Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến (Luận văn thạc sĩ)
Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Khoa Tốn học, Học viện Khoa học Cơng nghệ, hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Minh Trí Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực đề tài giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Học viện, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn học thầy giáo, giáo Viện Toán học giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020 Tác giả Hà Đức Thái Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn tự làm hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Minh Trí Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn, tơi kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn trung thực rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020 Tác giả Hà Đức Thái Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức ∅ Tập rỗng C0∞(Ω) Không gian hàm khả vi vô hạn giá compact Kết thúc chứng minh Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Bảng kí hiệu Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Lp bất đẳng thức p 1.2 Không gian S1 (Ω) 1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa toán tử Grushin 8 10 12 Tính nhiều nghiệm tốn biên elliptic suy biến 2.1 Đặt toán 2.2 Chứng minh định lý 2.3 Định lý 2.4 Ví dụ 20 20 22 44 47 Tài liệu tham khảo 50 Lời mở đầu Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng nghiên cứu cơng trình J D’Alembert (1717 - 1783), L Euler (1707 - 1783), D Bernoulli (1700 - 1782), J Lagrange (1736 1813), P Laplace (1749 - 1827), S Poisson (1781 - 1840) J Fourier (1768 - 1830), cơng cụ để mơ tả học mơ hình giải tích Vật lí Vào kỷ XIX với xuất công trình Riemann, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng chứng tỏ công cụ thiết yếu nhiều ngành toán học Cuối kỷ XIX, H Poincaré mối quan hệ biện chứng lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng ngành toán học khác Sang kỷ XX, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển vơ mạnh mẽ nhờ có cơng cụ giải tích hàm, đặc biệt từ xuất lí thuyết hàm suy rộng S L Sobolev L Schwartz xây dựng Nghiên cứu phương trình hệ phương trình elliptic tổng qt đóng vai trị quan trọng lí thuyết phương trình vi phân Hiện kết theo hướng tương đối hồn chỉnh Cùng với phát triển khơng ngừng toán học khoa học kỹ thuật nhiều toán liên quan tới độ trơn nghiệm phương trình hệ phương trình khơng elliptic xuất Có số lớp phương trình, có lớp phương trình elliptic suy biến, khía cạnh có số tính chất p2(p − 1) + pp2 =1+ ≤1+ = p1 − p1 − p2 − p2 − =⇒ Mà Ω miền bị chặn nên suy ||u|| Mặt khác ta lại có (Ω) ≤ C22||u|| p1 L p1 −1 pp2 pp2 ≤ p2 −1 p2 −1 =⇒ ||u|| p2 p L −1 =⇒ ||u|| p2 L p2 −1 (Ω) p2 ∈ [2, 2∗α ] (Ω) ≤ C 22||u|| pp2 p L −1 (Ω) ≤ C 22||u|| pp2 L p2 −1 F (x, y, u)dX ≤ C23||u|| =⇒ pp2 L p2 −1 pp2 p L −1 (Ω) ≤ Ω (Ω) (Ω) p2 − pp2 pp2 |u| p2−1 dX+C24 Ω (Theo bất đẳng thức Young) F (x, y, u)dX ta có Tương tự với Ω Φ(u) ≥ 2 |∇α u| dX − C25 Ω |u| pp2 p2 −1 dX − C26 Ω Ta lại có |u| pp2 p2 −1 r |u| |u| dX = Ω pp2 p2 −1 −r dX ≤ Ω (r thỏa mãn r + |u| dX Ω pp2 p2 −1 −r 2∗α = r 2∗α |u| dX Ω = 1) pγ p2 −1 −r γ ||u||L2(Ω)||u||2∗α ∗ Sử dụng bất đẳng thức nhúng từ S1,0 (Ω) vào L2α (Ω) chứng minh Mệnh đề [6] ta có pp2 p2 −1 −r γ (Ω) − C27 ||u|| Φ(u) ≥ − ||u||S1,0 (Ω) − C28 L (Ω) ||u||S1,0 43 pp2 p2 −1 −r Kết hợp với Bổ đề 1.44 [5] tương tự Định lý 1.3 [2] ta có điều phải chứng minh 2.3 Định lý Theo định nghĩa Φ u ∈ S1,0 (Ω) nghiệm yếu toán (2.1) u điểm tới hạn hàmΦ Theo Bổ đề 2.1.4 u điểm tới hạn hàmΦ giá trị Φ(u) đủ lớn u điểm tới hạn hàmΦ Như Định lý 2.2.1 chứng minh ta Φ có dãy điểm dừng khơng bị chặn Ta có tập hợp Vk , Vk⊥ , Brk , Wk , Γk , Uk Λk định nghĩa cuối chương luận văn Rabirowitz chứng minh ∀ρ > 0, ∀k ∈ R, ρ < rk h ∈ Γk ⊥ ta có h(Wk ) ∩ ∂Bk ∩ Vk−1 = (Bổ đề 1.44 [5]) Với số γk , βk định nghĩa cuối chương luận văn ta chứng minh limk→+∞ βk = +∞ Ta định nghĩa phiếm hàm Euler - Lagrange toán (2.1)như sau: Φ : S1,0 (Ω) → R Φ(u) = |∇α u|2dxdy− Ω F (x, y, u)dxdy− Ω G(x, y, u)dxdy Ω u Trong F (x, y, u) = u f (x, y, ξ)dξ; G(x, y, u) = g(x, y, ξ)dξ Như hàm u ∈ S1,0 (Ω) nghiệm yếu tốn (2.1)khi điểm tới hạn hàmphiếm hàm Euler - Lagrange [4] 44 Chứng minh Giả sử γk > βk ≥ M2 Đặt δ ∈ (0, γk − δk ) Λk (δ) = {H ∈ Λk | Φ(H) ≤ βk + δ Wk } γk (δ) = inf max Φ(H(u)) H∈Λk (δ) u∈Uk Tương tự Bổ đề 1.57 [5] chứng minh γk (δ) điểm tới hạn hàmΦ (Bổ đề 3.9 [4]) Do Định lý 2.2.1 chứng minh ta tồn dãy γk cho γk > βk tương ứng Bây chứng minh điều Giả sử phản chứng γk = βk , ∀k ≥ k1 ∀ε > 0, chọn H ∈ Λk thỏa mãn maxu∈Uk Φ(H(u)) ≤ βk + ε Đặt ˆ H(u) = H(u) u ∈ Uk , ˆ H(u) = −H(−u) − u ∈ Uk Ta lại có Wk+1 = BRk+1 ∩ Vk+1 = Uk ∪ U(−k) Thật vậy, u ∈ BRk+1 ∩ Vk+1 =⇒ u ∈ Vk+1 , u ∈ BRk+1 k aiei, ∈ R, ∀i = 1, k + =⇒ u = ak+1ek+1 + i=1 (Ω) =⇒ |ak + 1| < rk+1 Vậy ta có |ak + 1| ≤ ||u||S1,0 Mặt khác ta lại có (Ω) ≤ ||u||S (Ω) < rk+1 aiei ∈ Vk ||w||S1,0 1,0 w= i =⇒ w ∈ BRk+1 ∩ Vk =⇒ u = ak+1ek+1 + w với |ak+1| < rk+1 Vậy u ∈ Uk ∪ U−k =⇒ Wk+1 ⊂ Uk ∪ U−k Tiếp theo u ∈ Uk ∪ U−k =⇒ u = tei+1 + w |t| < rk+1 45 (Ω) < rk+1 =⇒ u ∈ BR Vì ||u||S1,0 =⇒ u ∈ Vk+1 k+1 Hay u ∈ BRk+1 ∩ Vk+1 = Wk+1 ˆ từ Wk+1 vào S (Ω) Do H|B ∩V lẻ khả vi Do H 1,0 Rk+1 k ˆ lẻ khả vi liên tục, =⇒ H ˆ ∈ Γk+1 liên tục nên H Ta lại có ˆ ˆ ˆ = max{max Φ(H(u)); max Φ(H(u))} βk+1 ≤ max Φ(H(u)) u∈Uk u∈Wk+1 u∈U(−k) Mà ˆ max Φ(H(u)) = max Φ(H(u)) ≤ βk + ε (Do ta chọn H) u∈Uk u∈Uk ˆ max Φ(H(u)) = max Φ(−H(−u)) u∈U(−k) u∈U(−k) Vì u ∈ U(−k) =⇒ −u ∈ Uk =⇒ Φ(H(−u)) ≤ βk + ε Theo (A1 ) Bổ đề 2.1.3 ta có Φ(−H(−u)) ≤ Φ(H(−u))+C10 |Φ(H(−u))| ≤ βk + ε + C10 |βk + ε| δ+1 ρ δ+1 ρ ≤ βk + C10 βk δ+1 ρ −1 +|Φ(H(−u))| ρ +1 + |βk + ε| ρ + =⇒ βk+1 ≤ βk + ε + C10 |βk + ε| Cho ε → ta có βk+1 ≤ βk + C10 βk δ+1 ρ δ+1 ρ + |βk + ε| ρ + + βk ρ + 1 + βk ρ −1 + βk −1 , ∀k ≥ k1 Quy nạp theo bước ta có k1 +l−1 βk1+l ≤ βk1 + C10βk δ+1 ρ −1 + βk ρ −1 + βk −1 k=k1 k1 +l−1 ≤ βk1 exp δ+1 ρ −1 C10 βk k=k1 46 ρ −1 + βk + βk −1 Theo Bổ đề 2.1.8 δ+1 ρ < 1, ρ < ta có k1 +l−1 βk1+l ≤ βk1 exp k1 2pp2 Nα (pp2 −2p2 +2) −1 δ+1 ρ −1 + k=k1 + k1 ρ −1 2pp2 Nα (pp2 −2p2 +2) −1 + k1 2pp2 Nα (pp2 −2p2 +2) −1 −1 Theo giả thiết Định lý ta có 2pp2 −1 Nα (pp2 − 2p2 + 2) δ+1 − < −1 ρ 2pp2 −1 − < −1 Nα (pp2 − 2p2 + 1) ρ 2pp2 − − < −1 Nα (pp2 − 2p2 + 1) 1 =⇒ βk1+l ≤ βk1 exp C + + + ≤ βk1 e2c < +∞ k1 k2 kl l → +∞ điều mâu thuẫn 2.4 Ví dụ Ví dụ 2.4.1 Xét tốn (2.1)với α = Khi G1 (u) = ∂2u ∂x2 + |x|2 ∂∂yu2 Trong Ω ⊂ R × R miền bị chặn có biên trơn =⇒ Nα = 3; 2∗α = |ξ| f (x, y, ξ) = 2lnh(x, y)ξ ln(1 + |ξ| ) + (2.0.1) δ(1 + |ξ| ) với h ∈ C(Ω) thỏa mãn inf (x,y)∈Ω h(x, y) > g ánh xạ thỏa mãn điều kiện (G1) Khi dễ thấy f 47 ... học kỹ thuật nhiều toán liên quan tới độ trơn nghiệm phương trình hệ phương trình khơng elliptic xuất Có số lớp phương trình, có lớp phương trình elliptic suy biến, khía cạnh có số tính chất ... Không gian S1 (Ω) 1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa toán tử Grushin 8 10 12 Tính nhiều nghiệm tốn biên elliptic suy biến 2.1 Đặt toán 2.2 Chứng minh định lý 2.3 Định... Nghiên cứu phương trình hệ phương trình elliptic tổng qt đóng vai trị quan trọng lí thuyết phương trình vi phân Hiện kết theo hướng tương đối hồn chỉnh Cùng với phát triển khơng ngừng toán học