Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) PGS.TS Nông Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Liên phân số hữu hạn 1.2 Liên phân số vô hạn 1.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn Chương Về phương trình Diophantine bậc dạng Ax2 − By = C 12 2.1 Phương trình Diophantine x2 − Dy = N 12 2.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By = C 16 2.3 Một số ví dụ áp dụng 34 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Số học môn tốn học có đối tượng nghiên cứu số ngun Khơng có đơn giản quen thuộc số nguyên Ngày nay, với phát triển khoa học công nghệ, đặc biệt cơng nghệ số hóa, đòi hỏi người không ngừng nghiên cứu khám phá quy luật, thuật giải cho toán liên quan tới số nguyên Bao hàm mảng số học, giải phương trình nghiệm ngun hay gọi phương trình Diophantine Lớp phương trình tồn nhiều tốn, giả thuyết chưa có câu trả lời Nó ln vấn đề thu hút nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu tìm hiểu Chính việc tìm lời giải cho tốn hay chứng minh giả thuyết phương trình Diophantine làm nảy sinh lý thuyết, phương pháp khác Tốn học Lớp tốn liên quan tới phương trình Diophantine khơng có quy tắc giải tổng qt, có dạng đơn giản Đó ngun nhân để lớp phương trình thu hút khám phá nghiên cứu nhà Toán học Trong hầu hết kỳ thi quan trọng thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Quốc tế, tốn liên quan đến phương trình Diophantine thường xuyên sử dụng để đánh giá học sinh Do đó, hướng dẫn khoa học PGS.TS Nông Quốc Chinh, chọn hướng đề tài luận văn liên quan tới lớp phương trình Diopantine Cụ thể nghiên cứu tính chất nghiệm mối liên hệ phương trình Diophantine dạng Ax2 −By = C với biểu diễn liên phân số liên tục Luận văn với tên đề tài "Về phương trình Diophantine dạng Ax2 −By = C", với mục đích trình bày kết nghiên cứu Mollin (2002) [8] cơng bố tạp chí Acta Math Univ Comenianae năm 2002 Nội dung luận văn gồm chương Chương tập trung trình bày số kiến thức liên phân số, dùng để nghiên cứu kết chương sau Nội dung chương gồm ba phần, cụ thể nghiên cứu phương trình Diophantine dạng x2 − Dy = N dạng Ax2 − By = C phần cuối số ví dụ minh họa Để hoàn thành luận văn, lời em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tỉ mỉ tận tình PGS.TS Nơng Quốc Chinh Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo khoa Toán – Tin Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Tồn Thắng, Tiên Lãng, Hải Phòng anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 22 tháng năm 2018 Học viên Lương Thị Mai Anh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày liên phân số số kết để áp dụng cho việc nghiên cứu phương trình Diophantine bậc hai, trình bày chương 1.1 Liên phân số hữu hạn Định nghĩa 1.1.1 Liên phân số hữu hạn hay phân số liên tục biểu thức có dạng a0 + a1 + a2 + · · · + an−1 + an a0 , a1 , , an số thực a1 , , an = Một liên phân số ký hiệu [a0 ; a1 , , an ] Từ định nghĩa dễ thấy [a0 ; a1 , , ak+1 ] = a0 + [a1 ; a2 , , ak+1 ] Nếu a0 ∈ Z a1 , , an số ngun dương ta nói [a0 ; a1 , an ] liên phân số hữu hạn có độ dài n Rõ ràng liên phân số hữu hạn số hữu tỷ Ngược lại ta có: Định lý 1.1.2 Mỗi số hữu tỷ biểu diễn dạng liên phân số hữu hạn Chứng minh Giả sử x = a b a, b ∈ Z b > Đặt r0 = a, r1 = b Thuật chia Euclide cho ta r0 = r1 q1 + r2 , < r2 < r1 , r1 = r2 q2 + r3 , < r3 < r2 , rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , < rn < rn−1 , rn−1 = rn qn Từ dễ thấy a = [q1 ; q2 , , qn ] b Ta có điều phải chứng minh Cho liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , , an ] Với k ≤ n liên phân số Ck = [a0 ; a1 , , ak ] gọi giản phân thứ k [a0 ; a1 , , an ] Cơng thức tính giản phân cho định lý sau Định lý 1.1.3 Cho liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , , an ] Giả sử hai dãy số nguyên dương p0 , p1 , , pn q0 , q1 , , qn xác định truy hồi sau p0 = a0 , q0 = 1, p1 = a0 a1 + q = a1 , pk = ak pk−1 + pk−2 , qk = ak qk−1 + qk−2 Khi giản phân thứ k Ck = [a0 ; a1 , , ak ] cho Ck = pk qk Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Với k = ta có C0 = [a0 ] = p0 /q0 Với k = ta có C1 = [a0 ; a1 ] = a0 + a0 a1 + 1 = = p1 /q1 a1 a1 Giả sử định lý cho ≤ k < n Khi với ≤ k < n, Ck = [a0 ; a1 , , ak ] = pk ak pk−1 + pk−2 = qk ak qk−1 + qk−2 Vậy Ck+1 = [a0 ; a1 , , ak , ak+1 ] = a0 ; a1 , , ak − 1, ak + = (ak + (ak + ak+1 )pk−1 ak+1 )qk−1 ak+1 + pk−2 + qk−2 ak+1 (ak pk−1 + pk−2 ) + pk−1 ak+1 (ak qk−1 + qk−2 ) + qk−1 ak+1 pk + pk−1 pk+1 = = ak+1 qk + qk−1 qk+1 = Định lý chứng minh Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đẳng thức quan trọng sau (pk ) (qk ) Định lý 1.1.4 pk qk−1 − pk−1 qk = (−1)k−1 Hệ 1.1.5 (pk , qk ) = Tiếp theo, ta mô tả quan hệ giản phân Định lý 1.1.6 Giả sử (Ck ) dãy giản phân liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , an ] Ta có Ck − Ck−1 Ck − Ck−2 (−1)k−1 = , qk qk−1 ak (−1)k = , qk qk−2 ≤ k ≤ n, ≤ k ≤ n Chứng minh Với đẳng thức thứ ta có Ck − Ck−1 (−1)k−1 pk qk−1 − pk−1 qk = = qk qk−1 qk qk−1 Với đẳng thức thứ hai ta có Ck − Ck−2 = pk qk−2 − pk−2 qk qk qk−2 Thay pk = ak pk−1 + pk−2 , qk = ak qk−1 + qk−2 vào tử số áp dụng đẳng thức thứ ta thu điều phải chứng minh Từ định lý ta thu kết quan trọng sau Định lý 1.1.7 Ta có C1 > C3 > C5 > , C0 < C2 < C4 > Hơn giản phân lẻ C2j−1 lớn giản phân chẵn C2i Chứng minh Từ định lý ta thấy k lẻ Ck < Ck−2 k chẵn Ck > Ck−2 Cũng theo định lý trên, ta có C2m − C2m−1 (−1)2m−1 = C2j−1+2i > C2j+2i > C2i suy C2m < C2m−1 1.2 Liên phân số vô hạn Như kết mục trên, ta biết số hữu tỷ biểu diễn cách liên phân số hữu hạn Chuyển sang tình số vơ tỷ, ta thấy, số vô tỷ biểu thị dạng liên phân số vô hạn Định lý 1.2.1 Cho a0 , a1 , a2 dãy vô hạn số nguyên cho > với i ≥ Đặt Ck = [a0 ; a1 , , ak ] Khi tồn giới hạn lim Ck = α k→∞ Ta gọi α giá trị liên phân số vô hạn [a0 ; a1 , a2 ] viết α = [a0 ; a1 , a2 , ] Chứng minh Theo Định lý 1.1.7 ta có C1 > C3 > C5 > > C2n−1 > C2n+1 > C0 < C2 < C4 < < C2n−2 < C2n < Hơn dãy (C2k+1 ) dãy giản bị chặn C0 dãy (C2k ) tăng bị chặn C1 Vậy tồn lim C2k+1 = α1 k→∞ lim C2k = α2 k→∞ Ta cần chứng minh α1 = α2 Thật theo Định lý ta có C2k+1 − C2k = q2k+1 q2k Bằng quy nạp, ta có qk ≥ k Do lim (C2k+1 − C2k ) = k→∞ Vậy α1 = α2 Định lý chứng minh 28 có nghiệm a | Tk,b vớ k ∈ N Chứng minh Nếu a|Tk,b với k ∈ N đó, theo Định lý 2.2.8, √ phương trình (2.22) có nghiệm Ngược lại, ax0 + y0 b nghiệm phương trình, theo chứng minh định lý trên, ta có √ √ ax0 + y0 b = Tk,b + Uk,b b với k ∈ N Do a|Tk,b Nhận xét 2.2.10 Thực tế ta chứng minh ax0 + y0 b nghiệm phương trình (2.22), tất nghiệm dương √ phương trình (2.22) xác định (ax0 + y0 b)2k−1 với k ∈ N √ √ Trong trường hợp tổng quát, A > 1, B > 1, Ax + By nghiệm nguyên thủy phương trình Ax2 − By = 1, tồn j thỏa mãn đẳng thức sau √ √ √ Ax + By = (T1,AB + U1,AB AB)2j+1 ( xem [14, định lý 4, tr.506]) Từ Định lý 2.2.8 ta có Hệ 2.2.11, mở rộng Hệ 2.2.9 Hệ 2.2.11 Giả sử D số khơng phương, c ∈ N cho đồng dư thức DP ≡ 1( mod c) thỏa mãn với P đó, |t| ∈ N giá trị bé thỏa mãn − DP = ct với c|t| < D Khi phương trình |x2 − Dy | = c có nghiệm nguyên thủy c |t| nhận giá trị Qj với j thỏa mãn j √ liên tục đơn D biểu diễn liên phân số Ví dụ 2.2.12 Cho D = 45 c = 11, P = t = −4 Khi phương trình |x2 − 45y | = 11 √ √ có nghiệm nguyên thủy |t| < D = 45 |t| = = Q2 biểu diễn √ liên phân số liên tục đơn 45 Một nghiệm 672 − 45.102 = −11 29 Hệ Định lý 2.2.8 có nhiều liên hệ tới số toán biết Hệ 2.2.13 Nếu D ≡ 1( mod 4) biệt thức, phương trình |x2 − Dy | = có nghiệm nguyên thủy = Qj với j > biểu diễn √ liên phân số liên tục đơn D Chứng minh • Nếu D 17, c = < √ D a = 1|T1,D , theo Định lý 2.2.8 ta có điều phải chứng minh • Nếu D < 17, (D − 1)/4 = t < √ D P = theo Định lý 2.2.8 ta suy điều phải chứng minh • Khi D = 5, t = = Q0 biểu diễn liên phân số liên tục đơn √ D = 13, t = = Q2 biểu diễn liên phân số liên tục √ đơn 13, ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.2.14 Cho a = 3, b = 85, c = 4, t = −19, P = Khi |t| = 19 = Q2 giá trị biểu diễn liên phân số liên tục đơn √ √ 765 = a2 b Vì vậy, theo Định lý 2.2.8, phương trình 9x2 − 85y = ±4 có nghiệm nguyên thủy Thực vậy, ta thấy x = 3, y = nghiệm nguyên thủy phương trình 9x2 − 85y = −4 Ta thấy rằng, c = Q4 = giá trị √ 765, a = không ước Tk,85 với k ∈ N Từ đẳng thức √ √ T1,85 + U1,85 85 = 285769 + 30996 85, suy 3|U1,85 Do đó, Tk với k ∈ N từ U1,85 | Uk,85 với k ∈ N 30 Vì điều kiện (a) Định lý 2.2.8 sai, ta sử dụng ví dụ đòi hỏi điều kiện (b) định lý 2.2.8 Nhận xét 2.2.15 Chú ý, Ví dụ 2.3.8, x = y = nghiệm phương trình (2.30) nghiệm phương trình 9x4 − 65y = −56 Có nhiều kết nghiên cứu phương trình liên quan tới phương trình Diophantine dạng a2 x4 − by = (2.23) Định lý 2.2.16 Giả sử D = ab số lẻ khơng phương, c ∈ N số lẻ, gcd(a, c) = = gcd(b, c) Khi phương trình Diophantine ax2 − by = ±4c (2.24) có nghiệm nguyên thủy phương trình Diophantine (2.25) có nghiệm ngun thủy aX − bY = ±c3 (2.25) √ Chứng minh Giả sử phương trình (2.24) có nghiệm ngun thủy x a + √ y b, ta đặt x(ax2 ± 3c) y(ax2 ± c) Y = X= 2 √ √ Vì a, b, c số lẻ, x khơng thể số chẵn, x a + y b nghiệm nguyên thủy phương trình (2.24) gcd(a, c) = gcd(b, c) = Vì vậy, X, Y ∈ Z Ta có, (a2 x2 − Dy )3 = (ax(a2 x2 + 3Dy ))2 − D(y(3a2 x2 + Dy ))2 = ±64a3 c3 Ngoài ra, ax(a2 x2 + 3Dy ) = ax(4a2 x2 − 3(a2 x2 − Dy )) = ax(4a2 x2 ± 12ac) = 4a2 x(ax2 ± 3c) = 8a2 X, 31 y(3a2 x2 + Dy ) = y(4a2 x2 − (a2 x2 − Dy )) = y(4a2 x2 ± 4ac) = 4ay(ax2 ± c) = 8aY Suy ra, ±64a3 c3 = (8a2 X)2 − D(8aY )2 , hay ± c3 = aX − bY (2.26) √ √ Tiếp theo ta chứng minh X a + Y b nghiệm nguyên thủy Nếu số nguyên tố p chia hết X Y , theo đẳng thức (2.26), ta có p | c Mặt khác, lại có p | X gcd(a, c) = 1, nên p | x Theo phương trình Diophantine (2.24) p | b p | y, điều mâu thuẫn với giả thiết gcd(b, c) = = gcd(x, y) Từ Định lý 2.2.16 ta có hệ sau trường hợp đặc biệt c = 1, kết tác giả Mollin cộng cơng bố năm 2000 tạp chí Canadian Mathematical Bulletin Hệ 2.2.17 ([7], Định lý 2.3, tr 222) Nếu D = ab số lẻ khơng phương phương trình ax2 − by = ±4 có lời giải phương trình ax2 − by = ±1 có nghiệm Hệ kết Gauss Hệ 2.2.18 (Gauss [5], Article 187, p 156) Giả sử ∆ biệt thức Khi N (ε∆ ) = −1 phương trình |ax2 − by | = (2.27) khơng có nghiệm nguyên thủy D = ab loại trừ trường hợp a = b = Chứng minh Giả sử N (ε∆ ) = −1 phương trình (2.27) có nghiệm ngun thủy với D = ab, theo Hệ 2.2.17, phương trình ax2 − by = ±1 có 32 nghiệm, nên phương trình (ax)2 − Dy = ±a có nghiệm, khơng √ tính tổng qt ta giả thiết a < D Vì vậy, theo Định lý 2.2.1–2.2.2 √ √ ta có, I = [a, D] Ideal thu gọn Z[ D], a = Qj với √ j biểu diễn liên phân số liên tục D Nếu j > 0, √ theo Hệ 2.2.5, ta có l( D) = 2j, theo Định lý 2.2.7, ta có N (ε∆ ) = (−1)l = 1, điều mâu thuẫn với giả thiết, a = Lập √ luận tương tự với giả thiết b < D ta có kết luận b = Vậy ta chứng minh N (ε∆ ) = −1, phương trình (2.27) khơng có nghiệm ngun thủy với D = ab loại trừ trường hợp a = b = 1, Ngược lại, giả sử phương trình (2.27) khơng có nghiệm ngun thủy với D = ab a = b = Ta cần chứng minh N (ε∆ ) = −1 Thật vậy, giả sử N (ε∆ ) = Khi đó, theo Định lý 2.2.7, ta có l = l(ω∆ ) số chẵn Vì vậy, theo Hệ 2.2.5, ta có Ql/2 /2 | ∆ Do đó, theo Định lý 2.2.2 Hệ 2.2.4, tồn số x, y ∈ Z thỏa mãn phương trình x2 −Dy = ±4a, a = Ql/2 /2 Vì a | ∆ = D, nên có aX −bY = ±4 X = x/a and b = D/a Theo giả thiết, a = b = Tuy nhiên, a = a = Ql/2 /2 nửa độ dài tuần hồn Vì vậy, b = 1, hay √ D = a = Ql/2 /2 Tuy nhiên, theo bất đẳng thức (2.6) ta có D = a < D, điều mâu thuẫn với giả thiết, ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.2.19 Vì phương trình |13x2 − 5y | = khơng có nghiệm ngun thủy nên N (ε65 ) = −1 Nhận xét 2.2.20 Kết Định lý 2.2.16 liên quan tới tính giải hai phương trình Diophantine Câu hỏi tương tự tính giải hai phương trình Diophantine a2 x2 − by = c ∈ N a2 x2 − by = −c Trong kết tác giả Mollin [10, Corollary p 282], kết khơng xác khẳng định hai phương trình khơng có nghiệm √ ngun thủy l( b) số chẵn Ví dụ phương trình 12 − 34 = −33 √ 132 − 22 34 = 33, l( 34) số chẵn Tuy nhiên, khẳng định √ sau với điều kiện tính chẳn lẻ l( D) điều kiện cần thiết đủ 33 Định lý 2.2.21 Giả sử D số ngun, khơng số phương, c số nguyên thỏa mãn |c| = |c| số ngun tố khơng chia hết D Nếu phương trình x2 − Dy = c (2.28) có nghiệm nguyên thủy phương trình X − DY = −c (2.29) √ có nghiệm nguyên thủy l( D) số lẻ √ Chứng minh Nếu l( D) số lẻ, theo Định lý 2.2.7, ta có N (ε∆ ) = −1 với ∆ = 4D Vì vậy, tồn số nguyên u, v thỏa mãn phương trình √ u2 − Dv = −1 Do đó, x0 + y0 D nghiệm nguyên thủy phương trình (2.28), √ √ √ (x0 + y0 D)(u + v D) = (x0 u + y0 vD) + (uy0 + vx0 ) D nghiệm nguyên thủy phương trình (2.29) Ngược lại, giả sử hai phương trình (2.28)–(2.29) có nghiệm √ √ nguyên thủy, tương ứng α0 = x0 + y0 D β0 = X0 + Y0 D Nếu √ |c| = 1, theo Định lý 2.2.7, suy l( D) số lẻ, ta giả thiết |c| số nguyên tố p Thực vậy, ta giả thiết c = p mà khơng giảm tính tổng qt Khi N (α0 /β0 ) = −1, √ √ √ α0 x0 + y0 D (x0 + y0 D)(X0 − Y0 D) √ = = β0 X02 − Y02 D X0 + Y0 D √ √ (x0 X0 − y0 Y0 D) + (y0 X0 − x0 Y0 ) D = −p Tuy nhiên, lấy X02 nhân vào hai vế phương trình x20 − y02 D = p trừ x20 lần phương trình X02 − Y02 D = −p ta thu được, D(Y02 x20 − y02 X02 ) = p(X02 + x20 ), từ gcd(p, D) = 1, nên ta có p | (Y0 x0 − y0 X0 ) = Y1 p | (y0 X0 + Y0 x0 ) = Y2 34 Nếu p | Y1 , p | X1 X1 = (x0 X0 − y0 Y0 D) từ đẳng thức, N (X12 − Y12 D) = −p2 Nên ta có, N ((X1 /p)2 − (Y1 /p)2 D) = −1 Vì vậy, N (ε∆ ) = −1, Theo Định √ lý 2.2.7, ta có l( D) số lẻ Tiếp theo ta giả sử p | Y2 Từ điều kiện N (α0 /β0 ) = −1, √ √ √ (x0 + y0 D)(X0 − Y0 D) α0 x0 + y0 D √ = = β0 X02 − Y02 D X0 + Y0 D √ √ (x0 X0 + y0 Y0 D) + (y0 X0 + x0 Y0 ) D = −p √ √ (x0 X0 + y0 Y0 D) + Y2 D = , −p ta có, p | (x0 X0 + y0 Y0 D) = Y3 Do đó, √ −1 = N (α0 /β0 ) = N ((Y3 /p) + (Y2 /p) D), √ theo ta có N (ε∆ ) = −1 l( D) số lẻ 2.3 Một số ví dụ áp dụng Trong mục chúng tơi trình lại ví dụ báo Mollin (2002), ví dụ minh họa điều kiện Định lý 2.2.8–2.2.21, nghiên cứu điều kiện giải phương trình Diophantine dạng AX − BY = C với A, B, C số nguyên Ví dụ 2.3.1 Xét a = 3, b = 19, c = 5, t = −2, P = Từ Tk,19 √ với k ∈ N, suy ε19 = 170 + 39 19 với | U1,19 (lập luận Ví dụ 2.2.14), |t| = = Q1 biểu diễn liên phân số liên tục đơn √ √ 171 = a2b, theo Định lý 2.2.8 khẳng định (b) ta thu được, phương trình 9x2 − 19y = ±5 có nghiệm nguyên thủy Thực vậy, x = 3, y = cho ta nghiệm nguyên thủy phương trình 9x2 − 19y = 35 Theo khẳng định (a) − (b) Định lý 2.2.8 điều kiện cần thiết để khẳng định (1) − (2) định lý Mặt khác, tính tương đương khẳng định (1) − (d) không ta bỏ bớt điều kiện khẳng định (a) (b), ta khơng thể bỏ qua điều kiện (a) − (b) giải thiết Định lý 2.2.8 Ví dụ 2.3.2 Cho a = 3, b = 19 c = 17 Khi P = t = −71 Vì a = | U1,19 = 39, nên không chia hết Tk,19 với k (lập luận Ví dụ 2.2.14) Vì vậy, khẳng định (a) Định lý 2.2.8 khơng thỏa mãn √ √ Tương tự, có |t| > a b = 19, nên khẳng định (b) Định lý 2.2.8 không thỏa mãn Nhưng phương trình a2 x2 − by = 9x2 − 19y = 17 = c, có nghiệm nguyên thủy x = 2, y = không tồn j thỏa mãn c |t| giá trị Qj biểu diễn liên phân số liên tục đơn √ √ D = a b = 171 √ Thực vậy, có Qj Q0 = Q2 = Q1 = l( 171) = Theo ví dụ minh họa Định lý 2.2.8 khơng khơng có giả thiết tính giải phương trình đồng dư a2 ≡ bP ( mod c) (xem [12, pp 164–169]), tồn nghiệm phương trình đồng dư cần thiết đủ để tồn nghiệm phương trình a2 x2 −by = ct √ với số nguyên t với |t| < a b Ví dụ 2.3.3 Xét a = 7, b = 3, c = 5, phương trình 72x2 − 3y = ±5 khơng có nghiệm, khơng tồn số nguyên P thỏa mãn 3P ≡ 49(mod5), √ √ cho ký hiệu Legendre (3/5) = −1 Cũng có, c = < = a b, a = | T2,3 = = T2,b , nghĩa thỏa mãn điều kiện (a) Định lý 2.2.8, ta khơng có nghiệm phương trình 36 Ví dụ minh họa trường hợp thỏa mãn điều kiện (b) Định lý 2.2.8 không thỏa mãn điều kiện (a) Định lý 2.2.8 Ví dụ 2.3.4 Xét a = 5, b = 3, c = 22, P = 1, t = Ta có c = 22 > √ 3, khẳng định (a) Định lý 2.2.8 không thỏa mãn, √ t = < a b thỏa mãn khẳng định (b) Định lý 2.2.8 Vì √ √ t = Q0 = biểu diễn liên phân số liên tục đơn 75 = a b, theo Định lý 2.2.8, phương trình a2 x2 − by = 25x2 − 3y = 22 = c, có nghiệm nguyên thủy, giá trị dương bé nghiệm x = y = Ví dụ minh họa trường hợp thỏa mãn điều kiện (a) Định lý 2.2.8 không thỏa mãn điều kiện (b) Định lý 2.2.8 Ví dụ 2.3.5 Xét a = 13, b = 5719, c = 3, P = 1, t = −1850 Vì |t| = √ √ 1850 > 13 = a b, nên điều kiện (b) Định lý 2.2.8 không thỏa mãn √ Tuy nhiên, có c = < a b a = 13 | T3,5719 phân số nguyên tố cho T3,5719 = 13.73.3090595037619968783.491670203565799.329685203, √ √ T1,b + U1,b b = 491670203565799 + 6501504110940 5719, T1,b T2,b số nguyên tố Vì c = Q69 = biểu diễn liên √ √ √ phân số liên tục đơn a b = 966511 (trong l( 966511) = 156), theo Định lý 2.2.8, phương trình a2 x2 − by = 169x2 − 5719y = −3 = −c có nghiệm nguyên thủy, nghiệm x = 104018 y = 17881 Trong Ví dụ 2.3.5 liên quan tới tốn liên hệ liên phân số nghiệm phương trình Diophantine tác giả A J van der 37 Poorten, and H C Williams nghiên cứu công bố tạp chí Journal de théorie des (1994) Acta Arithmetica (1999) (hoặc xem [6, Example 3.5.3,p 101]) Ví dụ trường hợp hai điều kiện (a) (b) Định lý 2.2.8 thỏa mãn Ví dụ 2.3.6 Cho a = 7, b = 13, c = 9, P = 1, t = Ta có c = √ √ [7] R.A Mollin, A J Poorten (2000), Continued fractions, Jacobi symbols, and quadratic Diophantine equations, Canad Math Bull, 43, pp 218–225 42 [8] R A Mollin, K Cheng, B Goddard (2002), The Diophantine Equation AX − BY = C solved via continued fractions, it Acta Math Univ Comenianae, LXXI(2), pp 121–138 [9] R.A Mollin (2008), Fundamental Number Theory with Applications, Chapman & Hall/CRC [10] R A Mollin, A J Van Der Poortel, H C Williams (1994), Halfway to a solution X − DY = −3, Journal De Theorie Des Nombres De Bordeaux, 6(2), pp 421–457 [11] W Siepinski (1964), Elementary Theory of Number, North-Holland Mathematical Library (volume 31) [12] A Tekcan (2011), Continued Fractions Expansion of √ D and Pell Equation x2 − D ∗ y = 1, Mathematica Moravica, 15(2), pp 19—27 [13] A Tekcan (2004), "Pell equation X − DY = 2", Irish Math Soc Bulletin, 54, pp.73–89 [14] D T Walker (1967), "On the Diophantine Equation mX − nY = ±1", The American Mathematical Monthly, 74(5), pp.504-513 [15] Louboutin S, Mollin R A., and Williams H C, Class numbers of real quadratic elds, continued fractions, reduced ideals, prime-producing quadratic polynomials, and quadratic residue covers , Canad J Math., 44 (1992), 824–842 [16] Mollin R A.,Quadratics, CRC Press, Boca Raton, New York, London, Tokyo 1996 [17] Mollin R A., Jacobi symbols, ambiguous ideals, and continued fractions, Acta Arith LXXXV (1998), 331–349 [18] Mollin R A.,Fundamental Number Theory with Applications, CRC Press, Boca Raton, New York, London, Tokyo 1998 ... Về phương trình Diophantine bậc dạng Ax2 − By = C 2.1 Phương trình Diophantine x2 − Dy = N Mục tập trung thảo luận ứng dụng liên phân số phương trình Pell Nhắc lại, ta gọi phương trình Pell phương. .. tuần hồn Chương Về phương trình Diophantine bậc dạng Ax2 − By = C 12 2.1 Phương trình Diophantine x2 − Dy = N 12 2.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By = C 16 2.3... số phương nên a | u Vì u = a1 a (a1 a)2 − abv = ac hay a21 a − bv = c, tức (u/a, v nghiệm phương trình ax2 − by = c 2.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By = C Ta nghiên cứu nghiệm phương trình