nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân với đối số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Thị Hằng NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Lê Thị Hằng NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Lê Hoàn Hóa Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến PGS TS Lê Hoàn Hóa, người tận tình hướng dẫn, dạy bảo phương pháp nghiên cứu khoa học, tạo điều kiện để hoàn thành luận văn cao học Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy, Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa cho nhận xét quý báu để luận văn hoàn thiện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh truyền thụ kiến thức suốt thời gian học trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học hỗ trợ suốt khóa học tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn cao học Cuối cùng, trình viết luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý, nhận xét Quý Thầy Cô để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Lê Thị Hằng MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị Chương 1: Nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch n −1 ( ) n i x( ) ( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ m ( t ) ) i =1 1.1 Giới thiệu 1.2 Ký hiệu 1.3 Các bổ đề 10 1.4 Các định lý 14 Chương 2: Nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch x (n) n −1 ( t=) ∑ bi x(i ) ( t ) + f ( t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ m ( t ) ) ) + p ( t ) 27 i =1 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Ký hiệu 28 2.3 Các bổ đề 28 2.4 Các định lý 29 Chương 3: Nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc hai loại trung hòa với đối số lệch ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + a ( t ) x ( t ) + g t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) = p ( t ) 44 3.1 Giới thiệu 44 3.2 Các bổ đề 44 3.3 Các định lý 47 Chương 4: Nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân phi tuyến bậc hai loại trung hòa với đối số lệch ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) + f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τn ( t ) ) = g ( t ) 60 4.1 Giới thiệu 60 4.2 Các bổ đề 60 4.3 Định lý 64 Kết luận kiến nghị 73 Tài liệu tham khảo 75 MỞ ĐẦU Bài toán nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân với đối số lệch có ứng dụng lớn vật lý, khoa học nghiên cứu ứng dụng người máy… Trong thời gian gần có nhiều nhà toán học giới nghiên cứu tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc bậc cao với đối số lệch Vì chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng nhà khoa học nước Ngoài phần kiến thức chuẩn bị, nội dung luận văn gồm bốn chương, chương kết chúng tôi, cụ thể sau: Chương 1: Sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch sau n −1 ( ) x n ( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ m ( t ) ) , t ∈  Trong i i =1 số τ i′ ( t ) < Chương : Cũng sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch sau x (n) n −1 ( t=) ∑ bi x(i ) ( t ) + f ( t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ m ( t ) ) ) + p ( t ) , t ∈  Trong i =1 bi số không đòi hỏi giả thiết τ i′ ( t ) < Chương : Trình bày hai kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc hai với đối số lệch sau ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + a ( t ) x ( t ) + g t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) = p (t ) , t ∈  Trong kết sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh kết sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin Trong hai kết đó, trước tiên tìm hàm Green phương trình có dạng x′′ ( t ) + Mx ( t ) = ϕ ( t ) với vài điều kiện cho trước tiến hành đặt ánh xạ thích hợp để sử dụng định lý Krasnoselskii thuyết trùng bậc Mawhin Phương trình xét chương không chứa đạo hàm cấp x′ ( t ) , mở rộng kết nghiên cứu tồn nghiệm tuần hoàn phương trình có chứa x′ ( t ) Đó nội dung chương Chương 4: Trình bày kết chúng tôi, sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc hai với đối số lệch sau: ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) + f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τn ( t ) ) = g ( t ) Trước tiên tìm hàm Green phương trình để biến đổi phương trình phương trình tích phân, sau tiếp tục biến đổi đưa dạng tổng ánh xạ co ánh xạ compact, từ áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii Để tìm hàm Green cho phương trình dựa vào kết tìm hàm Green Y Wang, H Lian W Ge [5] cho phương trình có dạng x′′ ( t ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = ϕ(t ) Kết gửi đến Tạp chí khoa học, Phòng Khoa học công nghệ môi trường trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh duyệt đăng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Bất đẳng thức Holder Giả sử X tập đo Lebesgue  n Ký hiệu Lp ( X ) K - không p gian vectơ tất hàm đo f từ X vào K cho f 1 + = Nếu f ∈ Lp ( X ) , p q Cho p > 1, q > số thực thỏa mãn g ∈ Lq ( X ) fg ∈ L1 ( X ) ∫ X  fg ≤  ∫ f  X p    khả tích Lebesgue p ∫  X q g    q Định lý Azela – Ascoli Cho X không gian compact, Khi tập H ⊂ C ( X , K ) compact tương đối thỏa mãn hai điều kiện sau i) H bị chặn theo điểm ii) H đồng liên tục Toán tử Fredholm Cho E , X hai không gian định chuẩn T : E → X ánh xạ tuyến tính, liên tục T toán tử Fredholm T −1 ( ) hữu hạn chiều, T ( E ) đóng, = codimT ( E ) dim ( X / T ( E ) ) < +∞ Chỉ số T = ind T dimT −1 ( ) − codimT ( E ) Thuyết trùng bậc Mawhin Cho X Y không gian Banach L : D ( L ) ⊂ X → Y toán tử Fredholm với số P : X → X , Q : Y → Y ánh xạ chiếu cho ImP = KerL , KerQ = ImL= , X KerL ⊕ KerP = , Y ImL ⊕ ImQ Dẫn đến L D( L )∩ KerP : D ( L ) ∩ KerP → ImL khả đảo, ký hiệu ánh xạ ngược K P Giả sử Ω tập mở, bị chặn X, D ( L ) ∩ Ω ≠ ∅ ( ) Ánh xạ N : X → Y gọi L – compact Ω QN Ω bị chặn K P ( I − Q ) N : Ω → X ánh xạ compact Định lý Mawhin Cho L toán tử Fredholm với số N ánh xạ L- compact Ω Giả sử điều kiện sau thỏa mãn i) Lx ≠ λ Nx, x ∈ ( D ( L ) / KerL ) ∩ ∂Ω, λ ∈ ( 0,1) ii) Nx ∉ ImL, x ∈ KerL ∩ ∂Ω ( ) iii) deg JQN KerL , Ω ∩ KerL,0 ≠ , với J : Y / ImL → KerL phép đẳng cấu Khi phương trình Lx = Nx có nghiệm D ( L ) ∩ Ω Định lý Krasnoselskii Giả sử Ω không gian Banach, X tập lồi, đóng, bị chặn Ω U , S : X → Ω ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau i) Ux + Sy ∈ X , ∀x, y ∈ X ii) U ánh xạ co iii) S ánh xạ compact Khi U + S có điểm bất động X Chương NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO VỚI ĐỐI SỐ LỆCH n −1 ( ) n i x( ) ( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ m ( t ) ) i =1 1.1 Giới thiệu Chương trình bày kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch có dạng n −1 ( ) n i x( ) ( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ m ( t ) ) , t ∈  (1.1) i =1 Trong • τ ,τ , ,τ m hàm liên tục có chu kì ω • f liên tục f ( ⋅ , x0 , x1 , xm ) hàm tuần hoàn chu kì ω , tức f ( t , x0 , x1 , , x= f ( t + ω , x0 , x1 , , xm ) ∀ ( x0 , x1 , xm ) ∈  m+1 m) 1.2 Ký hiệu { } X =Cωn−1 = x ∈ C n−1 (  ) , x ( t + ω ) = x ( t ) , t ∈  Y =Cω0 ={ x ∈  (  ) : x ( t + ω ) = x ( t ) , t ∈ } { } D ( L ) =domL =Cωn = x ∈  n (  ) : x ( t + ω ) = x ( t ) { Với x ∈ X , x = max x Trong x ∞ Với y ∈ Y , y ∞ n −1 , x′ ∞ , , x( ) ∞ } i i x( ) max x( ) = = max x ( t ) , = ( t ) ( i 1, 2, , n − 1) t∈[ 0,ω ] t∈[ 0,ω ] ∞ ∞ ( ) = max y ( t ) Khi ( X , ⋅ ) , Y , ⋅ ∞ không gian Banach t∈[ 0,ω ] Trong suốt chương ta giả sử điều kiện sau thỏa mãn (H ) p q hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T, T T 0 ∫ p ( u )du > ; ∫ q ( u )du > ( ) (H ) f ∈ C  n+1 ,  , f ( t += T , x1 , x2 , , xn ) f ( t , x1 , x2 , , xn ) ∀t ∈  Và tồn k > : f ( t , x ) − f ( t , y ) ≤ k x − y Trong 2 chuẩn Euclide  n (H ) g hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T (H ) τi ( i = 1, 2, , n ) tuần hoàn với chu kỳ T, khả vi  τ′i ( t ) < 1, t ∈  Hơn ký hiệu hàm ngược t − τi ( t ) µi Đặt λi =max  1 − τ′i ( µi ( t ) ) Bổ đề 4.2.1 ([4]) Giả sử điều kiện (H ) thoả mãn  T   R1 exp  ∫ p ( u ) du  − 1     0   ≥1 Q1T ( H5 ) Trong s  exp p u du   ( ) t +T ∫  t   q s ds R1 = max ∫ ( ) T t∈[ 0,T ]   t exp  ∫ p ( u ) du  −   0   T   + Q= p u du exp    R1 ( ) ∫   0   Khi tồn hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T a b cho T b ( t ) > ; ∫ a ( u ) du > ; a ( t ) + b ( t )= p ( t ) ; b′ ( t ) + a ( t ) b ( t )= q ( t ) , t ∈  Bổ đề 4.2.2 ([5]) Giả sử điều kiện bổ đề 4.2.1 thoả mãn φ hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T Khi phương trình sau có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T x′′ ( t ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = ϕ(t ) Hơn nghiệm có dạng x (t ) = t +T ∫ G ( t , s ) ϕ ( s ) ds t Trong s t +T s +T u  u  + + + exp b v dv a v dv du exp b v dv a v dv ∫  ∫ ( ) ∫ ( )  ∫  ∫ ( ) ∫ ( )  du u s u t  t  G (t, s ) = t T T        exp  ∫ a ( u ) du  − 1 exp  ∫ b ( u ) du  − 1        0   0   s Hệ 4.2.3 ([5]) Hàm Green G có tính chất sau: G (= t , t + T ) G ( t , t ) ; G ( t + T= , s + T ) G (t, s ) s  exp  ∫ b ( v ) dv    ∂G t  = (t, s ) a ( s ) G (t, s ) − ∂s T  exp  ∫ b ( v ) dv  −   0  s  exp  ∫ a ( v ) dv    ∂G t  −b ( t ) G ( t , s ) + (t, s ) = T ∂t   exp  ∫ a ( v ) dv  −   0  Bổ đề 4.2.4 ([5]) T Đặt A = ∫ p ( u ) du 1T  B = T exp  ∫ ln ( q ( u ) ) du  T    Nếu A2 ≥ B ( H ) ta có ( ) ( ) T T   ∫ a ( u ) du , ∫ b ( u ) du  ≥ A − A2 − B := l    T T  m ax  ∫ a ( u ) du , ∫ b ( u ) du  ≤ A + A2 − B := m   Và ta có đánh giá sau (e T m ) −1 T  T  T  T exp  ∫ p ( u ) du  T exp  ∫ a ( u ) du  exp  ∫ b ( u ) du        0 = 0  0  ≤ G (t, s ) ≤ 2 el − el − ( ) ( ) ≤ ( e − 1) T em l 2 ( )  em  em , với = T  l = T β β =  el −  e −1  s  exp  ∫ b ( v ) dv    t  Đặt Eb ( t , s ) = T   exp  ∫ b ( v ) dv  −   0  Khi ta có Eb ( t , s ) ≤ β Ký hiệu: a0 = max a ( t ) , b0 = max b ( t ) , g = max g ( t ) , [0,T ] [0,T ] [0,T ] ρ0 =max f ( t ,0,0, ,0 ) , p0 = max p ( t ) , q0 = max q ( t ) [0,T ] [0,T ] [0,T ] 4.3 Định lý Giả sử điều kiện từ (H ) – (H ) thoả mãn có thêm giả thiết sau c (1 + a0βT )(1 + b0βT ) + kβ T 2 n ∑ λi < i =1 Khi phương trình (4.1) có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ T Chứng minh: {x x ∈ C Đặt X = ( ,  ) , x ( t + T ) = } x (t ) Với x ∈ X , x= max x ( t ) + max x′ ( t ) + max x′′ ( t ) [0,T ] [0,T ] [0,T ] Khi ( X , ) không gian Banach ( 4.1) ⇔ x′′ ( t ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = −cx′′ ( t − τ ) ( ) − f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ2 ( t ) ) , , x ( t − τn ( t ) ) + g ( t ) = ⇔ x (t ) t +T ∫ G ( t , s ) −cx′′ ( s − τ ) − f ( s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τn ( s ) ) ) + g ( s ) ds t Áp dụng tích phân phần hệ quả, ta t +T ∫ G ( t , s ) x′′= ( s − τ )ds G ( t , s ) x′ ( s − τ ) t +T s =t t +T − t ∫ t t +T t +T t t ∂G ( t , s ) x′ ( s − τ ) ds ∂s ∫ x′ ( s − τ ) Eb ( t , s ) ds − ∫ x′ ( s − τ ) a ( s ) G ( t , s ) ds = = x (t − τ) − t +T t +T t t ∫ x ( s − τ ) b ( s ) Eb ( t , s ) ds − ∫ x′ ( s − τ ) a ( s ) G ( t , s ) ds Vậy x ( t ) = −cx ( t − τ ) + c t +T ∫ x ( s − τ ) b ( s ) Eb ( t , s ) ds t t +T + ∫ G ( t , s ) cx′ ( s − τ ) a ( s ) − f ( s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τn ( s ) ) ) + g ( s ) ds t Chọn K số thoả mãn n   2 ( ρ0 + g0 ) β T ≤ 1 − c (1 + a0βT )(1 + b0βT ) − kβ T ∑ λi  K1 i =1   2 Đặt K = ( {x ∈ X Ω= ) q0 + k n K1 + p0 K + g + ρ0 + b0βT K1 , K = βT 1− c x ( t ) ≤ K1 , x′ ( t ) ≤ K , x′′ ( t ) ≤ K3 } Khi Ω tập lồi, đóng, bị chặn X Đặt U, S ánh xạ xác định sau U : X → X , (Ux )( t ) = −cx ( t − τ ) S:X →X t +T Sx )( t ) (= c ∫ x ( s − τ ) b ( s ) Eb ( t , s ) ds t t +T + ∫ G ( t , s ) cx′ ( s − τ ) a ( s ) − f ( s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τn ( s ) ) ) + g ( s ) ds t Ta kiểm tra điều kiện định lý Krasnoselskii 1) Với x, y ∈ Ω ta chứng minh Uy + Sx ∈ Ω ( Uy )( t ) = −cy ( t − τ ) ≤ c K1 ( Sx )( t ) ≤ c b0βTK1 + c a0β2T K t +T + ∫ G ( t , s )  f ( s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τn ( s ) ) ) − f ( s,0, ,0 )  ds t t +T + 2 ∫ G ( t , s ) f ( s,0, ,0 ) ds + g0β T t t +T ∫ ≤ c b0βTK1 + c a0β2T K + kβ2T t t +T ∫ ≤ c b0βTK1 + c a0β T K + kβ T 2 t  n 2 2 2 − τ x s s ( ) )  ds +ρ0β T + g0β T ∑ ( i  i =1   n  2 2  ∑ x ( s − τi ( s ) ) ds +ρ0β T + g 0β T  i =1  n T = c b0βTK1 + c a0β T K + kβ T ∑ ∫ 2 x (u ) i =1 − τi′ ( µi ( u ) ) du +ρ0β2T + g 0β2T n ≤ c b0βTK1 + c a0β2T K + kβ2T K1 ∑ λ i +ρ0β2T + g 0β2T i =1 Dẫn đến (Uy )( t ) + ( Sx )( t ) ≤ (Uy )( t ) + ( Sx )( t ) (4.2) n   2 ≤  c + c b0βT + kβ T ∑ λi  K1 + c a0β2T K + ( ρ0 + g ) β2T = K1 i =1   (Uy )′ ( t ) = −cy′ ( t − τ ) ( Sx )′ ( t ) = t +T +c ∫ c  x ( t + T − τ ) b ( t + T ) Eb ( t , t + T ) − x ( t − τ ) b ( t ) Eb ( t , t )  x ( s − τ) b ( s ) t t +T − ∫ t ∂Eb ( t , s ) ds + c ∂t t +T ∂G ∫ x′ ( s − τ ) a ( s ) ∂t ( t , s ) ds t ∂G ( t , s )  f s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τn ( s ) ) − g ( s ) ds ∂t ( = −b ( t ) ( Ux )( t ) + ( Sx )( t )  ) t +T + ∫ t ( ) Ea ( t , s ) cx′ ( s − τ ) a ( s ) − f s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τn ( s ) ) + g ( s )  ds   (Uy )′ ( t ) = −cy′ ( t − τ ) ≤ c K n   ′ ≤ + β + Sx t b K c a TK kTK ( )()  ∑ λ i + T ρ0 + Tg  i =1   Do (Uy )′ ( t ) + ( Sx )′ ( t ) ≤ (Uy )′ ( t ) + ( Sx )′ ( t ) n   + b0βT ≤  b0 + kβT ∑ λ i  K1 + c (1 + a0βT ) K + βT ( ρ0 + g ) ≤ K1 = K2 T β i =1   (4.3) −cy′′ ( t − τ ) (Uy )′′ ( t ) = ( Sx )′′ ( t ) = −b′ ( t ) (Ux )( t ) + ( Sx )( t )  − b ( t ) (Ux )′ ( t ) + ( Sx )′ ( t )   ( ) + ( Ea ( t , t + T ) − Ea ( t , t ) ) cx′ ( t − τ ) a ( t ) − f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) + g ( t )    t +T + ∫ t ∂Ea ( t , s ) cx′ ( s − τ ) a ( s ) − f s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τ n ( s ) ) + g ( s ) ds ∂t ( ) = −b′ ( t ) (Ux )( t ) + ( Sx )( t )  − b ( t ) (Ux )′ ( t ) + ( Sx )′ ( t )    ( ) + cx′ ( t − τ ) a ( t ) − f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) + g ( t ) −a ( t ) t +T ∫ t ( = − q ( t ) (Ux )( t ) + ( Sx )( t )  − p ( t ) (Ux )′ ( t ) + ( Sx )′ ( t )    ( ) − f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) + g ( t ) Ta có ) Ea ( t , s ) cx′ ( s − τ ) a ( s ) − f s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τ n ( s ) ) + g ( s )  ds   ( ) ( ) f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) ≤ f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) − f ( t ,0, ,0 ) + f ( t ,0, ,0 ) ≤k n ∑ x (t − τ i (t )) + f ( t ,0, ,0 ) i =1 ( ) Do ( Sx )′′ ( t ) ≤ q0 K1 + p0 K + k nK1 + ρ0 + g = q0 + k n K1 + p0 K + ρ0 + g Dẫn đến (Uy )′′ ( t ) + ( Sx )′′ ( t ) ≤ (Uy )′′ ( t ) + ( Sx )′′ ( t ) ( ) ≤ c K + q0 + k n K1 + p0 K + ρ0 + g = c K + (1 − c ) K = K3 (4.4) Từ (4.2),(4.3) (4.4) ta có Uy + Sx ∈ Ω với x, y ∈ Ω 2) U ánh xạ co Ω Ta có (Ux )( t + T ) = (Ux )( t ) Với x, y ∈ Ω Ux − Uy ≤ c max x ( t − τ ) − y ( t − τ ) + c max x′ ( t − τ ) − y′ ( t − τ ) [0,T ] [0,T ] + c max x′′ ( t − τ ) − y′′ ( t − τ ) = c x − y [0,T ] Vậy U ánh xạ co 3) S ánh xạ compact Ω  Trước tiên ta chứng minh S liên tục Ω Ta có ( Sx )( t + T ) = ( Sx )( t ) Với x ∈ Ω bất kỳ, giả sử ( xm )m dãy Ω cho xm − x → Với ε > cho trước, xm − x → nên ∃m0 cho xm − x < ε , ∀m ≥ m0 n ε ε max xm′ ( t ) − x′ ( t ) < ⇒ max xm ( t ) − x ( t ) < [0,T ] [0,T ] n n ∀m ≥ m0 Với m ≥ m0 , từ giả thiết ( H ) ta có t +T ( Sxm ) ( t ) − ( Sx )( t ) ≤ c ∫ xm ( s − τ ) − x ( s − τ ) b ( s ) Eb ( t , s ) ds t t +T +c ∫ xm′ ( s − τ ) − x′ ( s − τ ) a ( s ) G ( t , s ) ds t t +T + ∫ G ( t , s ) f ( s, xm ( s − τ1 ( s ) ) , , xm ( s − τn ( s ) ) ) − f ( s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τn ( s ) ) ) ds t ≤ c max xm ( t ) − x ( t ) b0 β T + c max xm′ ( t ) − x′ ( t ) a0 β 2T + k β 2T 2ε , ∀t ∈ [ 0, T ] [0,T ] [0,T ] ≤c ε n b0 β T + c ε n a0 β 2T + k β 2T 2ε , ∀t ∈ [ 0, T ] ⇒ max ( Sxm ) ( t ) − ( Sx )( t ) ≤ c [0,T ] ε ε b0βT + c a0β2T + kβ2T 2ε , ∀m ≥ m0 n n ⇒ max ( Sxm ) ( t ) − ( Sx )( t ) → m → ∞ [0,T ] Lập luận tương tự ta có max ( Sxm )′ ( t ) − ( Sx )′ ( t ) → m → ∞ [0,T ] max ( Sxm )′′ ( t ) − ( Sx )′′ ( t ) → m → ∞ [0,T ] Dẫn đến Sxm − Sx → , nghĩa S liên tục x ∈ Ω Suy S liên tục Ω  Ta chứng minh S ( Ω ) tập compact tương đối X Trước tiên ta chứng minh S ( Ω ) tập compact tương đối C ([ 0, T ] ,  ) với chuẩn x = max x ( t ) + max x′ ( t ) + max x′′ ( t ) [0,T ] [0,T ] [0,T ] ∀t ∈ [ 0, T ] , x ∈ Ω ta có ( Sx )( t ) ≤ ω n   với= ω  c b0βT + kβ2T ∑ λi  K1 + c a0β2T K +ρ0β2T + g 0β2T i =1   n   ′ với Sx t ≤ λ = λ b K + β c a TK + kTK ( )()  1 ∑ λ i + T ρ0 + Tg  i =1   ( Sx )′′ ( t ) ≤ θ ( ) với θ = q0 + k n K1 + p0 K + ρ0 + g Do S ( Ω ) bị chặn C ([ 0, T ] ,  ) , ⋅ t2 − ( Sx )( t2 ) ∫ ( Sx )′ ( t ) dt ( Sx )( t1 )= ≤ λ t1 − t2 (4.5) t1 − ( Sx )′ ( t2 ) ( Sx )′ ( t1 )= t2 ∫ ( Sx )′′ ( t ) dt ≤ θ t1 − t2 (4.6) t1 ( Sx )′′ ( t1 ) − ( Sx )′′ ( t2 ) ≤ q ( t1 )(Ux )( t1 ) − q ( t2 )(Ux )( t2 ) + q ( t1 )( Sx )( t1 ) − q ( t2 )( Sx )( t2 ) + p ( t1 )(Ux )′ ( t1 ) − p ( t2 )(Ux )′ ( t2 ) + p ( t1 )( Sx )′ ( t1 ) − p ( t2 )( Sx )′ ( t2 ) + g ( t1 ) − g ( t2 ) ( ) ( + f t1 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) − f t2 , x ( t2 − τ1 ( t2 ) ) , , x ( t2 − τ n ( t2 ) ) ) Ta có q ( t1 )(Ux )( t1 ) − q ( t2 )(Ux )( t2 ) ≤ q ( t1 ) (Ux )( t1 ) − (Ux )( t2 ) + q ( t1 ) − q ( t2 ) (Ux )( t2 ) ≤ c q0 t1 −τ ∫ x′ ( s ) ds + c K1 q ( t1 ) − q ( t2 ) ≤ c q0 K t1 − t2 + c K1 q ( t1 ) − q ( t2 ) t2 −τ (4.7) q ( t1 )( Sx )( t1 ) − q ( t2 )( Sx )( t2 ) ≤ q ( t1 ) − q ( t2 ) ( Sx )( t1 ) + q ( t2 ) ( Sx )( t1 ) − ( Sx )( t2 ) ≤ ω q ( t1 ) − q ( t2 ) + λ q0 t1 − t2 (4.8) p ( t1 )(Ux )′ ( t1 ) − p ( t2 )(Ux )′ ( t2 ) ≤ p ( t1 ) − p ( t2 ) (Ux )′ ( t1 ) + p ( t2 ) (Ux )′ ( t1 ) − (Ux )′ ( t2 ) ≤ c K p ( t1 ) − p ( t2 ) + c p0 K t1 − t2 (4.9) p ( t1 )( Sx )′ ( t1 ) − p ( t2 )( Sx )′ ( t2 ) ≤ p ( t1 ) − p ( t2 ) ( Sx )′ ( t1 ) + p ( t2 ) ( Sx )′ ( t1 ) − ( Sx )′ ( t2 ) ≤ λ p ( t1 ) − p ( t2 ) + p0θ t1 − t2 (4.10) Với i = 1, 2, , n x ( t1 − τ i ( t1 ) ) − x ( t2 − τ i ( t2 ) ) ≤  ≤ K  t1 − t2 +   t1 −τ i ( t1 ) ∫ t2 −τ i ( t2 ) x′ ( s ) ds ≤ K  t1 − t2 + τ i ( t1 ) − τ i ( t2 )   ′ ∫ τ i ( s ) ds  < K t1 − t2 t2  t1 Dẫn đến ta có ( ) ( f t1 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) − f t2 , x ( t2 − τ1 ( t2 ) ) , , x ( t2 − τ n ( t2 ) ) ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ≤ f t1 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) − f t2 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) ) + f t2 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) − f t2 , x ( t2 − τ1 ( t2 ) ) , , x ( t2 − τ n ( t2 ) ) ≤ f t1 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) − f t2 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) )  n 2 + k  ∑ x ( t1 − τ i ( t1 ) ) − x ( t2 − τ i ( t2 ) )   i =1  ( ) ) ≤ f t1 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) − f t2 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) + 2kK n t1 − t2 (4.11) Ký hiệu B ( 0, K1 ) cầu đóng tâm O bán kính K1  n Với ε > cho trước, f liên tục [ 0, T ] × B ( 0, K1 ) nên ∃δ1 > cho với t1 , t2 ∈ [ 0, T ] , t1 − t2 < δ1 suy ( ) ( ) f t1 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) − f t2 , x ( t1 − τ1 ( t1 ) ) , , x ( t1 − τ n ( t1 ) ) ≤ ε (4.12) Do tính liên tục hàm p, q, g [ 0,T ] , ta chọn δ > cho với t1 , t2 ∈ [ 0, T ] , t1 − t2 < δ từ (4.5) - (4.12) ta suy ( Sx )( t1 ) − ( Sx )( t2 ) ≤ C1ε , ( Sx )′ ( t1 ) − ( Sx )′ ( t2 ) ≤ C2ε , ( Sx )′′ ( t1 ) − ( Sx )′′ ( t2 ) ≤ C3ε Ci ( i = 1, 2,3) số dương Do S ( Ω ) đồng liên tục [ 0,T ] Theo định lý Ascoli – Azela, S ( Ω ) tập compact tương đối C ([ 0, T ] ,  ) Giả sử ( xm )m dãy S ( Ω ) Đặt ( S (= Ω ) )1 {x [ 0,T ] } : x ∈ S ( Ω ) x [0,T ] thu hẹp x [ 0,T ] Khi ( S ( Ω ) )1 tập compact tương đối C ([ 0, T ] ,  ) Do tồn dãy ( xm )m lim xmk [0,T ] = a0 C ([ 0, T ] ,  ) k →∞ a0 ( t ) t ∈ [ 0, T ] Đặt a ( t ) =  a0 ( t − kT ) t ∈  kT , ( k + 1) T  ( xm )k k cho (k ∈ ) Khi xmk → a X Thật xmk − a = max xmk ( t ) − a ( t ) + max xm′ k ( t ) − a′ ( t ) + max xm′′ k ( t ) − a′′ ( t ) [0,T ] [0,T ] [0,T ] = max xmk ( t ) − a0 ( t ) + max xm′ k ( t ) − a0′ ( t ) + max xm′′ k ( t ) − a0′′ ( t ) [0,T ] [0,T ] [0,T ] Từ lim xmk [0,T ] = a0 C ([ 0, T ] ,  ) dẫn đến xmk → a X k →∞ Do S ( Ω ) compact tương đối X Vậy S ánh xạ compact Ω Theo định lý điểm bất động Krasnoselskii, ánh xạ U + S có điểm bất động Ω Điểm bất động nghiệm tuần hoàn phương trình (4.1) KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày số kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc hai phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch, có kết trình bày chương Cụ thể sau Chương 1: Luận văn trình bày hai bổ đề hai định lý để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch n −1 ( ) x n ( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ m ( t ) ) i i =1 trường hợp = n 4k + n = 4k Phương pháp sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin Chương 2: Luận văn chứng minh bổ đề 2.3.1 tham khảo bổ đề 2.3.2 [6] để sử dụng việc chứng minh định lý 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 Ba định lý chương chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình n x( ) ( t= ) n −1 ∑ bi x( ) ( t ) + f ( t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ m ( t ) ) ) + p ( t ) i trường i =1 hợp = n 4k + , = n 4k + n = 4k Phương pháp sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin Chương 3: Luận văn trình bày hai kết tồn nghiệm tuần hoàn ( ) phương trình x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + a ( t ) x ( t ) + g t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) = p (t ) , kết sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii (Định lý 3.3.1), kết sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin (Định lý 3.3.2) Trước định lý trình bày hai bổ đề hàm Green tính chất hàm Green phương trình (3.1) Chương 4: Chúng trình bày kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc hai loại trung hòa với đối số lệch sau ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) + f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τn ( t ) ) = g ( t ) Luận văn tham khảo bổ đề 4.2.1, 4.2.2, 4.2.4 [5] phương pháp tìm hàm Green phương trình x′′ ( t ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = ϕ ( t ) để đưa phương trình (4.1) phương trình tích phân, sau biến đổi đưa phương trình tích phân dạng tổng ánh xạ co ánh xạ compact để sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii Kết gửi Tạp chí khoa học, phòng Khoa học công nghệ môi trường trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh duyệt đăng Do thời gian có hạn trình độ thân người thực luận văn hạn chế nên luận văn trình bày số kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc hai, phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch nghiên cứu kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình (4.1) phương pháp sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii Nếu tiếp tục tạo điều kiện nghiên cứu tương lai chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình (4.1) phương pháp sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin, nghiên cứu ổn định nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm Chúng mong nhận góp ý từ Quý Thầy, Cô hội đồng chấm luận văn để luận vặn hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Chengjun Guo, Donal O’regan, Ravi P.Agarwal (2010), “Existence of periodic solutions for a class of second – order neutral differential equations with multiple deviating arguments”, CUBO A Mathematical Journal, Vol.12, pp 153 – 165 L Pan (2008), “Periodic solutions for higher order neutral differential equations with deviating arguments”, J Math Anal Appl.343, pp 904 – 918 Y Liu, P Yang, W Ge (2005), “Periodic solutions of higher – order delay differential equations”, Nonlinear Anal 63, pp 136 – 152 Y Liu, W.Ge (2004), “Positive periodic solutions of nonlinear Duffing equations with delay and variable coefficients”, Tamsui Oxf J Math Sci 20, pp 235 – 255 Y Wang, H Lian, W Ge (2007), “Periodic solutions for a second order nonlinear differential equation”, Appl Math Lett 20, pp 110 – 115 Z Liu (1996), “Periodic solutions for nonlinear nth order ordinary differential equations”, J Math Anal Appl 204, pp 46 – 64 [...]... (1.1) có nghiệm tuần hoàn nếu m m ∑ λi i =1 m +1 pi ∞ 1 − τ i′ ( µi ( t ) ) + p0 Chứng minh Lập luận tương tự như phần chứng minh của Định lý 1.4.1 ∞ < β và n −1 ∑ ai ω n−i < 1 i =1 Chương 2 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO VỚI ĐỐI SỐ LỆCH n x( ) ( t= ) n −1 ∑ bi x( ) ( t ) + f ( t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ m ( t ) ) ) + p ( t ) i i =1 2.1 Giới thiệu Chương 2 trình. .. ) ) + p ( t ) i i =1 2.1 Giới thiệu Chương 2 trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân cấp n có đối số lệch x (n) n −1 ( t=) ∑ bi x(i ) ( t ) + f ( t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ m ( t ) ) ) + p ( t ) i =1 (2.1) Trong đó •= bi ( i 1, 2, , n − 1) là hằng số • ( ) f ∈   m+ 2 ,  và f là hàm tuần hoàn theo biến thứ nhất, nghĩa là f ( t + T , x0 , x1 , , xm ) = f... chương 1, sử dụng lý thuyết trùng bậc của Mawhin và có sử dụng giả thiết τ i′ ( t ) < 1 để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (1.1) n −1 ( n i x( ) ( t ) =∑ ai x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ m ( t ) ) i =1 ) Trong chương 2 này cũng sử dụng lý thuyết trùng bậc của Mawhin để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (2.1), nhưng không đòi hỏi giả... x,1) , Ω ∩ KerL,0 ) ⇒ deg ( QN ( x ) , Ω ∩= KerL,0 ) deg ( J ( x ) , Ω ∩ KerL,0 ) ≠ 0 Vậy theo thuyết trùng bậc của Mawhin, phương trình L ( x ) = N ( x ) có nghiệm x ∈ domL ∩ Ω Tức phương trình (1.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω Định lý 1.4.2 Giả sử n = 4k là số nguyên dương (A1) τ i khả vi trên  và τ i′ ( t ) < 1 , t ∈  , i = 1, 2, …, m Tồn tại M > 0 sao cho f ( t , c, , c ) > 0, ∀c > M và f (... x ∈ D ( L ) , Lx = Nx thì x là nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω của phương trình (1.1) Bổ đề 1.3.2 Với x ∈ X ta có : x( ) ( t ) ≤ ω n−1−i x( i Chứng minh n −1) , i 1, , n − 1 = ∞ Vì x (i ) t ), i (= 1, , n − 1 là các hàm liên tục tuần hoàn với chu kì ω nên theo định lý i −1 i −1 Lagrang tồn tại ξi ∈ [ 0, ω ] sao cho x( ) (ω ) − x( ) ( 0 ) = ω x( i ) (ξi ) ⇒ x( ) (ξi ) = 0 , với ξi ∈ [ 0, ω= ] , i 1, , n −... nữa, với Ω là tập con mở, bị chặn của X, Ω ∩ domL ≠ ∅ thì N là ánh xạ Lcompact trên Ω v) x ( t ) là nghiệm tuần hoàn của phương trình (1.1) nếu và chỉ nếu x là nghiệm của phương trình Lx = Nx trong D ( L ) Chứng minh { } n i) KerL = x ∈ X ∩ domL : L ( x ) = x( ) = 0 i i • Trước tiên ta chứng minh với x ∈ KerL thì x( ) ( t = + ω ) x( ) ( = t ) ( i 1, 2, , n ) x ∈ KerL ⇒ x ( t + ω ) = x ( t ) , ∀t ∈ ... > 0 x Khi đó phương trình L ( x ) = N ( x ) có nghiệm tuần hoàn nếu m m   T 4 k  2 ∑ α i τ i ( t ) ∞ + β 2T + T ∑ γ i  < B1 =  i 1 =i 1  k Với B1 = 1 − ∑ b4+i −3 T ( 4 k −i +1) k 4 k −i + 2 − ∑ b4−i −1 T ( ) , bi+ = max ( bi ,0 ) , bi− = min ( bi ,0 ) =i 1 =i 1 Chứng minh Bước 1: Đặt Ω1 = { x ∈ D( L) KerL : L ( x ) = λ N ( x ) , λ ∈ ( 0,1)} Ta chứng minh Ω1 là tập bị chặn Thật vậy với x ∈ Ω1 ⇒... sao cho Ω ⊃  Ωi Ta kiểm tra các điều kiện i=1 của thuyết trùng bậc Mawhin Theo Bổ đề 1.3.1 ta có L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0, N là toán tử Lcompact trên Ω i) L ( x ) ≠ λ N ( x ) ∀ ( x, λ ) ∈ ( domL / KerL ) ∩ ∂Ω × ( 0,1) Thật vậy với x ∈ ( domL / KerL ) ∩ ∂Ω , λ ∈ ( 0,1) ⇒ x ∉ Ω1 ⇒ L ( x ) ≠ λ N ( x ) ii) N ( x ) ∉ ImL với x ∈ KerL ∩ ∂Ω Với x ∈ KerL ∩ ∂Ω  x ∈ KerL  x ∈ KerL ⇒ ⇒ ⇒... 1.3.1 Với các ánh xạ L, N định nghĩa ở trên, ta có các kết quả sau: i) KerL = c, t ∈ [ 0, ω ] , c ∈ } {x (t ) = ω   ∈ = ii) ImL = y Y : y u du 0 ( )   ∫ 0   iii) L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0 iv) Tồn tại các ánh xạ chiếu P : X → X , Q : Y → Y sao cho: ImP = Ker L ; KerQ = Im L Hơn nữa, với Ω là tập con mở, bị chặn của X, Ω ∩ domL ≠ ∅ thì N là ánh xạ Lcompact trên Ω v) x ( t ) là nghiệm. .. n −1) ds ≤ M ⇒ ∃ξ ∈ [ 0, ω ] : x (ξ ) ≤ M ∞ 1 m +1 ≤ M1 ( Tính chất tích phân Riemann 0 Stieltes ) Với mỗi t ∈  , đặt k0= min {k ∈  : kω + ξ n −1 ≥ t} và= t0 k0ω + ξ n−1 , với ξ n−1 như trong Bổ đề 1.3.2 t0 (n) ( s ) ds ∫ x= x( n −1) ( t0 ) − x( n−1)= (t ) x( n −1) ( k0ω + ξ n−1 ) − x( n−1) ( t ) = t Lấy tích phân 2 vế phương trình (1.2) từ t → t0 , ta có − x( n −1) (t ) t0  n−1 t0 ( i )  −= x ( ... Lê Thị Hằng NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Lê Hoàn Hóa Thành... toán nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân với đối số lệch có ứng dụng lớn vật lý, khoa học nghiên cứu ứng dụng người máy… Trong thời gian gần có nhiều nhà toán học giới nghiên cứu tồn nghiệm tuần. .. p ( t ) , t ∈  Trong i =1 bi số không đòi hỏi giả thiết τ i′ ( t ) < Chương : Trình bày hai kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc hai với đối số lệch sau ( ) x′′ ( t ) + cx′′ (