇza, điều kiện tinh vi đảm bảo cho tính giải giải lớp thật rộng tốn biên cho phương trình vi phân hàm phát Phương pháp sử dụng phương pháp ước nghiệm kỹ thuật bất đẳng thức đạo hàm Nội dung luận văn trình bày lại hai báo: 1) Alexander Domoshnitsky, Robert Hakl and Bedˇrich P˚ uˇza, Multi – point boundary value problems for linear functional-differential equations, Geogian J 2017;aop 2) E Bravyi, Perm, R Hakl and A Lomtatidze, Brno, Optimal conditions for unique solvability of the Cauchy problem for first order linear functional-differential equations, Czechoslovak Math J 52(127) (2002) no.3, 513-530 Cụ thể xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính Tù áp dụng để xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm phương trình vi phân hàm đối số chậm đối số lệch Luận văn gồm hai chương chính: Chương 1: Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính Xét tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính u (t) = l(u)(t) + q(t) (0.1) u(a) = c (0.2) thỏa mãn điều kiện đầu Trong l : C(I, R) → L(I, R) tốn tử tuyến tính bị chặn q ∈ L(I, R) , c ∈ R Trong chương ta xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán (0.1) (0.2) Sau áp dụng kết tìm để nghiên cứu việc tồn nghiệm phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch Chương 2: Bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính Trong chương xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm phương trình vi phân hàm bậc toán (0.1) thỏa mãn điều kiện biên m αi u(ti ) = c (0.3) k=1 với l : C([a, b] ; R) → L([a, b] ; R) tốn tử tuyến tính bị chặn, q ∈ L([a, b] ; R), αi ∈ R\ {0} (i = 1, , n), a ≤ t1 < t2 < < tn ≤ b, n ≥ c ∈ R Sau áp dụng kết để nghiên cứu việc tồn cho phương trình đối số lệch đối số chậm Chương Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính Trong chương ta xây dựng điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm tuyến tính Giả sử I = [a, b], xét toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm tuyến tính sau: u (t) = l(u)(t) + q(t) (1.1) u(a) = c0 (1.2) thỏa điều kiện đầu l : C(I, R) → L(I, R) tốn tử tuyến tính bị chặn q ∈ L(I, R) , c0 ∈ R Trường hợp đặt biệt (1.1) phương trình vi phân đối số chậm m u (t) = pk (t).u(τk (t)) + q(t) (1.1 ) k=1 với pk ∈ L (I, R) (k = 1, , m), q ∈ L(I, R) τk : I → I (k = 1, , m) hàm số đo Trước hết ta xây dựng điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán Cauchy (1.1), (1.2) ứng dụng kết cho toán (1.1’) (1.2) 1.1 Định lý bất phương trình vi phân Trước hết ta đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Ta nói tốn tử l ∈ LI , thuộc tập hợp SI toán u (t) = l(u)(t), u(a) = (1.3) có nghiệm tầm thường với q ∈ L(I, R+ ) c ∈ R+ tốn (1.1), (1.2) có nghiệm khơng âm Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: Nhận xét Nếu l ∈ PI l ∈ SI toán u (t) ≤ l(u)(t), u(a) = (1.4) khơng có nghiệm tầm thường không âm Do định nghĩa PI LI mà l ∈ PI l ∈ LI nên l ∈ SI tốn (1.3) có nghiệm tầm thường không âm Nhận xét Bao hàm l ∈ SI với hàm số u1 với u2 : I → R u1 (t) ≤ l(u1 )(t) + q(t), u2 (t) ≥ l(u2 )(t) + q(t) hầu khắp nơi I u1 (a) ≤ u2 (a) u1 (t) ≤ u2 (t) t ∈ I thỏa mãn Định lý 1.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) l ∈ PI tồn số nguyên không âm k, số tự nhiên m > k số không đổi α ∈ (0; 1) cho lm (t) ≤ αlk (t), t ∈ I (1.5) t với l0 (t) ≡ 1, li (t) = l(li−1 )(s)ds, (i = 1, ); a (ii) l ∈ PI tồn hàm số liên tục tuyệt đối γ : I → (0; +∞) thỏa mãn γ (t) ≥ l(γ)(t) (1.6) hầu khắp nơi I ∼ (iii) l ∈ PI tồn l ∈ PI cho v ∈ C(I, R+ ), bất phương trình ∼ l(ϕ(v))(t) − l(1)(t)ϕ(v)(t) ≤ l (v)(t) (1.7) hầu khắp nơi I b  b ˜l(1)(s) exp  a thỏa mãn,  l(1)(ζ)dζ  ds < s (1.8) t l(v)(s)ds, t ∈ I ϕ(v)(t) = a (iv) l toán tử Volterra, −l ∈ PI tồn hàm số liên tục tuyệt đối γ : I → (0; +∞) cho γ (t) ≤ l(γ)(t) (1.9) hầu khắp nơi I Khi l ∈ SI Chứng minh Giả sử điều kiện i) xảy lấy u : I → R+ hàm số liên tục tuyệt đối thỏa (1.4) Ta ∼ chứng minh u(t) ≡ Thật vậy, trước hết ta định nghĩa dãy toán tử l (i = 0, 1, ) i ∼ ∼ t i a ∼ l( l i−1 (u))(s)ds (i = 1, 2, ) l (u)(t) = u(t), l (u)(t) = Khi ta có ∼ li (1)(t) = li (t) (i = 1, 2, ) ∼ ∼ ∼ lm (u)(t) = l ( l (u))(t) (1.10) m−k k Từ (1.4) l không âm, dẫn đến ∼ u(t) ≤ l (u)(t)(i = 1, 2, ) (1.11) i u(t) ≤ u ∼ C l (1)(t) k = u C lk (t) (1.12) Lấy   lk (t) = 0, v(t) =  u(t) l (t) = k lk (t) Thì (1.12) suy ρ = ess sup{v(t) : t ∈ I} < +∞ ∼ u(t) ≤ ρlk (t) = ρ l (1)(t) k Từ (1.10), (1.11) (1.5) ta tìm (1.13) 23 Từ nhận xét Định nghĩa 2.6 Định lý 2.1 ta có định lý sau Định lý 2.8 Giả sử l ∈ LI l = l0 − l1 với l0 , l1 ∈ PI giả sử l0 ∈ SI (a) toán tử b-Volterra Khi l ∈ SI (b) tồn γ ∈ AC ([a, b] ; R) thỏa mãn (2.10) γ (t) ≤ l (γ) (t) (2.17) hầu khắp nơi t ∈ [a; b] Bổ đề 2.9 Giả sử l ∈ SI (a) Nếu hàm số v, w ∈ AC ([a, b] ; R) thỏa mãn v (t) ≥ l(v)(t) hầu khắp nơi t ∈ [a, b] v (a) ≥ 0, (2.18) w (t) ≤ l(w)(t) hầu khắp nơi t ∈ [a, b] w (a) ≥ 0, (2.19) w(a)v (t) ≥ v(a)w(t) t ∈ [a, b] (2.20) z(t) = w(a)v(t) − v(a)w(t) t ∈ [a, b] (2.21) ta có Chứng minh Đặt Sau đó, theo (2.18) (2.19), ta có z (t) ≥ l(z)(t) hầu khắp nơi t ∈ [a, b] , z(a) = (2.22) Khi đó, theo giả sử l ∈ SI (a), ta z(t) ≥ t ∈ [a, b] Kết (2.20) bổ đề chứng minh Bổ đề 2.10 Giả sử l ∈ S I (a) Hơn nữa, giả sử hàm số v, w ∈ AC([a, b] ; R) thỏa mãn (2.18), (2.19) tồn x ∈(a,b] cho w(a)v(x) = v(a)w(x) (2.23) 24 Thì w(a)v(t) = v(a)w(t) t ∈ [a, x] (2.24) Chứng minh Định nghĩa z (2.21) Sau đó, theo (2.18) (2.19), ta có (2.22), từ l ∈ S I (a), ta z(t) ≥ t ∈ [a, b] z (t) ≥ (2.25) hầu khắp nơi t ∈ [a, b] Mặt khác, (2.23) suy z(x) = 0, (2.25) suy (2.24) Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.11 Giả sử l ∈ SI (a) với l = l0 − l1 , l0 , l1 ∈ PI cho −l1 ∈ SI (b) toán tử a-Volterra Hơn nữa, giả sử hàm v, w ∈ AC([a, b] ; R) thỏa mãn (2.18) (2.19), tồn x ∈(a,b] cho (2.23) thỏa mãn Khi (2.24) Chứng minh Xác định z theo (2.21) Khi đó, theo Bổ đề 2.9, có z(t) ≥ t ∈ [a, b] Hơn nữa, (2.22) thỏa mãn, đó, theo (2.23), có z (t) ≥ −l(z)(t) hầu khắp nơi t ∈ [a, x], z(x) = (2.26) Bây (2.26), −l1 ∈ SI (b) tử toán a-Volterra suy z(t) ≤ t ∈ [a, x] (xem [14, nhận xét 1.9] Kết (2.24) Bổ đề chứng minh 2.3 Các định lý tồn nghiệm tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Trong phần đưa điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán (2.1) (2.2) Định lý 2.12 Giả sử l ∈ SI (a) , αi αj > (i, j = 1, , n) Khi tốn (2.1) (2.2) có nghiệm (2.27) 25 Chứng minh Theo Định lý 2.1, đủ để toán (2.3) (2.4) có nghiệm tầm thường Ngược lại, giả sử tồn nghiệm không tầm thường u tốn (2.3) (2.4) Khơng tính tổng qt, theo [14, Mệnh đề 2.1], giả sử u hàm số dương không giảm Do đó, theo (2.27), ta thấy n |αi |u (ti ) > (2.28) i=1 mâu thuẫn với (2.4) Định lý 2.13 Giả sử l ∈ SI (a) l = l0 − l1 với l0 , l1 ∈ PI −l1 ∈ SI (b) toán tử a-Volterra Hơn nữa, giả sử (2.27) thỏa mãn Khi tốn (2.1) (2.2) có nghiệm Chứng minh Theo Định lý 2.1, đủ để tốn (2.3), (2.4) có nghiệm tầm thường Ngược lại, giả sử tồn nghiệm không tầm thường u tốn (2.3) (2.4) Khơng tính tổng quát, theo bao hàm l ∈ SI (a), giả sử u thỏa mãn u(t) ≥ t ∈ [a, b] , u(a) > (2.29) Chúng ta u hàm dương Ngược lại, giả sử tồn x ∈ (a, b] cho u(x) = Sau từ (2.3), theo (2.29), thu u (t) ≥ −l1 (u)(t) hầu khắp nơi t ∈ [a, x], u(x) = (2.30) Bây (2.30), −l1 ∈ SI (b) toán tử a-Volterra, suy u (t) ≤ t ∈ [a, x] (xem [14, Chú thích 1.9]) Tuy nhiên, điều mâu thuẫn với (2.29) Do đó, theo (2.27) u hàm dương, nhận (2.28), mâu thuẫn với (2.4) Định lý 2.14 Giả sử l ∈ S I (a) Hơn nữa, tồn ij ∈ {1, , n} (j = 1, , k) cho n > i1 > i2 > > ik ≥ (2.31) (−1)r az > z = ir+1 + 1, , ir (r = 0, , k) (2.32) 26 (−1)r az < z = ir+1 + 1, , ir (r = 0, , k) (2.33) i0 = n, ik+1 = Ngoài i2r+1 i2r |az | ≥ z=i2r+1 +1 |az | , r = 0, , z=i2r+2 +1 k−1 (2.34) Nếu bất đẳng thức (2.34) nghiêm ngặt, k chẵn, [ k−1 ] l ∈ PI+ , [t2r+2 + 1, ti2r ] l(1)(t)dt = 0, I = (2.35) r=0 I Thì tốn (2.1) (2.2) có nghiệm Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý trường hợp (2.32) thỏa mãn Trường hợp (2.33) thỏa mãn tương đương đẳng thức (2.4) n i = (−αi )u(ti ) = (2.36) Theo Định lý 2.1, đủ để toán (2.3), (2.4) có nghiệm tầm thường Giả sử ngược lại tồn nghiệm không tầm thường u cho (2.3), (2.4) Khơng tính tổng qt theo [7, Mệnh đề 2.1], giả sử u hàm dương khơng giảm Do đó, từ (2.4) ta thu n 0= k ir k αi u(ti ) = r=0 z=ir+1 +1 i=1 [ k−1 ] r=0 z=ir+1 +1 |az |u(tz ) − z=i2r+1 +1 [ k−1 ] ≥ |az |u(tz ) (2.37) z=i2r+2 +1 i2r+1 i2r |az | − u(ti2r+1 ) r=0 (−1)r |αz | u(tz ) i2r+1 i2r ≥ r=0 ir αz u(tz ) = z=i2r+1 +1 |az | z=i2r+2 +1 Bây bất đẳng thức (2.34) nghiêm ngặt, ta nhận mâu thuẫn (2.37) u hàm dương Nếu k số chẵn k [ k−1 ] ir r=0 z=ir+1 +1 i2r+1 i2r |az |u(tz ) − αz u(tz ) > r=0 z=i2r+1 +1 |az |u(tz ) z=i2r+2 +1 27 ta nhận mâu thuẫn từ (2.37), u hàm dương Cuối cùng, giả sử k số lẻ (2.35) Khi đó, theo (2.34) u hàm dương, từ (2.37) suy với r ∈ 0, , k−1 i2r+1 i2r |az |u(tz ) = z=i2r+1 +1 |az |u(tz ) z=i2r+2 +1 Tuy nhiên, theo (2.34) u (t) > cho hầu khắp nơi t ∈ [a, b], đẳng thức sau trường hợp u (t) = (2.38) hầu khắp nơi t ∈ [ti2r+2 +1 ,ti2r ], r = 0, , [ k−1 ] Mặt khác, hàm w(t) = u(t) − u(a) t ∈ [a, b] hàm số không âm khơng giảm đó, theo quan điểm bao hàm l ∈ PI+ ta có l(w)(t) ≥ hầu khắp nơi t ∈ [a, b], l(u)(t) ≥ l(1)(t)u(a) (2.39) hầu khắp nơi t ∈ [a, b] Hơn nữa, u dương l(1)(t) ≥ hầu khắp nơi t ∈ [a, b], ta có: l(1)(t)u(a) ≥ (2.40) hầu khắp nơi t ∈ [a, b] Bây (2.3) (2.38)-(2.40) suy [ k−1 ] l(1)(t) = hầu khắp nơi t ∈ [ti2r+2 +1 ,ti2r ] r=0 mâu thuẫn với (2.35) Khẳng định sau suy từ định lý 2.14 Hệ 2.15 Giả sử l ∈ S I (a) t1 , t2 ∈ [a, b], cho t1 < t2 , cho α1 α2 < 0, |α2 | ≥ |α1 | T Nếu |α2 | ≥ |α1 | l ∈ PI+ , t2 t1 l(1)(t)dt = (2.41) 28 tốn u (t) = l(u)(t) + q(t), α1 u(t1 ) + α2 u(t2 ) = c (2.42) có nghiệm Hai khẳng định sau xem phần bù cho Định lý 2.14 Hệ 2.15 Định lý 2.16 Giả sử l ∈ S I (a) Ngoài ra, giả sử tồn ij ∈ {1, , n}(j = 1, , k) cho điều kiện (2.31) hai điều kiện (2.32) (2.33) thỏa mãn, i0 = n, ik+1 = Ngồi ra, ik n y(tn ) y(a) z=i |αz | |αz | ≤ (2.43) z=1 +1 k lẻ, ik−1 ik n y(tn ) y(a) z=i |αz | + |αz | ≤ z=1 +1 |αz | (2.44) z=ik +1 k chẵn i2r+2 i2r+1 |αz | ≤ z=i2r+3 +1 |αz |, r = 0, , [ z=i2r+2 +1 k−3 ], k ≥ (2.45) y ∈ AC([a, b]; R) hàm thỏa mãn (2.10) (2.11) Nếu bất đẳng thức (2.43) - (2.45) nghiêm ngặt, meas{t ∈ [a,tn ] : y (t) = l(y)(t)} > (2.46) n αi y (ti ) = (2.47) i=0 l ∈ PI+ , l(1)(t)dt = (2.48) I = I1 ∪ I2 ∪ [ti+1 ,tn ] với   [a, t ] ik I1 =  a, t ik−1 k lẻ k chẵn (2.49) 29 I2 =    [ k−3 ] k ≥ 3, [ti2r+3 +1 ,ti2r+1 ] r=0   k < 3, ∅ Thì tốn (2.1) (2.2) có nghiệm Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý trường hợp (2.32) thỏa mãn Trường hợp (2.33) xảy tương đương đẳng thức (2.4) (2.36) Theo Định lý 2.1, đủ để toán (2.3) (2.4) có nghiệm tầm thường Ngược lại, giả sử tồn nghiệm không tầm thường u cho (2.3), (2.4) Khơng tính tổng qt, theo [7, Mệnh đề 2.1], giả sử u hàm số dương không giảm Đầu tiên giả sử k số lẻ Sau từ (2.4) thu n 0= k ir αi y(ti ) = αz u(tz ) r=0 z=ir+1 +1 i=1 ik [ k−3 ] n |αz | u(tz ) + = z=1 i2r+1 |αz | u(tz ) − r=0 z=i1 +1 ik ≤ −u(a) i2r+2 |αz | u(tz ) + |αz | + u(tn ) |αz | + z=i1 +1 |αz | u(tz ) z=i2r+2 +1 ] [ k−3 n z=1 z=i2r+3 +1 i2r+2 i2r+1 |αz | − u(ti2r+2 ) r=0 z=i2r+3 +1 |αz | z=i2r+2 +1 (2.50) b g(i) = b < a i=a Theo Bổ đề 2.9, ta có: u(tn ) ≤ y(tn ) u (a) y(a) (2.51) Do đó, từ (2.50) theo (2.51), thu n αi u (ti ) ≤ u(a) 0= i=1 [ k−3 ] + y(tn ) y(a) z=1 z=i1 +1 (2.52) i2r+1 |αz | − u(ti2r+2 ) |αz | |αz | − i2r+2 r=0 ik n z=i2r+3 +1 |αz | z=i2r+2 +1 Bây bất đẳng thức (2.43) (2.45) nghiêm ngặt, nhận mâu thuẫn từ (2.52) u giả sử dương Nếu (2.43) (2.45) thỏa mãn nhau, u dương, từ (2.50) (2.52) theo ik n |αz | u(tz ) − z=i1 +1 |αz |u(tz ) = u(a) z=1 y(tn ) y(a) ik n |αz | − z=i1 +1 |αz | z=1 30 Tuy nhiên, theo (2.43) thực tế u (t) ≥ hầu khắp nơi t ∈ [a, b], đẳng thức sau trường hợp u(tn ) = u(a) y(tn ) y(a) Theo Bổ đề 2.10, ta có u(t) = u(a) y(tn ) y(a) (2.53) Bây hai giả sử (2.46) (2.47) mâu thuẫn với (2.53) Cuối cùng, tương tự chứng minh Định lý 2.14, ta (2.48) với I cho (2.49), mâu thuẫn với tồn nghiệm dương không giảm (2.3) (2.4) Bây giả sử k số chẵn Thì theo (2.44) thực tế u (t) ≥ hầu khắp nơi t ∈ [a, b], ta tìm ik−1 ik z=1 ik−1 ik |αz | u(tz ) − |αz | u(tz ) ≤ u(tik ) |αz | − z=1 z=ik +1 |αz | z=ik +1 ik−1 ik |αz | − u(a) z=1 |αz | z=ik +1 Như vậy, thay vào (2.50), ta thu ik 0= k ir αz u(ti ) = z=1 αz u(tz ) z=0 z=ir+1 +1 ik−1 ik |αz | u(tz ) − = z=1 [ k−3 ] n |αz | u(tz ) + z=ik +1 |αz | u(tz )+ z=ir+1 i2r+2 i2r+1 |αz | u(tz ) − z=0 z=i2r+3 +1 ik−1 ik ≤ u(a) |αz | − z=1 [ k−3 ] n |αz | |αz | + + u(tn ) z=ik +1 z=ir+1 i2r+2 i2r+1 |αz | − u(ti2r+2 ) z=0 |αz | u(tz ) z=i2r+2 +1 z=i2r+3 +1 |αz | z=i2r+2 +1 Phần lại chứng minh tương tự trường hợp k số lẻ Khẳng định sau suy từ Định lý 2.16 Hệ 2.17 Giả sử l ∈ S I (a) t1 , t2 ∈ [a, b] cho t1 < t2 , đặt α1 α2 < 0, y(t2 ) y(a) |α2 | ≤ |α1 | ≤ 31 y hàm thỏa mãn (2.10) (2.11) Nếu α1 y(t1 ) + α2 y(t2 ) = l ∈ PI+ , t1 a l(1)(t)dt = tốn (2.42) có nghiệm Định lý 2.18 Giả sử l ∈ S I (a) l = l0 − l1 với l0 , l1 ∈ PI , l(1)(t) ≥ hầu khắp nơi t ∈ [a, b] −l1 ∈ SI (b) tốn tử a-Volterra Ngồi ra, cho t1 = a n |α1 | ≤ α1 α2 < (i = 2, , n), |αi | (2.54) i=2 n |α1 | < |αi | (2.55) i=2 t1 l(1)(t)dt = 0, (2.56) a tốn (2.1) (2.2) chi có nghiệm Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý trường hợp α1 > Trường hợp α1 < ta có định lý tương đương (2.4) (2.36) Theo Định lý 2.1, đủ để toán (2.3) (2.4) có nghiệm tầm thường Ngược lại, giả sử tồn nghiệm không tầm thường u cho (2.3), (2.4) Khơng tính tổng qt, theo Bổ đề 2.9 (với v = w = u) , giả sử u hàm không âm thỏa mãn u(t) ≥ u(a) t ∈ [a, b] (2.57) Hơn nữa, giả sử u(a) = 0, theo nhận xét , nhận u hàm tầm thường, mâu thuẫn Do đó,(2.57) suy u hàm dương Do đó, từ (2.4), theo t1 = a, ta thu n n αi u(ti ) = α1 u(a) − 0= i=1 n |αi | u(ti ) ≤ u(a) α1 − i=2 |αi | (2.58) i=2 Bây (2.55) thỏa mãn, nhận mâu thuẫn từ (2.58) thực tế u dương Giả sử (2.56) thỏa mãn Theo (2.54) tính dương u, từ (2.58) theo 32 n |αi | u(ti ) α1 u(a) = i=2 Tuy nhiên, theo (2.54) (2.57), đẳng thức sau trường hợp u(a) = u(tn ) Do đó, theo Bổ đề 2.11 (với v = u, w = 1, x = tn ), ta u(t) = u(a) t ∈ [a, tn ] (2.59) u (t) = (2.60) Do đó, hầu khắp nơi t ∈ [a, tn ] Mặt khác, theo (2.57), (2.59) giả thiết l1 tốn tử a-Volterra, ta có l(u)(t) ≥ l(1)(t)u(a) (2.61) hầu khắp nơi t ∈ [a, tn ] Hơn nữa, theo quan điểm l(1)(t) ≥ hầu khắp nơi t ∈ [a, b], có l(1)(t)u(a) ≥ (2.62) hầu khắp nơi t ∈ [a, b] Bây (2.3) (2.60) - (2.62) suy l(1)(t) = hầu khắp nơi t ∈ [a, tn ], mâu thuẫn Định lý 2.19 Giả sử l ∈ LI (a) l = l0 − l1 với l0 , l1 ∈ PI , l(1)(t) ≤ hầu khắp nơi t ∈ [a, b] −l1 ∈ SI (b) tốn tử a-Volterra Ngồi ra, giả sử t1 = a n |α1 | ≥ σi |αi | i=2 σi = 12 (1 − sgn(α1 α2 )) (i = 2, , n) Ngồi ra, giả sử mục sau thỏa mãn: n (a) |α1 | > σi |αi |, i=2 (b) Tồn i0 ∈ {2, , n} , sau cho α1 αi0 > 0, (c) điều kiện (2.56) Khi tốn (2.1) (2.2) có nghiệm (2.63) 33 Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý trường hợp α1 > Trường hợp α1 < ta có định lý tương đương đẳng thức (2.4) (2.62) Theo Định lý 2.1, đủ để toán (2.3) (2,4) có nghiệm tầm thường Ngược lại, giả sử tồn nghiệm không tầm thường u cho (2.3), (2.4) Khơng tính tổng qt, theo Định lý 2.1 (với y = 1) Bổ đề 2.9 (với v = w = u), giả sử u thỏa mãn ≤ u(t) ≤ u(a) t ∈ [a, b] (2.64) Chúng ta u hàm số dương Nếu tồn x ∈ [a, b] cho u(x) = từ (2.3) ta có u (t) ≥ −l1 (u)(t) hầu khắp nơi t ∈ [a, x], u(x) = (2.65) Bây (2.65), thực tế −l1 ∈ Sab (b) toán tử a-Volterra suy u(t) ≤ t ∈ [a, x] (xem [14, Chú thích 1.9]) Do đó, (2.64) cho u hàm tầm thường, mâu thuẫn Do đó, u hàm số dương Từ (2.4), theo t1 = a (2.64), ta thu n n αi u(ti ) ≥ α1 u(a) − 0= i=1 n σi |αi | u(ti ) ≤ u(a) α1 − i=2 σi |αi | (2.66) i=2 Bây (a) thỏa mãn, nhận mâu thuẫn từ (2.66) thực tế u dương Nếu (b) thỏa mãn n n αi u(ti ) > α1 u(a) − i=1 σi |αi | u(ti ) i=2 nhận mâu thuẫn từ (2.66), dựa (2.63) thực tế u dương Cuối cùng, giả sử (c) hoàn thành Theo quan điểm (2.63) u hàm dương, từ (2.66), theo n σi |αi | u(ti ) α1 u(a) = i=2 Tuy nhiên, dựa vào (2.63) (2.64), đẳng thức sau thực trường hợp u(a) = u(tn ) 34 Do đó, theo Định lý 2.1 (với y = 1) Bổ đề 2.11 (với v = w = u), ta (2.59) (2.60) Mặt khác, theo quan điểm (2.66), (2.60) giả sử l1 toán tử a-Volterra, Chúng ta có l(u)(t) ≤ l(1)(t)u(a) (2.67) hầu khắp nơi t ∈ [a, tn ] Hơn l(1)(t) ≤ hầu khắp nơi t ∈ [a, b], ta có l(1)(t)u(a) ≤ (2.68) hầu khắp nơi t ∈ [a, b] Bây (2.3), (2.60), (2.67) (2.68) suy l(1)(t) = hầu khắp nơi t ∈ [a, tn ], mâu thuẫn Định lý chứng minh 35 Kết luận Nội dung luận văn xây dựng điều kiện đủ, điều kiện hiệu cho việc tồn nghiệm toán Cauchy, toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính ứng dụng cụ thể cho phương trình vi phân đối số chậm đối lệch Nội dung luận văn gồm hai chương Trong chương ta nghiên cứu tồn nghiệm toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm tuyến tính (1.1) (1.2) Áp dụng kết cho phương trình vi phân đối số chậm (1.1’) (1.2) Các kết cho tốn (1.1) (1.2) định lý 1.2, định lý 1.4 định lý 1.7 Các kết cho tốn (1.1’) (1.2) hệ 1.5 1.6 Trong chương ta xây dựng điều kiện đủ hiệu cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc tốn (2.1) (2.2) Sau áp dụng kết để nghiên cứu việc tồn cho phương trình đối số lệch đối số chậm Các kết chương định lý 2.12, 2.14, 2.16, 2.18 2.19 Trong trình làm luận văn em nhận thấy điều kiện cho phép em xem xét xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm phi tuyến bậc Do thời gian học có hạn trình độ kiến thức em hạn chế, em chưa thể nghiên cứu sâu vấn đề đặt Nên luận văn tránh thiếu sót Cuối em xin chân thành q thầy, Hội đồng bảo vệ luận văn giành thời gian để đọc nhận xét luận văn để luận văn em thêm hoàn chỉnh 36 Tài liệu tham khảo [1] N V Azbelev, V P Maksimov and L F Rakhmatullina Introduction to the Theory of Functional Differential Equations Nauka, Moscow, 1991 (In Russian) [2] E Bravyi, R Hakl and A Lomtatidze Optimal conditions for unique solvability of the Cauchy problem for first order linear functional differential equations, Czechoslovak Math J 52(127) (2002), no 3, 513–530 [3] A Domoshnitsky Differential inequalities for one component of solution vector for systems of linear functional differential equations, Adv Difference Equ 2010 (2010), Article ID 478020 [4] A Domoshnitsky Maximum principles and nonoscillation intervals for first order Volterra functional differential equations, Dyn Contin Discrete Impuls Syst Ser A Math Anal 15 (2008), no 6, 769–814 [5] A Domoshnitsky, A Maghakyan and R Shklyar Maximum principles and boundary value problems for first-order neutral functional differential equations, J Inequal Appl 2009 (2009), Article ID 141959 [6] A Domoshnitsky, Robert Hakl and Bedˇrich P˚ uˇza Multi – point boundary value problems for linear functional-differential equations, Geogian J 2017;aop [7] A Domoshnitsky, R Hakl and B P˚ uˇza On the dimension of the solution set to the homogeneous linear functional differential equation of the first order, Czechoslovak Math J 62(137) (2012), no 4, 1033–1053 37 [8] Sh Gelashvili and I Kiguradze On multi-point boundary value problems for systems of functional differential and difference equations Mem Differential Equations Math Phys (1995), 1–113 [9] R Hakl, A Lomtatidze and B P˚ uˇza On nonnegative solutions of first order scalar functional differential equations, Mem.Differ Equ Math Phys 23 (2001), 51–84 [10] R Hakl, I Kiguradze and B P˚ uˇza Upper and lower solutions of boundary value problems for functional differential equations and theorems on functional differential inequalities, Georgian Math J (2000), no 3, 489–512 ˇ [11] R Hakl, A Lomtatidze and J Sremr Some Boundary Value Problems for First Order Scalar Functional Differential Equations, Folia Fac Sci Natur Univ Masaryk Brunensis Math 10, Masaryk University, Brno, 2020 [12] P Hartman Ordinary Differential Equations John Wiley, New York, 1964 [13] I Kiguradze and B P˚ uˇza On boundary value problems for systems of linear functional differential equations Czechoslovak Math J 47 (1997), 341–373 ˇ Schwabik, M Tvrdý and O Vejvoda Differential and integral equations: bound[14] S ary value problems and adjoints Academia, Praha,1979 ... nghiệm phương trình vi phân hàm đối số chậm đối số lệch Luận văn gồm hai chương chính: Chương 1: Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính Xét tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm. .. số chậm 3 Chương Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính Trong chương ta xây dựng điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm tuyến tính Giả sử I =... dựng điều kiện đủ, điều kiện hiệu cho vi? ??c tồn nghiệm toán Cauchy, toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính ứng dụng cụ thể cho phương trình vi phân đối số chậm đối lệch Nội dung