Ứng dụng chương trình tính toán để giải những bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THỊ LỤA ỨNG DỤNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TỐN ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TỐN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẬC HAI Bộ mơn: Tốn lý MSSV: 41.01.102.059 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS LƯƠNG LÊ HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 LỜI MỞ ĐẦU Để khóa luận đạt kết hơm nay, q trình bắt đầu hồn thiện em nhận nhiều giúp đỡ từ quý thầy cơ, bạn bè gia đình Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Đầu tiên thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng trực tiếp hướng dẫn em suốt q trình làm khóa luận Thầy đồng hành giúp đỡ, động viên, dẫn tận tâm em gặp vấn đề khó hiểu Ngồi ra, em nhận từ thầy tự tin, kinh nghiệm sống niềm đam mê nghiên cứu khoa học Thứ hai, thầy, cô khoa Vật Lý giảng dạy, truyền cho em kiến thức chuyên mơn tảng, kĩ năng, phương pháp để em vững bước vào nghề tương lai Cùng với gia đình bạn bè thân thiết ln bên cạnh giúp đỡ em thời gian qua Một lần em xin chân thành cảm ơn Tp.HCM, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Trần Thị Lụa PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày hệ lượng tử chiều trường ngoại lực điện trường từ trường nghiên cứu khảo sát cách mạnh mẽ trình quang ion hóa, tái hợp ngun tử phân tử, chuyển dịch xạ trạng thái Rydberg nguyên tử bẫy quang từ [1–3], khuếch tán lượng tử bề mặt phân tử [4] hay truyền ánh sáng ống quang dẫn rời rạc khơng [5], [6] Mơ hình tốn học q trình tốn biên có chứa phương trình Schrodinger, phương trình đặc trưng cho trạng thái hệ lượng tử (các hạt electron, proton, hạt nhân, nguyên tử, phân tử v.v ) hệ phương trình đạo hàm riêng bậc hai dạng Elip miền vô hạn với hàm khác Đã có số cơng trình khoa học đưa chương trình dựa sơ đồ tính tốn phương pháp số giải tích khác để giải mơ hình tốn học với mục đích tìm hàm sóng lượng riêng hệ lượng tử Các chương trình viết chương trình phần mềm tính tốn Mathcad, Mathematica Tuy nhiên số lượng cơng trình cịn kết cơng trình đưa chương trình tính tốn cách sơ bộ, rời rạc áp dụng cho vài phương pháp đơn giản với nhiều lí hạn chế tốc độ vận hành phần mềm, mã code chưa chuẩn, hạn chế mặt tính tốn số học hay vẽ đồ thị v.v Vì việc xây dựng áp dụng chương trình dựa phương pháp để khảo sát mơ hình lượng tử phức tạp nhiệm vụ cần thiết quan trọng người nghiên cứu khoa học, đặc biệt lĩnh vực khoa học tự nhiên kĩ thuật Trong khóa luận chúng tơi sử dụng chương trình có tên gọi "KANTBP 4M — A program for solving boundary problems of the self-adjoint system of ordinary second order differential equations " [7] Đây chương trình biên soạn phần mềm Maple (Maplesoft) cộng tác viên khoa học Viện Liên hiệp Hạt nhân Dubna, Thành phố Dubna, Liên Bang Nga Chương trình có chứa 1000 mã code thuật toán phức hợp thể qua sơ đồ tính tốn dựa phương pháp phần tử hữu hạn [8] với đa thức nội suy Hermite [9] để khảo sát mơ hình tốn học đơn giản hóa từ mơ hình vật lý lượng tử chiều phức tạp Đối tượng phương pháp nghiên cứu Khóa luận trình bày lại vắn tắt cách chương trình giải tốn phương pháp phần tử hữu hạn nội dung toán trị riêng, tốn tán xạ Từ đó, vận dụng giải toán cụ thể tương ứng Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết chương trình KANTBP 4M Chương gồm nội dung giới thiệu chương trình KANTBP 4M, toán trị riêng toán tán xạ, phương pháp phần tử hữu hạn, đa thức nội suy Hermite Chương 2: Ứng dụng chương trình KANTBP 4M Vận dụng chương trình KANTBP 4M để khảo sát toán trị riêng toán tán xạ cho phương trình hệ phương trình vi phân Mục lục Cơ sở lý thuyết chương trình KANTBP 4M 1.1 Bài toán biên, toán trị riêng phiếm hàm bậc hai đối xứng 1.2 Mô tả ngắn gọn dạng tốn 1.3 Sự hình thành phương pháp phần tử hữu hạn toán đại số 10 1.4 1.5 Đa thức nội suy Hermite 10 Sự hình thành toán trị riêng đại số 14 1.6 Sơ đồ tính tốn tốn tán xạ nhiều kênh 18 Ứng dụng chương trình KANTBP 4M 22 2.1 Bài toán 1: Nghiệm tốn trị riêng với phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hịa chiều phương trình xun tâm cho dao động tử điều hòa d – chiều 22 2.2 Bài toán 2: Nghiệm toán trị riêng cho hệ phương 2.3 trình với hàm khơng đổi liên tục phần 31 Bài toán 3: Nghiệm tốn tán xạ nhiều kênh cho hệ phương trình với hàm không đổi liên tục phần 36 2.4 Bài toán 4: Nghiệm toán tán xạ nhiều kênh mô tả truyền qua rào hệ hai hạt đồng với tương tác dao động 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Cơ sở lý thuyết chương trình KANTBP 4M 1.1 Bài toán biên, toán trị riêng phiếm hàm bậc hai đối xứng Chương trình KANTBP 4M [7] chương trình dùng để giải tốn biên tốn trị riêng có chứa hệ gồm N phương trình vi phân thường bậc hai hàm số chưa biết (hàm riêng) Φ(z ) = (Φ1 (z ) , ΦN (z ))T biến số độc lập z ∈ Ω z , z max phương pháp phần tử hữu hạn [8]: d d I fA (z ) + V(z ) fB (z ) dz dz fA (z ) d d fA (z )Q(z ) + Q(z ) + − EI Φ(z ) = (1.1) fB (z ) dz fB (z ) dz (D − EI)Φ(i) (z ) ≡ − Với fB (z ) > fA (z ) > hàm liên tục liên tục phần mang giá trị dương, I ma trận đơn vị, V(z) ma trận đối xứng, Vij (z ) = Vji (z ) Q(z) ma trận phản xứng, Qij (z ) = −Qji (z ) hiệu dụng có kích thước N × N Các phần tử ma trận hệ số liên tục liên tục phần mang giá trị thực phức thuộc không gian Sobolev H2s≥1 (Ω), với điều kiện tồn nghiệm bất thường thỏa mãn điều kiện biên nhất: Dirichlet (loại I) Neumann (loại II) loại III điểm biên khoảng z ∈ z , z max với giá trị cho sẵn phần tử thuộc ma trận thực phức R(z t ) có kích thước N × N (I) : (II) : (III) : Φ(z t ) = 0, t=min (hoặc) max (1.2) d limt fA (z ) I − Q(z ) Φ(z ) = 0, t=min (hoặc) max (1.3) z→z dz d I − Q(z ) Φ(z ) = R(z t )Φ(z t ), t=min (hoặc) max(1.4) t dz z=z Nghiệm Φ(z ) ∈ H2s≥1 (Ω) tốn biên (1.1)–(1.4) rút gọn theo phép tính tốn số học điểm dừng phiếm hàm bậc hai đối xứng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn z max Ξ(Φ, E, z ,z max )≡ = Π(Φ, E, z Φ (z )(D − EI)Φ(z )dz z min max ,z ) − f A (z max )Φ (z max )G(z max )Φ(z max ) + f A (z )Φ (z )G(z )Φ(z ) (1.5) z max Π(Φ, E, z dΦ (z ) dΦ(z ) + f B (z )Φ (z )V(z )Φ(z ) dz dz z dΦ(z ) dΦ(z ) − f A (z ) Q(z )Φ(z ) + f A Φ (z )Q(z ) dz dz ,z max )= f A (z ) − f B (z )EΦ (z )Φ(z ) dz (1.6) Với G(z ) = R(z ) − Q(z ) ma trận đối xứng có kích thước N × N , dấu hốn vị T liên hợp Hermite † , tức chuyển vị với liên hợp phức phụ thuộc vào loại tốn cần giải 1.2 Mơ tả ngắn gọn dạng toán Xét dạng toán biên bản: Bài toán tán xạ nhiều kênh Trên trục z ∈ (−∞, +∞) với giá trị lượng không đổi E = E, (i) (i) N nghiệm cần tìm dạng ma trận Φ(z ) ≡ {Φ(i) v (z )}i=1 , Φv (z ) = (Φ1v (z ), , (i) ΦN v (z ))T , Φ(z ) ∈ W 12 (Ωz ) (chỉ số v lấy giá trị → ← có nghĩa hướng ban đầu sóng tới từ trái sang phải từ phải sang trái hình 1.1) tốn biên (1.1) dành cho hệ N phương trình vi phân thường bậc hai khoảng z ∈ [z , z max ] tính code chương trình [13,14] Các nghiệm dạng ma trận phải thỏa mãn điều kiện biên loại III (1.4) điểm biên khoảng z ∈ [z , z max ] với tiệm cận có dạng "sóng tới + sóng truyền qua" kênh mở i = 1, , No : )m ( z o rf) )o ( z o rf) X(  ) ( z ) l X(  ) ( z ) X( ) ( z )R o X(+) ( z )To z0 z!0 X() ( z)Tm X(+) ( z)R m z0 z!0 lm o ) l o o rf ) l  o   ! Hình 1.1: Sơ đồ biểu diễn nghiệm toán tán xạ với tiệm cận có dạng "sóng tới + sóng phản xạ sóng truyền qua" kênh mở  X(+) (z )T ,   z ∈ [z max , +∞), v     X(+) (z ) + X(−) (z )R , z ∈ (−∞, z ], v Φv (z → ±∞) =   X(−) (z ) + X(+) (z )R , z ∈ [z max , +∞),  v     X(−) (z )T , z ∈ (−∞, z ], v =→, v =←, v (1.7) Trong Tv Rv ma trận chữ nhật ma trận vuông chưa biết biên độ truyền qua phản xạ tương ứng, để thành lập ma trận tán xạ S có kích thước No × No , No = NoL + NoR : S= R→ T ← , T→ R ← S† S = S† S = I (1.8) ma trận đối xứng đơn trường hợp hàm có giá trị thực Đối với tốn tán xạ nhiều kênh bán trục z ∈ [z , +∞) z ∈ (−∞, z max ], nghiệm dạng ma trận cần tìm Φ(z ) tốn biên dành cho hệ N phương trình vi phân thường bậc hai (1.1) tính khoảng z ∈ [z , z max ] Các nghiệm ma trận phải thỏa mãn điều kiện biên loại III (1.4) điểm biên z max z khoảng xét, với tiệm cận loại "sóng tới + sóng truyền qua" kênh mở i = 1, , No : Φ← (z → +∞) = X(−) (z ) + X(+) (z )R← , Φ→ (z → −∞) = X (+) (z ) + X (−) (z )R→ , z ∈ [z max , +∞) z ∈ (−∞, z ] l o (1.9) thỏa mãn điều kiện biên (1.2)–(1.4) điểm biên z   m z max để thành lập ma trận tán xạ S = R← S = R→ ma trận đối xứng đơn trường hợp hàm có giá trị thực Trong nghiệm tốn tán xạ nhiều kênh kênh đóng xét Trong trường hợp điều kiện tiệm cận (1.7),(1.9) có dạng:  X(→) (z )T + X(c) (z )Tc , z ≥ z max → max max → as Φ→ = X(→) (z ) + X(←) (z )R + X(c) (z )Rc , z ≤ z min Φas ← → →  X(←) (z ) + X(→) (z )R + X(c) (z )Rc , ← max max max ← = X(←) (z )T + X(c) (z )Tc , z ≤ z ← (1.10) z ≥ z max (1.11) ← (→) (→) Xmax (z ) = X(+) (z ), z ≥ z max , Xmin (z ) = X(+) (z ), z ≤ z , (←) Xmin (z ) = X(−) (z ), z ≤ z phương trình (1.10) X(←) max (z ) = (←) (→) X(−) (z ), z ≥ z max , Xmax (z ) = X(+) (z ), z ≥ z max , Xmin (z ) = X(−) (z ), z ≤ z phương trình (1.11) Giả sử số hạng nghiệm tiệm cận X(±) (z ) toán biên z ≤ z (hoặc) z ≥ z max có dạng sau: kênh mở Vito io < E nghiệm dao động: Xi±o j (z ) ptio → exp(±ıptio z ) fA (z )pti fB (z t ) fA (z t ) = δio j , E − Vito io j = 1, , N, io = 1, , No , (1.12) kênh đóng Vitc ic ≥ E nghiệm giảm theo hàm số mũ: Xicc j (z ) → ptic = exp(−ptic |z|)δic j , fA (z ) fB (z t ) fA (z t ) Vitc ic − E j = 1, , N, ic = No + 1, , N (1.13) Các hệ thức trở nên đắn hệ số phương trình z ≤ z (hoặc) z ≥ z max thỏa mãn điều kiện đây: fA (z ) fA (z t ) = + o(1), t = min, max, fB (z ) fB (z t ) Vii (z ) = Viit + o(1), Vijt (z ) = o(1), Qtij = o(1), i = j (1.14) Bài toán trị riêng Chương trình KANTBP 4M tính tốn M trị riêng lượng E : E1 ≤ E2 ≤ ≤ EM hàm riêng tương ứng Φ(z ) ≡ (m) (m) m T {Φm (z )}M m=1 , Φ (z ) = (Φ1 (z ), , ΦN (z )) thuộc khơng gian H2 hệ N phương trình vi phân thường bậc hai (1.1) Các hàm riêng phải thỏa mãn điều kiện biên nhất: loại I (hoặc) loại II hay loại III ((1.2)–(1.4)) điểm biên thuộc khoảng z ∈ [z , z max ] Trong trường hợp hàm có giá trị thực, nghiệm phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa trực giao: z max (m) = (1.15) z phiếm hàm bậc hai đối xứng (1.5) tương ứng sử dụng, dấu liên hợp Hermite † cần thiết cho tính rời rạc tốn dùng phương pháp phần tử hữu hạn Trong trường hợp, hàm có giá trị phức, nghiệm phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa trực giao: z max fB (z )(Φ(m) (z ))T Φ(m ) (z )dz = δmm < Φ(m) |Φ(m ) > = (1.16) z phiếm hàm bậc hai đối xứng (1.5) tương ứng sử dụng, chuyển vị T cần cho tính rời rạc toán dùng phương pháp phần tử hữu hạn Để giải toán giới hạn trục nửa trục số, toán ban đầu xấp xỉ toán biên (1.1)–(1.4) khoảng giới hạn z ∈ [z , z max ] với điều kiện biên loại III (1.4) với ma trận R(z t ) cho phụ thuộc vào trị riêng E chưa biết trị riêng, hàm riêng xấp xỉ tính tốn Nếu ma trận R(z t ) phụ thuộc vào trị riêng E chưa biết R(z t , E ) xác định khai triển tiệm cận biết nghiệm cần tìm Trong trường hợp đó, để tính trị riêng hàm riêng xấp xỉ chương trình sơ đồ lặp Newton triển khai để tính tốn Sự xấp xỉ thích hợp ban đầu chọn từ nghiệm tính trước với điều kiện biên phụ thuộc vào E 34 dFun(i):=subs(x=xmin,dFun(i))-(A||i) *exp(sqrt(-Eh+vpot(i,i,1))*xmin)*sqrt(-Eh+vpot(i,i,1)); od: "Eigenvalues given by solution of set of exact equations:"; "if not all, please repeat command txt"">>"; xx:=rand(0 10^5):     0 10 4 10 0 10 Bài toán biên (1.1) với Vij (z ) = Qij = với điều kiện biên (1.4) xác định từ nghiệm tiệm cận (1.10), (1.11) toán tán xạ nhiều kênh với fB (z ) = fA (z ) = 1, N = Code để giải tốn có dạng sau: restart;read "kantbp4m.mwt";Digits:=12; eqs:=3;psubint:=3;kappamax:=2; keypot:=2;DirL:=0;DirR:=0; nmesh:=3; ngrid(1):=10;ngrid(2):=10;ngrid(3):=10; zmesh(0):=-6;zmesh(1):=-2;zmesh(2):=2;zmesh(3):=6; 38 vpot(1,1,1):=2;vpot(2,2,1):=5;vpot(3,3,1):=10; vpot(1,2,1):=0;vpot(1,3,1):=0;vpot(2,3,1):=0; vpot(2,1,1):=0;vpot(3,1,1):=0;vpot(3,2,1):=0; 10 11 vpot(1,1,2):=-5;vpot(2,2,2):=0;vpot(3,3,2):=10; 12 13 vpot(1,2,2):=4;vpot(1,3,2):=4;vpot(2,3,2):=4; vpot(2,1,2):=4;vpot(3,1,2):=4;vpot(3,2,2):=4; 14 15 16 vpot(1,1,3):=0;vpot(2,2,3):=0;vpot(3,3,3):=10; vpot(1,2,3):=0;vpot(1,3,3):=0;vpot(2,3,3):=0; 17 18 vpot(2,1,3):=0;vpot(3,1,3):=0;vpot(3,2,3):=0; 19 20 Eh:=3.8; hermites(); 21 22 read "example11test.txt"; 23 24 Giải thích dịng lệnh tương ứng: Dịng − 3: Khởi động quy trình, chọn tùy chọn để giải toán tán xạ nhiều kênh cho phương trình trục chọn tham số cho phương pháp phần tử hữu hạn Dòng − 5: Bài toán giải mạng lưới gần đồng Ωz = {−6(10) − 2(10) 2(10) 6(10)} số dấu ngoặc số khoảng phần tử hữu hạn, khoảng hiệu dụng nmesh := phải ghi rõ Nó quan trọng để điểm gãy hố trùng với nút zmesh Dòng − 19: Cài đặt hiệu dụng Dòng 21: Cài đặt giá trị lượng khơng đổi cho tốn tán xạ Dịng 22: Nghiệm tốn biên (1.1) mạng lưới gần đồng với điều kiện biên loại z z = z max với nghiệm tiệm cận (1.7), (1.12) toán tán xạ trục Biểu diễn ma trận S hàm riêng Dịng 23 − 24 Đọc file "example11test.txt" Kết thu được: 39 Hình 2.9: Bộ hàm riêng tương ứng với trạng thái thứ 1, sóng tới từ trái sang phải ngược lại tính tốn chương trình KANTBP 4M, ma trận tán xạ S với p = 3, κmax = 2, p = Hình 2.10: Độ xác nghiệm tính tốn chương trình KANTBP 4M với p = 3, κmax = 2, p = so với nghiệm giải tích biết Nhận xét: Hình 2.10 cho thấy dùng chương trình KANTBP 4M để tìm nghiệm tốn tán xạ nhiều kênh cho hệ phương trình với hàm khơng đổi liên tục phần, nghiệm số thu có độ xác lên đến 10−10 so với nghiệm giải tích biết Ngồi ra, ứng với giá trị lượng không đổi 40 E = 3, sóng tới từ trái sang phải có kênh mở sóng tới có chiều ngược lại có kênh mở Ta thấy số lượng kênh mở kênh đóng phụ thuộc vào dạng hàm năng, cụ thể ta tăng độ cao độ dày hàng rào số lượng kênh đóng mở giảm ngược lại Ngoài số lượng kênh phụ thuộc vào giá trị tham số lượng E, cụ thể lượng E lớn số lượng kênh tăng lên ngược lại 2.4 Bài toán 4: Nghiệm tốn tán xạ nhiều kênh mơ tả truyền qua rào hệ hai hạt đồng với tương tác dao động Xét hệ hai hạt đồng có tọa độ x1 x2 tương tác với dao động điều hòa Vosc (x1 − x2 ) = (x1 − x2 )2 /2 truyền qua rào Gaussian √ Vg (xs ) = α/ σ 2π exp (−x2s /σ ) , s = 1, 2, σ = 0.1, α = alpha Trong hệ phương trình (1.1), Qij = 0, fA (z ) = fB (z ) = Vij (z ) cho dạng giải tích [16]: +∞ Vij (z ) = −∞ √ √ z − x / dxΦosc ( x ) V z + x / + V ( ) ( ) g g i Φosc j (x) đó, Φosc j (x) hàm riêng dao động tử điều hòa với hàm Vosc (x) = x2 trị riêng Eiosc = 1, 5, 9, 13, 17 nghiệm (Φeven ) (Φodd ) toán tán xạ nhiều kênh bán trục z ∈ [0, +∞), với điều kiện biên loại III, loại II loại I z = tính chương trình KANTBP 4M Code để giải tốn có dạng sau: restart;read "kantbp4m.mwt";Digits:=8; eqs:=5;psubint:=3;kappamax:=2;keypot:=2; alpha:=5; vpot(1, 1) := (10/51)*2^(1/2)*51^(1/2) *exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); vpot(2, 1) :=(500/132651)*51^(1/2)*(100*z^2-51) *exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); vpot(2, 2) :=(10/345025251)*2^(1/2)*51^(1/2) *(12500000*z^4-12240000*z^2+3253851) 10 41 *exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); 11 vpot(3, 1) := (12500/345025251)*17^(1/2) *(10000*z^4-30600*z^2+7803)*exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); 12 13 vpot(3, 2) := (1000/897410677851)*2^(1/2)*17^(1/2) *(312500000*z^6-1090125000*z^4+692906400*z^2-124559289) 14 15 *exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); vpot(3, 3) := (10/7002495519271353)*2^(1/2)*51^(1/2) 16 17 *(78125000000000*z^8-465375000000000*z^6+815023350000000 18 *z^4-343823432940000*z^2+47720056849353) *exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); 19 20 vpot(4, 1) := (312500/2692232033553)*2^(1/2)*5^(1/2)*51^(1/2) *(200000*z^6-1530000*z^4+2340900*z^2-397953) 21 22 *exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); vpot(4, 2) := (12500/7002495519271353)*5^(1/2)*51^(1/2) 23 24 *(25000000000*z^8-200940000000*z^6+374622030000 25 *z^4-187276681800*z^2+25430390559)*exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); 26 vpot(4, 3) := (500/18213490845624789153)*5^(1/2)*17^(1/2) *(1562500000000000*z^10-16351875000000000 27 28 *z^8+53577348750000000*z^6-64024867381500000 29 *z^4+21567940440750900 *z^2-2437606503542259)*exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); 30 31 vpot(4, 4) := (10/142119869068410229760859)*2^(1/2)*51^(1/2) *(195312500000000000000*z^12-2916562500000000000000*z^10 32 33 +15279858984375000000000*z^8-33384028449375000000000*z^6 +29947188422926687500000*z^4-8048178376662340980000*z^2 34 35 +778844911223850977709)*exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); vpot(5, 1) := (7812500/49017468634899471)*35^(1/2)*51^(1/2) 36 37 *(20000000*z^8-285600000*z^6+1092420000*z^4-1114268400*z^2 +142069221)*exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); 38 39 vpot(5, 2) := (312500/127494435919373524071)*70^(1/2)*51^(1/2) 40 *(1250000000000*z^10-18283500000000*z^8+75202192800000*z^6 -98947033920000*z^4+41640488675100*z^2-4542947479917) 41 42 *exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); 43 vpot(5, 3) := (25000/331613027826290536108671)*2^(1/2)*35^(1/2)44 42 *17^(1/2)*(39062500000000000*z^12-664593750000000000*z^10 45 +3716325056250000000*z^8-8594435739330000000*z^6 +7912528215288480000*z^4-2286202453893388800*z^2 46 47 +217903084498761669)*exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); vpot(5, 4) := (1000/2587576456128545053255959813)*7^(1/2) 48 49 *51^(1/2)*(4882812500000000000000 *z^14-104689453125000000000000 50 51 *z^12+819894128906250000000000*z^10-2937495665714062500000000 52 *z^8+4925077279169118750000000*z^6-3573822915319729999500000 *z^4+823641738354420244881300*z^2-69677808754973953060863) 53 54 *exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); vpot(5, 5) := (10/6730286362390345683518751473613)*2^(1/2) 55 56 *51^(1/2)*(610351562500000000000000000*z^16 -17033203125000000000000000000*z^14 57 58 +182702977734375000000000000000*z^12 -954188945462812500000000000000*z^10 59 60 +2564655997790939062500000000000*z^8 -3440342130279467364000000000000*z^6 61 62 +2081224402985417718914550000000*z^4 63 -410262584654439759330456480000*z^2 +31192511804610858391331984013)*exp(-(50/51)*z^2)/Pi^(1/2); 64 65 for i from to eqs for i1 from i+1 to eqs 66 67 vpot(i1,i):=alpha*vpot(i1,i);vpot(i,i1):=vpot(i1,i); od; 68 69 vpot(i,i):=alpha*vpot(i,i)+[1,5,9,13,17][i]; od; 70 71 Eh:=5.45; 72 73 zmin:=-6;zmax:=6;ngrid:=40; 74 DirL:=0;DirR:=0; hermites();NOpen:=NOpenL+NOpenR; 75 76 DirL:=1;zmin:=0;ngrid:=20; 77 78 43 hermites(); 79 DirL:=2; 80 81 hermites(); 82 Giải thích dòng lệnh tương ứng: Dòng − 2: Khởi động quy trình chọn thơng số để giải tốn tán xạ nhiều kênh cho phương trình tham số cho phương pháp phần tử hữu hạn Dòng − 71 : Cài đặt hiệu dụng Vij (z ) Dòng 73 : Cài đặt giá trị lượng cố định cho tốn tán xạ Dịng 74 − 76 : Nghiệm toán biên (1.1) mạng lưới gần đồng với điều kiện biên loại III (1.4 ) z z = z max với nghiệm tiệm cận (1.7), (1.12) tốn tán xạ trục Dịng 78 − 79 : Nghiệm toán biên (1.1) mạng lưới đồng thỏa điều kiện biên I (1.2) z = điều kiện biên loại III (1.4) z = z max với nghiệm tiệm cận (1.9) ,(1.12) tốn tán xạ bán trục Dịng 81 − 82 : Nghiệm toán biên (1.1) mạng lưới đồng thỏa điều kiện biên loại II (1.3) z = điều kiện biên loại III (1.4) z = z max với nghiệm tiệm cận (1.9), (1.12) toán tán xạ bán trục Kết thu được: 44 Hình 2.11: Nghiệm tốn biên (1.1) thỏa điều kiện biên loại III (1.4) ma trận tán xạ S tính chương trình KANTBP 4M mạng lưới đồng với zmin = −6, zmax = 6, N = 5, p = 3, κmax = Hình 2.12: Nghiệm tốn biên (1.1) thỏa điều kiện loại III (1.4) điều kiện biên loại I (1.2) với ma trận tán xạ S tính chương trình KANTBP 4M mạng lưới đồng với zmin = 0, zmax = 6, N = 5, p = 3, κmax = Nhận xét: Với giá trị lượng E = 5.45, trường hợp nghiệm toán thỏa điều kiện biên loại III có kênh mở Trường hợp nghiệm tốn thỏa thêm điều kiện biên loại I loại II có kênh mở Số lượng kênh mở phụ thuộc vào giá trị lượng E ban đầu, loại điều kiện biên 45 Kết luận • Trong khóa luận chúng tơi giới thiệu chương trình KANTBP 4M – chương trình tính tốn biên soạn phần mềm Maple đưa ứng dụng chương trình việc phân tích mơ hình hệ thống lượng tử chiều đưa mơ hình tốn học Các mơ hình tốn học khảo sát chương trình KANTBP 4M khóa luận bao gồm toán trị riêng đại số phương trình Schrodinger với hố chiều nhiều chiều, toán trị riêng đại số tốn tán xạ với hàm khơng đổi liên tục phần, toán tán xạ nhiều kênh mô tả truyền qua hàng rào hệ hai hạt đồng với tương tác dao động • Kết tính tốn số học chương trình cho độ xác cao so với phương pháp giải tích Đây ưu điểm bật chương trình Chương trình KANTBP 4M cịn giải toán lượng tử phức tạp khác tốn trị riêng phương trình bán kính với hàm Coulomb, tốn trị riêng toán tán xạ với hàm PoschlTeller chiều với hàm Scarf chiều (hàm Poschl-Teller dạng phức), tốn trị riêng chứa phương trình hệ phương trình với hố vng, tốn trị riêng hệ phương trình Helmholtz miền hình chữ nhật việc sử dụng phương pháp Kantorovich, tốn tính tốn trạng thái siêu bền v.v Ngồi chương trình KANTBP 4M cịn có khả khảo sát tốn mà chưa có nghiệm dạng giải tích • Chương trình KANTBP 4M cơng cụ hữu ích cho nhà nghiên cứu đặc biệt lĩnh vực khoa học tự nhiên khoa học kĩ thuật để khảo sát hàng loạt mơ hình tính tốn dựa mơ hình vật lý vật lý lượng tử, vật lý hạt nhân nguyên tử, vật lý chất rắn v.v 46 Tài liệu tham khảo [1] Chuluunbaatar O., Gusev A A., Derbov V L., Kaschiev M S., Melnikov L A., Serov V V., Vinitsky S I Calculation of a hydrogen atom photoionization in a strong magnetic field by using the angular oblate spheroidal functions J Phys A 2007 Vol 40 P 11485–11524 [2] Guest J R., Choi J -H., Raithel G Decay rates of high – | m | Rydberg states in strong magnetic fields Phys Rev A 2003 Vol 68 P 022509–1–9 [3] Hoogerheide Sh F., Naing A S., Dreiling J M., Brewer S M., Guise N D., Tan J N Experiments with Highly-Ionized Atoms in Unitary Penning Traps Atoms 2015 Vol N P 367–391 [4] Krassovitskiy P M., Pen’kov F M Contribution of resonance tunneling of molecule to physical observables J Phys B: At Mol Opt Phys 2014 Vol 47 P 225210 [5] Егоров А А Теоретический и численный анализ волноводного распространения и рассеяния собственных и несобственных мод нерегулярного интегрально-оптического волновода Квант Электр 2012 Т 42 № С 337–34 [6] Боголюбов А Н., Малых М Д О ловушечных модах электромагнитного волновода с неоднородным заполнением Радиотехника и электроника 2005 T 50 № С 218–222 [7] A.A Gusev, L Le Hai, O Chuluunbaatar, S.I Vinitsky KANTBP 4M – A program for solving boundary problems of the self-adjoint system of ordinary second order differential equations, accessed on 15 November 2015 Available from http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/kantbp4m/indexe [8] Streng G., Fics G Theory of finite element method World, Moscow 1977 [9] Gusev A.A., Gerdt V.P., Luong L.H., Derbov V.L., Vinitsky S.I., and Chuluunbaatar O Symbolic-Numeric Algorithms for Solving BVPs for a System of ODEs of the Second Order: Multichannel Scattering and Eigenvalue Problems CASC 2016 Springer International Publishing Switzerland LNCS Vol 9890: 212-227 [10] Berezin, I.S., Zhidkov, N.P Calculation Methods Second Edition Moscow Fizmatlit 1962 T 464 pages 47 [11] Bathe K J Finite Element Procedures in Engineering Analysis Englewood Cliffs Prentice Hall New York 1982 [12] Корнеев В Г Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности Л: ЛГУ 1977 [13] Куперин Ю А., Мельников Ю Б Квантовое рассеяние в калибровочных полях адиабатических представлений Матем сб 1991 Т 182 № С 236-–282 [14] Захарьев Б Н., Сузько А А Потенциалы и квантовое рассеяние Прямая и обратная задачи М Энергоатомиздат 1985 [15] Gevorkyan M N., Kulyabov D.S., Lovetskiy K.P Sevastyanov A.L and Sevastyanov L.A Waveguide modes of a planar optical waveguide Mathematical modeling and geometry 2015 Vol N 1: 43-63 [16] A.A Gusev, S.I Vinitsky, O Chuluunbaatar, L.L Hai, V.L Derbov, A Gozdz and P.M Krassovitskiy Resonant tunneling of the few bound particles through repulsive barriers Physics of Atomic Nuclei 77 2014 pp 389–413 48 • Đề tài khóa luận thực với hỗ trợ Đề tài Nghiên cứu Khoa học cấp Cơ sở Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Mã đề tài: CS.2018.19.50 • Kết thu khóa luận đăng Kỷ yếu Hội thảo Khoa học "Đổi phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá theo hướng tiếp cận lực" tổ chức Khoa Sư phạm – Đại học Cần Thơ ngày 09/12/2018 Tên kỷ yếu: "ỨNG DỤNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TỐN DÀNH CHO SỰ PHÂN TÍCH CÁC MƠ HÌNH HỆ THỐNG LƯỢNG TỬ ÍT CHIỀU" Tác giả: Lương Lê Hải, Trần Thị Lụa, A A Gusev , S I Vinitsky , O Chuluunbaatar • Ngồi kết thu khóa luận đăng Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tên báo: "APPLICATION OF THE KANTBP 4M PROGRAM FOR ANALYSIS OF MODELS OF THE LOW-DIMENSIONAL QUANTUM SYSTEMS" JOURNAL OF SCIENCE – NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY Vol 16, No (2019): 121-131 Tác giả: Luong Le Hai, Tran Thi Lua, A A Gusev, S I Vinitsky, O Chuluunbaatar ... chương trình KANTBP 4M 1.1 Bài toán biên, toán trị riêng phiếm hàm bậc hai đối xứng Chương trình KANTBP 4M [7] chương trình dùng để giải tốn biên tốn trị riêng có chứa hệ gồm N phương trình vi. .. toán tán xạ, phương pháp phần tử hữu hạn, đa thức nội suy Hermite Chương 2: Ứng dụng chương trình KANTBP 4M Vận dụng chương trình KANTBP 4M để khảo sát toán trị riêng toán tán xạ cho phương trình. .. tốn biên (1.1) dành cho hệ N phương trình vi phân thường bậc hai khoảng z ∈ [z , z max ] tính code chương trình [13,14] Các nghiệm dạng ma trận phải thỏa mãn điều kiện biên loại III (1.4) điểm biên