Sự dao động của hệ phương trình vi phân có đối số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ VĂN CƯỜNG SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2003 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH • Thầy Hướng Dẫn: Phó Giáo sư - Tiến sĩ : Lê Hoàn Hóa Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh • Thầy Phản Biện 1: Tiến sĩ : Nguyễn Anh Tuấn Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh • Thầy Phản Biện 2: Tiến sĩ : Nguyễn Thành Long Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh • Người Thực Hiện: Võ Văn Cường Trường Cao Đẳng Sư phạm Kiên Giang LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ Hồ CHÍ MINH LỜI CẢM ƠN Xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS.Lê Hoàn Hóa, khoa Toán-Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người dạy dỗ, động viên, giúp đỡ học tập thời gian học cao học tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn quí thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quí báu đọc, góp ý phản biện cho luận văn Xin chân thành cảm ơn quí thầy cô khoa Toán-Tin học hai trường, Trường Đại học SP Tp.HCM Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Tp.HCM tận tình dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiên khoa Toán-Tin học, Phòng Quản lý KHSĐH Trường Đại học SP Tp.HCM giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin chân thành cảm ơn BGH Hội đồng Giáo viên Trường CĐSP Kiên Giang, người động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Cuối xin tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn hữu đồng nghiệp động viên giúp đỡ hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh 2003 Võ Văn Cường MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM DUY NHẤT CUA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH 1.1 Lý thuyết tồn nghiệm 1.2 Tính bị chặn theo hàm mũ nghiệm 18 1.3 Biến đổi Laplace 20 1.4 Một số kết dao động phương trình tuyến tính đổi số lệch vô hướng 22 Chương : SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH 26 2.1 Điều kiện cần đủ cho dao động hệ phương trình tuyến tính autonomous 27 2.2 Điều kiện tường minh cho dao động không dao động hệ tuyến tính autonomous 30 2.3 Điều kiện đủ cho dao động hệ phương trình tuyến tính non autonomous 40 2.4 Sự dao động hệ phương trình vi phân đối số lệch Logistic 45 Chương 3: SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA CÓ ĐỐI SÔ LỆCH 56 3.1 Điều kiện cần đủ cho dao động hệ phương trình vi phân trung hòa 56 3.2 Điều kiện tường minh cho dao động hệ phương trình trung hòa 59 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Lý thuyết dao động nghiệm hệ phương trình vi phân có đối số lệch nghiên cứu rầm rộ năm 80 trở lại Càng ngày người ta thấy có nhiều ứng dụng thực tế Đặc biệt lĩnh vực: Vật lý, Sinh học, Sinh lý học, Sinh thái học Đóng góp nhiều cho lĩnh vực phải kể đến Gyori, Ferreira, Arino, Gopalsamy Ladas Các tác giả nghiên cứu dao động nghiệm hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng hệ phương trình vi phân có đối số lệch tuyến tính sở phương trình đặc trưng Từ với hệ phương trình cụ thể thực tế xét dựa vào hệ phương trình tuyến tính hóa (linearized equation) Chính thú vị theo hướng nghiên cứu thu hút nghiên cứu hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng Tuy nhiên cấp độ luận văn Thạc sĩ trình độ nhiều hạn chế tác giả, tập trung vào nghiên cứu dao động nghiệm hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous hệ phương trình vi phân trung hòa sở phương trình đặc trưng Từ xây dựng điều kiện cần điều kiện đủ cho lớp hệ phương trình cụ thể Hơn xét đến dao động nghiệm hệ non_autonomous tức hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính có hệ số lệch hàm số Đặc biệt luận văn nghiên cứu đến dao động nghiệm hệ phương trình vi phân đối số lệch Logistic, dạng toán sinh học, sinh lý học, sinh thái học mà việc xét tính dao động, không dao động thông qua hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính hoa Luận văn trình bày ba chương: Chương 1, Đây chương sở luận văn, trình bày đây: • Các khái niệm định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân có đối số lệch • Tính bị chặn theo hàm mũ nghiệm • Các tính chất biến đổi Laplace • Một số kết dao động nghiệm phương trình vi phân đối số lệch vô hướng cần cho hai chương sau Chương 2, Đây hai chương luận văn Trong phần trình bày khái niệm nghiệm dao động, điều kiện cần đủ cho dao động nghiệm hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous Từ bước xây dựng điều kiện cần điều kiện đủ cho lớp hệ phương trình cụ thể Các điều kiện cần cho dao động hệ tuyến tính non_autonomous Sự dao động nghiệm hệ phương trình Logistic, ứng dụng quan trọng hệ phương trình vi phân đối số lệch Chương 3, Ở chương trình bày đến dao động nghiệm hệ phương trình đối số lệch tuyến tính tổng quát hơn, hệ phương trình vi phân trung hòa Trên sở phương trình đặc trưng, trình bày điều kiện cần đủ để tất nghiệm hệ dao động từ thiết lập điều kiện tường minh cho dao động nghiệm chứng Để thực luận văn, tham khảo tài liệu liên quan [1], [2], [3], [4], [5] liệt kê tài liệu tham khảo Chương CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM DUY NHẤT CUA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH 1.1 Lý thuyết tồn nghiệm Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch x (t ) + f (t, x (t ), x (t − t (t )), , x (t − t n (t ))) = (1.1.1) t ∈ , m ∈ * , f ∈ C[[τ , ∞) ×  m ×  m × ×  m ,  m ] vµ τ i ∈ C[[τ , ∞),  + ], i = 1,2, , n, lim[τ − τ i (τ)] =∞,i =1,2, ,n (1.1.3) τ →∞ Với điểm đầu t0 ≥ t (1.1.2) ta định nghĩa { } = t−1 t−= (t ) inf{t − t i (t )} 1≤i≤ n t ≥t0 (1.1.4) Ta có t -1 phụ thuộc vào t i (t) t Đoạn [t -1 ,t ] gọi đoạn đầu kết hợp với điểm đầu t hệ (1.1.1) Cùng với hệ (1.1.1) điểm đầu t ta có điều kiện đầu x(t)=φ(t),t -1 ≤ t ≤ t (1.1.5) φ : [t−1 , t0 ] →  m gọi hàm ban đầu Định nghĩa 1.1.1 a Hàm x gọi nghiệm hệ (1.1.1) tập I, I tập [t ,T), [t ,T] [t ,∞) với t0 ≤ t0 < T , x :[t−1 , t0 ] ∪ I →  m liên tục khả vi liên tục I thỏa mãn hệ (1.1.1) I b Hàm x gọi nghiệm toán giá trị đầu (1.1.1) (1.1.5) tập I, I tập [t ,T), [t ,T] [t ,∞), x nghiệm hệ (1.1.1) I thỏa mãn (1.1.5) c Hàm x gọi nghiệm hệ (1.1.1) với t ≥ t , x nghiệm hệ (1.1.1) [t ,∞) d Hàm x gọi nghiệm toán giá trị đầu (1.1.1) (1.1.5) x nghiệm hệ (1.1.1) [t ,∞) thỏa (1.1.5) Bổ đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Gronwall) Xét = I [t0 , T ) ⊂  giả sử t u (t ) ≤ c+ ∫ν ( s )u ( s )ds, t ∈ I t0 c ∈  + vµ u,ν ∈ C[ I ,  + ] t  u(t ) ≤ c exp  ∫ν (s )ds  , t ∈ I t  0  Định lý 1.1.1 Xét hệ (1.1.1) với điều kiện (1.1.2), (1.1.3) giả sử tồn p ∈ C[[t , ∞),  + ] với t ≥ t với xi , i ∈  m , i = 1,2, , n hàm f thỏa mản điều kiện Lipschitz n f (t, x0 , x1 , , xn ) − f (t, yyy , , , n ) ≤ p(t )∑ xi − yi (1.1.6) i =0 với t ≥ t , φ ∈ C[[t−1 , t0 ],  m ] cho trước toán giá trị đầu (1.1.1) (1.1.5) có nghiệm [t ,∞) Chứng minh: Trên tập hàm liên tục  :[t−1 , ∞) →  m ta xét phép biến đổi T sau: ), −1 ≤ ≤ φ (ττττ  τ ( Tyτ )( ) =  φ ( τφ ) + ≥ (s )), , y(s − n (s )))ds, ττ  ∫ (s, y(s ), y(s − ττ τ0  ta có Ty hàm liên tục [t -1 ,∞) Xét dãy hàm: φ (t ), t−1 ≤ t < t0 x0 (t ) =  φ (t0 ), t ≥ t0 tồn x ∈ W cho Sx = x Rõ ràng x thỏa (2.4.19) Ta cần chứng minh x(t) > với t đủ lớn Ta có x (= t ) x ( T ) + z(t ) − z( T ) > 0, T − t ≤ t ≤ T Giả sử tồn t * ≥ T mà x (t ) > 0, T − t ≤ t < t * x (t * ) = Từ (2.4.19) (2.4.22)  x (t * ) = − P(t * ) f (t * − t )) < vô lý x ∈ W Vậy x (t ) > 0,t Bổ để 2.4.2 Lấy q,τ ≥ T □ ∈ (0, ∞) cho qτ e < 1thì phương trình µ + qe − µτ = có nghiệm âm Chứng minh: Đặt F ( µ )= µ + qe − µτ ta có qτ e −   ρ(Q) bán kính phổ Q Giả sử f thỏa mãn (2.4.22) tồn δ > cho f (u) ≤ u,0 < u ≤ δ (2.4.25) f (u) ≥ u, −δ ≤ u < (2.4.26) hệ (2.4.19) có nghiệm không dao động Chứng minh: Giả sử (2.4.25) chứng minh (2.4.19) có nghiệm thực dương Khi (2.4.26) đúng, đặt v(t) = -x(t) cách chứng minh tương tự (2.4.19) có nghiệm thực âm Chọn e > T ≥ t0 cho ρ (Q(e ))τ e < ≤ P(t ) ≤ Q(ε ), t ≥ T + ε vµ ρ (Q(ε )) bán kính Q(ε ) ma trận cấp m × m mà thành phần (i, j) qij phổ Q(ε ) Lấy ξ véctơ riêng dương tháng phần Q(ε ) liên kết giá trị riêng ρ (Q(ε )) điều Q(ε ) ma trận dương ρ (Q(ε )) giá trị riêng lớn Q(ε ) Lấy µ0 (ε ) nghiệm âm phương trình µ + ρ (Q(εε )) − µτ = điều đảm bảo bổ đề 2.4.2 lấy z(t ) = e µ0 ( e ) t ξ nghiệm dương hệ phương trình  z(t ) + Q(ε )z(t − t ) = điều đảm bảo bổ đề 2.4.3 Vậy    = z(t ) + Q(ε )z(t − t ) ≥ z(t ) + P(t )z(t − t ) ≥ z(t ) + P(t ) f ( z(t − t )) Do bổ đề 2.4.1 hệ (2.4.19) có nghiệm thực dương □ Chứng minh định lý 2.4.2 Ta biết rằng, biến đổi N= Ni*e xi ( t ) , t ≥= 0, i 1,2, , m i (t ) biến (2.4.1) thành (2.4.5) Mặt khác, N(t) không dao động quanh N* x(t) không dao động quanh [0,0, ,0]T Do ta cần chứng minh hệ (2.4.5) có nghiệm không dao động Với u = [u1 , u2 , , um ]T , đặt f (u) =[eu1 − 1, eu2 − 1, , eum − 1]T ta có f không giảm (eui − 1)ui > 0, ui ≠ eu − > u, u < Vậy f thỏa mãn điều kiện (2.4.22) (2.4.26) Áp dụng bổ đề 2.4.4 cho hệ (2.4.5) ta thấy (2.4.5) có nghiệm không dao động Chương 3: SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA CÓ ĐỐI SÔ LỆCH 3.1 Điều kiện cần đủ cho dao động hệ phương trình vi phân trung hòa Xét hệ phương trình vi phân trung hòa đối số lệch tuyến tính autonomous l  n d  x (t ) + ∑ Pj x (t − t j )  + ∑ Qi x (t − σ i ) = dt = j 1=   i1 (3.1.1) hệ số P j ,Q i ma trận thực cấp m × m lệchτ j ,σ i số thực không âm Hệ (3.1.1) có phương trình đặc trưng liên kết tương ứng l n   − lt j det  ll I + ∑ Pj e + ∑ Qi e − lσ i  = = j =i   (3.1.2) I ma trận đơn vị Bằng cách chứng minh tương tự chứng minh định lý 2.1.1 ta chứng minh định lý Định lý 3.1.1 Giả sử j = 1,2, , = l vµ i 1,2, , n Pj , Qi ∈  m×m ;τ j ∈ (0, ∞) vµ σ i ∈ [0, ∞) Khi mệnh đề sau tương đương a) Mọi nghiệm hệ (3.1.1) dao động thành phần b) Phương trình đặc trưng (3.1.2) nghiệm thực Chứng minh tương tự định lý 2.1.1, cách đặt l F (s ) = sI + s ∑ Pj e − sτ j n + ∑ Qi e − ss i =j =i (3.1.3) l l φ (s ) = x (0) + ∑ Pj x (t − t j ) − s ∑ Pj e − st j =j =j n −∑ Qi e i =1 − ss i ∫s e − st ∫t e − − st x (t )dt (3.1.4) j x (t )dt i chứng minh định lý xin bỏ qua Chú ý rằng, chứng minh định lý 2.1.1 3.1.1 sử dụng biến đổi Laplace dựa vào tính bị chặn theo hàm mũ nghiệm Ta không chứng minh định lý 2.1.1 3.1.1 cho trường hợpτ j ,σ i ∈  Tuy nhiên xây dựng cho trường hợp đặc biệt sau Định lý 3.1.2.= Giả sử j 1,2, , l;i 1,2, , n = Pj , Qi ∈  m×m ;τ j ,σ i ∈  (3.1.5) Lấy µ0 số thực Khi đó, mệnh đề sau tương đương Mọi nghiệm x(t) hệ (3.1.1) có số mũ Lyapunov (a) ln x (t ) [ x ] lim sup = mm ≤ t →∞ t (3.1.6) dao động (b) Phương trình đặc trưng (3.1.2) nghiệm thực ( −∞, µ0 ] Chứng minh: (a)⇒(b) Nếu λ0 ∈ ( −∞, µ0 ] nghiệm thực phương trình (3.1.2) tồn véctơ ξ ≠ 0 m cho x (t ) = e λ0t x nghiệm hệ (3.1.1) mà có thành phần không dao động Rõ ràng ta có ln el0tx mlm [ x ] lim sup = ≤ 0≤ t →∞ t Vậy (a) (3.1.2) có nghiệm thực ( −∞, µ0 ] (b)⇒(a) Giả sử (b) hệ (3.1.1) có nghiệm x (t ) = [ x1 (t ), x2 (t ), , x m (t )] có số T mũ Lyapunov ln x (t ) [ x ] lim sup mm = ≤ t →∞ t không dao động Khi tồn µ > cho x (t ) ≤ e µ t , t ≥ Không tính tổng quát ττττ = max{ , , , l ,σ ,σ , ,σ n} Từ ta (3.1.7) (3.1.7) giả ta sử có x1 (t ) > 0, t biến đổi ≥ với Laplace ∞ x1 (t ), X (s ) = ∫ e − st x1 (t )dt tồn cho ∀s ∈  mà Res ≤ µ0 Lấy biến đổi Laplace hai vế (3.1.1) đặt F(s) φ(s) (3.1.3) (3.1.4) ta F= (s ) X (s ) φ (s ),Re s > µ Bằng công thức Cramer đặt D(s) chứng minh định lý 2.1.1 ta = X (s ) det[ D(s )] ,Re s > µ det[ F(s )] Tương tự chứng minh định lý 2.1.1 ta có X (s ) = det[ D(s )] , ∀s ∈ (−∞, µ0 ] det[ F(s )] Phần lại chứng minh tương tự chứng minh định lý 2.1.1, ta bỏ qua □ Ta thấy nghiệm x(t) bị chặn = m[ x ] lim sup ln x (t ) t t →∞ ≤0 nên ta có hệ Hệ 3.1.1 Giả sử (3.1.5) thỏa mãn Khi nghiệm bị chặn hệ (3.1.1) dao động phương trình đặc trưng (3.1.2) nghiệm thực ( −∞,0] Chú ý 3.1.1 Chứng minh tương tự chứng minh định lý 2.1.2 nghiệm hệ (3.1.1) dao động theo định nghĩa 2.0.1 dao động theo định nghĩa 2.0.2 ngược lại 3.2 Điều kiện tường minh cho dao động hệ phương trình trung hòa Trong phần thiết lập điều kiện đủ cho dao động (từng thành phần) nghiệm hệ phương trình trung hòa n d [ x (t ) + Px (t − t )] + ∑ Qk x (t − σ k ) = dt k =1 Q k ma trận cấp m × m, k = 1,2, , n (3.2.1) P ma trận chéo có phần tử đường chéo p , p , ,p m Áp dụng định lý 3.1.1 ta có kết sau Định lý 3.2.1 Giả sửτ ∈ (0, ∞);Qk ∈  m×m ;σ k , − m (−Qk ) ∈  + , k = 1,2, , n p , p 2,= = p m= p −∑ µ (−Qk )e − λ0σ k k =1 vµ ∀u ∈  m mµ u =1 n   − λσ k  − λτ + + λ λ I Pe Q e u u , ∑   k  k =1    =λ + λ ( Pu, u)e − λτ n − ∑ (−Qk u, u)e − λσ k k =1 ≥ λ + λ pe − λτ n − ∑ µ (−Qk )e − λσ k = F (λ ) k =1 nên F (λ ) > nghiệm hệ (3.2.1) dao động Đặt G (λ )= λ + λ pe − λτ H= (λ ) n ∑ µ (−Q )e λσ k =1 − k k ta có lim G (ll )= ∞, lim H ( ) = ll →∞ →∞ lim G (ll ) = ∞, lim H ( ) = −∞ ll →−∞ →∞ nên ∃a ∈  cho ∀λ ∈  mà + λ ≥ a F(λ ) >  Ta thấy F (λ ) có khả đạt cực trị [-a, a] nghiệm phương trình F (λ ) = ,  từ giả thiết ta có λ0 nghiệm phương trình F (λ ) = F (λ ) > hay F(λ ) > Vậy nghiệm hệ (3.2.1) dao động thành phần λ∈ Định lý 3.2.2 Giả sử ≤ p= 1,2, , m; τ ,σ k ∈  + vµ qij( k ) ∈  i ≤ cho i = cho k 1,2, , = n vµ i, j 1,2, , m Đặt (3.2.2)  m (k )  qk = qii − ∑ qii( k ) 1≤i ≤ m  j =1  j ≠i  , k = 1,2, , n   (3.2.3) Có qk ≥ 0, k = 1,2, , n (3.2.4) nghiệm phương trình vi phân đối số lệch vô hướng n u(t ) + ∑ qk u(t − σ k ) = (3.2.5) k =1 dao động nghiệm hệ (3.2.1) dao động thành phần Chứng minh: Giả sử hệ (3.2.1) có nghiệm không dao động theo định nghĩa 2.0.1 Thế theo ý 3.1.1 hệ (3.2.1) có nghiệm x (t ) = [ x1 (t ), x2 (t ), , x m (t )] không dao động theo T định nghĩa 2.0.2 Tức là, x(t) thực khác m với t đủ lớn thành phần x i (t) có signum Với t đủ lớn, đặt (t ), yi (t ) δ= 1,2, , m = δ i sgn xi = i xi (t ), i Cho i = 1,2, ,m; t đủ lớn từ (3.2.1) ta có n m d [ yi (t ) − pi yi (t − t )] + ∑∑ qij( k ) x j (t − σ k )d i = dt k =j = Hay   n m d (k ) (k )  [ yi (t ) − pi yi (t − t )] + ∑ qii yi (t − d k ) − ∑ qij y j (t − σ k )d i  =   dt = k =j j ≠i   Do cho i=1,2, ,m t đủ lớn   n m d (k ) (k )  [ yi (t ) − pi yi (t − t )] + ∑ qii yi (t − d k ) − ∑ qij y j (t − σ k )  ≤   dt = k =j j ≠i   (3.2.6) Đặt m m v(t ) =∑ yi (t ) − ∑ pi yi (t − t ) =i =i Và m w(t ) = ∑ yi (t ) i =1 Cộng (3.2.6) vế theo vế cho i = 1,2, ,m sử dụng (3.2.3) cho t đủ lớn ta n  v ( t ) + ∑ qk w ( t − σ k ) ≤ (3.2.7) k =1 Vì w(t) > q k ≥ nên từ (3.2.7) v(t) hàm giảm Do lim v(t ) = −∞ (3.2.8) lim v(t )= L ∈  (3.2.9) t →∞ t →∞ Trước hết ta thấy (3.2.8) Vì không, v(t) < có thành phần y i (t) không bị chặn Nhưng thì, w (t ) = m m m ∑ y (t ) ≤ ∑ p y (t − t ) ≤ ∑ y (t − t ) = i =i =i i i =i i w (t − t ) kéo theo w(t) bị chặn, vô lý ! Do (3.2.9) Chúng ta chứng minh L = 0, Thật vậy, lấy tích phân (3.2.7) từ t đến t cho t → ∞ ta n ∞ L − v(t0 ) + ∑ ∫ qk w(s − s k )ds ≤ k =1 t0 w ∈ L (t0 , ∞) yi L = Ta có v(t) giảm nên ∈ L1 (t0= , ∞), i 1,2, , m vµ v ∈ L1 (t0 , ∞) Nhưng v(t) > v(t) ≤ w(t) (3.2.10) Vậy từ (3.2.7) n  v ( t ) + ∑ qk v ( t − σ k ) ≤ (3.2.11) k =1 có nghiệm dương v(t) Theo định lý 1.4.6 phương trình (3.2.5) có nghiệm thục dương, vô lý ! □ Chú ý 3.2.1 Từ chứng minh ta thấy định lý 3.2.1 cho hệ (3.2.1) có Q k ma trận cấp m × m có thành phần hàm liên tục Trong trường hợp hệ số q k phương trình (3.2.5) hàm   m k k ( ) ( ) qk ( t ) =  qii (t ) − ∑ q ji (t )  , k = 1,2, ,n 1≤i ≤ m   j =1   j ≠i dao động theo định nghĩa 2.0.2 Chú ý 3.2.2 Trong trường hợp ma trận P hệ (3.2.1) ma trận chéo mà p1= p2= = pm= p ∈ [0,1] (3.2.12) v(t ) =w(t ) − pw(t − t ) (3.2.13) ta có Bởi thế(3.2.13) vào (3.2.7) liên tục sau N bước N i  v(t ) + ∑ qk  ∑ p v(t − σ k − it )  ≤ = k 1= i   n Theo hệ 1.4.1 ta thu định lý sau mở rộng định lý 3.2.1 Định lý 3.2.3 Giả sử (3.2.2) (3.2.4) thỏa giả thiết sau (H) Tồn số tự nhiên N cho nghiệm phương trình vi phân đối số lệch vô hướng N i  u(t ) + ∑ qk  ∑ p u(t − σ k − it )  = = k 1= i   n (3.2.14) dao động Khi nghiệm hệ (3.2.1) dao động thành phần Từ định lý 1.4.3, giả thiết (H) thỏa mãn có N ≥ 0, N i  + q p ( σ i τ ) ∑ k ∑ k >e = k 1= i  n Hay N N  i i  ∑  qkσ k ∑ p + qkτ ∑ p i  > e k 1= i = =i   n (3.2.15) Ta thấy (3.2.15)  n   ∞ i  n  p  ∑ qkσ k  +  ∑ p i  ∑ qk τ > ∑ e =i = k1 = i1 =  k  ∞ i hay n n τ q q σ + > ∑ k k (1 − p)2 ∑ k − p k 1= e = k (3.2.16) Từ nhận xét ta có kết sau Hệ 3.2.1 Giả sử (3.2.2), (3.2.4) (3.2.16) thỏa mãn nghiệm hệ (3.2.1) dao động thành phần KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết dao động hệ phương trình vi phân có đối số lệch Đã cho thấy, trình khảo sát nghiệm xuất phát từ phương trình đặc trưng Đặc biệt trình khảo sát nghiệm hệ phương trình không tuyến tính ( hệ phương trình Logistic ) tiến hành thông qua hệ phương trình tuyến tính hóa Chương Luận văn trình bày cách đầy đủ cô động kiến thức cần thiết cho việc khảo sát hai chương sau Chương Luận văn xét đến hệ phương trình cụ thể xây dựng điều kiện tồn nghiệm Đặc biệt, bất đẳng thức Schwartz phương pháp đánh giá qua giới hạn, xây dựng thêm điều kiện đủ cần thiết cho dao động tất nghiệm, định lý 2.2.2, 2.2.6, 2.3.3 Chương Luận văn trình bày đến hệ phương trình tổng quát hơn, hệ phương trình vi phân trung hòa có đối số lệch Đặc biệt, phương pháp đánh giá qua giới hạn xây dựng điều kiện đủ cho dao động tất nghiệm, định lý 3.2.1 Từ vấn đề mà luận văn làm trình bày trên, ta thấy việc nghiên cứu khảo sát nghiệm dao động cần tiếp tục nghiên cứu thêm Như khảo sát hệ tuyến tính non_autonomous thông qua phương trình đặc trứng tổng quát nó, xét tính dao động hệ (2.1.1) (3.1.1) cho trường hợp lệch thuộc  Song với trình độ nhiều hạn chế tác thời gian hạn chế khóa học, luận văn xin trình bày nội dung nêu Tác giả mong đóng góp bảo quí thầy cô hội đồng Thành phố Hồ Chí Minh 2003 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Cang (2002), Lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia TP HCM, Hồ Chí Minh Nguyễn Thế Hoàn-Phạm Thu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, Hà Nội Gyori I, Ladas G (1991), Oscillation Theory of Delay Diffrential Equations with Application, Clarendon Press, Oxford Rudin W (1976), Priciples of Mathematical Analysis, The Mcgraw-Hill Companies, INC, Singspore Scheick Jonh T (1997), Linear Algebra with Applications, The Mcgraw-Hill, INC, singapore [...]... bất phương trình vi phân n x (t ) + ∑ qi (t) x ( t − t i (t) ) ≤ 0, t ≥ t0 i =1 có nghiệm dương nếu và chỉ nếu phương trình (1.4.16) có nghiệm dương (1.4.16) Chương 2 : SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH Trong chương này chúng ta xét sự dao động của tất cả các nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch Đối với hệ phương trình vi phân có nhiều cách định nghĩa khái niệm dao động. .. hội tụ của biến đổi Laplace X(s) của x(t) là hữu hạn, thì X(s) có một điểm kỳ dị s = s0 1.4 Một số kết quả về sự dao động của phương trình tuyến tính đổi số lệch vô hướng Trong mục này chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả về sự dao động nghiệm của phương trình tuyến tính đối số lệch Kết quả này sẽ được dùng để thiết lập một số tính chất về dao động nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến... gọi là không dao động Tức là, x không dao động nếu tồn tại b > a sao cho x(t)≠0 với mọi t > b Khi x liên tục, nếu không dao động thì nó phải thực sự dương hay thực sự âm Tức là, tồn tại T ∈  sao cho x(t) là luôn dương hoặc luôn âm cho t ≥ T Trong phương trình vi phân tuyến tính, đối của một nghiệm, cũng là một nghiệm của nó Do đó một phương trình vi phân tuyến tính có một nghiệm không dao động thì nghiệm... khi t i (t ) > 0, i = 1,2, , n thì ta có thể thu được định lý về tồn tại nghiệm của (1.1.1) mà không cần đến điều kiện Lipschitz Để làm được điều đó ta dùng đến một phương pháp, gọi là phương pháp từng bước (method of steps) Định lý này nói đến sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch tổng quát hơn, gọi là hệ phương trình vi phân trung hòa đối số lệch d  x (t ) + g ( t, x ( t − t 1... minh cho dao động và không dao động của hệ tuyến tính autonomous Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch n x (t ) + ∑ Px 0 i (t − t i ) = (2.2.1) i =1 trong đó các hệ số P i là các ma trận cấp m × m,τ i là các số thực không âm Trong phần này chúng ta sử dụng đến chuẩn loga của P i m ( Pi ) = max( Pu i , u) u =1 để thu được các điều kiện tường minh cho sự dao động tất cả các nghiệm của hệ (2.2.1) Công... định nghĩa 1.4.1 2.1 Điều kiện cần và đủ cho sự dao động của hệ phương trình tuyến tính autonomous Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous n x (t ) + ∑ Px 0 i (t − t i ) = (2.1.1) Pi ∈  m×m ,τ i ∈  + , i = 1,2, , n (2.1.2) i =1 Trong đó phương trình n  − λt i  det  λ I + ∑ Pe 0 i = i =1   (2.1.3) là phương trình đặc trưng của hệ (2.1.1) Định lý 2.1.1 Giả sử điều kiện (2.1.2)... nghiệm của hệ (1.1.9) trên [t 0 ,∞) và thỏa (1.1.14) Chú ý 1.1.1 Trong suốt luận văn này, khi chúng ta nói về lý thuyết dao động, một nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch sẽ được hiểu theo định nghĩa 1.1.1c Tương tự, một nghiệm của hệ phương trình vi phân trung hòa đối số lệch sẽ được hiểu theo định nghĩa 1.1.2c Tức là, chúng là một nghiêm trên [t 0 ,∞) với t0 ≥ t 0 Định lý 1.1.2 Giả sử... (1.4.14) thì mọi nghiệm của phương trình (1.4.11) dao động nếu và chỉ nếu mọi nghiệm của phương trình (1.4.13) dao động Hệ quả 1.4.1 Giả sử rằng qi ∈ (0, ∞) vµ τ i ∈ [0, ∞) víi i=1,2, ,n (1.4.15) Khi đó nếu bất phương trình n x (t ) + ∑ qi x (t − t i ) ≤ 0 i =1 có một nghiệm dương thì phương trình n y(t ) + ∑ qi y(t − t i ) = 0 i =1 cũng có một nghiệm dương Định lý 1.4.6 Xét phương trình vô hướng non_autonomous... (t)]T của hệ (2.1.1) dao động theo định nghĩa 2.0.1 thì nó cũng dao động theo định nghĩa 2.0.2 Bởi định lý 2.1.1 ta có kết quả sau Định lý 2.1.2 Giả sử rằng (2.1.2) được thỏa, các mệnh đề sau là tương đương a) Mọi nghiệm của hệ (2.1.1) dao động theo định nghĩa 2.0.1 (tức là, dao động từng thanh phần) b) Mọi nghiệm của hệ (2.1.1) dao động theo định nghĩa 2.0.2 (tức là, nó thực sự tầm thường hoặc có ít... u(t) ta có − r ≤ s ≤0 x (t ) ≤ u(t ), t ≥ 0 nªn x (t ) ≤ Meα t , ≥ 0 □ 1.3 Biến đổi Laplace Trong hai chương sau chúng ta sẽ áp dụng biến đổi Laplace để thu được điều kiện cần và đủ cho sự dao động của tất cả các nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous theo nghiệm phương trình đặc trưng của nó Trong phần này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của biến ... l dao ng nu x cú cỏc khụng im ln ý Tc l, vi mi b > a thỡ tn ti c > b cho x(c) = Ngc li X c gi l khụng dao ng Tc l, x khụng dao ng nu tn ti b > a cho x(t)0 vi mi t > b Khi x liờn tc, nu khụng dao. .. 30 2.3 iu kin cho s dao ng ca h phng trỡnh tuyn tớnh non autonomous 40 2.4 S dao ng ca h phng trỡnh vi phõn i s lch Logistic 45 Chng 3: S DAO NG CA H PHNG TRèNH VI PHN TRUNG HềA Cể I... 22 Chng : S DAO NG CA H PHNG TRèNH VI PHN Cể I S LCH 26 2.1 iu kin cn v cho s dao ng ca h phng trỡnh tuyn tớnh autonomous 27 2.2 iu kin tng minh cho dao ng v khụng dao ng ca